伊顿公学-信阳师范学院华锐学院

浅谈初中数学解题能力的培养


会泽县者海镇二中 郭发富

一、解题能力的重要性
数学是在不断地提出问题、解决问题的过程中发展的。学习 数学，离不开解
题。解数学题不仅是巩固数学知识，加深对所学数学知识的理解的重要保证，更
是提高素质、培养能力、发展思维的灵活性、创造性的必要手段。著名数学教育
家G波利亚在《数学的发 现》一书中指出：“任何一门学问都由知识和技能所组
成，如果你对初等或高等数学的研究工作确有真正 经验的话，那么你对下述这一
点将毫不怀疑：在数学中，技能比仅仅掌握一些知识重要得多。”他又指出 “什
么是数学技能呢？数学技能就是解题能力——不仅能解决一般的问题，而且能解
决需要某种 程度的独立思考、判断力和想象力的问题。所以，中学数学教学的首
要任务在于加强解题能力的训练。”
解题能力的培养，初中阶段是一个重要的黄金时期，因为初中生正处于易塑
的阶段，教师有极大 的机会影响他们。如果我们不加强能力的训练，如果我们不
采取正确的方法去影响他们，那势必妨碍他们 的智力发展，错过了培养他们成才
的机会。但是，如果我们善于以适合他们程度的问题去引导他们的好奇 心，善于
引导他们去分析、观察问题，就会引起学生对独立思考的兴趣，养成善于思维的
习惯。 “生气勃勃的思维活动是造就人才最有效的途径。”教师应当激发学生积极
思维，引导学生善于思维。
二、数学解题的一般步骤
数学教师应当清醒地认识数学解题的过程，一方面可以有目的、有计 划地去
引导或培养学生逐步学会解题，另一方面可以有预见的、有目的地帮助学生逐步
克服解题 过程中所犯的主要错误。
解答一个数学问题一般要经过弄清题意、观察联想、寻求解题方案、正式求< br>解、分析解题等几个步骤。充分注意在各个环节对学生的训练和培养将有利于提
高学生的素质和培 养解题能力。
1.弄清题意是分析问题、解决问题的基础。因此，首先必须仔细研究题意，直至
完全理解，对问题的条件和应当达到的目的没有完全理解以前，千万不要匆匆忙
忙动手解题。
对初中生来说，解题过程中，产生错误的第一个主要原因就是粗心大意，看
错题目，抄错 数据，画错图形等造成的。认真审题可以避免许多不应当出现的错
误。
对初中生在审题上发生 错误的主要原因：一是不重视审题工作，急于求成。
这在考试中更容易出现；二是不会审题，缺乏深刻理 解的经验和办法。
首先必须了解问题的文字叙述，必须了解问题的主要部分，未知数是什么？
已知数据是什么？条件是什么？（已知是什么？求证是什么？）应该仔细地、重
复地从各个方面考虑问题 的主要部分。弄清题意的目的是为了便于我们用数学的
原理和方法去分析问题。因此，进一步的工作应当 是引入适当的记号，对问题“数
学化”。例如在几何证题中，要写出已知、求证，并按题意画出图形。进 一步讲，
弄清题意应当是一个主动积极的思维过程，如果问题的直接表达形式比较别扭，

