上海杉达学院分数线-物业管理合同

17年全国I卷 理数

一、选择题：
1．已知集合A={x|x<1}，B={x|
3
x
1
}，则
A．
AIB{x|x0}
B．
AUBR
C．
AUB{x|x1}
D．
AIB

2．如图，正方 形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形
的中心成 中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．
1

4
B．
π
1
C．
82
D．
π
4

3．设有下面四个命题
1
p
1
：若复数
z
满足
R
，则
zR
；
z
p
2
：若复数
z
满足
z
2
R
，则
zR
；
p
3
：若复数
z
1
,z
2< br>满足
z
1
z
2
R
，则
z
1
z
2
；
p
4
：若复数
zR
，则
zR
.
其中的真命题为
A
．
p
1
,p
3
B
．
p
1
,p
4
C
．
p
2
,p
3
D
．
p
2
,p
4

4．记
S
n< br>为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．若
a4
a
5
24
，
S
6
48
，则< br>{a
n
}
的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
5．函数
f(x)
在
(,)
单调递减，且为奇函数 ．若
f(1)1
，则满足
1f(x2)1
的
x
的取值范围
是
A．
[2,2]

6．
(1
B．
[1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]

1
2
6
x
展开式中的系数为
)(1x)
2
x
B．20 C．30 D．35 A．15
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正 方形的边长为
2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和 为

A．10 B．12 C．14
和
D．16
两个空白框中，可以分别填入 8．下面程序框图是为了求出满足3n
−2
n
>1000的最小偶数n，那么在
A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A

1 000和n=n+1 D．A

1 000和n=n+2

9．已知曲线C
1
：y=cos x， C
2
：y=sin (2x+
2π
)，则下面结论正确的是
3
π
个单位长度，得
6
A．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右 平移
到曲线C
2
B．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵 坐标不变，再把得到的曲线向左平移
到曲线C
2
C．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
到曲线C
2
D．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
得到曲线C
2
π
个单位长度，得
12
1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
26
1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长 度，
212
10．已知F为抛物线C：y
2
=4x的焦点，过F作两条互相垂 直的直线l
1
，l
2
，直线l
1
与C交于A、B两点，直线l
2
与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
xyz
11．设x
、
y
、
z为正数，且
235
，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x

D．3y<2x<5z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学 习数学的兴趣，他们推出了“解数
学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答 案：已知数列1，1，2，1，2，4，
1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2
0
，接下来的两项是2
0
，2
1
，再接下来的三项是20
，
2
1
，2
2
，依此类推.求满足如下条件的最小整 数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件
的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |= .

x2y1，

，
14．设x，y满足约束条件

2xy1
则
z3x2y
的最小值为 .
< br>xy0，

x
2
y
2
15．已知双曲线C：2

2
1
（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作 圆A，圆A与双曲线
ab
C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率 为 .
16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D，E，F为圆O
上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底 边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以
BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB， 使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长
变化时，所得三棱锥体积（单位：cm
3
）的最大值为 .

三、解答题：
a
2
17 ．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
3sinA
.
（1）求sin Bsin C;
（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC的周长.

18．如图，在四棱锥P−ABCD中，A BCD，且
BAPCDP90
o
.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，
AP D90
o
，求二面角A−PB−C的余弦值.




19
．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16
个零件，并测量其
尺寸（单位：
cm
）．根据长期生产经验，可以认为这 条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(

,

2< br>)
．

（
1
）假设生产状态正常，记
X
表示 一天内抽取的
16
个零件中其尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件数，
求
P(X1)
及
X
的数学期望；

（
2
）一天内抽检零件中，如果出现 了尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过 程进行检查．

（
ⅰ
）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（
ⅱ
）下面是检验员在一天内抽取的
16
个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
1
16
1
16
1
16
222
x
i
9.97
，
s经计算得
x
(xx)(x16x)0.212
，其中
x
i
为抽取的


ii
16
i1
16
i1
16
i1
第
i
个零件的尺寸，
i1,2, ,16
．

ˆ
，用样本标准差
s
作为

的 估计值

ˆ
，利用估计值判断是否需对当用样本平均数
x
作为

的估计值

ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据，

天的生产过程进行检 查？剔除
(

用剩下的数据估计

和

（精确到< br>0.01
）．
2
附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(

,

)
，则
P(

3
Z

3

)0.997 4
，

0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．

33
x
2
y
2
20．已知椭圆C ：
2

2
=1
（a>b>0），四点P
1
（1,1 ），P
2
（0,1），P
3
（–1，），P
4
（1，）中恰 有
22
ab
三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线 l不经过P
2
点且与C相交于A，B两点.若直线P
2
A与直线P
2
B的斜率的和为–1，证明：l
过定点.





21．已知函数
f(x)ae
2x
(a2)e
x< br>x
.
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）若
f(x)
有两个零点，求a的取值范围.




22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos< br>
,
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（θ为参数），直 线l的参数方程为
ysin

,


xa4t,< br>（t为参数）
.

y1t,

（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为
17
，求a.



23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f(x)
–x< br>2
ax4
，
g(x)
|x1||x1|
.
（1）当a=1时，求不等式
f(x)g(x)
的解集；
（2）若不等式
f(x)g(x)
的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

17年全国I卷 理数

一、选择题：
1．已知集合A={x|x<1}，B={x|
3
x
1
}，则
A．
AIB{x|x0}

C．
AUB{x|x1}

【答案】A
2．如图，正方形A BCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形
的中心成中心 对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是








B．
AUBR

D．
AIB


A．
1

4
B．
π
1
C．
82
D．
π
4

【答案】B
3．设有下面四个命题
1
p
1
：若复数
z
满足
R
，则
zR
；
z
p
2
：若复数
z
满足
z
2
R
，则
zR
；
p
3
：若复数
z
1
,z
2
满足
z
1
z
2
R
，则
z
1
z
2
；
p
4
：若复数
zR
，则
zR
.
其中的真命题为
A
．
p
1
,p
3

【答案】B
B
．
p
1
,p
4
C
．
p
2
,p
3
D
．
p
2
,p
4


4．记
S< br>n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．若a
4
a
5
24
，
S
6
48，则
{a
n
}
的公差为

A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
5．函数f(x)
在
(,)
单调递减，且为奇函数．若
f(1)1< br>，则满足
1f(x2)1
的
x
的取值范围
是
A．
[2,2]

【答案】D
试题分析：因为
f(x)
为奇函数且在
(,)
单调递减，要使
1f(x)1
成 立，则
x
满足
1x1
，
从而由
1x21得
1x3
，即满足
1f(x2)1
成立的
x
的取值范围为
[1,3]
，选D.
6．
(1
B．
[1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]

1
2
6
展开式中的系数为
x
)(1x)
2
x
B．20 C．30 D．35 A．15
【答案】C：因为
(1
11
6
2
6 66
(1x)
，则展开式中含的项为
x
)(1x)1(1x) (1x)
22
xx
11
44
22
1C
6
x15x
2
，
2
(1x)
6
展开式中含
x
2
的项为
2
C
6
x15x
2
，故x
2
的系数为
151530
，
xx
2，俯视图为 等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
7．某多面体的三视图 如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为

A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个 三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各
2(24)2
面内只有两个相同的梯形， 则这些梯形的面积之和为
1
12
2
，故选B.

8．下 面程序框图是为了求出满足3
−2
>1000的最小偶数n，那么在
nn
和两 个空白框中，可以分别填入

A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A

1 000和n=n+1 D．A

1 000和n=n+2

【答案】D
9．已知曲线C
1
：y=cos x， C
2
：y=sin (2x+
2π
)，则下面结论正确的是
3

A．把C
1< br>上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
到曲线C
2
B．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
到曲线C
2
C．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
到曲线C
2
D．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
得到曲线C
2
π
个单位长度，得
6
π
个单位长度，得
12
1
π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得
26
1
π
倍， 纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，
212
【答案】D ：因为
C< br>1
,C
2
函数名不同，所以先将
C
2
利用诱导公式转 化成与
C
1
相同的函数名，则
2π2πππ1
则由
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的倍变
)cos(2x)cos(2x)
，
33262
π
为
ycos2x
，再将曲线向左平移个单位长度得到
C
2
，
12
C
2
:ysin(2x
10．已知F为抛物线C：y
2
=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l
1
，l
2
，直线l
1
与C交于A、B两点，
直线l
2
与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12

D．10

【答案】A
< br>【名师点睛】还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为

，则
|AB| 
2p
，则
sin
2

|DE|
2p
π
sin
2
(

+)
2

2p2p1
2p
，所以
|AB||DE|4(

222
2
cos

sin

cos

cos

11 1sin
2

cos
2

22
)4(
2

2
)(cos

sin

)4(2) 4(22)16
.
sin
2

cos

s in

cos
2

sin
2

11．设x
、
y
、
z为正数，且
2
x
3
y
5
z
，则
A．2x<3y<5z
【答案】D
B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z

12．几 位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数
学 题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2
0
，接下来的两项是20
，2
1
，再接下来的三项是2
0
，
2
1，2
2
，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的 整数幂.那么该款软件
的激活码是
A．440
【答案】A
【解析】
B．330 C．220 D．110

试题分析：由题意得，数列如下：
1,
1,2,
1,2,4,
L< br>1,2,4,
L
,2
k1
L

则该数列的前
12Lk
k(k1)
项和为
2

k(k1)

k1k1
S

1(12)< br>L
(12
L
2)2k2
，

2
要使
k(k1)
100
，有
k14
，此时k22
k1
，所以
k2
是第
k1
组等比数列
1,2,
L
,2
k
的部分
2
和，设
k2 12L2
t1
2
t
1
，
所以
k 2
t
314
，则
t5
，此时
k2
5
329
，
所以对应满足条件的最小整数
N
2930
5 440
，故选A.
2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |= .
【答案】
23


x2y1，

，
15．设x，y满足约束条件

2xy1
则
z3x2y
的最小值为 .

xy0，

【答案】
5

x
2< br>y
2
16．已知双曲线C：
2

2
1
（a >0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线
ab
C的一条渐近 线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为 .
【答案】
23

3
如图所示，作
APMN
，因为 圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则
MN
为双曲线的渐
近线
y
b
x
上的点，且
A(a,0)
，
|AM||AN|b< br>，
a
o
而
APMN
，所以
PAN30
，

点
A(a,0)
到直线
y
b
x
的距离
|AP|
a
|b|
1
b
a< br>2
2
，

在
Rt△PAN
中，
cosP AN
由
c
2
a
2
b
2
得
c 2b
，
所以
e
|PA|
，代入计算得
a
2< br>3b
2
，即
a3b
，
|NA|
c2b23
.

a3
3b

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E ，F为圆O
上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿 虚线剪开后，分别以
BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合 ，得到三棱锥.当△ABC的边长
变化时，所得三棱锥体积（单位：cm
3
）的最大值 为 .

【答案】
415

试题分析：如下图，连接D O交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则
133
OG xx
.
326

FGSG5
3
x
，
6
22


3

3

3

SOhSG
2
GO
2


5xx< br>55x

，





6



6
3




三棱锥的体积
V

113
2
3

153
5
5x
4
x
.
S
△ABC
h x5

5x


123
3343


3
5
53
4
x
，x>0，则
n


x

20x
3
x
，
3
3
x
4
3
令
n


x

0
，即
4x0
，得
x43
，易知
n

x

在
x43
处取得最大值.
3
设
n

x

5x
4

∴
V< br>max

15
4854415
.
12

三、解答题：
a
2
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c，已知△ABC的面积为
3sinA
.
（1）求sin Bsin C;
（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC的周长.
1a
2
【解析】：（1）由三角形面积公式建立等式
acsinB
，再利用正弦定理将边化成角， 从而得
23sinA
出
sinBsinC
的值；（2）由
cosBc osC
121
和
sinBsinC
计算出
cos(BC)
，从而求出角
A
，
632
根据题设和余弦定理可以求出
bc
和
bc
的值，从而求出
△ABC
的周长为
333
.

