2017全国卷1理科数学试题详细解析
高考满分-南京会计网
2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）
理科数学
解析人 李跃华
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2．回答选择题出选，时每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案号标涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本卷试和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个项选中，只有
一项是符合题目要求的。
x
1. 已知集合
A x x 1 ，B x
3 1
，则（）
A． A B x x 0 B． A B R
C． A B
x x 1 D． A B
【答案】 A
x
【解析】 A x x 1 ， B
x 3 1 x x 0
∴ A B x x 0 ， A B x x 1 ，
A选
2. 如图，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白
色部分位于正方形的中心成中心对称， 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的
概率是（）
A．
1
4
B．
π
C．
1
8 2
D．
【答案】 B
【解析】设正方形边长为
2
，则圆半径
1
为
2
则正方形的面为积
2 2 4
，圆的面积为π 1
π，图中黑色部分的概率为
π
则此点取自黑色部分的概率为2
π
4
8
故选B
1
π
4
π
2
3.设有下面四个命题（）
p ：若复数 z满足
1
1
z
2
R ，则
z R
；
z R ，则
z R
；
p ：若复数
z ，z满足 z z R ，则
2
3
1 2
1 2
p ：若复数 z满足
1 2
z
p ：若复数
z R
，则z R ．
4
z ；
A． p
1
，p
3
B．
p ，p
1 4
C．
p ，p
2 3
D．
p ，p
2 4
【答案】 B
【解析】
p
1
:
设
z a bi
，则
1 1 a bi
2 2
R ，得到
b 0
，所以
z R
.故
P
正确；
1
p
2
:
若 z
2
1
1 ，满足
z a bi a b
z
2
R
，而
z i
，不满足
z
2
R
，故
p
2
不正确；
p
3
:
若
z 1
，
数，故
p
3
不正确；
z
2
2
，则
z
1
z
2
2
，满足
z
1
z
2
R
，而它们实部不相等，不是共轭复
p
4
:
实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故
a
4
B．2
a
5
24，S
6
48
，则a
n
的公差为（）
p
正确；
4
4.记S
n
为等差数列 a
n
的前 n项和，若
A．1
【答案】 C
【解析】
a
4
C．4 D．8
a
5
a
1
3d a
1
4d 24
6a
6 5
d 48
2
2a
1
1
S
6 1
联立求得
7d 24
①
②
6a 15d 48
①
3
6d 24
∴d 4
C 选
5. 函数 f x 在
x 的取值范围是（）
A．
② 得
21 15 d 24
，单调递减， 且为奇函数． 若
f 1 1，则 足满1≤ f x 2 ≤ 1 的
D．
1，3 2，2
B．
1，1
C．
0，4
【答案】 D
【解析】 因为
f
x
为奇函数，所以
f 1 f 1 1
，
1
| 于是
1≤ f x 2 ≤ 1
等价于
f 1 ≤ f x 2 ≤ f
又
f x
在
，
单调递减
1≤ x 2≤ 1
1≤
x≤ 3 故选D
2
6.
1
1
2
6
展开式中
2
x 的系数为
1 x
B．
20
C．
30
1
6
2
6 6
x
A．
15
【答案】 C.
【解析】
1+
x
对
6
D．
35
1
1 x
2
1
1 x
x
2
1 x
2
1 x
的
x项系数为C
15
对
1
2
6 5
15
6
x项系数为C
2
4
6
1 x
的
2
x项系数为
C
=15
，
x
2
∴
x 的系数为15
15 30
故选C
6
7.
某多面体的三视所示，其中正视如图图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，
正方形的边长为
2
，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这
些梯形的面积之和为
A．
10
【答案】 B
【解析】 由三视图可画出立体图
B．
12
C．
14
D．
16
该立体平面内只有两个相同的梯形的面 图
S
梯
2 4
2 2 6
S
全梯
6 2 12
故选B
8. 右面程序框图是为了求出满足
空白框中，可以分别填入
3 2 1000
n n
的最小偶数 n ，那么在 和 两个
3
A．
A 1000
和
n n
1
B．
A 1000
和
n n 2
C．
A≤
1000
和
n n 1
D．
A≤ 1000
和
n n 2
【答案】 D
【答案】 因为要求
A
大于
1000时输出，且框中图在“否”时出输
∴“ ”中不能输入
A 1000
排除 A、B
又要求 n为偶数，且 n 初始值为0，
“ ”中 n 依次加
2 可保证其为偶
故选D
9. 已知曲线C
1
: y
cos x ，
2π
C
2
: y sin 2x
，则下面结论正确的是（）
3
A．把 C
1
上各点的横坐标伸长到原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线C
2
B．把 C
1
上各点的横坐标伸长到原来的
2
倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线
C
2
C．把 C
1
1
上各点的横坐标缩短到原来的
2
倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线C
2
D．把 C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
2
倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C
2
【答案】 D
【解析】
C
2π
1
: y cosx
，
2
C : y sin 2x
3
首先曲线
C
1
、
C
2
统一为一三角函数名，可将
C
1
: y cos
x
用诱导公式理处．
π π π
y cos x cos x sin x
．横坐标变换需将
1
变成
2
，
2 2 2
4
π
6
π
12
π
6
π
12
即
π
1
C 上各 坐 短它原
点横标缩 来
π π
1
y sin x
2
y
sin 2x sin 2 x
2 2 4
2π π
y sin 2x
sin 2 x ．
3 3
π
注意 的系数，在右平移需将
提到括号外面，这时x 平移至
2
x
π
，
根据“左加右减”原则，“
π
x ”到“
4
3
x
π
”需加上
π
，即再向左平移
π
4 3
12 12
10. 已知
F
为抛物线
C
：
2
4
y x
的交点，过
F
作两条互相垂直
l
1
，
l
2
，直线
l
1
与
C
交于
A
、
B
两点，直线
l
2
与
C
交于
D
，
E
两点， AB DE
的最小值为（）
A．
16
B．
14
C．
12
D．
10
【答案】 A
【解析】
A
设
B
倾斜角为．作
AK
1
垂直准线，
AK
2
垂直
x
轴
AF cos GF AK
1
（几何关系）
易知
AK AF
（抛物线特性）
1
P P
GP P
2 2
∴
AF cos P AF
同理
P
P
AF ，
BF
1 cos
1 cos
∴
AB
2P 2P
2 2
1 cos sin
π
又
DE
与
AB
垂直，即
DE
的倾斜角为
2
DE
2P 2P
2
2
sin
π cos
2
而
2
y x ，即
4
P 2
．
1 1
2 2
4
∴
AB DE 2P
4
sin cos
4
1
2
2 2
2
2
2 2
sin
sin
cos
cos
cos
sin
4
sin 2
．
16
2
≥ 16 ，当
sin
2
即
AB
π
取等号
4
DE
最小值为
16
，故选A
5
11.设
x
，
y
， z为正数，且 2
A． 2x 3y 5z
D．
3y 2x 5z
【答案】 D
3 5
x y
z
，则（）
C． 3y 5z 2x B． 5z 2x 3y
【答案】 取对数： x ln 2 y
ln3 ln5 .
x
y
x ln 2
ln 3
ln 2
3
2
∴
2x 3y
zln 5
则
x
z
ln5 5
ln 2 2
∴
2x 5z
∴
3y 2x 5z ，故选D
12.
几位大学生响应国家的创业号召，开了一款应发用软件，为激发大家学习数学的兴趣，
他们推出了
“解数学题软取获件激活码” 的活动，这款软件的激活码为下面数学 的题问
答案：
已知数列 1, 1, 2, 1, 2 , 4 , 1, 2 , 4 , 8 , 1, 2 , 4 ,
8 , 16 ，, ， 其中第一项是 2
0
，
接下来的两项是 2
0
，
1
6
1
2
2 ，在接下来的三项式 2 ， 2 ， 2 ，依次类推，求满足如下条件
的最小整数
N
：
N
（
A．
440
【答案】 A
【解析】设首项 第为1组，接下来两项 第为2组，再接下来三项第为 3组，以此类推．
n 1 n
n组第设的项数为n ，则n组的项数和为
2
由题，
N 100
，令
n
100
且该数列的前
N
项和为
2
的整数幂．那么该款软件的激活码是
）
B．
330
C．
220
D．
110
n 1
n
2
*
100 →
n ≥ 14
且
n N ，即
N
出现在第 13组之后
第 n组的和为
1 2
2 1
n
1 2
n组总共的和为
n
2 1 2
1 2
n
n 2 2 n
n 1 n
若要使前
N
项和为2 的整数幂，则
k
应与
2 n
互为相反
N项的和 2 1
2
数
即
k
n k N
*
，n≥
1 2
2
2 14
k log n 3
→ n 29，k 5
则
N
故选A
二、 填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分。
13.
已知向量 a ， b 的夹角为
60
，
a
29 1 29
2
5 440
2
，
b 1
，则
a
2b
________．
6
【答案】 2 3
【解析】
a 2b
2 2 2
(a 2b) a 2 a
2b cos60 2 b
2
2
2 2 2 2
1
2
2
2
4 4 4 12
∴ a 2b 12
2 3
x 2 y 1
2x y 1
，则z 3x 2y
的最小值为_______．
x y 0
【答案】
5
14.设
x
，
y
满足约束条件
x 2 y 1
2x y 1
不等式组表示的平面区域如图所示
x y 0
y
A
B
1
C
x+2 y-1=0
x
2x+y+1=0
由 z 3x 2y 得
y
3
x
2
z
2
，
3 z
的纵截距的最大值
2
求 z 的最小值，即求直线
y
3 z
x过图中点
A
，时纵截距最大
2 2
1
解得
A
点坐标为( 1,1)，此时z 3 ( 1) 2 1 5
x
2
当直线y
2x y
由
x 2 y 1
15. 已知双曲线
C :
2
x
2
2
2
y
，（
a 0
，
b 0
）的右顶点为
A
，以
A
为圆心，
b
为半径作圆
A
，
b
MAN 60
，则
C
的离心率为
a
_______．
【答案】
2 3
3
圆
A
与双曲线
C
的一条渐近线交于
M
，
N
两点，若
【解析】 如图，
7
OA a
，
AN
∵ MAN
∴
tan
AM b
AP
3
2
b，
OP
3
2
2
2 2 2
60 ，∴
AP
OP
OA PA a
b
3
4
2
b
3
b
4
2
a
又∵ tan
3
b
b
，∴
2
a
3
2
b
，解得 a
2
a
2
3b
2
∴
e
1
2
a
1
b
2
4
b
1
3
2 3
3
a
16. 如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为5 cm ，该纸片上的等三角形 边
ABC
的中心为
O
，
D
、
E
、
F
为元
O
上的点， △DBC ， △ECA ，
△ FAB
分别是一
BC
，
CA
，
AB
为底边
的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以
BC
，
CA
，
AB
为折痕折起 △DBC ， △ECA ，
△
，使得
D
，
E
，
F
重合，得到三棱锥．当
FAB
△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体
位： cm
3
）的最大值单（积为_______．
【答案】 4 15
【解析】 由题，连接
OD
，交
BC
与点
G
，由题，
OD
OG
OG
设
BC
3
BC ，即
OG
的长度与
BC
的长度或成正比
6
x
，则
BC 2 3x
，
DG 5 x
三棱锥的高
h
DG
2
OG
2
1
3 3x
2
25
10x x
2
2
x 25 10x
S
△
V 则
ABC
2 3 3x
1
S
△ABC
2
4 5
h 3x 25 10x
= 3 25x 10x
3
8
3 4
令
4 5
5
f x 25x 10x ，
x
(0, ) ，
f x 100x 50x
2
令 f x 0 ，即
x
4
2x
3
0 ，
x 2
则f x ≤ f 2
80
V
则
≤ 3 80 45
∴
体积最大值为
4
15 cm
3
三、 解答题： 共 70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第
17-21题为必考题，
每个试题考生都必作须答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17. △ ABC 的内角
A
，
B
，
C
的对为别分边
a
，
b
，
c
，已知 △ ABC 的面积为
（1）求
sin B sin C
；
（2）若
6cos B cos C 1
，
a 3
，求 △ ABC 的周长．
【解析】
本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用
（1）
∵
△ ABC
面积
2
a
S
.且
1
S
2
bc
sin A
∴
2
1
3sinA
a
bc sin A
3sin A 2
∴
2
3
2
a bc sin A
2
∵
由正弦定理得
2
3
2
sin A
sin Bsin C sin A ，
2
由
sin A 0
得
sin B sin C
2
.
3
（2）由（ 1）得
sin Bsin C
2
1
，
3
cos B cosC
6
∵
A B C π
∴
cos A cos π
B C cos B C sin BsinC cos B cos C
又
∵ A 0，π
∴
A 60 ， sin
A
3
1
2
，
cos A
2
由余弦定理得
2 2 2
a b c bc 9 ①
由正弦定理得
a
a
b
sin A
sin B
，
c
sin A
sin C
9
2
a
A
3sin
1
2
．
.
∴
bc
2
a
sin A
2
②
B
sin sin
33
33 ，即
△ ABC
周长为3 33
BAP CDP 90
．
C
8
由①② 得 b c
∴
a b c 3
18. （12
分）如图，在四棱锥
P ABCD
中，
AB ∥ CD
中，且
（1）证明：平面
PAB
平面
PAD
；
（2）若
PA PD
【解析】 （1）证明：∵
∴ PA AB ， PD
AB
DC
，
APD 90
，求二面角
A PB C
的余弦值．
BAP
CD
CDP 90
又∵
AB ∥ CD
，∴ PD
又∵
PD
AB
平面 PAD
PA P
， PD 、 PA
∴ AB 平面 PAD ，又 AB 平面 PAB
∴平面
PAB 平面 PAD
（2）取 AD 中点 O ， BC 中点 E ，连接 PO ， OE
∵ AB
∴ OE
∴ OE
∴ OE
CD
AB
平面 PAD
AD
AD
O xyz
∴四边形
ABCD为平行四边形
由（ 1）知， AB
PO ， OE
平面 PAD
，又 PO 、 AD 平面 PAD
又∵ PA PD ，∴ PO
∴ PO 、 OE
、 AD 两两垂直
∴以 O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
PA 2 ，∴
D 设
∴ PD
2 ，0 ，0 、 B 2 ，2，0 、 P 0，0， 2 、 C
2 ，2 ， 2 、 BC
2 ，2，0 ，
2 ，0， 2 、 PB 2
2 ，0，0
n x , y , z为设平面 PBC 的法向量
n PB 0
由
n BC 0
令
y 1
，则z
，得
2
2x 0
2 ， x 0 ，可得平面 PBC 的一个法向量 n
PA
平面
PAD
0 ,1 , 2
2x 2 y 2z 0
∵ APD 90 ，∴
PD
又知 AB
∴ PD
∴ PD
平面 PAD ， PD
AB ，又
PA AB A
平面 PAB
10
即
PD
是平面 PAB 的一个法向量， PD
∴
cos PD , n
2 , 0 , 2
PD n
PD n
3
3
2
2 3 3
3
由图知二面角 A PB C为钝角，所以它的余弦值为
19. （12 分）
为了抽某种零件的一条生产检线的生过产程，验员实每天从该生产线上随机抽取
零件，并测量其尺寸（单位：
态下生的零件的尺寸服从正态产分布
2
16 个
cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状
N ，
．
3 ， 3 （1）假生产设状态正常，记
X
表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在
之外的零件数，求 P X ≥ 1 及
X
的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
（I）试说明上述控生产监过程方法的合理性：
（II）下面是检验员在一天内抽取的
9.95
1 0 . 1 29.96 9.96 10.01 9.92
3 ， 3 之外的零件，就认
这为
条生产一天的生产这在线过程可能出了异常情况，需对现当天的生产行检进程过 ．查
16
个零件的尺寸：
9.98
16
1 0 . 0 4
9.95
16
2
10.26 9.91 1 0 . 1 310.02 9.22
10.04 10.05
16
经计算得
x x
i 1
i
9.97 ，
s
1
x
i
1
x
2 2
x
16
i
i 1
x
16 0.212
，其中
x
i
为
16
i
1
抽取的第
i
个零件的尺寸， i 1，2， ，16 ．
用样本平均数
x
作为的估计值?，用样本标准差 s作为的估计值
?
，利用估计
值判断是否需当天的生产对行检进程过查，剔除
的数据估计和
（精确到
0.01
）．
2
? 3
?， ? 3 ? 之外的数据，用剩下
附：若随机变量
Z
服从正态分布
16
N ，
,则P 3 Z 3 0.997 4 ．
0.997 4
0.9592 ，
0.008 0.09
．
3 ， 3
之内的概率为0.9974，落在 【解析】 （1）由题可知尺寸落在
3 ，
P X
P X 1
0
3
0
16
之外的概率为0.0026．
0
16
C 1 0.9974
0.9974
1 P X 0
0.9592
1 0.9592 0.0408
由题可知 X ~ B 16，0.0026
E X 16 0.0026 0.0416
3 ，
3 ，
3
3
之外的概率为0.0026，
之外为小概率事件，
（2）（ i ）尺寸落在
由正态分布知尺寸落在
因此上述监控生产过程的方法合理．
（ii ）
3
3
9.97 3 0.212 9.334
9.97 3 0.212 10.606
3 9.334 ，10.606 3 ，
11
9.22 9.334，10.606 ，
需对当天的生产．查检程过
因此剔除 9.22
剔除数据之后：
9.97 16 9.22
15
10.02
．
2
2 2 2 2
[ 9.95 10.02 10.12
10.02 9.96 10.02 9.96 10.02 10.01 10.02
2 2 2
2
9.92 10.02 9.98 10.02 10.04 10.02 10.26
10.02 9.91 10.02
2 2 2 2
10.13 10.02
10.02 10.02 10.04 10.02 10.05 10.02 9.95 10.02 ]
0.008
0.008 0.09
20. （12 分）
2
2
，四点
3
已知椭圆
y
a b 0
C
：
x
P ， ，P ， ，
3
1
2 2
1
1 1
2
0 1 P 1， ，P
4
1，
a b
2
中恰有三点在椭圆
C
上．
（1）求
C
的方程；
（2）设直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A
、
B
两点，若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的
和为
1
，证明：
l
过定点．
【解析】 （1）根据椭圆对称性，必过P
3
、
P
4
又
P 横坐标为1，椭圆必不P过 ，所以过P ，P
，P 三点
4 1 2 3 4
3
P 0，1 ，P 1， 代入椭圆方程得将
2
3
2
1
2
1
b
3
，解得
2
4
2
1
a ， b
1
2
4
2
1
a b
∴椭圆
C
的方程为：
2
x
2
4
y
1
．
（2） ① 当斜率不存在时，设:
l x m，A m ，y ，B m， y
A A
k
y
A
1 y
A
1 2
P A
k
2
P B
1
2
m m m
得 m 2 ，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
② 当斜率存在时，设l∶ y kx b b 1
A x ，y ，B x ，y
1 1 2 2
立联
y kx b
，整理得
2 2 2
2
4
2
4 0
1 4k x 8kbx 4b 4 0
x y
8kb
2
x
，
4b 4
1
x
2 2
x
1 4k
1
x
2 2
y
1
1 y
2
1
1 4k
x
2
kx
1
b x
2
x kx
1 2
b x
1
则
k k
P A P B
x x
x x
2 2
1 2
1 2
2
2
2
1
15
3
2
12
2 2
8kb 8k 8kb
2
8kb
1 4k
2
4b
b
8k b
1
4 b 1 b 1
4
2
1 4k
1，又
b 1
0成立． 2k 1，此时64k ，存在 k 使得
1
∴直线
l
的方程为y kx 2k 1
当
x 2
时，
y
所以 l过定点 2 ， 1 ．
21. （12 分）
已知函数
f x
2x x
ae a 2 e x ．
（1）讨论f
x 的单调性；
（2）若 f x 有两个零点，求 a的取值范围．
2x x
【解析】 （1）由于
f x ae a 2 e x
2x x x
故
f x 2ae a 2 e 1 ae 1 2e
x
1
0 恒成立． ① 当 a 0时， e
a
f x 在
R
上单调递减
1 0
x
x
．从而 f x
1 0
1 0
a
x
ln a
0
极小值单调增
， 2e
② 当 a 0时，令 f x
x
0，从而 e
，
ln a
，得 x
ln a ，
ln a ．
f′x
f
x单 减调
综上，当
a 0
时， f (x) 在
R
上单调递减；
当
a 0
时， f (x) 在 (
（2）由（
1）知，
当 a 0时， f x 在
R
上单调减，故
当
a 0时，
g a
f
1
1
1
a
1
a
ln a
f ln a
．
ln a a 0
，则
2
g ' a
1
a
f x 在
R
上至多一个零点，不满足条件．
1
ln a
．
, ln a) 上单调递减，在 ( ln a, )
上单调递增
min
令
令
g a
1
a
1
a
0
．从而 g
a 在 0， 上单调
增，而 g 1
若 a 1，则f
min
不满足条件．
若 a 1，则
min
条件．
0 ．故当 0 a 1时，g a
1
1
ln a g a
a
1
f 1
a
ln a 0
0
0
．当 a 1时g a
，故 f x
0 ．当 a 1时g a 0
0 恒成立，从而 f x 无零点，
，故 f x 0仅有一个实根 x ln
a 0 ，不满足
若 0 a 1 ，则f
min
1
1
ln
a 0
a
，注意到
ln a 0 ．
f
a
1
2
a
1
e
2
0 ．
e e
13
故 f x 在
且
1， ln a 上有一个实根，而又
3
ln 1
a
1
ln
a
ln a
．
3 3
ln 1
3
f ln(
a
1) e
ln 1
a
3
a 2 ln 1
a
3
1
a
3
1
a
3
1
a
．
a
a e
3
1
a
3
a a 2 ln ln 0
故 f x 在 ln a ln 3 1
，
a
， ln a 上单调减，在
上有一个实根．
ln a，单调增，故
3
1
上均至少有一个实数根，故
a
f x 在
R
f
x 在
R
上至多两 又 f x 在
个实根．
又 f x
在 1， ln a 及
ln a ln
，
上恰有两个实根．
综上， 0 a 1 ．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第
22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. [选修
4-4：坐标系与参考方程 ]
在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为
x a 4t ，
（
t
为参数）．
y 1 t
，
方程为
（1）若 a
【解析】 （1） a
1 ，求
C 与 l 的交点坐标；
1时，直线l 的方程为x 4y 3 0 ．
2
x
y
3cos
，
（为参数），直线l 的参数
sin
，
（2）若 C
上的点到 l 距离的最大值为
17
，求 a ．
曲线C 的标准方程是
x
9
2
y
1
，
21
25
24
25
，
x 4y 3
0
2
2
1
x y
9
x
x 3
，解得： 或
y 0
y
联立方程
C 与 l 交点坐标则是 3，0 和
21
24
，
25 25
（2）直线l 一般式方程是 x 4y 4 a 0 ．
C 上点 p 3cos ，sin 线曲设
．
5sin
3cos 4sin
17
17 ，解得 a 16或 a 8
4 a
17
4 a
，其中
tan
3
．
4
P
到 l 距离 则
d
依题意得： d
max
14
23. [选修
4-5：不等式选讲]
已知函数
f x
2
x
ax 4 ，g x x 1 x 1 ．
（1）当 a 1时，求不等式
f x ≥ g
x
的解集；
（2）若不等式 f x ≥ g x 的解集包含
【解析】
（1）当 a 1时，
f x
2
1，1 ，求 a 的取值范围．
1
的二次函数．
x x 4 ，是开口向下，对称轴
x
2x
，
x
1
g x x 1 x 1 2 ，
1≤ x≤ 1
，
2x，x 1
当 x (1, )时，令
x
2
x 4 2x，解得
x
17 1
2
g x
在
1，
上单调递增，
f x
在
1，
上单调递减
17 1
∴此时f x ≥ g x
解集为，
1
．
2
当
x 1，1
时，
g
x 2
，
f x ≥ f 1 2
．
当
x ，
1
时，
g x
单调递减，
f x
单调递增，且
g 1
f 1
综上所述，
f x ≥ g x
解集
1
17 1
，
2
．
（2）依题意得：
x
2
ax 4≥ 2 在 1，1 恒成立．
即 x
2
ax
2≤ 0 在
1，1
恒成立．
2
则只须
1 a
1 2≤ 0
，解出： 1≤ a ≤
1．
2
1 a 1
2≤ 0
故 a 取值范围是
1，1
．
2
2
．
15