华科自主招生-sdzs

2018年山西省中考数学真题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共3 0分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下面有理数比较大小，正确的是（ ）
A．0＜﹣2 B．﹣5＜3 C．﹣2＜﹣3 D．1＜﹣4
2．（3分）“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作， 它们曾经是隋唐时期国子
监算学科的教科书，这些流传下的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列 四部著作
中，不属于我国古代数学著作的是（ ）
A．
《九章算术》

B．
《几何原本》

C．
《海岛算经》

D．
《周髀算经》

3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a
3
）
2
=﹣a
6

C．2a
2
•a
3
=2a
6



B．2a
2
+3a
2
=6a
2

D．

4．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．
2
﹣2=0 B．
2
+4﹣1=0 C．2
2
﹣4+3=0 D．3
2
=5﹣2
5．（3分）近年快递 业发展迅速，下表是2018年1～3月份我省部分地市邮政快递业务量的
统计结果（单位：万件）：
太原市
3303.78
大同市
332.68
长治市
302.34
晋中市
319.79
运城市
725.86
临汾市
416.01
吕梁市
338.87
1～3月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是（ ）
A．319.79万件 B．332.68万件 C．338.87万件 D．416.01万件
6．（3分）黄河是中华民族 的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千
米处，是黄河上最具气势的自然景观．其 落差约30米，年平均流量1010立方米秒．若以
小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表 示为（ ）

A．6.06×10
4
立方米时
C．3.636×10
6
立方米时
B．3.136×10
6
立方米时
D．36.36×10
5
立方米时
7．（3分）在一个不透明的袋子里装有 两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从
中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后 ，再随机摸出一个球．两次都摸到黄
球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时 针
方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）

A．12 B．6 C． D．
9．（3分）用配方法将二次函数y=
2
﹣8﹣9化为y=a（﹣h）
2
+的形式为（ ）

A．y=（﹣4）
2
+7 B．y=（﹣4）
2
﹣25 C．y=（+4）
2
+7 D．y=（+4）
2
﹣25
10．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O 的半径为2，以点A为圆心，以AC长为
半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图 中阴影部分的面积为（ ）

A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：（3+1）（3﹣1）= ．
12．（3分）图1是我国古代建筑中 的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开
始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美． 图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的
由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．

13．（3分）2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽 ，高三者之
和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高 的比
为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm．

14．（3分 ）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用
尺规按以下步骤作 图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；

②分别以C， D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线
AE交PQ于点F．若AB =2，∠ABP=60°，则线段AF的长为 ．

15．（3分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD
为直径作⊙O，⊙O分别与A C，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，
则FG的长为 ．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算：
（1）（2
（2）
）
2
﹣|﹣4|+31
×6+2
0
．
•﹣．
﹣
17．如图，一次函数y
1
=
1
+b（
1
≠0）的图象分别与轴，y轴相交于点A， B，与反比例函数y
2
=
的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当为何值时，y
1
＞0；
（3）当为何值时，y
1
＜y
2
，请直接写出的取值范围．

1 8．在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟
开展活动项 目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参
加其中一项活动．教务处在 该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进
行统计，绘制了如图所示的条形统计图和 扇形统计图（均不完整）．

请解答下列问题：
（1）请补全条形统计图和扇形统计图；
（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？
（3）若该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？
（4 ）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参
加“器乐”活动项 目的女生的概率是多少？







19．祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线
型斜拉索 ，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量
斜拉索顶端到桥面 的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助
该桥斜拉索完成了实地测量．测 量结果如下表．
项目 内容

课题
测量示意图
测量斜拉索顶端到桥面的距离
说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，
分别与 桥面交于A，B两点，且点A，B，C在

同一竖直平面内．
∠B的度数
28°
…
AB的长度
234米
测量数据 ∠A的度数
38°
…
（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的 距离（参考数据：
sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28 °≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）
（2）该小组要写出一份完整的课题活 动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项
目（写出一个即可）．










20．201 8年1月20日，山西迎了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，
安全性更好 ．已知“太原南﹣北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比
某列“和谐号” 列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的（两列车
中途停留时间均除外）．经 查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄
一站，停留10分钟．求乘坐“复兴 号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．

21．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去．著名美
籍匈牙 利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一
个三角形ABC的AC 和BC两边上分别取一点和Y，使得A=BY=Y．（如图）解决这个问题的
操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作Y'

∥CA，交BD于点'，并在AB上取一点A'，使'A'=Y''．第三步，过点A作A∥A''， 交BD于
点．第四步，过点作Y∥AC，交BC于点Y，再过点Y作Y∥A，交AC于点．
则有A=BY=Y．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵A∥A''，∴∠BA''=∠BA，
又∵∠A'B'=∠AB．∴△BA''～△BA．
∴
同理可得
∵'A'=Y''，∴A=Y．
．
．∴．