18．如图，在四棱锥P−ABCD中，ABC D，且
BAPCDP90
o
.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，
AP D90
o
，求二面角A−PB−C的余弦值.
试题解析：（1）由已知
BAPCDP90
，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于ABCD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.
又AB

平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）在平面
PAD
内作
PFAD
，垂足为
F
，
由（1）可知，
AB
平面
PAD
，故
ABPF
，可得
PF
平面
ABCD
.
uuur
uuur
|AB|
为单位长，以
F
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
Fx yz
.
FA
的方向为
x
轴正方向，

由（1）及已知可得
A(
2
222
,1,0)
.
,0,0)
，
P(0,0,)
，
B(,1,0)
，
C(< br>2
222
uuuruuur
uuuruuur
22
22
,1,)
，
CB(2,0,0)
，
PA(,0,)
，AB(0,1,0)
. 所以
PC(
22
22
设
n(x,y,z)
是平面
PCB
的法向量，则
uuur

22

nPC0,
xyz0,


即 可取
n(0,1,2)
.
r
2

2
uuu


nCB0,

2x0,

设
m(x,y,z)
是平面
PAB
的法向量，则
uuur

22

mPA0,

xz0,

即
2
可取
m(1,0,1)
.
r

u uu
2


mAB0,

y0.

则
cos
nm3
，

|n||m|3
3
.
3
所以二面角
APB C
的余弦值为

19
．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员 每天从该生产线上随机抽取
16
个零件，并测量其
尺寸（单位：
cm
）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(

,

2
)
．

（
1
）假设生产状 态正常，记
X
表示一天内抽取的
16
个零件中其尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件数，求
P(X1)
及
X
的数学期望；

（
2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能 出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（
ⅰ
）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（
ⅱ
）下面是检验员在一天内抽取的
16
个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
1
16
1
16
1
16
22
x
i
9.97
，
s
经计算得
x
(x
i
x)(

x
i
16x
2
)0.212
，其中
x
i
为抽取的


16
i1
16
i1
16
i1
第< br>i
个零件的尺寸，
i1,2,,16
．

ˆ
，用样本标准差
s
作为

的估计值

ˆ
，利用估计 值判断是否需对当用样本平均数
x
作为

的估计值

ˆ3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据，

天的生产过程进行检查？剔除
(

用剩下的 数据估计

和

（精确到
0.01
）．
2
附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(

,

)，则
P(

3

Z

3
< br>)0.997 4
，

0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．

【解析】：（1）抽取的一个零件的 尺寸在
(

3

,

3

)
之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在
(

3

,

3

)
之外的概率为0.0026，故
X~B(16 ,0.0026)
.因此
P(X1)1P(X0)10.9974
16
0.0408
.
X
的数学期望为
EX160.00260.0416
.
（2 ）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在
(

3

,

3

)
之外的概率只有0.0026，一天内抽取
的16个零件 中，出现尺寸在
(

3

,

3
< br>)
之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一
旦发生这种情况，就有 理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生
产过程进行检查，可见上述 监控生产过程的方法是合理的.
ˆ
0.212
，由样本数据可以
ˆ
9.97
，

的估计值为

（ii）由
x9.97, s0.212
，得

的估计值为

ˆ
3
ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外，因此需对 当天的生产过程进行检查. 看出有一个零件的尺寸在
(

ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为剔除
(

估计值为10.02.
1
(169.979.22)10.02
，因此

的
15
x
i1
16
2
i
ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据9.22，剩下数 据的样
160.212
2
169.97
2
1591.13 4
，剔除
(

本方差为
1
(1591.1349.22< br>2
1510.02
2
)0.008
，
15
因此

的估计值为
0.0080.09
.
33
x
2
y
2
20．已知椭圆C：
2

2
=1
（a>b>0），四点P
1
（1,1），P
2
（0,1 ），P
3
（–1，），P
4
（1，）中恰有
22
ab

三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直 线l不经过P
2
点且与C相交于A，B两点.若直线P
2
A与直线P
2
B的斜率的和为–1，证明：l
过定点.
【解析】：（1）由于
P
3
，
P
4
两点关于y轴对称，故由题设知C经过
P
3，
P
4
两点.
又由
1113
知，C不经过点P
1
，所以点P
2
在C上.

a
2
b
2
a
2
4b
2

1
1,
2


x
2

a4,

b
2
因此< br>
解得

2
故C的方程为
y
2
1
.
4


b 1.

1

3
1,
22

4b

a
（2）设直线P
2
A与直线P
2
B的斜率分别为k1
，k
2
，
4t
2
如果l与x轴垂直，设l：x= t，由题设知
t0
，且
|t|2
，可得A，B的坐标分别为（t，），（ t，
2
4t
2

）.
2
4t
224t
2
2
1
，得
t2
，不符合题设. 则
k
1
k
2

2t2t
x
2
从 而可设l：
ykxm
（
m1
）.将
ykxm
代入
y
2
1
得
4
(4k
2
1)x2
8kmx4m
2
40
.

