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2018高考数学模拟试题（2）

数学I
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求
1．本试卷共4页.包含填空题（第1题～第 14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满
分为160分.考试时间为120分钟．考试结束后 .请将答题卡交回．
2．答题前.请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填 写在试卷及答
题卡的规定位置．
3．作答试题.必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡 上指定位置作答.在其它位置作答
一律无效．
4．如需作图.须用2B铅笔绘、写清楚.线条、符号等须加黑、加粗．
参考公式：
球体的体积公式：
V
＝

R
.其中
4
3< br>3
为球体的半径．
一、填空题（本大题共14小题.每小题5分.计70分. 不需写出解答过程.请把答案写在答题
纸的指定位置上）
1．已知集合
M{xx 2x0,xR}
.
N{xx2x0,xR}
.
则
MN
▲ ．
2．已知复数z满足＝i.其中i为虚数单位.则复数z的虚部为 ▲ ．
3＋2i
3．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛.竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．成绩分
组为[50.60).[60.70).….[90.100].则在本次竞赛中.得分不低于80分的人数为
▲ ．
频率

组距
0.030
0.025
0.015
0
50 60 70 80
(第3题)
90
100
22
z




成绩


4．在标号为0.1.2.4的四张卡片中随机抽取两张卡片.则这两张卡片上的标号之和为
奇数的概率是 ▲ ．
. .

5．运行如图所示的流程图.则输出的结果
S
是 ▲ ．








开始
S←2，i←1
i≥2018
N
Y
S1
1

S
输出S
结束
i←i+1
（第5题）

a
7
＝1.则
S
10
的值 为
________
6．已知等差数列{
a
n
}的前
n项和为
S
n
．若
S
15
＝30.▲．
7．已 知
yf(x)
是
R
上的奇函数.且
x0
时.
f (x)1
.则不等式
f(x
2
x)f(0)
的
解集为 ▲ ．
8．在直角坐标系
xOy
中.双曲线
x
－＝1的左准线为
l
.则以
l
为准线的抛物线的标准方程
3
是 ▲ ．
9．四面体
ABCD
中.
AB
平面BCD
.
CD
平面
ABC
.且
ABBCCD1 cm
.则四面体
ABCD
的外接球的表面积为 ▲
cm
2
.
2
y
2
10. 已知
0y xπ
.且
tanxtany2
.
sinxsiny
1
.则
xy
▲ .
3
11．在平面直角坐标系
x Oy
中.若直线
l
：
x2y0
与圆
C
：
(xa)
2
(yb)
2
5
相切.
且圆心
C
在直线
l
的上方.则
ab
的最大值为 ▲ ．
12．正五边形
ABCDE
的边长为
23
.则
ACA E
的值为 ▲ ．
x


aex,x0,
13．设
a0
.
e
是自然对数的底数.函数
f(x)

2
有零点.且所有零点的和


xaxa,x0
不大 于6.则
a
的取值范围为 ▲ ．

π1
22
1 4．若对任意实数
x
和任意
θ
∈[0.
2
].恒有(
x
+2sin
θ
cos
θ
)+(
x
+
a
sin
θ
+
a
cos
θ
)≥
8
.
则实数
a
的取值范围是 ▲ ．
. .

二、解答题（本大题共6小题.计90分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或 演算步骤.
请把答案写在答题卡的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
如图 .在直角坐标系
xOy
中.角

的顶点是原点.始边与
x
轴 正半轴重合.终边交单位圆
于点
A
.且

(


,)
. 将角

的终边按逆时针方向旋转.交单位圆于点
B
.记
623
A
(
x
1
.
y
1
) .
B
(
x
2
.
y
2
).
（1）若
x
1

1
.求
x
2
；
3
（2）分别过
A
.
B
作
x
轴的垂线.垂 足依次为
C
.
D
.
记△
AOC
的面积为
S
1
.△
BOD
的面积为
S
2
.若
S1
2S
2
.
求角

的值.



.


16.（本小题满分14分）
如图.在直三棱 柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中.< br>AC
⊥
BC
.
BC
=
BB
1
.D
为
AB
的中点.
（1）求证：
BC
1
∥平面
A
1
CD
；
（2）求证：
BC
1
⊥平面
AB
1
C
.









. .

17．(本小题满分14分)
某生物探测器在水中 逆流行进时.所消耗的能量为
Ecv
n
T
.其中
v
为探测 器在静水中
行进时的速度.
T
为行进时的时间（单位：小时）.
c
为 常数.
n
为能量次级数．如果水的速
度为4 kmh.该生物探测器在水中逆流行进200 km．
（1）求
T
关于
v
的函数关系式；
（2）(i)当能量次级数为2时.求该探测器消耗的最少能量；
(ii)当能量次级数为3时.试确定
v
的大小.使该探测器消耗的能量最少．





18．(本小题满分16分)
x
2y
2
1
的右焦点为
F
.右准线为
l
.过点
F
且与
x
轴不重合的直线交椭圆于如图.椭圆
C:
43A
.
B
两点.
P
是
AB
的中点.过点
B
作
BM⊥l
于
M
.连
AM
交
x
轴于点
N
.连
PN
.
（1）若
AB
16
.求直线
AB
的倾斜角；
5
（2）当直线
AB
变化时.求
PN
长的最小值.




. .

19．(本小题满分16分)
设函数
f(x)e
x< br>axa(aR)
.其图象与
x
轴交于
A(x
1
，0)
.
B(x
2
，0)
两点.且
x
1
＜
x
2
．
（1）求
a
的取值范围；
（2）证明：
f


；
x
1
x
2
0
（
f

(x)
为函数
f(x)
的导 函数）
x
2
1
t
.
x
1
1
（3）设点
C
在函数
yf(x)
的图象上.且△
A BC
为等腰直角三角形.记
求
(a1)(t1)
的值．





20．(本小题满分16分)
已知数列{
a
n
}满足
a
1
1,|a
n1
a
n
|p,nN.

（1）若{
a
n
}是递增数列.且< br>a
1
,2a
2,
3a
3
成等差数列.求
p< br>的值；
（2）若
p












n*
1
.且{a
2n1
}是递增数列.{
a
2n
}是递减数列.求数列{< br>a
n
}的通项公式．
2
. .

数学Ⅱ（附加题）




考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
注 意 事 项

1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分

钟。考试结束后，请将答题卡交回。

2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写

在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。

3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位

21 ．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题.每小题10分.共20分．请在答题卡
．．．< br>指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
．．．．．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图.圆
O
的直径AB
＝8.
C
为圆周上一点.
BC
＝4.过
C
作圆的切线
l
.过
A
作直线
l
的垂
线
AD
.
D
为垂足.
AD
与圆
O
交于点
E
.求线段
AE
的长．





B．选修4—2：矩阵与变换
(第21题A)
A
O
B
D
E
C
l

1 2

已知矩阵
M
＝

的一个特征值为3.求
M
的另一个特征值及对应的一个特征向量．

2
x







. .

C．选修4—4：坐标系与参数方程

x2cos

已知点
P
是曲线
C
：

（
< br>为参数.



2

）上一点.
O
为原点．若直线

y3sin

OP
的倾斜角为

D．选修4—5：不等式选讲
已知实数
x
.
y
.
z
满足
x
+
y + z
= 2.求
2x3yz
的最小值．

【 必做题】第22题、第23题.每题10分.共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答
．．．．． ．．．
应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某小组共10人.利用暑期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1.2.3的人数分别为
3.3. 4.现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和 为4”为事件
A
.求事件
A
的发生的概率；
（2）设
X< br>为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值.求随机变量
X
的分布列和数学期望．


23．（本小题满分10分）
在集合
A{
1.2. 3.4.….
2n
}
中.任取
m
（
mn
.
m
.
n
N*）元素构成集合
A
m
．若
A
m
的
所有元素之和为偶数.则称
A
m
为
A
的偶子 集.其个数记为
f(m)
；若
A
m
的所有元素之和为奇
数. 则称
A
m
为
A
的奇子集.其个数记为
g(m)
．令
F(m)f(m)g(m)
．
（1）当
n2
时.求
F(1)
.
F(2)
.的值；
（2）求
F(m)
．
222

.求点
P
的直角坐标．
3
2018高考数学模拟试题（2）
数学I答案

一、填空题答案
. .

1. {0} 2. 3 3. 120 4.
2
6. －5 7. （0.1） 8.
y
＝2
x
9.
3π
10.
11
5.
22

3

11.
25

8
解：因为直线
l
：
x2y0
与圆
C
：
(xa)
2
(yb )
2
5
相切. 所以
|a2b|
5

5
又因为圆心
C
在直线
l
的上方.所以
a 2b0
.
所以
a2b5
.
5a2b22ab,

所以
ab
的最大值为
25
．

8
12. 6
2
1
AE
=6．
2
解：利用
AC
在AE
上的投影得.
ACAE
13．

,0



4,6


解：①
a0

0)
单调递减.且
f(0)a0
.所以
f(x)
在
x≤0
时.
f'(x)ae
x
10
.所以
f(x)
在
(,
(,0)
有一个 小于0的零点．
)
单调递增.因为
f(1)1
.所以
f(x )
在
(0,)
有一个小于1的零点．
x0
时.
f(x)
在
(0,
因此满足条件．
②
a0

0

上没有零（1）
0a≤1
时.
f(x)
在
(,0)
单调递减.
f(0)a0
.所以
f(x)
在

,
点．又因为
a
2
4a0
.故
f(x)
在
(0,)
上也没有零点.因 此不满足题意．
1

1

（2）
1a4
时.
f(x)
在

,ln

上单调递减.在

ln,0

上单调递增.
a

a

. .


1

0

上没有零点．又因为
a
2
4a0
.故
f(x)
在
f

ln

1lna0
.所以
f(x)
在

 ,

a

(0,)
上也没有零点.因此不满足题意．

4e
x
x, x≤0
（3）
a4
时.f(x)

2
.
f(x)
在

,

0

上没有零点.零点只有2.满足条件．

x4x4,x 0
0

上没有零点.在
(0,
（4）
a4
时.
f(x)
在

,
)
上有两个不相等的零点.且和为
a
.故满
足题意的范围是
4a≤6
．
综上所述.
a
的取值范围为

,0



4,6

．
7

14.
a
≤6或
a
≥ < br>2
(ab)
2
解：因为
ab
对任意
a
、
b
都成立.
2
22
1
222
所以. (
x
+2sin
θ
cos
θ
)+(
x
+< br>a
sin
θ
+
a
cos
θ
)≥ (2sin
θ
cos
θ
-
a
sin
θ
-
a< br>cos
θ
).
2
1
2
(2sin< br>θ
cos
θ
-
a
sin
θ
-
acos
θ
)≥.
4
1
2
1
2

.
sin

cos

π
即对任意< br>θ
∈[0.].都有
a
2
32sin

cos< br>

sin

cos

32sin
< br>cos


或
a
32sin

cos< br>

因为
1
1
2
sin

cos


5


sin

 cos

2sin

cos

,
π
当
θ
∈[0.]时.
1sin

cos

2
.

2
所以
a

7
同理
a
≤6.
2
.
7

因此.实数
a
的取值范围是
a
≤6或
a
≥．
2
. .

二、解答题答案
15.解：（1）由三角函数定义.
x
1< br>cos

.
x
2
cos(


因为

(

3
)
.

22
1
.
,)
.
cos


.所以
sin

1cos
2


3
62
3

13126
x
2
cos(

)cos

sin


.
3226
（2）依题意.
y
1
sin

.
y
2
sin(



3
111
所以
S
1
x
1
y
1
co s

sin

sin2

.
224
S
2

11

12

x
2
y< br>2
cos(

)sin(

)-sin(2

)

223343
,
)
.
依题意.
sin2

2sin(2


因为
2

)
.化简得
cos2

0
.
3

6




2
.则

3
2



.所以
2

< br>
2
.即




4
.
1 6.证明：（1）在直三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中.
CC
1
⊥平面
A
1
B
1< br>C
1
.
四边形
ACC
1
A
1
为矩形.
设
AC
1
∩
A
1
C
=
G
.则G
为
AC
1
中点.
D
为
AB
中点. 连
DG
.则
DG
∥
BC
1
.
因为
DG

平面
A
1
CD
.
BC
1

平面
A
1
CD
.
所以
BC
1
∥平面
A
1
CD.
（2）由（1）四边形
BCC
1
B
1
为矩形.又
BC
=
BB
1
.
则四边形
BCC
1
B
1< br>为正方形.所以
BC
1
⊥
B
1
C
.
由（1）
CC
1
⊥平面
ABC
.所以
CC
1⊥
AC
.
又
AC
⊥
BC
.则
AC< br>⊥平面
BCC
1
B
1
.
AC
⊥
BC
1
.
因此.
BC
1
⊥平面
AB
1
C
.
17.解：（1）由题意得.该探测器相对于河岸的速度为
200
.
T
又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 kmh.即
v4
.
所以
200

v4
.即
T
200
.
v4
；
v4
T
. .

2
v
E200c
（2）(ⅰ) 当能量次级数为2时.由（1）知.
v4
.
v4

(v4)4


200c
v4
2


200c

(v4)
16
8



v4



≥200c

2(v4)
16
8


v4


=3200c
（当 且仅当
v4
16
即
v8
kmh时.取等号）（9分）
v4
3
v
(ⅱ) 当能量次级数为3时.由（1）知
E200c
.
v4
.
v4
2v
2
(v6)
所以
E

200c0
得
v6
.
(v4)
2
当
v6
时.< br>E

0
；当
v6
时.
E

0
.
所以当
v6
时.
E
min
=21600c
．
答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为
3200c
；
(ⅱ)
v6
kmh时.该探测器消耗的能量最少．
2b
2
16
1
3
.不18. 解（1）显然
a 2,b3,e,F(1,0)
.当
AB
⊥
x
轴时.易得
AB
a5
2
合题意.所以可设
AB
的方程为
yk(x 1)(k
.
0
与椭圆方程联立得
(4k
2
3x)2
k8
2
x
2
4k1
.
2

0

8k
2
xx,


12
4k
2
3
设
A
（
x
1
.
y1
）,
B
（
x
2
.
y
2
）, 则

.
2

xx
4k12
12

4k
23

8k
2
2
4k
2
1212(k
2
1)
2
AB(k1)(x
1
x
2
) (k1)[(
2
)4][]

22
4k34k34k 3
.
2222
12(k
2
1)16

.解得k3
.所以直线AB的倾斜角等于
60
o
或
120
o
. 因此
2
4k35
. .

