点缀造句-教师演讲稿

全国硕士研究生入学考试数学（四） 答案
解析与点评
1． 06 年考题仍然以基本的概念，理论和技巧为主, 注意考察基础知识的理解与简单综合运
用。除概率统计比 05 年考题难度略有增加以外，试卷难度普遍降低，估计平均难度系
数为 55-62%，平均分数为 80-83 分；而前几年为 38-45%，平均分数只有 60-63 分。
2． 各套试题共用 题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别是
数三数四连续几年并无任何经 济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，
确切说是理工类数学的能力。这是对 07 年考生的重要参考。
3． 06 年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性， 教学内容的准
确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与训练，使更大面积的考生最大限度受益。
就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在 06 年的考试
中得到完 美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量
题目仅仅有文字和符号的差别 ，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是
水木艾迪考研数学三十六计为广大学员提供了全盛 的锐利武器。
在面向 07 年考研的水木艾迪考研辅导教学中，水木艾迪的全体清华大学教师将进< br>一步总结经验，不辜负广大考生的支持和赞誉，以独树一帜的杰出教学质量回报考生
朋友，为打造 他们人生的 U-形转弯倾心工作，送他们顺利走上成功之路。

一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
n  1
n

)
的形式，考点为初等函数性质与极限运算。
【解析与点评】 应注意：本题并非
lim(
n

n
n  1
( 1)
n
n  1
( 1)
n

（1）．
lim( )  1
n
n


令
u
n
 ( )
n
, n  1,2,3,…,
2k
1
2k  1
 1
1
 1
1
n 1
，
则当
n  2k  1
时，
u
n
 ( ) 
2k
2k  12k
2k `
1

1
1
 1  1 
，
则当
n  2k
时，
u
n
 ( )
2k n
2k
n
n  1
( 1)

故
lim( )

1。
n
n

可参见水木艾迪 2006 考研数学基础班讲义例 1.17，例 1.32，强化班例 18 等题目。
(2) 设函数
f (x)
在
x  2
的某邻域内可导,且
f

(x)  e

f ( x)
,
f (2)  1
则
f

(2)  2e.
3
【解析与点评】由题设
f (x)
在
x  2
的某邻域内可导以及
f

(x)  e

f ( x)
，可知
f

(x)
也在
x  2
的同一邻域内可导，于是在该邻域内函数
f (x)
二阶可导，且

f

(x)  [e
f ( x)
]


f

(x)e
f ( x)
 e
2 f ( x)
。

利用上式可知
f

(x)
也在
x  2
的同一邻域内可导，于是在该邻域内函数
f (x)
三阶可
导，且
f

(x)  [e
2 f ( x)
]

 2 f

(x)e
2 f ( x)
 2e
3 f ( x)
。
3
将
f (2)  1
代入即得
f

(2)  2e.
参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 4-6，4-7。百分训练营模拟试题数二第 3 题，
(3) 设函数
f (u)
可微, 且

1
f

(0) 
, 则
z 
f (4x
2
 y
2
)
在点
(1,2)
处的全微分
2
dz
(1,2)
 4dx  2dy
。

【解析与点评】 该题为多元函数微分学基本题。利用一阶全微分形式不变性直接计算可得
dz f

(u)du f

(4x
2
 y
2
)  d (4x
2
 y
2
)

 f

(4x
2
 y
2
)  (8xdx  2 ydy)

 2 f

(4x
2
 y
2
)  (4xdx  ydy)

于是
dz
(1,2)
 2 f

(0)(4dx  2dy)  4dx  2dy
.
可参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计
例 15-5 等题
（4）已知
a
1
, a
2
为 2 维列向量，矩阵
A  (2a
1
 a
2
, a
1
 a
2
)
，
B  (a
1
, a
2
)
．若行列式

| A | 6
，则
| B |
=

． 答案
B  2
。
【解析与点评】本题主要考查矩阵的行列式计算.

2 1
 
2 1

【解】
A 

2

1



2
，

1



2




1
,


2



1 


 B
 
，
1


1 1




2
1
 3 B
，
A  B
1 1

所以，
B
 2
．


2

1


，
E
为 2 阶单位矩阵，矩阵
B
满足
BA  B  2E
，则
B
=
（5）设矩阵
A 




1

2




【解析与点评】本题主 要考查矩阵运算，阶矩阵方程，求逆矩阵等.
【解】 由
BA  B  2E
，得
B( A  E)  2E
，于是

．
B  2

A  E


1

1

1

1 1


1 1

1
1


A  E

 
，
A  E  

，




，答案
B  

．
2

1 1



1 1



1 1


（ 6 ）设随机变量
X
与
Y
相互独立，且均服从区间
[1, 3]
上的均匀分布，由

P(max{X ,Y}  1) 
【答案】
1
9
1 1 1
【解析与点评】
P(max{X ,Y}  1)  P( X  1, Y  1)  P( X  1)P(Y  1)   
3 3 9
考研大纲明确提出均匀分布是要求熟练掌 握的重要分布之一，而最（大、小）值函数
是要求熟练掌握的随机向量的函数分布。本题是这两个重要基 本知识和基本技能的结合，
是我们水木艾迪历次辅导班讲课的重点。例如 36 计（冲刺班）的、强化班的、基础班的

二、选择题（每小题 4 分，共 32 分）
（7）设函数
y 
f (x)
具有二阶导数，且
f

(x)  0,
f

(x)  0,
x
为自变量
x
在
x
0
处的

增量，
y
与
dy
分别为
f (x)
在点
x
0
处对应的增量与微分，若
x  0
，则【 A 】

（A）
0  dy  y

（B）
0  y  dy
（D）
dy  y  0
（C）
y  dy  0

【解析与点评】 因为
f

(x)  0, 则f (x)
严格单调增加

f

(x)  0, 则f (x)
是凹的，又
x  0
，故
0  dy  y
。

f (h
2
)
(8) 设函数
f (x)
在
x  0
处连续,且
lim
 1
,则
h0
h
2
【 C 】

(A)
f (0)  0
且
f


(0)
存在。 (B)
f (0)  1
且
f


(0)
存在。

(C)
f (0)  0
且
f


(0)
存在。(D)
f (0)  1
且
f


(0)
存在

【解析与点评】令
x  h
，可得

2

f (h
2
) f (x)
lim
2
 lim
 1
。
h0
h
x0
x
f (x)
 x  1 0  0 
f (0)
于是
lim
f (x)  lim
x0x0
x

f (x)  f (0) 
f

(0)  1
。
进一步有
lim
f (x)


 lim
x0

x0

x

x  0





应选 C。
出自水木艾迪 2006 考研数学冲刺班 36 计例 4-8，例 4-9，基础班例 3.4, 强化班第 2 讲例
14。还可参见清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程 微积分上》（刘坤林、谭
泽光编写）第 5 章综例 5.3.2，例 5.3.3。

（9）．设函数
f (x)
与
g(x)
在
[0,1]
上连续，且
f (x)  g(x)
，且对任何
c  (0,1)
【 C 】

（A）
1
f (t)dt 
1
g(t)dt
2
1
2
1


c

c
（B）
1
f (t)dt 
1
g(t)dt
2
1
2
1

c

c
（C）
f (t)dt  g(t)dt
c c


（D）
f (t)dt  g(t)dt
c c

由
f (x)
与
g(x)
在
[0,1]
上连续，且
f (x)  g(x)
，所以
c  (0,1)
时
g(x)  f (x)  0
。

则对任何
c  (0,1)
，有
(g(t)  f (t))dt  0
，即
c

1

1
c
f (t)dt 

c
g(t)dt
。故选 D。
1
【解析与点评】 本题属于积分的保序性与比较性质的简单应用，是水木艾迪 2006 考研数
学 36 计中特别强调的考点与题型。参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计中例 7-6，基础班例
6.1,强化班第 4 讲例 27 等例题。

