守信用的名言-经典谜语

全国统一高考试卷试题
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的.

1． （5分）已知集合A={x|x
2
﹣2x＞0}，B={x|﹣
A．A∩B=∅

B．A∪B=R

＜x＜}，则（ ）

D．A⊆B

C．B⊆A

2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（ ）

A．﹣4

B．

C．4

D．
3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部
分学生进行调查， 事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的
视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不 大．在下面的抽样方法中，
最合理的抽样方法是（ ）

A．简单的随机抽样

C．按学段分层抽样

4．（5分）已知双曲线C：
近线方程为（ ）

A．y=

B．按性别分层抽样

D．系统抽样

（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐
B．y=

C．y=±x

D．y=

5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（ ）


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全国统一高考试卷试题
A．[﹣3，4]

B．[﹣5，2]

C．[﹣4，3]

D．[﹣2，5]

6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器， 容器高8cm，将一
个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，
如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）


A．

B．

C．

D．

7．（5分）设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
m
﹣
1
=﹣ 2，S
m
=0，S
m
+
1
=3，则m=
（ ）

A．3

B．4

C．5

D．6

8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）


A．16+8π

B．8+8π

C．16+16π

D．8+16π

9．（5分）设m为正整数 ，（x+y）
2m
展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）
2m
+1
展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）

C．7

D．8

A．5

B．6

10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的
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全国统一高考试卷试题
直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ）

A．

B．

C．

D．

11．（5分）已知函数f（x）=
围是（ ）

A．（﹣∞，0]

B．（﹣∞，1]

，若|f（x）|≥ax，则a的取值范
C．[﹣2，1]

D．[﹣2，0]

12．（5分）设△A
n
B
n
C
n
的三边长分别为a
n
，b
n
，c
n
，△A
n
B
n
C
n
的面积为S
n
，n=1 ，
2，3…若b
1
＞c
1
，b
1
+c
1< br>=2a
1
，a
n
+
1
=a
n
，A．{S
n
}为递减数列

B．{S
n
}为递增数列

C．{S
2n
﹣1
}为递增数列，{S
2n
}为递减数列

D．{S
2n
﹣
1
}为递减数列，{S
2n
}为递增数列



二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，
则t= ．

14．（5分）若数列{a
n
}的前n项和为S
n
=a
n
+，则数列{a
n
}的通项公式是
a
n
= ．

15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ．

16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x
2
）（x
2
+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则
f（x）的最大值为 ．





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，，则（ ）

全国统一高考试卷试题
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）如图， 在△ABC中，∠ABC=90°，AB=
∠BPC=90°．

（1）若PB=，求PA；

（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．

，BC=1，P为△ABC内一点，







18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C1
中，CA=CB，AB=AA
1
，∠BAA
1
=60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A
1
C；

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA
1
B
1
B，AB=CB=2，求直线A
1
C与平面BB1
C
1
C所成角的
正弦值．






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全国统一高考试卷试题
19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4
件作检验， 这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任
取4件作检验，若都为优质品，则这 批产品通过检验；如果n=4，再从这批产
品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其 他情况下，这
批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是
优质 品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．

（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；

（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽 取的每件产品都需要检验，对这批
产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学 期望．








20 ．（12分）已知圆M：（x+1）
2
+y
2
=1，圆N：（x﹣1）
2
+y
2
=9，动圆P与圆M外
切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲 线C交于A，B两点，当圆P
的半径最长时，求|AB|．







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全国统一高考试卷试题
21．（12分）已知函数f（x）=x
2< br>+ax+b，g（x）=e
x
（cx+d），若曲线y=f（x）和曲
线y=g （x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．








四、请考生在第22、23、24题中任选一道 作答，并用2B铅笔将答题卡上所选
的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答 ，按所
涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.

22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）

如图，直线AB为圆的切线，切点 为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆
于点E，DB垂直BE交圆于D．

（Ⅰ）证明：DB=DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．







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全国统一高考试卷试题
23．已知曲线C
1
的参数方程为（ t为参数），以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
2
的极坐 标方程为ρ=2sinθ．

（1）把C
1
的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C
1
与C
2
交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．











24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．

（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．



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全国统一高考试卷试题

2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的.

