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如何提高学生的数学解题能力

美国著名数学家G.波利亚说过“问题是数学 的心脏”，“掌握数学意
味着什么？那就是善于解题。” 但数学问题千变万化，无穷无尽。“题
海”茫茫，要使学生身临题海而得心应手，身居考室而处之泰然，就
必须提高他们的解题能力。 那么如何提高学生的数学解题能力呢？为了解决这个问题，咱们
得对症下药，咱们必须得先弄清楚学 生的数学解题能力提高不上去的
原因。我认为有以下几个方面：
一． 不理解题意，然后乱解一通。
一般来说，数学语言有三种，即文字语言、符号语言和图形语言。
在解题中，要学会将一种语言“翻译”成为另一种语言，以便深刻理解
命题的涵义，从而找到解决问题 的要害，叩开解题的大门。同时不能
怕苦怕难，还没看完题目就先打退堂鼓，一定要有足够的耐心，认真
的将题目看完，充分理解题意了再下笔。
二．花费时间太多，事倍功半。
为了节省时间，也为了解题的准确性，咱们可以教会学生一些解
题的技巧。
1、配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某
些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学
问题的方法叫配方法。其中，用的 最多的是配成完全平方式。配方法

是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非 常广泛，在因
式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解
析式等方面都 经常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一个多项式化成几个 整式乘积的形式。因式分
解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在
代 数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许
多，除中学课本上介绍的提取公因式法 、公式法、分组分解法、十字
相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等
等。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解 题方法。我
们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的
数学式子中，用 新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，
使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0 ）根的判别，
△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代
数式变 形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中
都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知 一元二次方程的一个根，求
另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求
根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些

有关二次曲线的问题 等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法
在解数学问题时，若先判 断所求的结果具有某种确定的形式，其
中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等
式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，
从而解答数学问题，这种解 题方法称为待定系数法。它是中学数学中
常用的方法之一。
6、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分
析，构造辅助元素，它可以 是一个图形、一个方程(组)、一个等式、
一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁 ，从而
使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造
法解题，可以使代数 、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于
问题的解决。
7、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假
设，然后，从这个假设出发 ，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定
相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为 归谬
反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个 命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)
结论。
反设是反证法 的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互

为否定的表述形式是有必要的，例如： 是不是；存在不存在；平行
于不平行于；垂直于不垂直于；等于不等于；大(小)于不大(小)于；都是不都是；至少有一个一个也没有；至少有n个至多有(n一1)
个；至多有一个至少有两个；唯 一至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须
从 反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条 件矛盾；与已知的公理、定义、
定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
8、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有
关的性质 定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有
时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证 明或计算平面几何题的
方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳 法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积
法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起 来，通过运算达到求
证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之
间的关 系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助
线，也很容易考虑到。
9、几何变换法
在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简
单 性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合
的元素的一个一一映射。中学数学中所 涉及的变换主要是初等变换。

有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换 法，化繁
为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学
中。将图形从相等 静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利
于对图形本质的认识。
几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。 10.客观
性题的解题方法 选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关
系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式 灵活，可
以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容
量和知识覆盖面。
三．不能很好的利用已学的例题，触类旁通。
解题后，可以从解题方法、解题规律、解题 策略等方面进行多角
度、多侧面的总结。这样才能举一反三，触类旁通，提高解题能力。
例5已知a，b，c，d都是正数，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：
ac+bd≤1。
证法一：由已知条件，得a2+b2+ c2+d2=2。
根据算术平均与几何平均不等式，有
2(ac+bd) ≤a2+b2+ c2+d2=2，
∴ac+bd≤1。
这样从已知条件出发，借助基本不等式直接证得结论，显得简捷
明了。
证法二：由已知条件可知≤1，≤1，≤1，≤1。
于是设a=sinα,c=sinβ,则b=cosα,d=cosβ。

∴ac+bd= sinαsinβ+ cosαcosβ=cos(α－β), ∴ac+bd≤1。
这一证法，使用问题转化的策略，将代数问题，转化为三角问题，
使证法显得更为简明。
当然，无论哪种解法，都应将解题方法及时进行归纳总结，以促
进解题能力的提高。