写给母亲的一封信-川师成都学院

绝密★启封并使用完毕前
试题类型：
2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学

注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
（1）设集合
A{0,2,4,6,8,10},B{4,8}
，则
ð< br>A
B
=
8}
（A）
{4，

2，6}
（B）
{0，2，6，10}
（C）
{0，

2，4，6，810}，
（D）
{0，
（2）若
z43i
，则
z
=
|z|
（A）1

（B）
1

43
+i
55
（C）
43
i
55
（D）

1
33
1
（3）已知向量
BA
=（，），
BC
=（，），则∠ABC=
22
22
（A）30°（B）45°
（C）60°（D）120°
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中 各月平均最高气温和平均
最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四 月的平均
最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是

（A）各月的平均最低气温都在0℃以上
（B）七月的平均温差比一月的平均温差大
（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同
（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个
（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字
母 ，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
8111< br>（A）
15
（B）
8
（C）
15
（D）
30

1
（6）若tanθ=
3
，则cos2θ=
4114< br>
（A）
5
（B）
5
（C）
5
（D）
5


（7）已知
a2,b3,c25
，则
(A)b（8）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=
4
3
2
3
1
3
（A）
3
（B）
4
（C）
5
（D）
6

1< br>,BC边上的高等于BC,则sinA
3
（9）在
ABC
中，B=< br>4


105310
3
(A)
10
(B)
10
(C)
5
(D)
10

（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某 多面
体的三视图，则该多面体的表面积为
（A）
18365

（B）
54185

（C）90
（D）81



（11）在封闭的直三棱柱ABC
－
A
1
B< br>1
C
1
内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1
=3，
则V的最大值是
（A）
4π
（B）
9π32π
（C）
6π
（D）
23
x
2
y
2
（12）已知O为坐标原点，F是椭圆C：< br>2

2
1(ab0)
的左焦点，A，B分别为C的
ab
左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.< br>若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
（A）
1123
（B）（C）（D）

3234

第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题 考生都
必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分


2xy10,

（13）设x，y满足约束条件

x2y10,
则z=2x+3y –5的最小值为______.

x1,

（14）函数y=sin x–cosx的图像可由函数y=2sin x的图像至少向右平移______个单位长度得到.
（ 15）已知直线l：
x3y60
与圆x2+y2=12交于A、B两点，过A、B分别作 l的垂线
与x轴交于C、D两点，则|CD|= .
（16）已知f(x )为偶函数，当
x0
时，
f(x)e
程式______________ _______________.
x1
x
，则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
2
已知各项都为正数的数列

a< br>n

满足
a
1
1
，
a
n
(2a
n1
1)a
n
2a
n1
0
.
（I）求
a
2
,a
3
；
（II）求

a
n

的通项公式.
（18）（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014.
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：

y
i1
7
i
9 .32
，

t
i
y
i
40.17
，i1
7

(yy)
i
i1
7
2
0.55
，≈2.646.
参考公式：
r

(tt)(y y)
ii
i1
n

(tt)

(y
2
i
i1i1
nn

，
i
y)
2回归方程
yabt
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b

(t
i1
n
i
t)(y
i
y)
，
a=ybt.

i

(t
i1
n
t )
2
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面AB CD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段
AD上一点，AM=2MD，N 为PC的中点.
（I）证明MN∥平面PAB;
（II）求四面体N-BCM的体积.

（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C：y2
=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l
1
，l
2
分别交 C于A，B两点，
交C的准线于P，Q两点.
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

（21）（本小题满分12分）
设函数
f(x)lnxx1
.
（I）讨论
f(x)
的单调性；
（II）证明当
x(1,)
时，
1
x1
x
；
lnx
x
（II I）设
c1
，证明当
x(0,1)
时，
1(c1)xc< br>.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点。
（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（Ⅱ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD
。


（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C
1
的参数方程为

（为参数）。以坐 标原点为极点，

x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C
2
的极坐标 方程为ρsin（）=.
（I）写出C
1
的普通方程和C
2
的直角坐标方程；
（I I）设点P在C
1
上，点Q在C
2
上，求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐 标.
（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)=∣2x-a∣+a.
（I）当a=2时，求不等式f(x)≤6的解集；
（II）设函数g(x)=∣2x-1∣.当x∈R时，f(x)+g(x)≥3，求a的取值范围。

绝密★启封并使用完毕前
试题类型：新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学正式答案

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，只有
一项是符合题目要求的。
（1）C （2）D （3）A （4）D （5）C （6）D
（7）A （8）B （9）D （10）B （11）B （12）A
第II卷
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。
（13）
10
（14）

（15）4 （16）
y2x

3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得
a
2

11
,a
3

. .........5分
24
2
（Ⅱ）由
a
n
(2a
n1
1)a
n
2a
n1
0
得
2a
n1
(a
n
 1)a
n
(a
n
1)
.
因为

a< br>n

的各项都为正数，所以
故

a
n
是首项为
1
，公比为
（18）（本小题满分12分）
a
n1
1

.
a
n
2
11< br>的等比数列，因此
a
n

n1
. ......12分
22
解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
t4< br>，

(t
i
t)28
，
2
i1
7

(y
i1
7
i1
7
i
y)< br>2
0.55
，

(t
i1
7
i
t)(y
i
y)

t
i
y
i
t

y
i
40.1749.322.89
，
i1
7

2.89
0.99
. ........4分
0.5522.646
因为
y
与
t的相关系数近似为0.99，说明
y
与
t
的线性相关程度相当高，从而可 以用线
r
性回归模型拟合
y
与
t
的关系. ............6分
9.32
ˆ

（Ⅱ）由
y1. 331
及（Ⅰ）得
b
7

(t
i1
7
i
t)(y
i
y)

i

(t
i1< br>7
t)
2
2.89
0.103
，
28
ˆ
t
1.331

0.103

4

0 .92
.
ˆ
yba
ˆ
0.920.10t
. ..........10分 所以，
y
关于
t
的回归方程为：
y< br>ˆ
0.920.1091.82
. 将2016年对应的
t9
代入回归方程得：
y
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. .........12分
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得
A M
2
AD2
，取
BP
的中点
T
，连接
AT,TN
，由
N
为
PC
中点知
3
TNBC
，
TN
1
BC2
. ......3分
2
又
ADBC
，故
TN
平行且等于
AM
，四边形
AMN T
为平行四边形，于是
MNAT
.
因为
AT
平面
PAB
，
MN
平面
PAB
，所以
MN
平面PAB
. ........6分

（Ⅱ）因为
PA
平面
ABCD
，
N
为
PC
的中点，
所以
N
到平面
ABCD
的距离为
1
PA
. ....9分
2
取
BC
的中点
E
，连结
AE.由
ABAC3
得
AEBC
，
AE
由
AM∥BC
得
M
到
BC
的距离为
5
，故
S
BCM

所以四面体
NBCM
的体积
V
NB CM

（20）（本小题满分12分）
AB
2
BE
2
5
.
1
S
BCM
3
1
4525
.
2
PA45
. .....12分

23

解：（Ⅰ）由题设
F(,0)
.设
l
1
:ya,l2
:yb
，则
ab0
，且
1
2
a
2
b
2
111ab
A(,0),B(,b),P(,a),Q(,b ),R(,)
.
222222
记过
A,B
两点的直线为
l
，则
l
的方程为
2x(ab)yab0
. .....3分
（Ⅰ）由于
F
在线段
AB
上，故
1ab0
.
记
AR
的斜率为
k
1
，
FQ
的斜率为k
2
，则
k
1

abab1ab
 bk
2
.
22
1aaabaa
所以
AR∥FQ
. ......5分
（Ⅱ）设
l
与
x
轴的交点为
D(x1
,0)
，
则
S
ABF
ab
111baFDbax
1
,S
PQF

.
22 22
11
ab
bax
1

，所以
x
1
0
（舍去），
x
1
1
.
222
由 题设可得
设满足条件的
AB
的中点为
E(x,y)
.
当< br>AB
与
x
轴不垂直时，由
k
AB
k
DE< br>可得
而
2y
(x1)
.
abx1
ab< br>y
，所以
y
2
x1(x1)
.
2
2
当
AB
与
x
轴垂直时，
E
与
D
重合.所以，所求轨迹方程为
yx1
. ....12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设，
f(x)
的定义域为< br>(0,)
，
f
'
(x)
'
1
1，令
f
'
(x)0
，解得
x1
.
x'
当
0x1
时，
f(x)0
，
f(x)
单调递增；当
x1
时，
f(x)0
，
f(x)
单调递< br>减. ………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
f(x)
在
x1
处 取得最大值，最大值为
f(1)0
.
所以当
x1
时，
lnxx1
.
故当
x( 1,)
时，
lnxx1
，
ln
11x1
1< br>，即
1x
. ………………7分
xxlnx
x'x'
（Ⅲ）由题设
c1
，设
g(x)1(c1)xc
，则
g (x)c1clnc
，令
g(x)0
，

c1
lnc
. 解得
x
0

ln c
ln
当
xx
0
时，
g
'
(x)0< br>，
g(x)
单调递增；当
xx
0
时，
g
'
(x)0
，
g(x)
单调递
减. ……………9分
由（ Ