土家族习俗-汪曾祺散文读后感

2014年江苏高考数学试题
数学Ⅰ试题
参考公式:
圆柱的侧面积公式:S
圆柱
=cl, 其中c是圆柱底面的周长，l为母线长.
圆柱的体积公式:V
圆柱
=Sh,其中S是圆柱的底面积，h为高.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ．．．．．．．．
1，，34}
，
B{1，2，3}
，则
A
1．已知集合
A{2，
3}
【答案】
{1，
B
．
2．已知复数
z(52i)
2
(i为虚数单位)，则z的实部为 ．
【答案】21
3．右图是一个算法流程图，则输出的n的值是 ．
【答案】5
2，，36
这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 4．从
1，
概率是 ．
【答案】
1
3
5．已知函数
ycosx
与
ysin(2x

)(0≤

)
，它们的图象有一个横坐标为

的交点，则的值是 ．

3
【答案】


6
6．为了了解一片经济林的生 长情况，随机抽测了其中60株树木的
130]
上，其频率分布底部周长（单位：cm），所得 数据均在区间
[80，
直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株
树木的底部周长小于100 cm．
【答案】24
7．在各项均为正数的等比 数列
{a
n
}
中，若
a
2
1
，
a
8
a
6
2a
4
，
则
a
6
的值是 ．
【答案】4

8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为
S
1
，S< br>2
，体积分别为
V
1
，V
2
，若它们的侧面积相等， 且
S
1
9

，
S
2
4
则
V
1
的值是 ．
V
2
【答案】
3

2
9．在平面直角坐标系xOy 中，直线
x2y30
被圆
(x2)
2
(y1)
2
4
截得的弦长为 ．
【答案】
255

5
m1]
，都有
f(x)0
成立，则实数m的取值范围10．已 知函数
f(x)x
2
mx1
，若对任意
x[m，
是 ．

2
，0

【答案】


2

b
为常数)过点
P(2，5)
，且该曲线在点P处的11 ．在平面直角坐标系xOy中，若曲线
yax
2

b
(
a ，
x
切线与直线
7x2y30
平行，则
ab
的值是 ．
【答案】
3

AD5
，
CP3PD，
1 2．如图，在平行四边形ABCD中，已知，
AB8，
APBP2
，则
ABAD
的
值是 ．
【答案】22


3)
时，
f(x)x
2
2x
1
． 13．已知
f(x)
是定义在R上且周期为3的函数，当
x[0，
若函数< br>yf(x)a
2
4]
上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是 ． 在区间
[3，
1
【答案】
0，
2
14．若
ABC
的内角满足
sinA2sinB2sinC
，则
cosC
的最小值是 ．
【答案】
62

4
二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明
．．．．．．．．
过程或演算步骤.
15．(本小题满分14 分)已知



，
，
sin


5
．
5
2
（1）求
sin



的值；
4




（2）求
cos

2

的值．
6
【 答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能
力. 满分14分.
（1）∵



，，sin

5
，
25
∴
cos

1sin2


25

5

sin


sin

cos

cos

sin


2
(cos

sin
< br>)
10
；
444210
（2）∵
sin2
< br>2sin

cos


4
，cos2

cos
2

sin
2


3

55
∴
cos

2

cos
cos2

sin

sin2


3

3

1

4

334
．
666252510
E，F
分别为棱
PC，AC，AB
的中点．已知16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥
PABC
中，
D，PAAC，PA6，BC8，
DF5
．




（1）求证：直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，
考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.
E
为
PC，AC
中点 ∴DE∥PA （1）∵
D，
∵
PA
平面DEF，DE

平面DEF ∴PA∥平面DEF
E
为
PC，AC
中点 ∴
DE
1
PA3
（2）∵
D，
2
F
为
AC，AB
中点 ∴
EF
1
BC4
∵
E，
2
∴
DEEFDF
∴
DEF90°
，∴DE⊥EF
222
PAAC
，∴
DEAC
∵
DEPA，
∵
ACEFE
∴DE⊥平面ABC
∵DE

平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABC．
2
y< br>2
x
F
2
分别是椭圆
2

2
1( ab0)
的左、17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，
F1
，
ab
b)
，连结
BF
2
并延长交椭圆于点 A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另右焦点，顶点B的坐标为
(0，
一点C，连结
FC
．
1
1
，且
BF2
，求椭圆的方程； （1）若点C的坐标为
4
，
2
33


AB
，求椭圆离心率e的值． （2）若
FC
1

【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运
算求解能力. 满分14分.
161
1
，∴
9

9
9
（1）∵C
4
，
33
a
2
b
2

∵
BF
2
2
b
2
c
2
a
2< br>，∴
a
2
(2)
2
2
，∴
b
2
1

2
x
∴椭圆方程为
y
2
1

2
0)，F
2
(c，0)，C(x，y)
（2）设焦点
F
1
(c，
C
关于x轴对称，∴
A(x，y)
∵
A，
by
F
2
，A
三点共线，∴
b

∵
B，
，即
bxcybc0
①
cx
y
AB
∵
FC
，∴

b
1
，即
xc byc
2
0
②
1
xcc

x
ca
2

b
2
c
2
∴
C
a
2
c
，
2bc
2
①②联立方程组 ，解得

2222
2
bcbc
2bc

y< br>2
bc
2


a
2
c
b
2
c
2
∵C在椭圆上，∴
a
2

2
2bc
2
b
2
c
2

b
2

1
，
2
化简得
5c
2
a
2
，∴
c

5
, 故离心率为
5

5
a5
18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护 区．规
划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古 桥
两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点< br>C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，
tanBCO
4
．
3
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形
等基础知识，考查建立数学模型及运用 数学知识解决实际问题的能
力.满分16分.
解法一：
(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角
坐标系xOy.
由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，

直线BC的斜率k
BC
=－tan∠BCO=－
4
.
3
3
.
4
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k
AB
=
设点B的坐标为(a,b)，则k
BC
=
b04
,

a1703
k
AB
=
b603
,

a04
22
解得a=80，b=120. 所以BC=
(17080)(0120)150
.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).
由条件知，直线BC的方程为
y
4
(x17 0)
，即
4x3y6800

3
由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即
r
|3d680|6803d

.
55
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

6803 d
d≥80


rd≥80

5
所以

即

解得
10≤d≤35

6803d
r( 60d)≥80


(60d)≥80

5

故当d=10时,
r
6803d
最大，即圆面积最大.
5
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.
解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.
因为tan∠BCO=
443
.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.
355
680
.
3
因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=
CF=
OC850500

,从而
AFOFOA
.
cosFCO33
4
，
5
因为OA⊥OC，所以cos∠AFB =sin∠FCO==
又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==
400
，从而BC=CF
－
BF=150.
3

因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半
径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，
故由(1)知，sin∠CFO =
6803d
MDMDr3
.
,
所以
r
680
5
MFOFOM
d
5
3
因为O和A到圆M上任 意一点的距离均不少于80 m,

6803d
d≥80


rd≥80

5
所以

即

解得
10≤d≤35


r(60d)≥80

6803d(60d)≥80

5

故当d=10时,
r
6 803d
最大，即圆面积最大.
5
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.
19．(本小题满分16分)已知函数
f(x)e
x
e
x
其中e是自然对数的底数．
（1）证明：
f(x)
是
R
上的偶函数；
)
上恒成立，求实数m的取值范围； （2）若关于x的不等式
mf(x)≤e< br>x
m1
在
(0，
)
，使得
f(x
0
)a(x
0
3
3x
0
)
成立．试比较e
a1
与
a
e1
的大小，（3）已知正数a满足：存在x
0
[1，
并证明你的结论．
【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想
方法分析与解决问题的能力.满分16分.
（1）
xR
，
f(x)e
x
e
x
f(x)
，∴
f(x)
是
R
上的偶函数
（2）由题意，
m(e
x
e
x
)≤e
x
m1
，即
m(e
x
e
x
1)≤e
x
1

x
e1
对
x(0，)
，∴
ee10
，即
m≤
x
)
恒成立 ∵
x(0，
ee
x
1
xx
)
恒成立 令
te
x
(t1)
，则
m≤
2
1t
对任意
t(1，
tt1
t11
∵
2
1t
≥
1
，当且仅当
t2
时等号成立
2
tt 1(t1)(t1)13
t1
1
1
t1
∴
m≤
1

