场景作文-八年级信息技术教案

《数学分析选论》习题解答

第 一 章 实 数 理 论
１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明．
证 设数集
S
有下确界，且
infSS
，试证：
（１）存在数列
{a
n
}S,使lima
n

；
n（２）存在严格递减数列
{a
n
}S,使lima
n
．
n
证明如下：
（１） 据假设，
aS,有a
；且
0,a

S,使得a


．现依
次取

n

1
n
,n1,2,,
相应 地
a
n
S
,使得
a
n

n
,n1,2,
．
因
n
0(n)
，由迫敛性易知
lima
n
< br>.
n
（２） 为使上面得到的
{a
n
}
是严格 递减的，只要从
n2
起，改取

1


nmin

,a
n1

,n2,3,
，

n

就能保证

a
n1(a
n1
)
n
a
n
,n2, 3,
． □
２．证明§1.3例６的（ⅱ）．
证 设
A,B
为非空有界数集，
SAB
，试证：
infSmin

infA,infB

．
现证明如下．
由假设，
SAB
显然也是非空有界数集，因而它的下确界 存在．故对任何
xS,有xA或xB
，由此推知
xinfA或xinfB< br>，从而又有
xmin

infA,infB

infS min

infA,infB

．
另一方面，对任何
xA,
有
xS
，于是有

xinfSinfAinfS
；
同理又有
infBinfS
．由此推得
infSmin

infA,infB

．
综上，证得结论
infSmin

infA,infB

成立． □
３．设
A,B
为有界数集，且
AB
．证明：
（ １）
sup(AB)min

supA,supB

；
（２）
inf(AB)max

infA,infB

．
并举出等号不成立的例子．
证 这里只证（２），类似地可证（１）．
设
infA,infB
．则应满足：
xA,yB,有x,y
．
于是，
zAB
，必有
z


zmax

,

，
z

这说明
max

,

是AB
的一个下界．由于
AB
亦为有界数集，故其下确界存在，
且因下 确界为其最大下界，从而证得结论
inf

AB

max

infA,infB

成立．
上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设
A(2,4),B(0,1)(3,5),则AB(3,4)
，
这时
infA2,infB0,而inf(AB)3
，故得

inf

AB

max

infA,infB

． □
４．设
A,B
为非空有界数集．定义数集
AB

cabaA,bB

，
证明：
（１）
sup(AB)supAsupB
；
（２）
inf(AB)infAinfB
．

证 这里只证（２），类似地可证（１）．
由假设，
infA,infB
都存在 ，现欲证
inf(AB)
．依据下确界定义，
分两步证明如下：
１）因为
xA,yB,有x,y,
所以
zAB
，必有
zxy
．
这说明
是AB
的一个下界．
２）
0,x
0
A,y
0
B
，使得
x
0


,y
0

．
2
2
从而
z
0
x
0
y
0
AB,使得z
0
()
，故
是AB
的最大下 界．于
是结论
inf(AB)infAinfB
得
证． □
５．设
A,B
为非空有界数集，且它们所含元素皆非负．定义数集
AB

cabaA,bB

，
证明：
（１）
sup(AB)supAsupB
；
（２）
inf(AB)infAinfB
．
证 这里只证（１），类似地可证（２）．
asupA,


由于c(A B),aA,bB(a0,b0),使cab,且

bsupB,
< br>csupAsupB,

因此
supAsupB
是
AB
的一个上界．
另一方面，
0,a
0
A,b
0< br>B
，满足
a
0
supA,b
0
supB
，
故
c
0
a
0
b
0
(AB)
，使得
c
0
supAsupB[(supAsupB)]
．
由条件，不妨设
supAsupB0
，故当

足够小时，
< br>
[(supAsupB)]
仍为

一任意小正数． 这就证得
supAsupB
是
AB
的最小上界，即
inf(AB)infAinfB

得证． □


６．证明：一个有序域如果具有完备性，则必定具有阿基米德性．
证 用反证法．倘若有某个完备有序域
F
不具有阿基米德性，则必存在两个正 元素
，从而
,F
，使序列
{n}
中没有一项大于

．于是，
{n}
有上界（

就是一个）
由完备性假设，存 在上确界
sup{n}
．由上确界定义，对一切正整数
n
，有
n
；
同时存在某个正整数
n
0
，使
n
0
．由此得出
(n
0
2)(n
0
1)
，
这导致与
0
相矛盾．所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米德性． □
７．试用确界原理证明区间套定理．
证 设

[a
n
,b
n
]

为一区间套，即满足：
a
1
a2
a
n
b
n
b
2
b1
,
n

lim(b
n
a
n
) 0
．
由于

a
n

有上界
b
k
，

b
n

有下界
a
k
（
kN

），因此根据确界原理，存在
sup

a
n

,inf

b
n

,且
．
倘若

，则有
b
n
a
n
0,n1,2,
，
而这与
lim(b
n
a
n
)0
相矛盾，故
 
．又因
a
n
b
n
,n1,2,，
n

所以

是一切
[a
n
,b
n
]
的公共点．
对于其他任一公共点
[a
n
,b
n
],n1,2,
，由于
b
n
a
n

0
,n
，
因此只能是

，这就证得区间套

[a
n
,b
n
]

