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文硕考研教育

2006年数学（二）考研真题及解答

一、填空题
（1）曲线
y
x4sinx
的水平渐近线方程为 .
5x2cosx

1

（2）设函数
f(x)
x
3


（3）广义积分

x
0< br>sint
2
dt,x0,
x0
在
x0
处连续， 则
a
.
a,


0
xdx

. < br>(1x
2
)
2
（4）微分方程
y

y(1x)
的通解是 .
x
y
（5）设函数
yy(x)
由方程
y1xe
确定，则
（6）设矩阵
A
.

二、选择题
dy
dx
A0
= .

21


，
E
为2阶单位矩阵，矩阵
B
满足
BAB 2E
，则
B
=

12

（7）设函数
yf(x)
具有二阶导数，且
f

(x)0,f

( x)0
，
x
为自变量
x
在
x
0
处的增 量，
y
与
dy
分别为
f(x)
在点
x
0
处对应的增量与微分，若
x0
，则


（A）
0dyy.

（C）
ydy0.







（B）
0ydy.

（D）
dyy0.
【 】
（8）设
f(x)
是奇函数，除
x0
外处处连续，
x0
是其第一类间断点，则
（A）连续的奇函数.
（C）在
x0
间断的奇函数
（9）设函数
g(x)
可微，
h(x)e


（A）
ln31
.
（C）
ln21.





1g(x)

x
0
f(t)dt
是


（B）连续的偶函数
（D）在
x0
间断的偶函数. 【 】
,h

(1)1,g

(1)2
，则
g( 1)
等于


（B）
ln31.

（D）
ln21.
【 】


x2xx
（10）函数
yC
1
eC
2exe
满足一个微分方程是


（A）
y

y

2y3xe.

x
（C）
y

y

2y3xe.

x




（B）
y

y

2y3e.

x
（D）
y

y

2y3e.

x

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
（11）设
f(x, y)
为连续函数，则

4
0
d


f(r cos

,rsin

)rdr
等于
0
1
（A）


2
2
0
dx< br>
dy

1x
2
x
f(x,y)dy.
（B）


2
2
0
dx

dy

1x
2
0
f(x,y)dy.

（C）
22
0
1y
2
y
f(x,y)dx.
（D）2
2
0
1y
2
0
f(x,y)dx.
【 】
（12）设
f(x,y)
与

(x,y)
均 为可微函数，且

1
y
(x,y)0
. 已知
(x
0
,y
0
)
是
f(x,y)
在约束条件

(x,y)0
下的一个极值点，下列选项正确的是
（A）若
f
x

(x
0
,y
0
)0
，则
f
y

(x
0
,y
0
)0
.
（B）若
f
x

(x
0
,y
0
)0
，则
f
y

(x
0
,y
0
)0
.
（ C）若
f
x

(x
0
,y
0
)0
，则
f
y

(x
0
,y
0
)0
.
（D）若
f
x

(x
0
,y
0)0
，则
f
y

(x
0
,y
0)0
. 【 】
（13）设
a
1
,a
2
,L,a,
均为
n
维列向量，
A
是
m n
矩阵，下列选项正确的是



（A）若
a
1
,a
2
,L,a,
线性相关，则
Aa
1
,Aa2
,L,Aa,
线性相关.
（B）若
a
1
,a
2
,L,a,
线性相关，则
Aa
1
,Aa
2
,L ,Aa,
线性无关.
（C）若
a
1
,a
2
,L, a,
线性无关，则
Aa
1
,Aa
2
,L,Aa,
线 性相关.
（D）若
a
1
,a
2
,L,a,
线性无 关，则
Aa
1
,Aa
2
,L,Aa,
线性无关. 【 】
（14）设
A
为3阶矩阵，将
A
的第2行加到第1行 得
B
，再将
B
的第1列的-1倍加到第2列得
C
，记

110


P

010

，则

001


（A）
CPAP.

（C）
CPAP.

T
1








（B）
CPAP.

（D）
CPAP.

T
1
三 解答题 15．试确定A，B，C的常数值，使得
e(1BxCx)1Axo(x)
，其 中
o(x)
是当
x233
x0时比x
3
的高阶无穷小
。

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arcsine
x
dx
16．
求

x
e
17．
设区域D

( x,y)x
2
y
2
1,x0


1xy< br>计算二重积分I

dxdy
22
1xy
D
1 8．
设数列

x
n

满足0x
1
< br>
,x
n1
sinx
n
(n0,1,2,L)
证明: (1) limx
n1
存在,并求极限
x

x
2
(2)计算lim(
n1
)
x
n
x
x< br>n
19．
1
证明: 当0
时
bsin b2cosb

basinaacosa

a

20 设函数
f

u

在

0,
内具有二阶导数,且
zf

xy
22


2
z
2
z
满足等式
2

2
 0

xy
(Ⅰ)验证
f


u
< br>
f


u

0
.
u
(Ⅱ)若
f

1

0,f


1

1,求函数f

u

的表达式
.

xl
2
1,
21 已知曲线
L
的方程为< br>
2
y4lt

（Ⅰ）讨论
L
的凹凸性；
(t0),

（Ⅱ）过点（-1，0）引
L
的切线，求切点
(x
0
,y
0
)
，并写出切线的方程；
（Ⅲ）求此切线 与
L
（对应于
xx
0
的部分）及
x
轴所围成的平 面图形的面积。


22 已知非齐次线性方程组

x
1
x
2
x
3
x
4
1


4x
1
3x
2
5x
3
x
4
1有3个线性无关的解


axx3xbx1
34

12
Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩
r

A

2< br>
Ⅱ求
a,b
的值及方程组的通解