(10)设非齐次线性微分方程
y

 P

x

y  Q

x

有两个的解
y
1

x

, y
2

x

, C
为任意常数,则该
方程
通解是 【 B 】

(A)
C x

 y
2

x



。

y
1

(C)
C x

 y
2

x



。

y
1

(B)
y
1

x

 C x

 y
2

x



。


y
1

(D)
y
1

x

 C x

 y
2

x



。


y
1

【解析与点评】 该题为考查线性微分方程解的结构知识的基本题。由线性微分方程解的性
质可知
y
1
(x)  y
2
(x)
是齐次线性微分方程
y

 P(x) y  0
的一个非零解，C 是一个任意常
数，
y
1
(x)
是非齐次线性微分方程一个特解，从而由线性方程通解的结构可知

y
1
(x)  C[ y
1
(x)  y
2
(x)]
是方程
y

 P(x) y  Q(x)
的通解。故选 B。可参见水木艾迪 2006
考研数学 36 计
例 111-7 等题
(11)
设
f (x, y)
与

(x, y)
均为可微函数，且



(x, y)  0
. 已知
(x
0
, y
0
)
是
f (x, y)
在约束条件


(x, y)  0
下的一个极值点，下列选项正确的是
 
（A）若
f
x
(x
0
, y
0
)  0, 则f
y
(x
0
, y
0
)  0
 
（B）若
f
x
(x
0
, y
0
)  0, 则f
y
(x
0
, y
0
)  0
.
 
（C）若
f
x
(x
0
, y
0
)  0, 则f
y
(x
0
, y
0
)  0
 
（D）若
f
x
(x
0
, y
0
)  0, 则f
y
(x
0
, y
0
)  0
.

【 D 】
【解析与点评】【解法 1】构造格朗日函数
F  f (x, y) 

(x, y)





f (x, y) 

(x, y)  0
(1)
F
x


x


x


F


 f
(x, y) 

(x, y)  0
(2)

y
y
y


F



(x, y)  0



f

( x , y )
f

( x , y )
0 0


x
对（2）由于


( x , y )  0
，得到




y

0 0
，




( x , y )


( x , y )
y
0 0
x 0 0 y 0 0



从而有
f
x

( x
0
, y
0
) 


y

( x
0
, y
0
) f
y

( x
0
, y
0
) 

x

( x
0
, y
0
)

0
y 0 0 x 0 0
当
f ( x , y ） 0
时，可推出
f ( x , y ) 


( x , y )  0
， 而由此推不出：
x 0

f
y

( x
0
, y
0
)  0,或 f
y

( x
0
, y
0
)  0
， 因而否定 （A）,（B）。


当
f (x , y ） 0
时，加上


( x , y )  0
,可推出
f ( x , y ) 


( x , y )  0
，由此可推
x 0 0

y

0 0
y 0 0 x 0 0
出:
f
y
(x
0
, y
0
)  0
。
【解法 2】由极值点必要条件得到

 f (x , y )  f
(x , y
)

x 0 0
 0

x 0 0
y 0 0 x 0 0 y 0 0
x  x
0


, y)


x
0

0
y
(x
0

当
f ( x , y ） 0
, 及


( x , y )  0
时，可推出
f ( x , y ) 


( x , y )  0
， 而由此推不
x 0 0 y 0 0 x 0 0
y
0 0

出：
f
y
( x
0
, y
0
)  0,或 f
y
( x
0
, y
0
)  0
， 因而否定 （A）,（B）。
当
f (x , y ） 0
时，加上