存在惟一公共点． □
８．试用区间套定理证明确界原理．
S
为一非空有上界的数集，欲证证 设
S
存在上确界．为此构造区间套如下：令
[a1
,b
1
][x
0
,M]
，其中
x
0
S(S),M
为
S
的上界．记
c
1
< br>a
1
b
1
，
2

若
c1
是
S
的上界，则令
[a
2
,b
2
] [a
1
,c
1
]
；否则，若
c
1
不是< br>S
的上界，则令
[a
2
,b
2
][c
1< br>,b
1
]
．一般地，若记
c
n

a
n
b
n
，则令
2

[a,c],c
n
当是S的上界,
[a
n1
,b
n1
]

nn

[c
n
,b
n
],c
n
不是S的上界,
,n1,2,
．
如此得到的

[a
n
,b< br>n
]

显然为一区间套，接下来证明这个区间套的惟一公共点

即为
S
的上确界．
由于上述区间套的特征是：对任何
nΝ
< br>，
b
n
恒为Ｓ的上界，而
a
n
则不为
S的
上界，故
xS
，有
xb
n
，再由
li mb
n

，便得
x
，这说明

是
S
的一个上
n
界；又因
lima
n

，故0,a
n

，由于
a
n
不是
S
的上界，因此

更
n
加不是
S
的上界．根 据上确界的定义，证得
supS
．
同理可证，若
S
为非空有下界的数集，则
S
必有下确界． □
９．试用区间套定理证明单调有界定理．
证 设

x
n

为递增且有上界
M
的数列，欲证

x
n
收敛．为此构造区间套如下：令
[a
1
,b
1
][x
1
,M]
；类似于上题那样，采用逐次二等分法构造区间套

[a
n
,b
n
]

，使
a
n
不是
x
n

的上界，
b
n
恒为

x
n

的上界．由区间套定理，
[a
n
,b
n
]
，且使
n
lima
n
limb
n

．下面进一步证明
limx
n

．
nn一方面，由
x
n
b
k
,取k
的极限，得到
x
n
limb
k
,n1,2,
．
k 
另一方面，
0,KΝ

,使a
K
；由于
a
K
不是

x
n

的上界，故
x
N
a
K
；又因

x
n
< br>递增，故当
nN
时，满足
x
n
x
N
．于 是有
a
K
x
N
x
n
,
这就证得
limx
n

．
n
nN
，
同理可证

x
n

为递减而有下界的情形． □


10
．试用区间套定理证明聚点定理．

证 设
S
为实轴上的一个有界无限点集，欲证
S
必定存在聚点．
因S
有界，故
M0
，使得
xM
，
xS
．现设
[a
1
,b
1
][M,M]
，
则
S[a
1
,b
1
]
．然后用逐次二等分法构造一区间套

[a
n
,b
n
]

，使得每次所选择的
[a
n
,b
n
]
都包含了
S
中的无限多个点．由区 间套定理，
[a
n
,b
n
]
，
n
．最后
应用区间套定理的推论，
0,
当
n
充分大时，使得[a
n
,b
n
]
U(;)
；由于
[a< br>n
,b
n
]
中包含了
S
的无限多个点，因此
U(;)
中也包含了
S
的无限多个点，根据
聚点定义，上述
< br>即为点集
S
的一个聚点． □


11
．试用有限覆盖定理证明区间套定理．
证 设

[ a
n
,b
n
]

为一区间套，欲证存在惟一的点
 [a
n
,b
n
],n1,2,
．
下面用反证法来构 造
[a
1
,b
1
]
的一个无限覆盖．倘若

[a
n
,b
n
]

不存在公共点

，< br>则
[a
1
,b
1
]
中任一点都不是区间套的公共点． 于是，
x
[a
1
,b
1
]
，
[a< br>n
,b
n
],使

x[a
n
,b
n
]
．即
U(x;
x
)
与某个
[a
n
,b
n
]
不相交（ 注：这里用到了
[a
n
,b
n
]
为
一闭区间 ）． 当
x
取遍
[a
1
,b
1
]
时，这无限多个 邻域构成
[a
1
,b
1
]
的一个无限开覆盖：
H 

U(x;
x
)x[a
1
,b
1
]

．
依据有限覆盖定理，存在
[a
1
,b
1]
的一个有限覆盖：
~
HU
i
U(x
i
;
x
i
)i1,2,,NH
，

其中每个邻域
U
i
[a
n
,b
n
],i1,2,,N
．若令
ii
Kmax

n
1
,n
2< br>,,n
N

，
则
[a
K
,b
K
][a
n
i
,b
n
i
],i1,2,,N< br>，从而

[a
K
,b
K
]U
i
,i1,2,,N
． （Ж）
但是
i1

U
i
N
覆盖了
[a
1
,b
1
]
，也就覆盖了
[a
K
,b
K
]
，这 与关系式（Ж）相矛盾．所
以必定存在
[a
n
,b
n
] ,n1,2,
．（有关

惟一性的证明，与一般方法相同．） □

１２．设
S
为非空有界数集．证明：
sup|xy|supSinfS
．
x,yS
证 设
infS,supS,且
（ 若

，则
S
为单元素集，结论显
然成立 ）．记
E|xy|x,yS
首先，
x,yS
，有

，欲证
supE
．
x,y|xy|
，
这说明

是
E
的一个上界．
又因
0,








不再是
S
的上

下

界，故x
0
,y
0
S
，使
2

2
x
0


2

y
0
 
2



|x
0
y
0
| ()
,


所以

是
E
的最小上界，于是所证结论成立． □
１３．证明：若数集
S
存在聚点

，则必能找出一个各项互异的数列

x
n

S
，使
n
limx
n

．

证 依据聚点定义，对

1
1,x
1
U( ;
1
)S
．一般地，对于

1

n
min

,

n

x
n

1

，

x
n
U

(;n
)S,n2,3,
．
如此得到的数列

x
n

S
必定满足：
|
x
n

|
|x
n

1
 
|
x
n
x
n

1
,n2,3,
；

|x
n
|
1
0( n)limx
n

． □
n
n

14
．设
S
为实轴上的一个无限点集．试证：若
S
的任一无 限子集必有属于
S
的
聚点，则

（１）
S
为有界集；
（２）
S
的所有聚点都属于
S
．
证 （１）倘若
S
无上界，则对
M
1
1,x
1
S,使x
1
M
1
；一般地，对于
M
n
maxn,x
n
1
,x
n
S,使x
n
M
n
, n2,3,
．这就得到一个各项互异的
点列


x
n

S,使limx
n

．
S
的这个无限子集没 有聚点，与题设条件相矛盾，所
n
以
S
必有上界．同理可证
S< br>必有下界，故
S
为有界集．
（２）因
S
为有界无限点集，故 必有聚点．倘若
S
的某一聚点

0
S
，则由聚点的
性质，必定存在各项互异的数列

x
n

S,使limx
n

0
．据题设条件，

x
n

的惟
n
一聚点

0
应属于
S
，故又导致矛盾．所以
S
的所有聚点都属于
S
． □

15
．证 明：
sup

a
n



a
n

，则必有
lima
n

．举例说明，当上述

属
n
于

a
n

时，结论不一定成 立．
证 利用§
1.3
例4，
a
n

a
n

，使
lima
n
k

，这说 明

是

a
n

的一个
k
n
聚点．又因

又是

a
n

的上界，故< br>
a
n

不可能再有比

更大的聚点．所以

是

a
n

的上极限．
当


a
n

时，结论不一定成立．例如，
sup

1

,1
显然不是

的上

n

n


n

极限． □


1

1


1
< br>
16
．指出下列数列的上、下极限：
n
（１）
1(1 )

n

n

； （２）

；
(1)

2n1




2n
n


； （４）
sin


n

；
4
1




n

n
（３）

cos
3






n
21

sin

． （５）

n


n

解（１）
a
2k
2,a
2k1
0,故lima
n
2,lima
n
0
．
nn

（２）
a
2k

12k11
2 k
,a
2k1




(k)
， 故
4k124k12
lima
n

1
,
2< br>lima
n


1
．
2
n
n 
（３）
1
n
1

2
n
cos
n
1(n)
， 故
3
n
n
nlima
n
lima
n
lima
n
1
．
n8k1,8k3,
n8k2,
n4k,
n8k2
,
n8k1,8k3
.

2
2n

,
2n1

2n

n1
,
n

2n

0
,
（４）
a
n
sin

n14

2n
,


n1

22n
,



2n1
故
li ma
n
2,
n
n
lima
n
2．
1
sin
nn
(n
2

sin< br>1)
n
(n)
，故

2
n
n
n
n
（５）
a
n

n
2

n
lima
n
lima
n
lima
n
． □

17
．设

a
n

为有界数列，证明：
（１）
lim(a
n
)

lima
n
1
； （２）
lim(a
n
)lima
n
．
nn
nn
证 由
kn
sup(a
k
)inf(a
k
),inf(a
k
)sup(a
k
)
，
knkn
kn
令
n
取极限，即得结论（１）与（２）． □

18
．设
lima
n
0
，证明：
n
（１）
lim
11

n
a
n
lima
n
n
； （２）
lim
n
11< br>
a
n
lim
a
n
n
；
（３ ）若
n
lima
n
lim
n
11
1< br>，或
lima
n
lim
1
，则

an

必定收敛．
a
n
a
nn
n

证 由

1

1

sup



a
k

inf(a)
,
kn

kn
k
令
n
取极限，即得结论（１）与（２）．
若

1

1

inf



kn

< br>a
k

sup(a
k
)
kn
，
lima
n
lim
1
1
，则由（１）立即得到
lima
n
lima
n
，因此极限
nn
an
n
n
n
lim

a
n
存 在，即得结论（３）．
类似地，若
lima
n
lim
1
a

1
，则由（２）同样可证得（３）．
nn
n

10


10



□