二年级看图写话-亲情名言

第11章 级数
1．写出下列级数的前5项：
(1)
n1
(1)

；(2)
n
3
n1

13
L
(2n1)
；(3)

24
L
2n
n1

1
；(4)

n
(lnn)
n2

n!


n
n
n1

解答：(1)
11111
L
；
33
2
3
3
3
4
3
5
11•31•3•51•3•5•71•3•5•7•9
( 2)

L
；
22•42•4•62•4•6•82•4•6•8•10
(3)
(4)
11111
L
；
23456
(ln2)(ln3)(l n4)(ln5)(ln6)
11•21•2•31•2•3•41•2•3•4•5

2
L
。
345
12345
所属章节：第十一章第一节
难度：一级

2．写出下列级数的通项：
251017xxxxx
2
234
L
；

L

(1)
1L
；(2) (3)
2612202242462468
357
解答：(1)
(2)
(1)
n1
n
；
2n1
n
2
1
；
n(n1)
x
。
2•4L2n
所属章节：第十一章第一节
难度：一级

3．已知级数的部分和S
n
，写出该级数，并求和：
(3)
n
2
2
n
1
n1
(1)
S
n

；(2)
S
n

n
；
2
n
解答：(1) 一般项为
u
1
S
1

数为
2


n1n1
11
,n2 ,3,
L
，故该级
2
，
u
n
S
nS
n1

nn1n(n1)
1
1
n1
，
该级数的和为
limS
n
lim1
；
nn 
n
n2
(n1)n


2
n
 12
n1
11
1
1
(2) 一般项为
u
1S
1

，
u
n
S
n
S
n1

n

n1

n
,n2,3,L
，故该级数为

n
，
该
222
2
n1
2
2
n
1
级数的和为
limS
n
lim
n
1
。
nn
2
所属章节：第十一章第一节
难度：一级

4．根据定义求出下列级数的和：
3
n
2
n
(1)

；(2)
n
6
n1

1
；(3)

n1n(n2)
n


n
；(4)

n1
(n1)(n2)(n3)


(
n1

n22n1n)

1
1
321
n
1
n< br>2

3

3
； 解答：(1)

() ()

11
26
n
n1n1
2
n13
11
23

n




()(1
L
)
；
(2)

n22 324354
n1
n(n2)
n1
2n

n1123 111111


[()]()()2
； (3) < br>
2n1n22n322334
n1
(n1)(n2)(n3)
n1



(4)

(
n1
n22n1n)

[(n2n1)(n1n)]

n1


(
n1
11
1
)12

n2n1n1n
21
所属章节：第十一章第一节
难度：一级

5．证明下列级数发散：
(1)
n
；(2)

2n1
n1

2
；(3)

n< br>n1

n

n



；(4)
1n

n1


n

n1

n
n
1
n
n
1

n

n



n
n1
0
，所以级数

解答：(1) 由于
u
n

发散；
2n1
2n12
n1< br>
2
n
2
n
(2) 由于
u
n
0
，所以级数

发散；
n< br>n1
n


n
n
1

n
(3) 由于
u
n
(
发散；
)0
， 所以级数


1ne
n1

1n


nn1
n
0
(4) 由于
u
n

，所以级数发散。

n
1
n
(n1)
n
1
n
e
1

n1

(n)(1)
n

nn
n

n
n
n
1
n
n
1
n
1
n
n
1
n
所属章节：第十一章第一节
难度：一级

6．用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性：
1
(1)

；(2)
ln(n1)
n1
1
(6)

sin
；(7)
n
n1


π
sin
；(3)

n
2
n1

n1
；(4)
2
n1
n1



n1

1< br>n(n
2
1)

；(5)
1
；

n
n
n1

1
(a0)
；(8)

n
1a
n1
a
n
n!
ln(1< br>n
)
；(9)

n
(a0)
（第9小题是否应

nn
n1
n
n1
1
该放到下一题去用比值判 别法？建议移至第7大题第7小题）
参考答案：(1) 发散；(2) 收敛；(3) 发散；(4) 收敛；(5) 发散；(6) 发散；(7) 当a>1时收敛，
当a≤1时发散；(8) 收敛
（参考答案有误？）
；(9) 当a
11
11

，而级数

发散，故正项级数

解答： (1) 由于发散；
ln(n1)n
n1
n
n1
ln(n 1)

ππ
(2) 由于
sin
n

n
， 而级数

n
收敛，故正项级数

sin
n
收敛；
2
22
n1
n1
2


n1
n1
(3) 由于
2
n1
，所以正项级数

2
发散；
n1
n1
n1

(4) 由于
1
n(n 1)
2
n1
，所以正项级数

n1
3
2
1
n(n1)
2
收敛；

11
11
(5) 由于
n

，而级数

发散，所以正项级数

n
发散；
n
n
n
n1
n
n1

1
1
(6) 由于
sinn1
，所以正项级数

sin
发散；
n< br>n
n1

1
1
2
n0
(7) 当
a1
时，由于，所以正项级数收敛，

n
1a
1 a
n
n1

1
11

当
a1
时，由于，所以正项级数发散；

n
n
1a2
n1
1 a

ln(1
(8) 由于
1
n

nn
1
，而调和级数
1
发散，所以正项级数
ln(1
1)
发散；

1
n
n
n
n
n1n 1
n
)
u
n1
a
n1
(n1)!n
n
aa
limlim1
，所以原级数收敛， (9) 当
ae
时，由于
lim
n
n
u
n
(n1)n1
n
1
an!
n
(1)
n
e
n
u
n1
a
n1
(n1)!n
n
aa1
，所以原级数发散。当
ae
时，由于（注：本题已改用
u
n
(n1)
n1
a
n
n!
(1
1< br>)
n
e
n
比值判别法
所属章节：第十一章第二节
难度：二级

7．用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性：
(2n1)!!
(1)

；(2)
n
3n!
n1


n
2
；(3)

n
3
n1

1
；(4)

n
ln(n1)
n1


3
n
；(5)

n
n•2
n1

n!
；

n
n
n1

(6)

n1
(
n1
n
2
)
n
；(7)
3n
< br>b

π
2
1
arcsinn•tan
；(8) ；(9)

，其中a
n
→a(n→∞)，a
n
、


n1
n2
n1n1
n1

an



n
b、a均为正数
参考答案：(1) 收敛；(2) 收敛；(3) 收敛；(4) 发散；(5) 收敛；(6) 收敛
（参考答案有
误？）
；(7) 收敛
（无法用所给方法判别，建议移至上一大题）
；(8) 收敛；(9)
当ba时发散，当b=a时不能判定
u
n1
(2n 1)!!3
n
n!2n12
解答：(1) 由于
limlim
n1
lim1
，
n
u
n
3
n
(n1)!(2n1)!!3(n1)3
n< br>所以正项级数

(2n1)!!
收敛；
n
3n!
n1

u
n1
(n1)
2
3
n
(n 1)
2
1
(2) 由于
limlim
n1

2
lim1
，
2
n
u
nn
3n3n3
n
n
2所以正项级数

n
收敛；
n1
3

(3) 由于
lim
n
u
n
lim
n
1
0 1
，
n
ln(n1)

所以正项级数
1
收敛；
n
n1
ln(n1)

(4) 由于< br>lim
n
u
n
lim
nn

3< br>2
n
n

3
1
，
2
3
n
所以正项级数

发散；
n
n•2
n1
u
n1
(n1)!n
n
11
lim lim1
， (5) 由于
lim
n
u
n
( n1)
n1
n!
n
1
e
n
n
(1 )
n
所以正项级数

n!
收敛；
n
n1
n

1
(1)
n
(6) 由于
lim
n
u
n
lim
n
n
e1，
nn
3n
n1
n
2
)

(
n
所以正项级数

发散；
3n
n1
1

11
n
(7) 由于（注：由于 本题用比值判别
1
，而级数

2
收敛，所以

a rcsin
2
收敛；
1
n
n
n1
n1
2
n
法判别失效，本题已改用比较判别法）
arcsin
2
u
(8) 由于
lim
n1
l im
n
u
n
n

(n1)tan
2
n1

1
1
，

2
ntan
n
2
π
收敛；
n12

n
所以正项级数

n•tan
n1
< br>b

bb
(9) 当
ab
时，由于
lim
n
u
n
lim1
，所以


收敛， nn
aa
n1

a
n

n


b

bb
当
ab
时，由于
l im
n
u
n
lim1
，所以


发散，
nn
aa
n1

a
n

n
n



b

bb
当ab
时，由于
lim
n
u
n
lim1
，所以


的敛散性无法判定。
nn
aa
n 1

a
n

n
n
所属章节：第十一章第二节
难度：二级

8．用积分判别法判别下列级数的敛散性：
2
(1)

3
；(2)
n
n1
< br>
ne
n1

n
2
arctann
；( 3)

2
；(4)
n1
n1


(n1)ln
n1

1
p
(n1)

参考答案：(1) 发散；(2) 发散（原参考答案有误？）；(3) 收敛；(4) 当p>1时收敛，当p≤1
时发散
解答：(1) 由于积分

(2) 由于 积分



1
2
2
3
dx3x3
x

1

发散，所以由积分判别法知，原级数发散；
2
1
2

1
xe
x
dxe
x
1

收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛；
1
22

arctanx13
22
(3) 由于积分

dxarctanx

收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛；
1
2
1
x1232
(4) 当p>1时，由于积分

1
11
p1
dxln(x1)
p
(x1 )ln(x1)p1

1

1
收敛，所以
p1< br>(p1)ln2
由积分判别法知，原级数收敛。
当
p1
时，由于积分

知，原级数发散。
当
p 1
时，由于积分


1

1
1
dx lnln(x1)
(x1)ln
p
(x1)

1

发散，所以由积分判别法
11
p1
dxln(x1)
p
(x1)ln(x1)p1

1

发散，所以由积分 判
别法知，原级数发散。
综合知，原级数当p>1时收敛，当p≤1时发散。
所属章节：第十一章第二节
难度：二级

9．利用级数收敛的必要条件，证明下列极限：
a
n
3
n
n!
0
；(2)
lim
n
0
；(3)
lim0
(1)
l im
n
n!
n
n!•2
n
n
n
解答：(1) 由于
lim
u
n1
a
lim01
，
n 
u
n
n1
n

a
n
所以由比值判 别法知正项级数级数

收敛，
n1
n!

a
n
0
； 于是由级数收敛的 必要条件知
lim
n
n!
u
n1
(n1)!nn
1
(2) 由于
limlim1
，
n
u
n
(n1)
n1
n!e
n
a
n
所以由比值判别法知正项级数级数

收敛，
n1
n!

于是由级数收敛的必要条件知
lim
n!
0
；
n
n
n
u
n1
3
n1
n!2
n
(3) 由于
limlim
n
01
，
n1
n
u
n
(n1)!23
n
a
n
所以由比值判别法知 正项级数级数

收敛，
n1
n!