还应考虑能将问题换成另外的等价形式表达。总之，弄清题意的工作做得越好，
那么问题在我们 面前就越明朗，越准确，越形象，观察分析起来就越有利。这一
点也常常是学生，尤其是那些急于求成的 学生做得不足之处。
2.观察、联想、转化是解题步骤的核心
许多同学在解题中常常盲目地 乱推乱算，看看他们的草稿纸就会发现，“有
效”成分太少，究其原因他们理解的模式是按题型对号入座 ，照陈规死搬硬套，
不仅对新颖的题型束手无策，就是对稍微灵活一点的题目，或者与例题稍微有一点变化的题目也不能够判断应该从哪里入手。这里不是说不要讲题型，而是说不
要过分依赖题型，许 多基本的题型问题化归的归宿，必须让学生掌握，但数学问
题千变万化，不仅很难把每个问题归结为某个 题型，而是依赖于套题型必将限制
生动活泼的思维活动。
数学解题经历是从现象到本质的认识 过程，我们必须通过对题中涉及的数、
式、形的观察，去透过现象寻找各种特征、联系规律，从而制定出 相应的策略，
找出问题解决的方法和途径。要总体的，全面的综合观察，深入、细致的观察，
常 常能产生好念头，激发灵感，找到解决问题的好办法或恰当的起步点，可以帮
助我们判断什么是合理的解 题方向，从而避免或减少盲目行动。观察是为了发现
和理解，发现和理解是为了行动。
观察不 是消极的观看，而应当是一种积极的思维，将观察到的情况与有关的
概念、定理、公式、法则、方法等连 贯起来思索，以促进问题向我们熟悉的方向
转化，最后划归为我们会解的问题，观察—联想—转化，这是 我们寻求解题方案
的基本过程。
在这里，我们特别强调要连贯起来思索，切忌孤立。众所周知 ，在分析问题
时，综合法和分析法是最基本的两个方法。而在应用中，偏爱分析法者较多。事
实 上，二者是相互渗透、相互联系的。正如恩格斯所说，“归纳和演绎正如分析
和综合一样是必然互相联系 着的，我们不应当在两者之中牺牲一个而把另一个高
高地台上天去，我们应当力求在适当的地位来应用他 们中间的任何一个。而要想
做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。”在具体分析一 个
问题时，有时以分析法为主，此时要充分照顾条件的可能性；有时以综合法为主，
此时要注意 结论的需要，还要注意几个条件互相结合的综合结果，这是应用综合
法的关键所在。如果我们随时注意以 适当的方式引导学生对问题进行观察、联想
（既不要放任不管，也不要包办代替），如果经过学生的实践 ，在观察、联想方
面的能力确有提高，那么他们就会在解题中尝到甜头、就会极大地提高学习数学
的兴趣。否则，数学将成众多学生讨厌的一门功课。
3、正式求解中的严谨性问题
解题和 想题不同，想题时可以作暂时性的假设，可以没有次序，可以倒推。
而在解题时，必须条理清楚，步步落 实。想题时可能会出现错误或考虑不周全之
处，做题仔细就可以及时发现，及时纠正。发现本质性错误， 还会全盘推翻另来。
因此，正式求解时，必须随时检查每一步推导，每一步计算和每一个图形，是否每一步都正确。在几何证明中要注意图形的准确性和逻辑推导的正确性，并且不
允许用任何图形代替 问题的解答。严谨的科学态度是学好数学的保证，必须进行
严格训练。初中生中解题产生错误的另一个重 要原因是，在分析问题时，忽略了
有关的限制条件（这与对概念、定理或公式缺乏深刻认识有关），在推 理过程中
没有遵守相应的逻辑规则。
4、分析题解对于提高素质、培养能力是必要的

分析题解对于解答数学题来说，不是一个必须的步骤，因此绝大部分同学做
完题后，对 自己如何做出这道题都不再作分析。但是，若在平时练习时能做好分
析回顾工作，对于提高素质，培养能 力，积累解题经验都有十分重要的作用。事
实上，在解题中，每人都有成功和失败的经历，然而感觉到的 东西，未必理解，
只有理解了的东西，才能更深刻地感觉它。有的同学解题中发生的错误为什么一
犯再犯，有的同学解某题时解得很好，而解另外的甚至类似的题时，已用过的好
办法却不会用了，这都 是因为没有真正吸取经验和教训。人们只有在不断的总结
经验的过程中，才能逐步认识那些带本质性的规 律和经验，只有这样，解题能力
才能不断的提高。
三、数学解题的策略原则
数学解 题的策略就是为实现解题目标而确定的采取行动的方针、方式和方
法。在弄清题意之后，观察、分析、联 想的目的就是为了确定正确的解题策略。
很明显，解题策略的确定对解题的顺利进行起着重要的作用。
数学解题的策略显然因题而异，但也存在一定的内在规律。它表现在解题策
略遵循着其策略原则 。
1、具体化原则
该原则要求策略能使问题的各种概念之间的关系具体明确，有利于把一般
原理、一般规律应用到问题中去。
几何证题中写出已知、求证，再解应用题时，设未知数为X ，写出分步式，
列出方程等等都用了这个原则。
2、简单化原则
该原则是指策略应 有利于把较复杂的问题转化为简单的问题，把较复杂的
形式转化为简单的形式，使问题易于解决。 许多问题之所以复杂，是因为涉及面多，或问题结构层次多，统而观之难
于解决，但各单一部分或单 一层次不难解决，采取各个击破，综合处理的手段往
往奏效。有的问题在一般情况下难于下手解决，在特 殊情况下就好办多了，先解
决特殊情况，为解决一般情况打下基础，即所谓特殊探路。
3、和谐化原则
该原则强调策略利用数和形内部固有的和谐统一的特点，建立各种不要的联系，有利于促使问题的转化和解决。
数式与数式之间，数形之间，形与形之间的和谐统一的关系 未必一开始就
明显地展示在我们面前，而是需要我们去发现去建立。例如在几何证明中，辅助
线 的作用就是使图形的和谐统一，但许多几何题，辅助线的引入正是最困难之处，
和谐化原则在应用中不那 么直接，但却是极为重要的。在有的场合一旦抓住了和
谐统一的特征，问题就迎刃而解。
4、熟悉化原则
该原则要求策略有利于把问题转化为与之有关的熟悉问题，以便于利用我们所熟悉的知识来解决问题。
数学解题的策略原则是互相联系、相辅相成的。而熟悉化原则是最更 本的
策略原则。苏联著名数学家雅诺维斯基多次对参加数学竞赛的学生说：“解题就
是把习题归 结为已经解过的问题”。
利用熟悉化原则处理问题带有普遍性、根本性，应用该原则必须有必要的基础作保证，如掌握基本的数学知识，掌握各类数学题解题的基本方法，具有一
定的观察、分析、推 理论证的能力，在实践中积累相当的经验等等。

5、逆向思维能力
在研究过 程中有意去做与习惯性的思维方向相反的探索，顺推不行就考虑
逆推，直接解决不行时，考虑间接解决， 探讨可能性发生困难，探讨不可能性等
等。当我们反复思考某一问题陷入困境时，逆向思维往往使人顿开 茅塞。
6、多渠道原则
有的问题似乎可以用某方法处理，但实际处理下来或条件不具备，或 者十
分困难，应考虑其他方法，有的可以有几种方法处理，宜选其好者。广泛的联想，
对问题是 大有好处的。
四、培养学生解题能力的几点意见
1、抓好入门教育
培养学生具有 态度严谨、勤于思考的良好习惯。一个教师应当努力提高自
己的解题能力，更应当善于培养学生的解题能 力。教师对解题毫无研究，自然难
以对学生进行正确的引导。如果教师本身解题能力很强，但缺乏引导学 生的手段
和恰当的方法，学生也未必就会解题。教师的重要作用在于善于启发引导学生，
而学生 应当在教师那里得到启迪后自我完善，自我发展。古人云：“师傅引进门，
修行在自身”。初中生可塑性 极强，良好习惯易于培养，教师把这一基础工程做
好了，就是极大的成功，因为学生奠定了向更深、更广 的天地发展的良好基础，
这远比认得几个难题如何解重要得多。
2、充分重视教师的示范作用
解题是一种实际技能，学生是在观察模仿他人，其中主要是教师在解题时
的所作所为，并且最后 通过实践来学会解题，因此教师在学生面前解题时，要考
虑学生便于模仿，要考虑对学生良好习惯的培养 ，对学生思维的启迪。教师在学
生面前解题时，应努力将解题的全过程，制定解题策略的思考展现在学生 面前，
并以适合学生程度的问题吸引学生参与解题的全过程。
教师在证明定理、推导公式、讲 解例题等主要教学活动中，实际上都在给
学生作示范，因此，教师影响学生的机会很多，应充分珍惜这些 机会，如果我们
仅仅来一个照本宣科，学生就无法感受到发现问题和分析问题的思维脉络，到自
己解题时，势必形成死搬硬套，而教师在教学中努力挖掘问题的发现和分析的思
维过程（尽管许多场合只 是教师的一个设想），这对于引导和启迪学生开展积极
的思维活动将起到良好的作用。
3、帮助学生的艺术
事先对问题作提示至少在大多数场合是不好的。学生问：“老师，这题如
何？”教师答：“这样，这样„„”把问题全解出来了，这恐怕也是帮助学生过
了头。教师应当 考虑让学生有尽可能多的独立思考，对学生不帮助或帮助不够，
学生达不到那个要求，自然得不到收获； 帮助过多，学生又无事可干，没有发挥
学生的积极性，效果也不会好。教师在帮助学生时，应当设身处地 ，应当了解学
生，帮助要顺乎自然，最好是不显眼地帮助学生，使学生有自己该做的工作，让
学 生自己完成自己通过努力能完成的工作。
4、帮助和引导学生总结积累
这方面的内容也是极 其丰富，学生做题走了弯路，叫学生想想原因何在，
有什么教训。一个解题好方法想出来了，要想想成功 的经验何在。做一类题要想
想解题的关键何在，典型的问题要想想是否具有普遍的道理„„，在实践中提 高
认识，在实践中积累经验，由懂而会而熟，解题能力可望逐步提高。