( x , y )  0
,可推出
x 0 0
dz
dx
 f (x , y )  f (x , y ) y





(x , y )



y
0 0
f
x

( x
0
, y
0
) 


y

( x
0
, y
0
)  f
y

( x
0
, y
0
) 

x

( x
0
, y
0
)  0
，



由此可推出:
f
y
(x
0
, y
0
)  0
。因而选 （D）.
【解法 3 】由多元函数条件极值点必要条件的几何意义可直接由


( x
0
, y
0
)  0
和

y

(x
, y）

(x
 0
, 直接得到得到
f
f
0
y 0
, y
0

)  0
.
x 0

该题考查条件极值必要条件的一些代数性质，从代数解， 除拉格伦日条件外，其它运
用的都是中学代数知识. 若从多元函数条件极值点必要条件的几何意义来考查，做法就很筒
单，有关用这方面内容来设计的题目, 可参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计
例 16-1.
（12）设
A
为 3 阶矩阵，将
A
的第 2 行加到第 1 行得
B
，再将
B
的第 1 列的
 1
倍加到第 2


1 1 0


 
列得
C
，记
P  0 1 0
，则
 


0 0 1


 
（A）
C  PAP.

1


（B）
C  PAP.
1
T
（C）
C  PAP.

T
（D）
C  PAP.
【 B 】
【解析与点评】本题主要考查矩阵的初等变换，初等矩阵，以及初等变换和初等矩阵的联系. 水
木艾迪辅导班春季班强化班都有专题进行辅导。只要掌握我们的例题的分析方法，这类题就能迎刃而解。

1  1 0


1 1 0

  
解：依题意，
B

0 1 0

 C
，

0 1 0

A  B
，
   

0 0 1 0 0 1
   


1 1

0





1  1 0




1

又

0 1 0

 P
，
AP

0 1 0

 P
，于是
C  P
  

0 0 1
  
0 0 1

1
．选(B)．

（13）
A, B
为两个随机事件，且
P(B)  0
，
P( A | B)  1
则有

【 C 】
（A）
P( A  B)  P( A)

（B）
P( A  B)  P(B)
（C）
P( A  B)  P(B)
（C）
P( A  B)  P( A)
【解析与点评】
1  P( A | B)  P( AB) P(B)  P( AB)  P(B)
P( A  B)  P( A)  P(B)  P( AB)  P( A)
本题考条件概率的概念和概率的一般加法公式。它们同样是我们历次辅导班讲课的重
点。例如 36 计（冲刺班）中第一计“基本概念与基本概率公式的考查要点”的最活跃的概
率公式、应用特点和 作用，及例 1.1.1 对
P( A | B)
与 P(A)的讨论；强化班对应为§2.1.2 和§1.1.2
及例 2.2.3。
(14) 设随机变量 X 服从正态分布
N



,



,随机变量 Y 服从正态分布
N



,



,且
1
2
1 2
2
2
P

X 

1

 1

 P

Y 

2

 1

, 则必有

【 A 】
(A)


1



2
。

1


2

。
(B)
(D)

1



2
。

1


2

(C)

【解析与点评】
P(| X 

1
| 1)  P(| X 

1
|


1
 1


1
)  P(| X
*
| 1


1
)
，
X
*

是
X
的标准化，

X
*
~ N (0, 1)
，类似有
P(| Y 


2
| 1)  P(| Y
*
| 1


2
)
，
Y
*
~ N (0, 1)

由标准正态分布性质及题设
P{| X 

1
| 1}  P{| Y 

2
| 1},
知选 A。

本题考点：正态分布的基本性 质和正态分布的标准化技巧。我们历次辅导班都讲“正态
分布是天下最重要的分布”，而“标准化是正态 分布的行之有效的重要技巧”。课的重点。例如
36 计（冲刺班）中第一计“”、强化班的、基础班的
三、解答题（共 94 分）



(15) （7 分）设
f (x, y) 

y
y
,
x  0, y  0
，求

1  xy
arctan x
(Ⅱ)
lim g(x)
。
x0



x

1  y sin

(Ⅰ)
g(x) 
lim
f (x, y)
y





x
y sin 

x
y 1
(x  0)
，且
lim
【解析与点评】 (Ⅰ) 将
x
视为参数，
lim

y
1
y
 xy x y


(x  0)
，


于是
g(x) 
lim
f (x, y) 
lim
y









y

lim (1  y sin

x
)
y
y
1

 xyarctan x y
1

1 1
(1 

x)
 
x arctan x
1 1 

x
(Ⅱ)
lim g(x)  lim[  ]
x0
x0
x
arctan x
上式极限是
  
型未定式，首要和重要手段是通分。根据水木艾迪 2006 考研数学 36
计之一，对
  
分式极限采用程序化分析法 摸着石头过河：判断一步状态，确定一个方



法，作出一步分析与计算。
对本题而言，通分后，考虑无穷小量的比较与替换，在可能的情况下运用罗必达法则，
但之前应先做予处理。

22
lim g(x)  lim
arctan x  x 


x

 lim
arctan x  1 


x

x0x0
arctan x
x0
x
2

x

1
 2

x



 lim
1  x
x0
2x

2

1  2

x(1  x
2
)
 lim
 0 




2
x0
2x(1  x )


参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计之一，例 1-4，基础班例 4.36,4.37,4.39 等例题，以及
百分训练营模拟试题数一地 4 题。
(16) （7 分）计算二重积分


D
y
2
 xydxdy
,其中 D 是由直线
y  x
,
y  1
，
x  0
所
围成的平面区域.
【解析与点评】积分区域是直角三角形，D 的不等式表示是
D 

(x, y) 0  y  1,0  x  y

，

故

D
y
2
 xydxdy 

dy


1
0
y
0
y
2
 xydx 


1
0
ydy


y  xdx
y
0


1

2
y




2


y  x 
x y
dy
=


ydy 
1

3
0

3





x0
3

0
2
2

9
这是很典型的二重积分计算题，几乎所有微积分参考书中都有。也可参见水木艾迪 2006
考研数学强化班讲义第十一讲
例 17
【解析与点评】此题属于水木艾迪 2006 考研数学冲刺班 36 计之五的典型例题，即移项做
辅助函数，再利用值加增减性分析法是 证明等式与不等式的重要手段和技巧。
做辅助函数：
f (x)  x sin x  2 cos x 

x

1
(17) （10 分） 证明：当
0  a  b 


时，
b sin b  2 cos b 

b  a sin a  2 cos a 

a
只需证明
0  a  x 


时
f (x)
严格单调增加。

f

(x)  sin x  x cos x  2 sin x 

 x cos x  sin
x 

f

(x)  cos x  x sin x  cos x  sin x  0

于是
f

(x)
严格单调减少，且
f

(


) 


cos





 0
（终值）

因此
0  a  x 


时

f

(x) 
f

(


)  0
，即
f (x)
严格单调增加。
令
x  b
，得到
f (b) 
f (a)
。

参见水木艾迪 2006 考研数学冲刺班 36 计之五详细阐述的方法与例题，例 5-6，例 5-7，
例 5-8，强化班第 2 讲例 31、34、38 等题。
(18) （8 分）在 XOY 坐标平面上,连续曲线 L 过点
M (0,1)
其上任意点
P(x, y)(x  0)
处的
切线低斜率与直线 OP 的斜率之差等于
ax
（常数
a  0
）
(Ⅰ) 求 L 的方程:
(Ⅱ) 当 L 与直线
y  ax
所围成平面图形的面积为

时,确定
a
的值.
8
3
【解析与点评】(Ⅰ)设 L 的方程为
y  y(x)
。于是
y(1)  0
。记 L 在点
P(x, y)
处切线斜率

为
k  y

(x)
，直线 OP 的斜率
k
1

y
y
。由题设知
k  k
1

 axx
。因此
y

  a
x
x
这表明
y  y(x)
是下列一阶线性微分方程初值问题的特解：




y
y  ax,


x


y(1)  0




方程的通解为
y  e
dx
dx
[C  axe 



x
 
x
dx

 x[C  a

dx]  Cx  ax
2

令
x  1
得
C  a  0
，
C  a
。故曲线 L 的方程为二次抛物线
y  ax(x 1)
。
(Ⅱ) 曲线 L 与直线
y  ax
的交点满足


y  ax(x  1)

，
ax  ax(x  2)  0
，解出两个交点
(0,0)
与
(2,2a)
。

x

y  a
曲线 L 与直线
y  ax
所围成的平面图形面积为
S (a) 

[ax  ax(x  1)]dx  a

(2x  x
2
)dx
0

2 2
3
84
2
x
 a(x  )
 a(4 
)  a
。
3
0
3 3
2

0

令
S (a)  a 
4
8
得到常数
a  2
。
3 3
本题为导数应用与定积分应用的简单综合题目，其题型可参见水木艾迪 2006 考研数学强
化班第 5 讲例 10、16、17，冲刺班 36 计之 8 例 8-2，基础班讲义例 75,例 7.9 等典型例题。
（19）（10 分）试确定 A，B，C 的常数值，使
e (1  Bx  Cx )  1  Ax 


(x)
其中


(x)

x 2 3 3
是当
x  0时比x的高阶无穷小。
.


x
2
3
【解析与点评】 将
e
 1  x 
x
3



(x

)
代入已知等式得
2

6
x

3

x
2
[1  x 
x
3



(x
3

)][1  Bx  Cx
2

]  1  Ax 


(x
3
)
2

6
整理并比较两边同次幂函数得


1 1
 
B
1  (B  1)x  (C  B  )x
2
  C  


(x
3
)  1  Ax 


(x
3
)
2


2

6



B  1  A
①
1
C  B   0
②
2
B 1
 C   0
③
2 6
21 1
B  
，
，
C 
。
②-③得
B

1
 0
，
A 
2 3 3 3 6
参见清华大学出版社《考研通用教材》（考研数学应试导引与进阶）微积分（上）例 6.48,
水木艾迪 2006 考研数学强化班第 1 讲例 40 等题。
(20) （13 分）设 4 维向量组

1


1  a, 1, 1, 1

，


2


2, 2  a, 2, 2

，
T T

T T


3


3, 3, 3  a, 3

，




4, 4, 4, 4  a

，问
a
为何值时


1
,


,


,
3


线性相关？当
4 2 4

1
,


2
,


3
,


4
线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组
线性表出．
【解析与点评】本题是求向量组的极大线性无关组及向量的线性表示，给出的向量有一个参
数 ，涉及参数的讨论。这里用到的分析方法和解题方法在我们的辅导班上都有重点辅导。只要
将相关例题掌 握了，这题就不难了。
【解】

1
,


2
,


3
,


4
线性相关

行列式

1
,


2
,


3
,


4



 0
，


1  a 2 3 4
1
2  a
3 4
 a
3
(a  10)
,
1 2
3  a
4
1 2 3
4  a
于是当
a  0
或
a  10
时，

1
,


2
,


3
,


4
线性相关.
当
a  0
时,

1
是

1
,


2
,


3
,


4
的一个极大线性无关组, 此时，


2
 2

1
，

3
 3

1
，


4
 4

1
．当
a  10
时,



 9



2
1
 8




1 2



1 2

1




0


0


0


1

2 4








3
 6


4 


0

 10



0 10

 
4 0 0
 10
10 



 50
3
 6



0

20 30

2 3  6


1 0

0  1


1 0
 1
 
0 1 0
 1


．
0 1  1



0 0 1  1


 