由题设可知
=16(4k
2
m
2
1)0
.
4m
2
4
8km
设A（x
1
，y
1），B（x
2
，y
2
），则x
1
+x
2
=

2
，x
1
x
2
=.
4k
2
1
4k1
y1y
2
1
kx
1
 m1kx
2
m12kx
1
x
2
(m1)(x1
x
2
)
而
k
1
k
2

1
.


x
1
x
2
x1
x
2
x
1
x
2
由题设
k
1
k
2
1
，故
(2k1)x
1
x
2
(m1)(x
1
x
2
)0
.
4m
2
48km
m1
即
(2k1)
2
.
(m1)
2
0
.解得
k
4k14k1
2< br>当且仅当
m1
时，
0
，于是l：
y
所以 l过定点（2，
1
）.
21．已知函数
f(x)ae
2xm1m1
xm
，即
y1(x2)
，
22
(a2)e
x
x
.
（1）讨论
f(x)
的单调性；

（2）若
f(x)
有两个零点，求a的取值范围.
：（1）
f(x )
的定义域为
(,)
，
f

(x)2ae
【解析】
2x
(a2)e
x
1(ae
x
1)( 2e
x
1)
，
（ⅰ）若
a0
，则
f

(x)0
，所以
f(x)
在
(,)
单调递减.
（ⅱ）若
a0
，则由
f

(x)0
得
xlna
.
当
x(,lna)
时，
f
(x)0
；当
x(lna,)
时，
f

(x )0
，所以
f(x)
在
(,lna)
单调
递减，在
(lna,)
单调递增.
（2）（ⅰ）若
a0
，由（1）知，
f(x)
至多有一个零点.
（ⅱ）若
a0
，由（1）知，当
xlna
时，
f(x )
取得最小值，最小值为
f(lna)1
①当
a1
时，由于
f(lna)0
，故
f(x)
只有一个零点；
②当
a (1,)
时，由于
1
③当
a(0,1)
时，
1
又
f(2)ae
4
1
lna
.
a
1
lna0
，即
f(lna)0
，故
f(x)
没 有零点；
a
1
lna0
，即
f(lna)0
.
a
(a2)e
2
22e
2
20
，故
f(x)
在
(,lna)
有一个零点.
设正整数
n
0
满足
n
0
ln(1)
，则
f(n
0
)e
0
(ae
0
a2)n
0
e0
n
0
2
0
n
0
0
. 3
a
nnnn
3
a
综上，
a
的取值范围为(0,1)
.
由于
ln(1)lna
，因此
f(x)< br>在
(lna,)
有一个零点.
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos
< br>,
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（θ为参数），直线l的参数 方程为
ysin

,


xa4t,
（t 为参数）
.

y1t,

（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为
17
，求a.
【解析】：（
1
）曲线
C
的普通方程为
x
2
2
.
9< br>y1
当
a1
时，直线
l
的普通方程为
x4 y30
.

21

x,

x4y30,

x3,



25< br>由

x
2
解得

或


2
24

y0

y.

y1
9

25

从而
C
与
l
的交点坐标为
(3,0)
，
(
2124
,)
.
2525（2）直线
l
的普通方程为
x4ya40
，故
C
上的点
(3cos

,sin

)
到
l
的距离为
d
|3cos

4sin

a4|
. < br>17
当
a4
时，
d
的最大值为
a9a917
，所以
a8
； .由题设得
1717
a1a1
17
，所以
a16
. .由题设得
1717
当
a4
时，
d
的最大值为
综上，
a8
或
a 16
.
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f(x )
–x
2
ax4
，
g(x)
|x1||x1 |
.
（1）当a=1时，求不等式
f(x)g(x)
的解集；
（2）若不等式
f(x)g(x)
的解集包含[–1，1]，求a的取值范围. < br>试题解析：（1）当
a1
时，不等式
f(x)g(x)
等价于xx|x1||x1|40
.①
当
x1
时，①式化 为
x
2
3x40
，无解；
当
1x1
时，①式化为
x
2
x20
，从而
1x1
； < br>当
x1
时，①式化为
x
2
x40
，从而1x
2
117
.
2
所以
f(x)g(x)
的解集为
{x|1x
117
}
.
2