注会查分-干部作风自查报告

万学教育公共课事业部
三、解答题
(15)【详解】
方法一：
lim< br>[sinxsin(sinx)]sinxsin
x0
x
4
li m
xsin(sinx)
x0
x
3

1
li m
cosxcos(sinx)cosx1cos(sinx
sin
2
x
x0
3x
2
lim
)
2
1
x03x
2
lim
x0
3x
2

6

方法二：
sinxx
1
6
x
3
o(x
3
)

sin(sinx)sinx
1
336
sinxo(sinx)


lim
[sinxsin(sinx)]sinx

sin
4
xo(sin
4
x)

1
x0
x
4
lim
x0


6x
4

x
4



6

本题的难度值为0.823.
(16)【详解】
方法一： 由
dx
dt
2te
x
0
得
e
xdx2tdt
，积分并由条件
x
t0
得
e
x
1t
2
，即
xln(1t
2
)
dy
所以
dy
dt
ln(1t
2
)2t
dx

dx

2t
(1t
2
)ln(1t
2< br>)

dt1t
2
d
[(1

d
2
yd

dy

dt
t
2)ln(1t
2
)]
2tln(1t
2
)2t
d x
2

dx


dx


dx

2t

dt1t
2
(1t
2)[ln(1t
2
)1]

方法二：由
dx
dt< br>2te
x
0
得
e
x
dx2tdt
， 积分并由条件
x
t0
得
e
x
1t
2
，即
xln(1t
2
)
dy
所以 dy
dt
ln(1t
2
)2t
dx

dx

2t
(1t
2
)ln(1t
2
)ex
x

dt1t
2
所以
d
2
y
dx
2
e
x
(x1)

本题的难度值为0.742.
(17)【详解】
方法一：由于
limx
2
arcsinx
x1

1x
2

，故

1
x
2
arcsinx
0
是反常积 分.
1x
2
dx
令
arcsinxt
，有
xsint
，
t[0,

2)

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


1
x
2arcsinx
dx

2
tsin
2
t

0
1x
2
0
cost
costdt

2
0
tsin
2
tdt

2
0
(
t
2

tcos2t
2
)dt


2
2

2



t

1

tsin2t
2
1

4
0
4

2
0
tdsin2t
16

4

0
4

2
0
sin2tdt

2



2
16

1
8
cos2 t

2

1

0
164
方法二：

1
x
2
arcsinx
0
1x
2
d x

1
1
2

0
x
2
d(arc sinx)
2

1

1
2
x
2
( arcsinx)
2


1
x(arcsinx)
2
dx

2


1
x(arcsinx)
20
0
8
0
dx

令
arcs inxt
，有
xsint
，
t[0,

2)


1
x(arcsinx)
2
1

2
1
2
2
0
dx
2

0
sin2tdt
4

0
tdcos2t



1
2

4
(t
2
cos2t)
1
2
< br>2
1
0
2

0
tcos2tdt
16
4

2
故，原式


16

1
4

本题的难度值为0.631.
(18)【详解】 曲线
xy1
将区域分成两
D
1

个区域
D1
和
D
2
D
3
，为了便于计算继续对
区域分割，最后为

max

xy,1

dxdy
D

3
D
2
D


xydxdy
 
dxdy

dxdy

D
1
D
2
D
3
O 0.5 2 x
1


2
dx

2
1dy< br>
2
1
x
22
00
1
dx

0
1dy

1
dx
2

1
xydy< br>
2x
12ln2
15
4
ln2
194
ln2

本题的难度值为0.524.
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(19)【详解】旋转体的体积
V


t
f(x)dx
，侧面积
S2


f(x)1f

2
(x)dx
，由题设条件知
2
t
0
0
t
2
t
0
f(x)dx

0
f( x)1f

2
(x)dx

上式两端对
t
求导得
f
2
(t)f(t)1f

2
(t)
， 即
y

y
2
1

由分离变量法解得
lny(y
2
1)t
1
C
， 即
yy
2
1C
t
e

将
y(0)1
代入知
C1
，故
yy
2
1e
t
，
y
1
2
(e
t
e
t
)

于是所求函数为
yf(x)
1
2
e(
x
e
x

)
本题的难度值为0.497.
(20)【详解】(I) 设
M
与
m
是连续函数
f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值， 即
mf(x)M

x[a,b]

b
由定积分性质，有
m(ba)

b
f(x)dxM(ba)
，即
m

a
f(x)dx
a
ba
M

b
由连续函数介值定理，至少存在一点

[a,b]
，使得
f(

)

a
f(x)dx
ba

即

b
a
f(x)dxf(

)(ba)

(II) 由(I)的结论可知至少存在一点

[2,3]
，使

3
2

(x)dx

(

)(32 )

(

)

又由

(2)
3
2

x(d)x

(
，知
)

2

3

对

(x)
在
[1,2][2,

]
上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到

(1)

(2)
，

(

)

(2)
得


(

1
)
< br>(2)

(1)
21
0

1

1
2



(

)

(2)
2
)

(


2
0

2

1


3

在
[

1
,

2
]
上对导函数


(x)
应用拉格朗日中值定理，有


(

)


(

2
)


(
1
)

0


(

1
,

2
)(1,3)

2


1
本题的难度值为0.719.
(21)【详解】
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方法一：作拉格朗日函数
F(x,y,z,

,
)x
2
y
2
z
2


(x
2
y
2
z)

(xyz4)



F
x

2x2

x

0

F

2y2

y
令

y


0

F
z

2z



0



F


x
2
y
2
z0


F


xyz40
解方程组得
(x
1
,y
1
,z
1
)(1,1,2),(x
2
,y
2
,z
2
)(2,2,8)

故所求的最大值为72，最小值为6.
方法二：问题可转化为求
ux
2
 y
2
x
4
2x
2
y
2
y
4
在
xyx
2
y
2
4
条件下的最值
设
F(x,y,

)ux
4
y4
2x
2
y
2
x
2
y
2


(xyx
2
y
2
4)


F
2
x

4x
3
4xy2x
< br>(12x)
令

0

Fy3
4x
2
y

4y2y

(12y )0



F


xyx
2y
2
40
解得
(x
2
1
,y
1
)(1,1),(x
2
,y
2
)(2,2 )
，代入
zx
2
y
，得
z
1
2,z
2
8

故所求的最大值为72，最小值为6.
本题的难度值为0.486.
(22)【详解】(I)证法一：
2a1
2 a1
a
2
2a1
0
3a
2
1
A
a
2
2a


r
1
2
2
a r
1
a
2
2a




1

a
2
2a

1
a
2
2a
2a1
0
3a
2
1
r
n1
0< br>4a
3

3a4a(n
n
n
ar
n12a

2

3


1)a
n
(n1)a
n


1
0
(n1)an
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证法二：记
D
n
|A|
，下面用数学归纳 法证明
D
n
(n1)a
n
．
当
n1
时，
D
1
2a
，结论成立．
当
n2
时，
D
2a1
2

a2a
3a
2
2
，结论成立．
假设结论对小于
n
的情况成立．将
D
n
按第1行展开得
a
2
1
02a1

D
a
2
2a1
n
2aD
n1




1
a
2
2a
2aD
2
n1
a
2
D
n2
2ana
n1
a
2
(n1)a< br>n
(n1)a
n

故
|A|(n1)a
n

证法三：记
D
2
n
|A|
，将其按第一列展开得
D
n
2aD
n1
aD
n2
，
所以
D
2
n
aD
n1
aD
n1
aD
n2
a(D
n1
aD
n2
)

a
2
(D
n2
n2
aD
n 3
)a(D
2
aD
1
)a
n

即
D
nn1
n
aaD
n1
 a
n
a(aaD
n2
)2a
n
a
2< br>D
n2

(n2)a
n
a
n2
D
2
(n1)a
n
a
n1
D
1

(n1)a
n
a
n1
2a(n1)a
n
(II)因为方程组有唯一解，所以由
AxB
知
A0
，又
A(n1)a
n
，故
a0
．
由克莱姆法则，将
D
n
的第1列换成
b
，得行列式为
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11
1
2a



a
2
1
2a
nn

a
2
2a
a
2
1
2a
a
2
1
2a

< br>
a
2
1
2a
(n1)(n1)
D
n1
na
n1

02a
所以
x
1

D
n1
n


D
n
(n1)a
(III)方程组有无穷多解，由
A0
，有
a 0
，则方程组为

01


x
1

1



x


01


2


0












 

x
01


n1


0




0



xn


0

此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为
n1
，所以方程组有无穷多解，其通解为
k

1000
< br>

0100

,k
为任意常数．
本题的难度值为0.270.
(23)【详解】(I)
证法一：假设

1
,

2
,

3
线性相关．因为

1
,

2
分别属于不同特征值的特征向量，故

1
,

2
线性无关，则

3
可由

1
,

2
线性表出，不妨设

3
l
1

1
l
2

2
，其中
l
1,l
2
不全为零(若
l
1
,l
2
同时为0，则

3
为0，
由
A

3


2


3
可知

2
0
，而特征向量都 是非0向量，矛盾)
TT

A

1


1
,A

2


2


A
3


2


3

2
l
1

1
l
2

2
， 又
A

3
A(l
1

1
l
2

2
)l
1

1
l
2
< br>2


l
1

1
l
2

2


2
l
1

1
l2

2
，整理得：
2l
1

1

2
0

则

1
,

2
线性相关，矛盾. 所以，

1
,

2
,

3
线性无关.
证法二：设存在数
k
1
,k
2
,k
3
，使得
k
1

1
k
2

2
k
3< br>
3
0
(1)
用
A
左乘(1)的两边并由
A

1


1
,A

2


2
得
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k
1

1
(k
2
k
3
)

2
k
3

3
0
(2)
(1)—(2)得
2k
1

1
k
3

2
0
(3)
因为

1
,

2
是
A
的 属于不同特征值的特征向量，所以

1
,

2
线性无关，从 而
k
1
k
3
0
，代入(1)
得
k2

2
0
，又由于

2
0
，所以
k
2
0
，故

1
,

2
,

3
线性无关.
(II) 记
P(

1< br>,

2
,

3
)
，则
P
可 逆，
APA(

1
,

2
,

3
)(A

1
,A

2
,A

3
)(

1
,

2
,

2


3
)


100

1
(


P

00


01 1

1
,
2
,

3
)

011






001




001



10
所以 < br>P
1
AP

0


011
< br>
001

.


本题的难度值为0.272.

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