3
)
上单调增 （3）
f'(x)ex
e
x
，当
x1
时
f'(x)0
，∴
f(x)
在
(1，
令
h(x)a(x
3
3x )
，
h'(x)3ax(x1)

x1
，∴
h'(x)0
，即
h(x)
在
x(1， )
上单调减 ∵
a0，
∵存在
x
0
[1，)，使得
f(x
0
)a(x
0
3
3x
0< br>)
，∴
f(1)e
1
2a
，即
a
1
e
1

e
2e
∵
ln
a
a1
lna
e1
lne
a1
(e1)lnaa1

e
e-1

设
m(a)(e1)lnaa1
，则
m'(a)
e1
1
e1a
，a
1
e
1

aa2e
当
1
e
1
ae 1
时，
m'(a)0
，
m(a)
单调增；
2e
当
ae1
时，
m'(a)0
，
m(a)
单调减
因此
m(a)
至多有两个零点，而
m(1)m(e)0

∴当
ae
时，
m(a)0
，
a
e1
e< br>a1
；
当
1
e
1
ae
时，
m(a)0
，
a
e1
e
a1
；
2e< br>当
ae
时，
m(a)0
，
a
e1
e
a1
．
20．(本小题满分16分)设数列
{a
n
}< br>的前n项和为
S
n
．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得
S< br>n
a
m
，
则称
{a
n
}
是“H数 列”．
（1）若数列
{a
n
}
的前n项和
S
n< br>2
n
(nN

)
，证明：
{a
n
}
是“H数列”；
（2）设
{a
n
}
是等差数列，其首 项
a
1
1
，公差
d0
．若
{a
n}
是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列
{a
n< br>}
，总存在两个“H数列”
{b
n
}
和
{c
n
}
，使得
a
n
b
n
c
n
( nN

)
成
立．
【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16
分.
（1）当
n≥2
时，
a
n
Sn
S
n1
2
n
2
n1
2
n1

当
n1
时，
a
1
S
1
2

∴
n1
时，
S
1
a
1
，当
n ≥2
时，
S
n
a
n1

∴
{a
n
}
是“H数列”
（2）
S
n< br>na
1

n(n1)n(n1)
dnd

22
n(n1)
d1(m1)d

2



对
nN

，
mN

使< br>S
n
a
m
，即
n
取
n2
得< br>1d(m1)d
，
m2
1

d

∵
d0
，∴
m2
，又
mN

，∴
m1
，∴
d1

（3）设
{a
n
}
的公差为d
令
b
n< br>a
1
(n1)a
1
(2n)a
1
，对nN

，
b
n1
b
n
a
1

c
n
(n1)(a
1
d)
，对
nN

，
c
n1
c
n
a
1d

则
b
n
c
n
a
1
(n1)da
n
，且
{b
n
}，{c
n
}< br>为等差数列
{b
n
}
的前n项和
T
n
n a
1

n(n1)n(n3)
(a
1
)
，令
T
n
(2m)a
1
，则
m2

22
当
n1
时
m1
；
当
n2
时
m1
；
当
n≥3
时，由于 n与
n3
奇偶性不同，即
n(n3)
非负偶数，
mN


因此对
n
，都可找到
mN

，使
T
n
b
m
成立，即
{b
n
}
为“H数列 ”．
{c
n
}
的前ｎ项和
R
n

n(n 1)n(n1)
(a
1
d)
，令
c
n
(m 1)(a
1
d)R
m
，则
m1

22< br>∵对
nN

，
n(n1)
是非负偶数，∴
m N


即对
nN

，都可找到
mN

，使得
R
n
c
m
成立，即
{c
n}
为“H数列”
因此命题得证.

数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，请选定其中两小题， 并在相应的答题区域内作答.若多做，
则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)
如图，AB是圆O的直径，C、 D是圆O 上位于AB异侧的两点
证明:∠OCB=∠D.
本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分.
证明：因为B, C是圆O上的两点，所以OB=OC.
故∠OCB=∠B.
又因为C, D是圆O上位于AB异侧的两点，
故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，
所以∠B=∠D.
因此∠OCB=∠D.
B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)

12
11

2

B


已知矩阵
A

，，向量
y
为实数，若
Aα=Bα
，求
x，y< br>的值．

21

y

，
x，
1x

【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分 10分.