（2）因为椭圆的右准线的方程为
x4
.由（1）.当
AB
不垂直于
x
轴时.点
M(4,k(x
2
1)),A( x
1
,k(x
1
1))
.所以直线
AM
的方程为
yk(x
1
1)
k(x
1
x
2
)
(xx
1
)
.
x
1
4
令
y< br>=0.得
x
N

5x
1
4x
1
x
2

x
1
x
2
4k
2
12 20k
2
5
5x
1
45x
5x(x
1x
2
)
1
1
22
5
4k34k3
2


. =
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
2
当
AB< br>⊥
x
轴时.易得
x
N

55
.所以无论AB
如何变化.点
N
的坐标均为
(,0)
.
22
因此.当
AB
⊥
x
轴时.
PN
取最小值.< br>PN
min
=
53
1
.

22
19.解（1）
f

(x)e
x
a
．
若a≤0
.则
f

(x)0
.则函数
f(x)
是单调增函数.这与题设矛盾．
所以
a0
.令
f

(x )0
.则
xlna
．
当
xlna
时.
f< br>
(x)0
.
f(x)
是单调减函数；
当
xl na
时.
f

(x)0
.
f(x)
是单调增函数 .
于是当
xlna
时.
f(x)
取得极小值．
因为函数
f(x)e
x
axa(aR)
的图象与
x
轴交于两点
A(x
1
，0)
.
B(x
2
， 0)
(
x
1
＜
x
2
).
所以
f (lna)a(2lna)0
.即
ae
2
．.
此时.存在
1lna，f(1)e0
；
存在
3lnaln a，f(3lna)a
3
3alnaa
a
3
3a
2
a0
.
又由
f(x)
在
(，lna)
及
(lna，)
上的单调性及曲线在R上不间断.可知
ae
2
为所求
取值范围.
x
x
2
x
1


e
1
 ax
1
a0，
（2）因为

x
两式相减得
a
ee
．
2
x
2
x
1


eax
2
a 0，
. .

记
xx
2
x
2
x
1
e
s (s0)
.则
f

1
2
2

x
1
x
2
2


ee

e
2 s(e
s
e
s
)


.
x2
x
1
2s
x
2
x
1
x
1
x
2
2
设
g(s)2s(e
s
e
s
)
.则
g

(s)2(e
s
e
s
)0
.所以
g(s)
是单调减函数.
则有
g(s) g(0)0
.而
e
x
1
x
2
2
2s
0
.所以
f


x
1
x
2< br>0
．
2

又
f

(x)e
x
a
是单调增函数.且
所以
f

x
1
x
2
x
1
x
2

2

x
1
x
2
0
．

（3）依题意有
e
x
i
ax
i
a 0
.则
a(x
i
1)e
x
i
0
< br>x
i
（
．
1i1，2）
于是
e
x1
x
2
2
a(x
1
1)(x
2
1)
.在等腰三角形
ABC
中.显然
C
= 90°.
所以
x
0

x
1
x
2
(x
1
，x
2
)
.即
y
0
f(x
0
) 0
.
2
x
2
x
1
y
0
.
2< br>由直角三角形斜边的中线性质.可知
x
1
x
2
x
2
x
1
xx
0
.即
e
2

a
(x
1
x
2
)a
21
0
. 所以
y
0

22
2
所以
a(x
1
1 )(x
2
1)
a
(x
1
x
2
)a 
2
x
2
x
1
0
.
2
(x
2
1)(x
1
1)
0
．
2
即
a(x
1
1)(x
2
1)
a< br>[(x
1
1)(x
2
1)]
2
x
2
1
1
x
2
1
a
x
2
1x
1
1
因为
x
1
10
.则
a1 0
.
x
1
12x
1
12

又< br>x
2
1
t
.所以
at
a
(1t2
)
1
(t
2
1)0
.
x
1
1
22
即
a1
2
.所以
(a 1)(t1)2.

t1



n
20. 解：（1）因为{
a
n
}是递增数列.所以< br>a
n1
a
n
p
.
2
又
a< br>1
1
.
a
2
p1,a
3
pp1
.
. .