0
0 0 0

0 0 0 
 
3
3
 7
于是，

1
,


2
,


3
是

1
,


2
,


3
,


4
的一个极大线性无关组，


4
 

1



2



3
.
（21）（13 分）设 3 阶实对称矩阵
A
的各行元素之和均为 3,向量

1



1, 2,  1

，
T


2


0,  1, 1
T

是线性方程组
Ax  0
的两个解,
（Ⅰ）求
A
的特征值与特征向量；
（Ⅱ）求正交矩阵
Q
和对角矩阵

,使得
QAQ  
．

T

3


（Ⅲ）求
A
及

A  E


，其中
E
为 3 阶单位矩阵．

2

6


【解析与点评】本题考查 实对称矩阵的性质，矩阵的特征值特征向量，施密特正交化，
矩阵的相似对角化，以及矩阵的运算等.这里比数学一的 21 题多了一问，求矩阵
A
。这在
我们辅导班上都讲过相应的例题。所以参加过我们辅导班的同学对这类题都不会陌生的。
[解] （Ⅰ） 由题设
A
的行和均为 3，有

1
 
3
 
1

     
A

1



3

 3

1

，

1
 
3
 
1

     
所以，


3


1, 1, 1

是
A
的属于特征值 3 的特征向量．
T
又

1
,


2
是
Ax  0
的线性无关的两个解，即

1
,


2
是
A
的属于特征值 0 的两个线性无关的
特征向量．由此可知，特征值 0 的代数重数不小于 2．
综合之，
A
的特征值为 0，0，3. 属于０的特征向量为
k
1

1
 k
2


2
，其中
k
1
, k
2
是不全为
零的常数；属于３的特征向量为
k


3
，其中
k
是非零常数．
（Ⅱ）将

1
,


2
正交化，



(


2
,

1
)
令

1


1
，


2



2



1


 1

 

0

 
 3
 

2



)

1


 1



0

，


2





(


,
1

1
6
 1

1


1

  

 

2




单位化


1


1

1






3
1 1 1
T

 1, 2,  1

T
，


2

2


 1, 0 1

T
，


 

1, 1, 1

.
3


2


3

6 2 3
  1  1


6
2
 2
令
Q 

0

6

 1 1

2

6

1 



0

0

3

 
1 

T

，
  0
，则有
Q AQ  0
   
.

3
   

3 3
1    





3

  1  1


6
2
 2
T
（Ⅲ）由（Ⅱ），
A  QQ
，其中
Q 

0



6


1 1


2

6

于是

1 


0

3

 
1 
 

0

，

，
3


3


1



3




  1  1


6 2
 2
A 

0

6
 1 1



2

6
6

1 

3


0


1 



0
3


3
1




3

6

0
0
3
0
 
1 1 1

  
0



1 1 1

．
  
3
 
1 1 1

6



 1 


3



3

 

3
T T
QQE



Q

 1

Q



A E






2

2





2

1







6

6
 1

6


3


729


T

3


 
Q

 1

Q
 
E  E
64

2




2


1




（22）（13 分）设二维随机变量（
X , Y
）的概率分布为：

Y
X
-1
0
1

-1
a
0.1
0
0
0
b
0.1
1
0.2
0.2
c
其中
a, b, c
为常数，且 X 的数学期望
EX  0.2
，
P{Y  0 | X  0}  0.5
，记
Z  X  Y
求： (I)
a, b, c
的值；（II）
Z
的概率分布；（III）
P{X  Z}

【解析与点评】
（Ⅰ）
X
的边缘分布为
X -1 0
b+0.3
1
c+0.1 P a+0.2
EX  (a  0.2)  (c  0.1)  0.2
P{Y  0 | X  0} 
P{X  0,Y  0} a  b  0.1
  0.5
P{X  0} a  b  0.5
a  b  c  0.2  0.2  0.1  0.1  1
所以：
a  0.2, b  0.1, c  0.1

（Ⅱ）
Z
P

-2
0.2
-1
0.1
0
0.3
1
0.3
2
0.1
（Ⅲ）
P{X
 Z}  P{Y  0}  0  0.1  0.1  0.2

本题考点：二维离散型分布的基本概念与基本性质；条件分布（概率）及随机变量和
的分布概念。我们历次辅导班都讲这类典型题的两大主要依据和典型解法。例如 36 计（冲

刺班）中例 1.2.6-1.2.8, 及求离散型 p
ij
分量的函数分布的例 1.5.9，1.5.11 等，强化班例
2.3.2-2.3.7 及例 3.3.9，3.3.10。



1 2,

 1  x  0

2
（23）（13 分）设随机变量
X
的概率密度为
f
X
(x) 

1 4,
0  x  2
，令
Y  X
，
F (x, y)

 0, 其他

为二维随机变量
（X ,Y）
的分布函数。
（I）求
Y
的概率密度
f
Y


y

； (Ⅱ) 求 Cov(X, Y)；(Ⅲ) 求
F (

1
2
,4)

【解析与点评】【解法 1】 （I）
y  x
2

的反函数有两支，水木艾迪冲刺班例 1.5.3 知

f
Y
( y) 


1
2 y
[ f
Y
( y )  f
Y
(
y )]
当
 1  x  2  0  y  4
， 且
0  y  1  0 
y
 1 而
 1  
y
 0
，此时



f ( y) 
1
[
1

1
] 
3
Y
2 y
4 2
8 y
且
1  y  4  1 
y
 2 而
 2  
y
 1
，此时
f
Y
( y) 

1 1 1
[  0] 
。
2 y
4
8 y



综上

3

,
0  y  1

8
1


y
'



,
1  y  4
f
( y)  F ( y) 


Y Y

8 y

0, 其他


(Ⅱ) Cov(X, Y)
 E( XY )  EX EY  EX
3
 EX EX
2



0
1
2
1 1
2

0
2
1

2

2
1 5


x 
4
dx 
6
；
EX 

x  dx 

x  dx 
；
EX 

x

2
dx 

4 4
1
2
0 1 0


0
2
3 3
1
1 7
7 1 5 2
3



EX


x
 dx 

x
 dx 
，所以
Cov( X ,Y )
   
。
4 8
8 4 6 3
2
1
0

（III）
1
1
F ( , 4)
 P( X   , Y  4)
2
2

1 1 1
 P( X   , X
2
 4)  P( X   ,  2  X  2)  P(2  X   )
2 2 2
1 1 1 1 1 1
 P(1  X   )  [L(1,  ) L(1, 0)]   
2 2 2 2 2 4
其中 L(a,b)表示区间(a,b)的长度。
【解法 2】 （I）
F
Y
( y)  P(Y  y)  P( X
2
 y)

0 y1
0
F
Y
( y)  P(
y
 X 

y ) 



0
dx 
y
2
y
1
y

4
dx 
3
0

1
4
y

；

而
F ( y)  P(
y
 X 
y ) 

dx 


dx  
1
y

。
2 4
1
2
0
4

3




,
0  y  1
8


1

y
'

( y)  F ( y)  ,
1  y  4
所 以
f


Y Y

8 y

0, 其他


1
1
（III）
F ( , 4)
 P( X   , Y  4)
2
2
1 1 1
 P( X   , X
2
 4)  P( X   ,  2  X  2)  P(2  X   )
2 2 2
2
1
11

 dx 
。
1 y4
1 1 1

2
1
4
本题考点：随机变量重要函数的分布；均匀分布的基本概念及联合分布函数的基本概

念。它们都是我们辅导班历次讲课重点。例如 36 计（冲刺班）例 1.5.3 求连续型
Y  X
2

一
般密度公式及特别情形的计算，强化班的为例 3.3.4.
解法 2 是从联合分布函数的最基本的概率定义入手，对 y 进行适当的讨论得到。这也
是辅导班上强调的基本题型。