2y2

2y

2y22y，
Aα=Bα
A



Bα
y4
，， 由得解得
x
1
，


2
2xy4y2 xy4y，

C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)


x1
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为


y2

B
两点，求线段AB的长． 交于
A，2
t，
2
(t为参数)，直线l与抛物线
y
2
4x< br>2
t
2
【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识 ，考查运算求解能力.满分10
分.
直线l：
xy3
代入抛物线方程< br>y
2
4x
并整理得
x
2
10x90

2)
，
B(9，6)
，故
|AB|82
∴交点
A(1，
D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)
已知x>0, y>0,证明：(1+x+y
2
)( 1+x
2
+y)≥9xy.
本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.

22
证明：因为x>0, y>0, 所以1+x+y
2< br>≥
3
3
xy0
，1+x
2
+y≥
3
3
xy0
，
22
所以(1+x+y
2
)( 1+x< br>2
+y)≥
3
3
xy3
3
xy
=9xy.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文
字说明、证明过程或演算步骤.
22．(本小题满分10分)
盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
x
2
，x
3
，随机变量X表（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别 记为
x
1
，
x
2
，x
3
中的最大数，求X 的概率分布和数学期望
E(X)
． 示
x
1
，
22.【必做 题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.
满分10分.
222
36
种可能情况，2个球颜色相同共有
C
2
（1） 一次取2个球共有
C
94
C
3
C
2
10种可能情况
∴取出的2个球颜色相同的概率
P
10

5

3618
32
，则 （2）X的所有可能取值为
4，，
C
4
P(X4)
4

1

4
C
9
126
131
C
3
4
C
5
C
3
C
6
P(X3)
13

3
C
9
63
P(X2)1P(X3)P(X4)
11

14
∴X的概率分布列为
X
P
2
11

14
3
13

63
4
1

1 26
故X的数学期望
E(X)2
11
3
13
4
1

20

14631269
23．(本小题满分10分)
已知函数
f
0
(x)
sinx
(x0)
，设< br>f
n
(x)
为
f
n1
(x)
的导数，nN

．
x
（1）求
2f
1



f
2

的值；
222
（2）证明：对任意的< br>nN

，等式
nf
n1



f
n


2
成立．
4442



23.【必 做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.
满分10 分.
sinx


cosxsinx


2,
(1)解：由已知，得
f
1
(x)f
0

(x)


xxx

cosx



sinx


sinx2cosx2sinx

 ,
于是
f
2
(x)f
1

(x)

2

23
xxxxx

所以
f1
()

2

216
,f()
3< br>,

2
2

2

4
故
2 f
1
()

2
f
2
()1.
< br>22

(2)证明：由已知，得
xf
0
(x)sinx,< br>等式两边分别对x求导，得
f
0
(x)xf
0

( x)cosx
，
即
f
0
(x)xf
1
(x) cosxsin(x

)
，类似可得
2
2f
1(x)xf
2
(x)sinxsin(x

)
， < br>3f
2
(x)xf
3
(x)cosxsin(x
3

)
，
2
4f
3
(x)xf
4
(x)sinxsin(x2

)
.
下面用数学归纳法证明等式< br>nf
n1
(x)xf
n
(x)sin(x
n

)
对所有的
nN
*
都成立.
2
(i)当n=1时，由上可知等式成立.
(ii)假设当n=k时等式成立, 即
kf
k1
(x)xf
k
(x)sin(x
k

)
.
2

因为
[kf
k1
(x) xf
k
(x)]

kf
k

1
(x )f
k
(x)xf
k
(x)(k1)f
k
(x) f
k1
(x),

[sin(x
k

)]
cos(x
k

)(x
k

)
sin[x
222
(k1)

所以
(k1) f
k
(x)f
k1
(x)
sin[x]
.
2
(k1)

]
，
2
所以当n=k+1时,等式也成立.
综合(i),(ii)可知等式
nf
n1
(x)xf
n
(x)sin(x
n

)
对所有的
nN
*
都成立.
2
令
x

，可得
nf
n1
(

)

f
n
(

)sin(


n

)
(
nN
*
).
44442
4
所以
nf
n1
(

)

f
n
(

) 
2
(
nN
*
).
4442