任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AY的形状，并加以证明；
（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成A=BY=Y的证明过程；
（3 ）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA''Y'放大得到四边形BAY，从而确
定了点， Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是 ．
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似



22．综合与实践 < br>问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方
作 正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．
探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BE=AB，∴AE=2AB．
∵AD=2AB，∴AD=AE．

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴．（依据1）
．∴EM=DM． ∵BE=AB，∴
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依据2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）创新 小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在
CE的左下方作正方形C EFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；
探索发现：
（3）如图3， 连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B
都在线段AE的垂直平 分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，
你还能发现哪个顶点在哪条边的 垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．


23．综合与探究 < br>如图，抛物线y=﹣4与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
连接AC， BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM
⊥轴，垂足为点M，P M交BC于点Q，过点P作PE∥AC交轴于点E，交BC于点F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角
形是 等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．

【参考答案】
一、选择题（本大题共1 0个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．B
【解析】A，0＞﹣2，故此选项错误；
B，﹣5＜3，正确；
C，﹣2＞﹣3，故此选项错误；
D，1＞﹣4，故此选项错误；
故选：B．
2．B
【解析】A，《九章算术》是中国古代数学专著，作者已不可考，它是经历代各家的增 补修
订，而逐渐成为现今定本的；
B，《几何原本几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作；
C，《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年所撰；
D，《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学著作；
故选：B．
3．D
【解析】A，（﹣a
3
）
2
=a
6
，此选项错误；
B，2a
2
+3a
2
=5a
2
，此选项错误；
C，2a
2
•a
3
=2a
5
，此选项错误；
D，
故选：D．
4．C
【解析】A，△=4﹣4=0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意；
B，△=16+4=20＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
C，△=16﹣4×2×3＜0，没有实数根，故此选项符合题意；
D，△=25﹣4×3×2=25﹣24=1＞0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意；
故选：C．
，此选项正确；

5．C
【解析】首先按从小 到大排列数据：319.79，302.34，332.68，338.87，416.01，725.86，3 303.78
由于这组数据有奇数个，中间的数据是338.87
所以这组数据的中位数是338.87
故选：C．
6．C
【解析】1010×360×24=3.636×10
6
立方米时，
故选：C．
7．A
【解析】画树状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为
故选：A．
8．D
【解析】连接B'B，
，

∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，
∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°，
∴△AA'C是等边三角形，
∴∠AA'C=60°，

∴∠B'A'B=180°﹣60°=60°=60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，
∴∠ACA'=∠BAB'=6 0°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°﹣60°=30°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴∠CB'B=60°，
∵∠CB'A'=30°，
∴∠A'B'B=30°，
∴∠B'BA'=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，
∴AB=12，
∴A'B=AB﹣AA'=AB﹣AC=6，
∴B'B=6
故选：D．
9．B
【解析】y=
2
﹣8﹣9
=
2
﹣8+16﹣25
=（﹣4）
2
﹣25．
故选：B．
10．A
【解析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的 面积﹣△ABD的面积=
﹣×4×2=4π﹣4，
，
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11． 17
【解析】原式=（3
=18﹣1
=17
故答案为：17．
12．360
）
2
﹣1
2

【解析】由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
故答案为：360°．
13．55
【解析】设长为8，高为11，
由题意，得：19+20≤115，
解得：≤5，
故行李箱的高的最大值为：11=55，
答：行李箱的高的最大值为55厘米．
故答案为：55
14．2
【解析】∵MN∥PQ，
∴∠NAB=∠ABP=60°，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠1=∠2=30°，
∵∠ABP=∠1+∠3，
∴∠3=30°，
∴∠1=∠3=30°，
∴AB=BF，AG=GF，
∵AB=2，
∴BG=
∴AG=
AB=1，
，
，
．
∴AF=2AG=2
故答案为：2

15．
【解析】如图，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，
∴点D是AB中点，
∴CD=BD=
连接DF，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴BF=CF=
∴DF=
连接OF，
∵OC=OD，CF=BF，
∴OF∥AB，
∴∠OFC=∠B，
∵FG是⊙O的切线，
∴∠OFG=90°，
∴∠OFC+∠BFG=90°，
∴∠BFG+∠B=90°，
∴FG⊥AB，
∴S
△BDF
=< br>∴FG=
DF×BF=
=
BD×FG，
=，
BC=4，
=3，
AB=5，

故答案为．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解：（1）原式=8﹣4+
=8﹣4+2+1
=7．
（2）原式=
=
=．


×6+1
17．解： （1）∵一次函数y
1
=
1
+b的图象经过点C（﹣4，﹣2），D（2，4 ），
∴，
解得．
∴一次函数的表达式为y
1
=+2．
∵反比例函数
∴
∴
2
=8．
∴反比例函数的表达式为
（2）由y
1
＞0，得+2＞0．
∴＞﹣2．
∴当＞﹣2时，y
1
＞0．
（3）＜﹣4或0＜＜2．
．
．
的图象经过点D（2，4），

18．解：（1）由条形图知，男生共有：10+20+13+9=52人，
∴女生人数为100﹣52=48人，
∴参加武术的女生为48﹣15﹣8﹣15=10人，
∴参加武术的人数为20+10=30人，
∴30÷100=30%，
参加器乐的人数为9+15=24人，
∴24÷100=24%，
补全条形统计图和扇形统计图如图所示：

（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中， 男生所占的百分比是
答：在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比为40%．
（3）500×21%=105（人）．
答：估计其中参加“书法”项目活动的有105人．
（4）．
．
．
答：正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为< br>19．解：（1）过点C作CD⊥AB于点D．
设CD=米，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=38°．
∵，∴．
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠B=28°．
∵，∴
．
．
∵AD+BD=AB=234，∴
解得=72．

答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米．

（2）还需要补充的 项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答
案不唯一）
20． 解：设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要小时，则“和谐号”列车的
行驶时间需 要
根据题意得：
小时，
=+40，
解得：=
经检验，=
∴+=
，
是原分式方程的解，
．
小时． 答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要
21．解：（1）四边形AY是菱形．
证明：∵Y∥AC，Y∥A，
∴四边形AY是平行四边形．
∵A=Y，
∴平行四边形AY是菱形．
（2）证明：∵CD=CB，
∴∠1=∠3．
∵Y∥AC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴YB=Y．
∵四边形AY是菱形，
∴A=Y=Y．
∴A=BY=Y．

（3）通过作平行线把四边形BA''Y'放大得到四边形BAY，从而确定了点，Y的位置，此时四
边形BA''Y'∽四边形BAY，所以该变换形式是位似变换．
故答案是：D（或位似）．

22．解：（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线 分
线段成比例）．
依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（ 或等腰三角形的
“三线合一”）．
②答：点A在线段GF的垂直平分线上．
理由：由问题情景知，AM⊥DE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥FG，
∴点A在线段GF的垂直平分线上．
（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，
∴∠BCE+∠BEC=90°．
∵四边形CEFG为正方形，
∴CG=CE，∠GCE=90°，
∴∠BCE+∠BCG=90°．
∴∠2BEC=∠BCG．
∴△GHC≌△CBE．
∴HC=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC．
∵AD=2AB，BE=AB，
∴BC=2BE=2HC，

∴HC=BH．
∴GH垂直平分BC．
∴点G在BC的垂直平分线上．
（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）．
证法一：过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N．
∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE=∠ABC=90°，
∴四边形BENM为矩形．
∴BM=EN，∠BEN=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∵四边形CEFG为正方形，
∴EF=EC，∠CEF=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠3．
∵∠CBE=∠ENF=90°，
∴△ENF≌△EBC．
∴NE=BE．∴BM=BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC．
∵AD=2AB，AB=BE．
∴BC=2BM．
∴BM=MC．
∴FM垂直平分BC．
∴点F在BC边的垂直平分线上．
23．解：（1）当y=0，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
当=0，y=
∴C（0，﹣4）；
﹣4=﹣4，
﹣4=0，解得
1
=﹣3，
2
=4，

（2）AC==5，
易得直线BC的解析式为y=﹣4，
设Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），
当CQ=CA时，m
2
+（m﹣4+ 4）
2
=5
2
，解得m
1
=
为（，﹣4）； ，m
2
=﹣（舍去），此时Q点坐标
当AQ=AC时，（m+3）
2+（m﹣4）
2
=5
2
，解得m
1
=1，m
2
=﹣0（舍去），此时Q点坐标为（1，
﹣3）；
当QA=QC时，（m+3）2
+（m﹣4）
2
=5
2
，解得m=
综上所述，满足条 件的Q点坐标为（，
（舍去），
﹣4）或（1，﹣3）；
（3）解：过点F作FG⊥PQ于点G，如图，
则FG∥轴．由B（4，0），C（0，﹣4）得△OBC为等腰直角三角形．
∴∠OBC=∠QFG=45°．
∴△FQG为等腰直角三角形，
∴FG=QG=FQ，
∵PE∥AC，PG∥CO，
∴∠FPG=∠ACO，
∵∠FGP=∠AOC=90°，
∴△FGP～△AOC．
∴=，即
FG=•
=，
FQ=
FQ+
FQ，
FQ=FQ，
∴PG=
∴PQ=PG+GQ=
∴FQ=
设P（m，
PQ，
m
2
﹣m﹣4）（0＜m＜4），则Q（m，m﹣4），
m
2﹣
m
2
+
m﹣4）=﹣
m）=﹣
m
2
+m，

∴PQ=m﹣4﹣（
∴FQ=（﹣（m﹣2）
2
+

∵﹣＜0，
∴QF有最大值．
∴当m=2时，QF有最大值．