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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
1、设函数
f(x)
在连续，其2阶导函数
f

(x)
的图形如下图所示， 则曲线
yf(x)
的
（-,+）
拐点个数为（）

（A）0 （B）1
（C）2 （D）3
【答案】(C)
【考点】拐点的定义
【难易度】★★
【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶 导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导
数异号，因此，由
f

( x)
的图形可知，曲线
yf(x)
存在两个拐点，故选(C).
2、设
y
则（）
1
2x

1

e

x

e
x
是二阶常系数非齐次线性微分方程y

aybyce
x
的一个特解，
23
< br>（A）
a3,b1,c1.
（B）
a3,b2,c1.

（C）
a3,b2,c1.
（D）
a3,b2,c1.

【答案】(A)
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法
【难易度】★★
【详解】
1< br>2x
1
x
e,e
为齐次方程的解，所以2、1为特征方程

2
+a

b0
的根，从而
23
a

12

3,b122,
再将特解
yxe
x
代入方程
y3y2yce
x
得：
c1.

1

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
3、若级数

a
n1
n
条件收敛，则
x3
与
x3
依次为幂级数

na
n

x1

的：
n1

n
（A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点
（C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点
【答案】(B)
【考点】级数的敛散性
【难易度】★★★
【详解】因为

an
条件收敛，故
x2
为幂级数

a
n
x1

的条件收敛点，进而得
n1
n1

n< br>
a
n

x1

的收敛半径为1，收敛区间为
0,2

，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
n1


n

na

x1

n
n 1
n
的收敛区间仍为

0,2

，因而
x3与
x3
依次为幂级数

na
n

x1
的收敛
n1

n
点、发散点.
4、设D是第一象 限中曲线
2xy1,4xy1
与直线
yx,y3x
围成的平面区域， 函数
f(x,y)
在D上连续，则


f(x,y)dxdy< br>
D
（A）


d


2
4
1
sin2

1
2sin2

1
sin 2

1
2sin2


f(rcos

, rsin

)rdr
（B）


2
d< br>

4
1
sin2

1
2sin2

f(rcos

,rsin

)rdr


（C）


d


3
4
f(rcos

,rsin

)dr
（D）

3
d


4
1
sin2

1
2sin2

f(rcos

,rsin
< br>)dr

【答案】(D)
【考点】二重积分的极坐标变换
【难易度】★★★
【详解】由
yx
得，


2

4
；由
y3x
得，



3

由
2xy1
得，
2rcos

sin

1,r
1

sin2

1

2sin2

2
由
4xy1
得，
4rcos< br>
sin

1,r
2

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

所以

f(x,y)d xdy


d


3
D
4
1< br>sin2

1
2sin2

f(rcos

,rsin

)rdr


111

1


5、设矩阵
A12a
，
bd
，若集合
{1,2}
，则线性方程组
Axb
有无穷多个



14a
2






d
2


解的充分必要条件为
（A）
a,d
（B）
a,d

（C）
a,d
（D）
a,d

【答案】(D)
【考点】非齐次线性方程组的解法
【难易度】★★
< br>1111

11

【详解】

A,b



12ad


1

1
a1d1



14a
2
d
2



01



00

a1

a2



d1

d2



Axb
有无穷多解
R(A)R(A,b )3

a1
或
a2
且
d1
或
d2
< br>6、设二次型
f(x
2
1
,x
2
,x
3)
在正交变换
xPy
下的标准形为
2y
1
y
22
2
y
3
，其中
P(e
1
,e
2
,e
3
)
，若
Q(e
1
,e
3,e
2
)
，则
f(x
1
,x
2
,x< br>3
)
在正交变换
xQy
下的标准形为
（A）
2y< br>222222
1
y
2
y
3
（B）
2y
1
y
2
y
3

（C）2y
222222
1
y
2
y
3
（D）
2y
1
y
2
y
3

【答案】(A)
【考点】二次型
【难易度】★★

【详解】由
xPy
，故
fx
T
Axy
T
(P
T
AP)y2y
222
T

20
1
y
2
y
3
且：
PAP

01


00

3
0

0


1




2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

100

200


PC,Q
T
AQC
T
(P
T
A P)C

010

QP

001
< br>


010


001


TTT222
fxAxy(QAA)y2yyy
123
所以，故 选(A)
7、若
A,B
为任意两个随机事件，则
（A）
P(AB)P(A)P(B)
（B）
P(AB)P(A)P(B)

（C）
P(AB)
P(A)P(B)P(A)P(B)
（D）
P(AB)

22
【答案】(C)
【考点】
【难易度】★★
【详解】
P(A)P(AB),P(B)P(AB)

P(A)P(B)2P(AB)

P(AB)
P(A)P(B)
故选
（C）
2

8、设随机变量
X,Y
不相关，且
EX2,EY1,DX3,
则E


X

XY2





（A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5
【答案】(D)
【考点】
【难易度】★★★
【详解】
22< br>
E

XXY2XEX

E

X Y

2E

X


X

XY 2



E


D

X

E
lncosx

x0
x
2
1【答案】


2
9、
lim
【考点】极限的计算

2

X

E

X

E

Y

2E

X

5

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．

4

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
【难易度】★★
1
x
2
lncosxln(1cosx1)cosx1
2

1
【 详解】
limlimlimlim
x0x0x0x0
x
2x
2
x
2
x
2
2

(
10、


2
-
2
sinx
x)dx
1c osx

【答案】

2
4

【考点】积分的计算
【难易度】★★

sinx

2
2
【详解】

(

x)dx2

xdx
0
-
1cosx4
2
2

11、若函数
zz(x,y)
由方程
exyz+xcosx2
确定，则
dz
【答案】
【考点】隐函数求导
【难易度】★★
z
(0,1)

.
z
【详解】令
F(x,y,z)exyzxcosx2
，则
F
x

yz1sinx
，
F
y

xz
，
F
z

xy
，
F
y

F
x

z
z
又当
x0,y1
时，
z0
，所以
0
，因而
dz
1
，< br>y
(0,1)
F
z

x
(0,1)
F< br>z

12、设

是由平面
xyz1
与三个坐标 平面所围成的空间区域，则
(0,1)
dx


(x2y3z)dxdydz



【答案】
1

4
【考点】三重积分的计算
【难易度】★★★
【详解】
由轮换对称性，得
òòò
(
x+2y+3z
)
dxdydz
=6
òòò
zdxdydz=6ò
WW
1
0
zdz
òò
dxdy

D
z
5

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
其中
D
z
为平面
z =z
截空间区域
W
所得的截面，其面积为
1
1
2
(
1-z
)
.所以
2
2
1
1
dz=
3
ò
(
z
3
-2z
2
+z
)
d z=

0
4
òòò
(
x+2y+3z
)
d xdydz
=6
òòò
zdxdydz=6
ò
0
z×
(
1-z
)
WW
1
2
20
-12
013、
n
阶行列式
0
【答案】
2
n1
2< br>
【考点】行列式的计算
【难易度】★★★
【详解】
按第一行展开得
0
0
2
2
2
2

0
0-12



=2
n+1
-2

14、设二维随机变量
(X,Y)
服从正态分布
N(1,0,1,1,0)
，则
P(XYY0)
【答案 】
.
1

2
【考点】
【难易度】★★
【详解 】
(X,Y)~N(1,0,1,1,0)
，
X~N(1,1),Y~N(0,1) ,
且
X,Y
独立
X1~N(0,1)
，
P

XYY0

P

(X1)Y0

11111
P

X10,Y0

P

X10，Y0



22222

6

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写 在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证
．．．
明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
设函数
f(x)xaln(1x)bxsin x
，
g(x)kx
，若
f(x)
与
g(x)
在< br>x0
是等价无穷小，
求
a
，
b
，
k
值。
【考点】等价无穷小量，极限的计算
【难易度】★★★
【详解】
f(x)xaln(1x)bxsinx

3
 
x
2
x
3
x
3
3

xa

x


x


bx

x


x
3



233!

a

a

< br>
1a

x

b

x
2< br>x
3



x
3


3

2

f(x)与g(x)kx
3
是等价无穷小 

1+a0

a1

1

a



b0 

b
< br>2

2

1

a

kk
3

3


16、（本题满分10分）
设函数在
f(x)
定义域
I
上的导数大于零，若对任意的
x
0
I
，曲线
yf(x)
在点
(x
0
,f(x< br>0
))
处
的切线与直线
xx
0
及x轴所围成的区域 的面积为4，且
f(0)2
，求
f(x)
的表达式
.
【考点】微分方程
【难易度】★★★
【详解】如下图：
7

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

xx
0
处的切线方程为
l
：
yf

(x
0
)(xx
0
)f(x
0
)

l
与
x
轴的交点为：
y0
时，
xx
0

f(x
0
)f(x
0
)
xx
0
， ，则
AB
f

(x
0
)f

(x
0
)
因此，
S
y

1
11f(x
0
)
ABf(x
0
) f(x
0
)4
.即满足微分方程：
2

，解得：
y8
22f

(x
0
)
11
xc
.
y8
又因
y(0)2
，所以
c
17、（本题满分10分 ）
已知函数
f(x,y)xyxy
，曲线
C:xyxy3，求
f(x,y)
在曲线
C
上的最大方向
导数.
【考点】方向导数，条件极值
【难易度】★★★
【详解】根据方向导数与梯度的关 系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，
故
22
1
8
，故
y
.
2
4x
gradf(x,y)

1y,1x


故
f(x, y)
在曲线
C
上的最大方向导数为
22

1y

2
(1x)
2
，其中
x,y
满足
x
2
y
2
xy3
，
22
即就求函数
z(1y )(1x)
在约束条件
xyxy30
下的最值.
构造拉格朗日 函数
F(x,y,

)
(1y)(1x)

(x yxy3)

8
2222

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

F

x
2 (1x)2

x

y0

F

令

2(1y)2

y

x0
可得(1,1),(1,1),(2,2),(1,2)


y

F
x
2
y
2
xy30

< br>

其中
z(1,1)4,z(1,1)0,z(2,1)9z (1,2)

综上根据题意可知
f(x,y)
在曲线
C
上 的最大方向导数为
3
.
18、（本题满分10分）
(Ⅰ)设函数
u(x),v(x)
可导，利用导数定义证明
[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)u(x)v(x)'

(Ⅱ)设函数
u
1
(x),u
2
(x)...u
n
(x)
可导，
f
【考点】导数定义
【难易度】★★
【详解】




'
(x)u
1
(x)u
2
(x)...u
n
(x),
写出
f(x)的求导公式.
u

xx

v

xx< br>
u

x

v(x)


u< br>
x

v

x



 lim
x0
x

u

xx

u(x )


v

xx

u

x



v(xx)v(x)


lim

x0
x
u'

x

v(x)u

x

v
'
(x)




f
'
(x)

u
1
(x)

u
2
(x)
u
1
'
(x)

u
2
(x)
u
1
'
(x)u
2
(x)

u
1
'
(x)u
2
(x)

19、（本题满分10分）
9
u
n
(x)


'
u
n
(x)

u
1
(x)

u
2
(x)u
n
(x)

'
'
u
n
(x)u
1
(x)

u
2
(x )

u
3
(x)
u
n
(x)u
1(x)u
2
'
(x)u
n
(x)
u
n(x)



u
1
(x)u
2
( x)u
n
'
(x)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一


z2x
2
y
2
,
已知曲线
L
的方程为

起点为
A (0,2,0)
，终点为
B(0,2,0)
，计算曲线积

zx,
分
I

L
(yz)dx(z
2
x
2
y)dy(x
2
y
2
)dz

【考点】曲线积分的计算
【难易度】★★★

xcos
,



【详解】曲线
L
的参数方程为
y2sin

,

从到


2
2< br>
zcos

,

I

(yz)dx (z
2
x
2
y)dy(x
2
y
2
)dz

L
22



2

 (2sin

cos

)sin

2sin

2cos

(cos

2sin

)sin< br>


d

2


1
 



2

2sin
2

 sin2

sin

sin
3


d

2

2







2


2
2sin

d
< br>22

2
sin
2

d

22
0
2
1

2


222
20、（ 本题满分11分）
设向量组

1
,

2
,

3
是3维向量空间
3
的一个基，

1
2
1
2k

3
，

2
2

2
，

3


1
(k1)