3
n
0
。 于是由级数收敛的必要 条件知
lim
n
n!•2
n
所属章节：第十一章第二节
难度：二级

2
10．设a
n
≥0，且

a
n
收敛，证明

a
n
也收敛
n1n1< br>
解答：由于正项级数

a
n
收敛，所以
lima
n
0
，存在正整数
N
，当
nN
时，
a
n
1
，从而
n1

n
2
当
nN
时，
aa
n
1
，由正项级数的比较判别法知，级数
a
n
收敛。
2
n

n1
所属章节：第十一章第二节
难度：二级

2
11．设a
n
≥0，且数列{na
n
}有界， 证明

a
n
也收敛
n1

M
2
M
2
解答：由于数列{na
n
}有界，存在正数
M
，na
n
M
，从而
a
n

，于是
a< br>n

2
，而正项级
n
n

M
22
数

2
收敛，由正项级数的比较判别法知，级数

a
n
收敛。
n1
n
n1


所属章节：第十一章第二节
难度：三级

12．设a
n
≥0，b
n
≥0，且

a
n
和

b
n
都收敛，证明

a
n
b
n
和

(a
n
b
n
)
2
也都收敛
n1
n1
n1n1
 
解答：由于a
n
≥0，b
n
≥0，且

a< br>n
和

b
n
都收敛，故由第10题结论知级数
a
，

b
n
2
收
2
n
n1
n1
n1n1

敛，又由于
1
2
1
2
a
n
b
n
a
n
b
n
，
22
所以由正项级数的比较判别法知，级数

a
n
b
n
收敛；
n1
22
2b
n
再利用
( a
n
b
n
)
2
2a
n
，

所以由正项级数的比较判别法知，级数

(a
n
b
n)
2
收敛。
n1

所属章节：第十一章第二节
难度：三级

13．设a
n
≥0，且

a
n
收敛，证明

n1


a
n
也收敛
n
n1

2
n

解答：由于a
n
≥0，且

a
n
收敛，故由第10题结论知级数

a收敛，结合级数

n1n1
1
收敛，
2
n
n1

并利用不等式
a
n
1
2
11
 a
n

2
，
n22n
所以由正项级数的比较判别法知，级数

所属章节：第十一章第二节
难度：三级


a
n1
b
n1

14．设

a
n
和

b
n
都是 正项级数，如果，则当

b
n
收敛时，

a
n也收敛；当

a
n
a
n
b
n
n1n 1n1
n1n1


a
n
收敛。
n
n1

发散时，

b
n
也发散。
n1

解答：由已知条件知，

a
n

a
n
a
n1
abbb
L
2
a< br>1

n

n1
L
2
b
1< br>b
n

a
n1
a
n2
a
1< br>b
n1
b
n2
b
1
或
a
n
a
n
a
n1
abbb
L
3
 a
2

n

n1
L
3
b
2
b
n
，
a
n1
a
n2
a
2
b
n1
b
n2
b
2

故由 比较判别法知，当

b
n
收敛时，

a
n
也收敛；当

a
n
发散时，

b
n
也发散 。
n1
n1n1
n1
所属章节：第十一章第二节
难度：三级

15．设数列{na
n
}收敛，且级数
< br>n(a
n
a
n1
)
收敛，证明级数

a
n
也收敛。
n1n1

解答：设级数

n (a
n
a
n1
)
的部分和数列为

T
n

，级数

a
n
的部分和数列为

S< br>n

，则
n1n1

T
n
a1
a
0
2(a
2
a
1
)3(a
3
a
2
)Ln(a
n
a
n1
)

a
0
a
1
a
2
La
n 1
na
n
na
n
a
0
S
n1< br>
由于数列{na
n
}收敛，级数

n(a
n
a
n1
)
收敛，故数列

T
n

、 {na
n
}均收敛，由上式知数列

S
n1

n 1

收敛，从而数列

S
n

收敛，于是级数< br>
a
n
收敛。
n1

所属章节：第十一章第二节
难度：三级

16．判别下列交错级数的敛散性：
(1)

(1)
n1

n1
1
；(2)
n

(1)
n1

n1
n
3
；(3 )
2
n

(1)
n1

n1
n 1
；(4)
3n2

(1)
n1
n1

lnn

n
解答：(1) 对交错级数

(1)
n1
n1

1

1

，由于数列

单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理
n

n

知收敛；
(2) 对交错级数

(1)
n1

n1

n
3

n
3
，由于数列

n
< br>单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛；
n
2

2


(3) 对于级数
< br>(1)
n1
n1


n1
n11
，由于
lim
，所以一般项不趋于零，故级数发散；
n
3n23n23
lnn

lnn

，由于数列

所 以由莱布尼茨定理知收敛；

单调减少趋于零，
n
n

(4) 对交错级数

(1)
n1
n1
所属章节：第十一章第三节
难度：一级

17．判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？：
(1)

(1)
n1


n1
1
；(2)
(2n1)
3

(1)
n1

n1
n1
；(3)
n


(1)
n1
ln< br>n1

n
；
n1



(4)

(1)
< br>1cos

(

0)
；(5)
n

n1
n

13n



；(6)
n1

34n

n
1

sinnπ 


；（本题应为
lnn

n1
1

sinnπ


）
lnn

n2

(7)

(1)
n1

n1
1
；(8)
3
n1

(1)
n
π
sin


n
π
n
n1

解答：(1) 对级数

(1)
n1
n1
1
1
22
，由于
unn0
，所以绝对收敛；
n
3
3
(2n1)
(2n1)
(2) 对级数

(1)
n1
n1


n1
n1
，由于
lim1
，所以一般项不趋于零，故级数发散；
n
n
n
nn

，由于数列

ln

单调减少趋于零 ，所以由莱布尼茨定理知收
n1

n1

(3) 对级数

(1)
n1
ln
n1
敛，但是

(1 )
n1

n1

nn1
ln

l n
，其部分和数列

S
n



ln(n 1)

发散，故原级数条件收
n1
n1
n
敛；
u
1


(4) 对级数

(1)
n

1cos

(

0)
，由于
lim
n


2
，所以原级数绝对收敛；
n
1n

2

n1
n
2

13n3< br>
13n

n
ulimlim1
，所以原级数绝对收 敛； (5) 对级数


，由于
n

nn
34n4
n1

34n

1


11

n
(1)sinsin
(6) 对级数

s in

nπ
，由于数列

单调减少趋于零，所以由莱


lnn

n2
lnn

lnn
< br>n2


n

布尼茨定理知收敛，
但是
(1)
n1

n1

111
111
sin

sin
，由于级数

发散，而
sin 
，
故原级数条件
lnn
n1
lnn
lnnlnnnn1
n
收敛；
(7) 对级数

(1)
n1< br>

n1

113
n1
1
(1) 
，由于，故原级数绝对收敛；

n1n1
3
n1
332
n1n1


(1)
n
π
1(1)
n

1π
1

1
(8) 对级数
n
sin
，由于

，，而收敛，
sinsinsin


n
nn
nn
n
n

n
n1
π
n

n1
π
n1< br>
n1
故原级数绝对收敛。
所属章节：第十一章第三节
难度：二级

18．求下列级数的收敛域：
sin
n
x
(1)

2
；(2)
n
n1

n
；(3)

n
x
n1

1

|x|

n
(lnx)
；( 4)



；(5)
nx

n1
n1


n

ne
n1

nx< br>(nx)
n
；(6)

nx
；
n
n1

解答：

1
sin
n
x1
(1) 由于对任意实数x，有，而级数收敛，故原级数的收敛域为–∞

2
22
nn
n1
n
(2) 由于当 |x|>1时，
n
n1
1
，此时原级数绝对收敛，当
x1时，原级数一般项不趋于
n
xx
零，故原级数发散，所以原级数的收敛域为
x1
；
11
(3) 由于当|
xe
时，
n
(lnx)
n
lnx1
，此时原级数绝对收敛，当
xe
或< br>0x
时，
ee
1
n
(lnx)
n
ln x1
，原级数发散，当
xe
或
x
时，易知原级数发散，所以原 级数的收敛
e
1
域为
xe
；
e
(4) 由于
x
1
，易知原级数的收敛域为x<0；
x
(5) 由于< br>lim
n
u
n1
(x)
e
x
，易 知原级数的收敛域为x>0；
u
n
(x)
n
(6) 由于当< br>n
足够大时一般项为正，可看作正项级数，
limn
x
u
n
(x)e
x
，易知原级数的收敛域
为x>1。
所属章节：第十一章第四节

难度：二级

19．求下列幂级数的收敛域：
x
n
(1)

(1)
；(2)
n
n1

n
x
n
10x
；(3)

；(4)

n1
n(n1)
n1
nn

2
n
n
x
；(5)

2n0
n1



(1)
n1

n1
x
2n1
；
(2n1)(2n1)!
2n1
(6)

n
x
2n2
；(7)
2
n1
3
lnn
n
x
(11)

n1
n


(x3)
n
；(8)

n
n•3
n1

(x5)
n
；(9 )

n
n1

x
n
；(10)
< br>p
(n1)
n1
1x
n
；

nn
3(2)n
n1

解答：(1) 由于
lim
n
a
n1
1
，所以收敛半径为1，而当
x1
时，原级数条件收 敛，当
x1
时，
a
n
原级数发散，故收敛域为–1(2) 由于
lim
n
a
n1
111
所以收 敛半径为，而当
x
时，原级数发散，故收敛域为
|x|
；
 10
，
101010
a
n
a
n1
1
， 所以收敛半径为1，而当
x1
时，原级数绝对收敛，故收敛域为|x|
a
n
(3) 由于
lim
n
≤1；
(4) 由于
lim
n
a
n1
11
2
，所以收敛半径为，而当
x
时，原级数绝对收敛，故收敛域为
22
a
n
11
 x
；
22
(5) 由于
lim
n
u
n1
(x)
0
，所以收敛域为–∞u
n
(x)
u
n1
(x)x
2

，而当
x2
时 ，原级数发散，所以收敛域为
2x2
； (6) 由于
lim
n
u(x)2
n
(7) 由于
lim
n
x3
u
n1
(x)

，而当
x6< br>时，原级数发散，当
x0
时，原级数条件收敛，所以
u
n
( x)3
收敛域为0≤x<6；
(8) 由于
lim
n
u
n1
(x)
x5
，而当
x6
时，原级数发散，当
x4
时，原级数条件收敛，所以
u
n
(x)
收敛域为4≤x<6；
(9) 由于
lim
n
a
n1
1
，所以收敛半径为1， < br>a
n

当p>1时，
x1
为收敛点，故收敛域为|x |≤1；
当0x1
为发散点，
x1
为收敛点， 故收敛域为–1≤x<1；
当p≤0时，
x1
为发散点，故收敛域为|x|<1；
(10) 由于
lim
n
a
n1
1

，所以收敛半径为3， 而当
x3
时，原级数发散，当
x3
时，原级数
a
n< br>3
收敛，所以收敛域为–3≤x<3；
(11) 由于
lim
n
a
n1

1
，所以收敛半径 为1，而当
x1
时，原级数发散，故收敛域为–1a
n
所属章节：第十一章第五节
难度：一级~二级

20．将下列函数在给定点x
0
处展开为幂级数：
11
2x
2
(1)
y,x
0
3
；(2)
y,x
0
1
；(3)
yxe,x
0
0
；(4)
ylnx,x
0
1
；
x2x1
1x1
(5)
ya
x
,x
0
0
；(6)
y
2
,x
0
1
；(7)
y
2
,x
0
1
；
xx6x2x
(8)
yln(2x3x
2
),x
0
0
；(9)
y
1
2
y2arctanxln(1x)1,x
0
0
；
,x0
；(10)
0
2
(x2)
（第1 0小题是否应为
y2xarctanxln(1x
2
)1,x
00
？以下按此进行解答）
1111
解答：(1)
yxx333
1
1
(x3)
3
(x3)
n(1) (0x6)
；

n1
3
n0

n
nn
1

15
111
n
2(x1 )
(x)
； (2)
y

(1)
n
2
3322
2x13
1(x1)
n0
3
x
2n

(3)
yxex

n!
n0
2x
2
2

1
2(n1)
x (x)
；

n!
n0

n1

(4)
yl nxln[1(x1)]

(1)
n1
xxlna
(x 1)
n
(0x2)
；
n
(5)
yae
(6)
y
(lna)
n
n
x (x)
；


n!
n0

111 111111
()()

x
2
x65x3x 253
1
x
2
1
x
32

1

1(1)
n




n1

n1

(x1)
n
(1x3)
；
5
n0

23

1

x1113
nn

3(1)1(x1) (2x0)
；
()


(7)
y
2

2
n0

x2x21(x1)1(x1)
3
(8)
yln(2x3x
2
)ln(1x)(23x) ln(1x)ln2ln(1x)

2
n

x
n

2
n

3

ln2

< br>1(1)




x

2


n1


n

3
2


；
3

n
11111
n
x
()'()'((1)
(9)
y

(
2
))'

(x2)
2
x22
1
x
2
n0
2


(1 )
n1
n1

n
n1
x (2x2)
；
n1
2
(10) 由于
y2xarcta nxln(1x
2
)1
，所以
y'2arctanx,y
2
，
2
1x

2
n2n
2(1)x
两边两次积分，注意到
y'(0)0,y(0)1
，即有 在

21x
n0

y1

(1)
n1
n 1
x
2n
(|x|1)
；
n(2n1)
所属章节：第十一章第五节
难度：二级

21．求下列级数的和：
1

π

(1)
< br>(1)
n

2n1

4

n0
2n1
n
；(2)

n1
；(3)
n1
2


2n1

n
9
n1


1
n2n
(1)x
，积分得 解答：(1) 由于

2
1x
n0
x
2n1
arctanx 

(1)
，
2n1
n0

n
令
x

π
，即得级数和为
Sarctan
；
44

1


x
n

，求导得 (2)由于
1x
n0


1
n1
nx
，

2
(1x)
n1
令
x
1，即得级数和为
S4
；
2

x
3
32n
x

x

x
2n1
， (3)由于
2
1x
n0n1

3x
2
x
4
x
3
2n
()'(2n1)x
求导得，

222< br>(1x)1x
n1
113
令
x
，即得级数和为
S
。
332
所属章节：第十一章第五节
难度：三级

22．求下列幂级数的和函数：
x
n1
(1)

n(n2)x
；(2)

；(3)
n(n1)< br>n1
n1

n

2n1
2n
x
；(4)

n!
n1
x

nx
n1
n1


n
2
1
2n
x


n
2•n!
n1

解答：(1)
< br>n(n2)x
n1


n
x

n(n 1)x
n1

n1
x(x3)
(|x|1)
；
3
(x1)

x
n1
x
n
1
(2) 设
S(x)

，则
S'(x)

,Sx)

x
n1

，在后式两边积分两次，即得
1x
n1
n(n1)
n1
n
n1
S(x)x(1x)l n(1x) (1x1)
；

2
2n1
2n
1
x
，则

S(x)dx

x
2n1
x(e
x
1)
，两边求导得 (3) 设
S(x)

n!
n1n1
n!

S(x)e(2x
2
1) 1 (x)
；
n
2
1
2n

n(n1)n1x
2
n

1x
2
n

1x
2
n

1x
2
n
x

( )

()

()

()
(4)

n
2n!n!2(n2)!2(n1)!2
n1n1n2n1n1
n!2

xx
x
4
x
2
x
2x
2
x
4
x
2
2
eee1(1 )e
2
1
，
4242

n
2
1n
n
2
1
n
x
？如果题目是

n< br>x
，则答案与原参考答案相同，解答（本题有误？是否为

n
2•n! 2•n!
n1n1

2222
x
2
见下）