1．（5分）已知 集合A={x|x
2
﹣2x＞0}，B={x|﹣
A．A∩B=∅


＜x＜}，则（ ）

D．A⊆B

B．A∪B=R

C．B⊆A

【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．

【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．

【分析】根据一元二次不等式的 解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和
A∪B．

【解答】解：∵集合A={ x|x
2
﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，

∴A∩B={x|2＜x＜
故选：B．

【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．



2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（ ）

A．﹣4


或﹣＜x＜0}，A∪B=R，

B．

C．4

D．

【考点】A5：复数的运算．

【专题】5N：数系的扩充和复数．

【分析】由题意可得 z=
化简为
=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则
+i，由此可得z的虚部．

===+i，

【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z=
故z的虚部等于，

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全国统一高考试卷试题
故选：D．

【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则 的应用，
属于基础题．



3．（5分）为了解某地区中小学生的 视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部
分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三 个学段学生的
视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，
最合理 的抽样方法是（ ）

A．简单的随机抽样

C．按学段分层抽样


B．按性别分层抽样

D．系统抽样

【考点】B3：分层抽样方法．

【专题】21：阅读型．

【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．

【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

而事先 已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，
而男女生视力情况差异不大．

了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较
合理．

故选：C．

【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．



4．（5分）已知双曲线C：
近线方程为（ ）

A．y=


（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐
B．y=

C．y=±x

D．y=

【考点】KC：双曲线的性质．

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

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全国统一高考试卷试题
【分析】由离心率和abc的关系可得b
2< br>=4a
2
，而渐近线方程为y=±x，代入可
得答案．

【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），

则离心率e===，即4b
2
=a
2
，

x，

故渐近线方程为y=±x=
故选：D．

【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．



5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（ ）


A．[﹣3，4]


B．[﹣5，2]

C．[﹣4，3]

D．[﹣2，5]

【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．

【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．

【分析】本题考查的知识点是程序 框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再
根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分 段函数的函数值，
由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支
第10页（共32页）

全国统一高考试卷试题
上对应的语句行，我们易得函数的解析式．

【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：

函数分为两段，即t＜1与t≥1，

又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；

不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t
2

故分段函数的解析式为：s=，

如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，

则输出的s属于[﹣3，4]．

故选：A．


【点评】 要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的
结构，分析条件结构是如何嵌套的 ，以确定函数所分的段数；②根据判断框
中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支 对应的操作，分析
函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．



6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将 一
个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，
如不计容器的厚 度，则球的体积为（ ）

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全国统一高考试卷试题

A．



B．


C．

D．
【考点】LG：球的体积和表面积．

【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．

【分析】设正方体上底面所在 平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面
正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底 面的距离等于（R﹣
2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，
用球的体积公式即可算出该球的体积．

【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，

则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．

设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，

而圆M的半 径为4，由球的截面圆性质，得R
2
=（R﹣2）
2
+4
2
，

解出R=5，

∴根据球的体积公式，该球的体积V=
故选：A．

==．


【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性
质、 球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．

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全国统一高考试卷试题


7．（5分）设等差数列{a< br>n
}的前n项和为S
n
，若S
m
﹣
1
=﹣2 ，S
m
=0，S
m
+
1
=3，则m=
（ ）

A．3


B．4

C．5

D．6

【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．

【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．

【分析】由a
n与S
n
的关系可求得a
m
+
1
与a
m
，进而得到公差d，由前n项和公式
及S
m
=0可求得a
1
，再由通 项公式及a
m
=2可得m值．

【解答】解：a
m
=Sm
﹣S
m
﹣
1
=2，a
m
+
1
=S
m
+
1
﹣S
m
=3，

所以公差d=a
m
+
1
﹣a
m
=1，

S
m
==0，

m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，

得a
1
=﹣2，

所以a
m
=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，

另解：等差 数列{a
n
}的前n项和为S
n
，即有数列{
则，
=
+
，
+
，

成等差数列，

，

}成等差数列，

可得2•
即有0=
解得m=5．

又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a
1
+a
m
﹣
1
）=﹣2，

m（a
1
+a
m
）=0，（m+1） （a
1
+a
m
+
1
）=3，

可得a1
=﹣a
m
，﹣2a
m
+a
m
+
1< br>+a
m
+
1
=
解得m=5．

故选：C．

【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a
n
与S
n
的关系，
考查学生的计算能力．

第13页（共32页）

+=0，

全国统一高考试卷试题


8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）


A．16+8π


B．8+8π

C．16+16π

D．8+16π

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【专题】16：压轴题；27：图表型．

【分析】三视图复原的几何体是一个长方体 与半个圆柱的组合体，依据三视图的
数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．

【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其
中长方体长、宽 、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为
4．

∴长方体的体积=4×2×2=16，

半个圆柱的体积=×2
2
×π×4=8π

所以这个几何体的体积是16+8π；

故选：A．


【 点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，
第14页（共32页）

全国统一高考试卷试题
柱体体积计算公式，空间想象能力



9．（5分）设m为正整数，（x+y）
2m
展开式的二项式系 数的最大值为a，（x+y）
2m
+
1
展开式的二项式系数的最大值为b，若 13a=7b，则m=（ ）

C．7

D．8

A．5


B．6

【考点】DA：二项式定理．

【专题】5P：二项式定理．

【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组 合数的计算公式，解方程
13a=7b求得m的值．

【解答】解：∵m为正整数，由 （x+y）
2m
展开式的二项式系数的最大值为a，
以及二项式系数的性质可得a=，

=
，

．

同理，由（x+y）
2m< br>+
1
展开式的二项式系数的最大值为b，可得b=
再由13a=7b，可得13
即 13=7×
故选：B．

=7，即 13×=7×
，即 13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，

【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档
题．



10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的
直线交 椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ）

A．

B．

C．


D．

【考点】K3：椭圆的标准方程．

第15页（共32页）

全国统一高考试卷试题
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），代入椭圆方程得，利用“ 点差法”
可得．利用中点坐标公式可得x
1
+x
2
=2，y
1
+y
2
=﹣2，
利用斜率计算公式可得
a
2
=2 b
2
，再利用c=3=
==．于是得到，化为
，即可解得a
2
，b
2
．进而得到椭圆的方程．

【解答】解：设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

代入椭圆方程得，

相减得，

∴．

∵x
1
+x
2
=2，y
1
+y
2
=﹣2，
∴ ，

==．

化为a
2
=2b
2
，又c= 3=
∴椭圆E的方程为
故选：D．

，解得a
2
=18，b
2
=9．

．

【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．



第16页（共32页）

全国统一高考试卷试题
11．（5分）已知函数f（x）=
围是（ ）

A．（﹣∞，0]


，若|f（x）|≥ax，则a的取值范
B．（﹣∞，1]

C．[﹣2，1]

D．[﹣2，0]

【考点】7E：其他不等式的解法．

【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．

【分析】由函数图象的变换， 结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|
的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜 率可得l的斜率，进而数形结
合可得a的范围．

【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，


由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题
意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为
y=x
2
﹣2 x，

求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，

故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]

故选：D．

【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．



12．（5分）设△A
n
B
n
C
n
的三 边长分别为a
n
，b
n
，c
n
，△A
n
B
n
C
n
的面积为S
n
，n=1，
2，3…若b1
＞c
1
，b
1
+c
1
=2a
1，a
n
+
1
=a
n
，
第17页（共32页）

，，则（ ）

全国统一高考试卷试题
A．{S
n
}为递减数列

B．{S
n
}为递增数列

C．{S
2n
﹣1
}为递增数列，{S
2n
}为递减数列

D．{S
2n
﹣
1
}为递减数列，{S
2n
}为递增数列


【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．

【专题】16：压 轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归
纳法．

【分析】 由a
n
+
1
=a
n
可知△A
n
B
n
C
n
的边B
n
C
n
为定值a
1
，由b
n
+
1
+c
n
+
1
﹣
2a
1
=及b
1
+c
1
=2a
1
得b
n
+c
n
=2a
1
，则在△A
n
B
nC
n
中边长B
n
C
n
=a
1
为定值， 另两边A
n
C
n
、A
n
B
n
的长度之和b
n
+c
n
=2a
1
为定值，

由此可知顶 点A
n
在以B
n
、C
n
为焦点的椭圆上，根据b
n
+
1
﹣c
n
+
1
=
b
n
﹣c
n
=
，得
，可知n→+∞时b
n
→c
n
，据此可判断△A
n
B
n
C
n
的边
B
n
C
n
的高h
n
随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案 ．

【解答】解：b
1
=2a
1
﹣c
1
且 b
1
＞c
1
，∴2a
1
﹣c
1
＞c
1
，∴a
1
＞c
1
，

∴b
1
﹣a
1
=2a
1
﹣c
1
﹣a
1
=a
1
﹣c
1
＞0，∴b
1
＞a
1
＞c
1< br>，

又b
1
﹣c
1
＜a
1
，∴2a
1
﹣c
1
﹣c
1
＜a
1
，∴2c
1
＞a
1
，∴
由题意，
，

+a
n
，∴b
n
+
1
+c
n
+
1
﹣2a
n
=（b
n
+c
n
﹣2a
n
），
∴b
n
+c
n
﹣2a
n
=0，∴b
n
+c
n
=2a
n
=2a
1
，∴b
n
+c< br>n
=2a
1
，

由此可知顶点A
n
在以B< br>n
、C
n
为焦点的椭圆上，

又由题意，b
n
+
1
﹣c
n
+
1
=
∴b
n
+< br>1
﹣a
1
=
∴
∴
[
]

第18页（共32页）

，∴
，∴b
n
﹣a
1< br>=
，c
n
=2a
1
﹣b
n
=
，
=a
1
﹣b
n
，

，

][

全国统一高考试卷试题
=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）

故选：B．

【点评】 本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考
查学生分析解决问题的能力，有较 高的思维抽象度，是本年度全国高考试题
中的“亮点”之一．



二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，
则t= 2 ．


【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．

【专题】5A：平面向量及应用．

【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两 边与作数量积可得
=0，经过化简即可得出．

【解答】解：∵
∴tcos60°+1﹣t=0，∴1
故答案为2．

【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．



14．（ 5分）若数列{a
n
}的前n项和为S
n
=a
n
+，则数列 {a
n
}的通项公式是a
n
=
（﹣2）
n1
．


﹣
，，∴=0，

=0，解得t=2．

【考点】88：等比数列的通项公式．

【专题】54：等差数列与等比数列．

【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首 项，由n≥2时，a
n
=S
n
﹣S
n
﹣
1
，可得
数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．

第19页（共32页）

全国统一高考试卷试题
【解答】 解：当n=1时，a
1
=S
1
=
当n≥2时，a
n
=S
n
﹣S
n
﹣
1
=（
整理可得，即
，解 得a
1
=1

）﹣（
=﹣2，

）=，

故数列{a
n
}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，

故当n≥2时，a
n
=（﹣2）
n
﹣
1
，

经验证当n=1时，上式也适合，

故答案为：（﹣2）
n1

【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．



15．（5分）设当x=θ时，函数（fx）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ﹣

﹣
．

【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．

【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．

【分析】f（x）解析式提取，利 用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正
，与弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到 sinθ﹣2cosθ=
sin
2
θ+cos
2
θ=1联立即可求出 cosθ的值．

【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=
cosα=，sinα=），
（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中
∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，

∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=
又sin
2
θ+c os
2
θ=1，

联立得（2cosθ+
故答案为：﹣
）< br>2
+cos
2
θ=1，解得cosθ=﹣

，

．

【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，< br>以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．



第20页（共32页）

全国统一高考试卷试题
16．（ 5分）若函数f（x）=（1﹣x
2
）（x
2
+ax+b）的图象关于直线x =﹣2对称，则
f（x）的最大值为 16 ．


【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．

【专题】 11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应
用．

【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8
且b=1 5，由此可得f（x）=﹣x
4
﹣8x
3
﹣14x
2
+8x +15．利用导数研究f（x）的单
调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣
在区间（﹣2﹣
=f（﹣2+
，﹣2）、（﹣2+
）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，
），+ ∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣
）=16，即可得到f（x）的最大值．

【解答】 解：∵函数f（x）=（1﹣x
2
）（x
2
+ax+b）的图象关于直线x= ﹣2对称，

∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，

即[1﹣（﹣3）
2
][（﹣3）
2
+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（ ﹣5）
2
][（﹣5）
2
+a•（﹣
5）+b]=0，

解之得，

因此，f（x）=（1﹣x
2
）（x
2
+8x+15）=﹣x
4
﹣8x
3
﹣14x
2
+8x+15 ，

求导数，得f′（x）=﹣4x
3
﹣24x
2
﹣28x +8，

令f′（x）=0，得x
1
=﹣2﹣
当x∈（﹣∞，﹣2﹣
＜0；

当x∈（﹣2，﹣2+
0

∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣﹣，﹣2）、（﹣2+
）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2
）时，f′（x） ＞0； 当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜
，x
2
=﹣2，x
3=﹣2+，

，﹣2）时，f′（x））时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣
， +∞）上是减函数．

）=16，

又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+
∴f（x）的最大值为16．

故答案为：16．

【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的 最大值．着重考
第21页（共32页）

全国统一高考试卷试题 < br>查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，
属于中档题．



三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

1 7．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=
∠BPC=90°．

（1）若PB=，求PA；

（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．

，BC=1，P为△ABC内一点，


【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．

【专题】58：解三角形．

【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在
△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．

（II）设∠PBA=α，在Rt△PB C中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得
，即
【解答】解：（I）在Rt△P BC中，
在△PBA中，由余弦
，化简即可求出．

=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．

定理
=．
得PA
2
=PB
2
+AB
2
﹣
2PB•ABc os30°=
∴PA=．

（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．

在△PBA中，由正弦定理得，即，

第22页（共32页）

全国统一高考试卷试题
化为．∴．

【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．



18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C1
中，CA=CB，AB=AA
1
，∠BAA
1
=60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A
1
C；

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA
1
B
1
B，AB=CB=2，求直线A
1
C与平面BB1
C
1
C所成角的
正弦值．



【 考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的
角．

【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．

【分析】（Ⅰ）取AB的中点 O，连接OC，OA
1
，A
1
B，由已知可证OA
1
⊥AB ，AB
⊥平面OA
1
C，进而可得AB⊥A
1
C；

（Ⅱ）易证OA，OA
1
，OC两两垂直．以O为坐标原点，
||为单位长，建立坐 标系，可得，，
的方向为x轴的正向，
的坐标，设=（x，y，z）
，1，﹣1），可 求|cos为平面BB
1
C
1
C的法向量，则
＜，＞|，即为所求正 弦值．

，可解得=（
【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA
1
，A
1
B，

因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA
1
，∠BAA
1
=60°，

所以△AA
1
B为等边三角形，所以OA
1
⊥AB，

又因为OC∩OA
1
=O，所以AB⊥平面OA
1
C，
< br>又A
1
C⊂平面OA
1
C，故AB⊥A
1
C；

第23页（共32页）

全国统一高考试卷试题
（Ⅱ ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA
1
⊥AB，又平面ABC⊥平面AA
1
B1
B，交线为AB，

所以OC⊥平面AA
1
B
1B，故OA，OA
1
，OC两两垂直．

以O为坐标原点，
标系，

可得A（1，0，0），A
1
（ 0，
则=（1，0，），
，0），C（0，0，
=（﹣1，，0），
），B（ ﹣1，0，0），

=（0，﹣
，即
，），

，

的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐
设=（x，y，z）为平面BB
1
C
1
C的法向量，则
可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜， ＞==，

又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，

故直线A
1
C与平面BB
1
C
1
C所成角的正弦值为：．


【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平< br>面垂直的判定，属难题．



19．（12分）一批产品需要进行质 量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4
件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3 ，再从这批产品中任
取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这
批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是
优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独 立．

（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；

第24页（共32页）

全国统一高考试卷试题
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元， 凡抽取的每件产品都需要检验，对这批
产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及 数学期望．


【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．

【专题】5I：概率与统计．

【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优 质品为事件A
1
，第一次取
出的4件产品全是优质品为事件A
2
，第 二次取出的4件产品全是优质品为事
件B
1
，第二次取出的1件产品是优质品为事件B
2
，这批产品通过检验为事件
A，依题意有A=（A
1
B
1
）∪（A
2
B
2
），且A
1
B
1
与A
2
B
2
互斥，由概率得加法公式
和条件概率，代入数据计算可得 ；

（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得< br>期望值．

【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1
，第一
次取出的4件产品全是优质品为事件A
2
，

第二次取出的4件产品全是优质品为事件B
1
，第二次取出的1件产品是优质品
为事件 B
2
，

这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A
1
B
1
）∪（A
2
B
2
），且A
1
B
1
与A
2
B
2
互
斥，

所以P（A）= P（A
1
B
1
）+P（A
2
B
2
）=P（ A
1
）P（B
1
|A
1
）+P（A
2
）P （B
2
|A
2
）

==

（Ⅱ）X可能的 取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=
P（X=400）=1 ﹣
X

P

故EX=400×+500×
﹣=，故X的分布列如下：

400



，

500



800



+800×=506.25

【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．



第25页（共32页）

全国统一高考试卷试题
20．（12分）已知圆M：（x+1）
2
+y
2
=1，圆N：（x﹣1）
2
+y
2
=9，动圆P与圆M外
切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲 线C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线， l与曲线C交于A，B两点，当圆P
的半径最长时，求|AB|．


【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．

【专题】5B：直线与圆．

【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M 外切并与圆N内切，可得
|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定 义可知：动点P的轨
迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；

（II） 设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R
≤2，当 且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）
2
+y
2
=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜
角不为90 °，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点
为Q，根据，可得Q（﹣4，0） ，所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的
方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．< br>
【解答】解：（I）由圆M：（x+1）
2
+y
2
=1，可 知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）
2
+y
2
=9，圆心N（1，0） ，半径3．

设动圆的半径为R，

∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，
而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长
的椭圆，

∴a=2，c=1，b
2
=a
2
﹣c
2
=3．

∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．

（II）设曲线C上任意一点P（x，y），

由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤ 3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）
R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2 ）
2
+y
2
=4．

第26页（共32页）

全国统一高考试卷试题
①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．

②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，

设l与 x轴的交点为Q，则
由l于M相切可得：
，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4 ），

，解得．

当时，联立，得到7x
2
+8x﹣8=0．

∴
∴|AB|=
，．

=
时，也有|AB|=
或．

．

=
< br>由于对称性可知：当
综上可知：|AB|=
【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直 线与圆相切问题、椭圆的定义及其
性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长 公式
等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．



21．（12分）已知函数f（x）=x
2
+ax+b，g（x）=ex
（cx+d），若曲线y=f（x）和曲
线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P 处有相同的切线y=4x+2．

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．


【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）对f（x），g（ x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f
（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2） ，从而解出a，b，c，d的值；

（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出 F（x）及它的导函数，通过
对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒 成立，从
第27页（共32页）

全国统一高考试卷试题
而求出k的范围．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′ （0）=4，g′（0）=4，

而f′（x）=2x+a，g′（x）=e
x
（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，

从而a=4，b=2，c=2，d=2；

（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x
2
+4x+2，g（x）=2e
x
（x+1）

设F（x）=kg（ x）﹣f（x）=2ke
x
（x+1）﹣x
2
﹣4x﹣2，

则F′（x）=2ke
x
（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke
x
﹣ 1），

由题设得F（0）≥0，即k≥1，

令F′（x）=0，得x
1
=﹣lnk，x
2
=﹣2，
< br>①若1≤k＜e
2
，则﹣2＜x
1
≤0，从而当x∈（﹣2，x
1
）时，F′（x）＜0，当x∈（x
1
，
+∞）时，F′（x）＞0，< br>
即F（x）在（﹣2，x
1
）上减，在（x
1
，+∞）上是 增，故F（x）在[﹣2，+∞）
上的最小值为F（x
1
），

而F （x
1
）=﹣x
1
（x
1
+2）≥0，x≥﹣2时F（x） ≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．

②若k=e
2
，则F′（x）=2 e
2
（x+2）（e
x
﹣e
﹣
2
），从而当x∈（ ﹣2，+∞）时，F′（x）
＞0，

即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣ 2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，
即f（x）≤kg（x）恒成立．

③若 k＞e
2
时，F′（x）＞2e
2
（x+2）（e
x
﹣e< br>﹣
2
），

而F（﹣2）=﹣2ke
﹣
2
+ 2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，

综上，k的取值范围是[1，e
2
]．

【点评】此题主要考查利用 导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考
查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研 究函数的性质，此题是
一道中档题．



四、请考生在第22、2 3、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选
的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号 进行评分；多涂、多答，按所
涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.

22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）

第28页（共32页）

全国统一高考试卷试题
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上， ∠ABC的角平分线BE交圆
于点E，DB垂直BE交圆于D．

（Ⅰ）证明：DB=DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．



【考点】NC：与圆有关的比例线段．

【专题】5B：直线与圆．

【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可 得∠ABE=∠BCE，由已知角
平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE =CE．由已知DB⊥BE，
可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的 性质即可得到
DC=DB．

（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可 得到BG=．设DE的中点为
O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CB E=30°．得到CF⊥BF．进
而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．

【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．

由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，

∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．

又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．

∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．

（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．

故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．

设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．

从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．

∴CF⊥BF．

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全国统一高考试卷试题
∴Rt△BCF的外接圆的半径=．


【点评】本题综合考查了圆的性质、 弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全
等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分 析问题和解决
问题的能力．



23．已知曲线C
1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
2
的极坐标方程为ρ=2sinθ．

（1）把C
1
的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C
1
与C
2
交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．


【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．

【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．

【分析】（1）曲线C
1
的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由
能求出C1
的极坐标方程．

（2）曲线C
2
的极坐标方程化为直角坐标 方程，与C
1
的普通方程联立，求出C
1
与C
2
交点的直角 坐标，由此能求出C
1
与C
2
交点的极坐标．

【解答】解：（1）将
2
=25，

，
，消去参数t，化为 普通方程（x﹣4）
2
+（y﹣5）
即C
1
：x
2
+y
2
﹣8x﹣10y+16=0，

将代入x
2
+y
2
﹣8x﹣10y+16=0，

得ρ
2
﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．

∴C
1
的极坐标方程为ρ
2
﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．

（2）∵曲线C
2
的极坐标方程为ρ=2sinθ．

∴曲线C2
的直角坐标方程为x
2
+y
2
﹣2y=0，

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全国统一高考试卷试题
联立
解得或，

，

∴C
1
与C
2
交点的极坐标为（）和（2，）．

【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考
查极坐标方程、直角坐标 方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证
能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方 程思想，是中档题．



24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．

（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．


【考点】R5：绝对值不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（ x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x
﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣ x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结
论．

（Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+ 3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立，分析可得﹣
≥a﹣2，由此解得a的取值范围．
< br>【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|
﹣x﹣3＜0．

设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则 y=，它的图象如图所示：

结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．

（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3，

故 x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．

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全国统一高考试卷试题
故﹣≥a﹣2，

解得 a≤，

故a的取值范围为（﹣1，]．


【点评】本题考查绝对 值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零点
分段讨论法分析函数的解析式．



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