3
。
（Ⅰ）证明向量组

1
,

2< br>,

3
是
3
的一个基；
（Ⅱ）当k为何值时，存在 非零向量

在基

1
,

2
,

3
与基

1
,

2
,

3
下的坐标相同，并求出所有
的

。
【考点】线性无关，基下的坐标
【难易度】★★★

2

【详解】（Ⅰ）
(

1
,

2
,
3
)
(

1
,

2
,
< br>3
)0


2k

1


20


0k1


0
10

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
2
因为
0
0
21
02
2
2k
1
k1
40
，
2k0k1
所以

1
,

2
,
3
线性无关，

1
,

2
,

3
是
3
的一个基。

2

（Ⅱ）设
P 0


2k

1

，为从基

1
,

2
,

3
到基

1
,

2
,

3
的过渡矩阵，又设

在基
20


P
0k1


0
< br>1
,

2
,

3
下的坐标为
x( x
1
,x
2
,x
3
)
T
，则
< br>在基

1
,

2
,

3
下 的坐标为
P
1
x
，
由
xPx
，得
Pxx
，即
(PE)x0

1
1
由
PE0
01
10
0k
1< br>2k
2k

1


,c
为任意常数。 < br>k0
，得
k0
，并解得
xc

0

k

1


1
从而

 c

1
c

3
,c
为任意常数。
21、（本题满分11分）

02-3


1-20


设矩阵
A-133
相似于矩阵
B0b 0
.




1-2a

031< br>


（Ⅰ）求
a,b
的值.
（Ⅱ）求可逆矩阵
P
，使得
P
1
AP
为对角阵.
【考点】相似矩阵，相似对角化
【难易度】★★★

023


120


【详解】由
A133
相似于
B0b0




12a


031



11

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

03a1b1


023120
则

,
解得
a4,b5


1330b0

12a031


fA
(

)|

EA|1
1
233(

1)
2
(

5)0


3
2

4

123

123


当

1


2
1,
(

EA)123000



 123

000



2

3


特征向量

1
1,

2
0，


0

1



523

123

101

 
当

3
5,(

EA)123121 011


121

523

000



100


1


231



则特征向量
< br>3
1,
所以
P(

1
,

2
,

3
)101,
得
P
1
AP0 10





005


1


011




22、（ 本题满分11分）
设随机变量
X
的概率密度为

2
-x
ln2x0
f(x)=


0 x0

对
X
进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止， 记
Y
（Ⅰ）求
Y
的概率分布；
（Ⅱ）求
EY
.
【考点】
【难易度】★★★★
【详解】
P

x3



为观测次数.


3
2
x
ln
2
dx
1
8

12

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
12k2
（

）
P

Yk

C
k
(k1)()
2
()
k2
,k2,3,4....
1
()()
1
8< br>7
8
1
8
7
8

17
k2
1

7
（

）
EY

k(k1) ()()

k(k1)()
k2

8864
k2< br>8
K2
1

2

1

k

1
k2
k(k1)xx
设级数
S(x )


3

64


64
k 2
64(1x)

k2

77
S()16
所 以
EYS()16

88
23、（本题满分11分）
设总体
X
的概率密度为

2

1
< br>f(x;

)=

1



0< br>
x1
其他

其中

为未知参数，
X< br>1
，X
2
.....X
n
为来自该总体的简单随机样本.
（Ⅰ）求

的矩估计.
（Ⅱ）求

的最大似然估计.
【考点】
【难易度】★★★
【详解】由题可得（

）
x1x
2
1
1

EX

dx|



1

1

22
1
1< br>
12


x
i




x
i
1
2n
i1
n
i1
n

n


（

）联合概率密度
f(x
1
,x
2
,,x
n
;

)
1
,< br>
x
i
1

(1

)
nlnfnln
(1

)
dlnfn
0
，故取
d

1


min

x
1< br>,x
2
,




,x
n


13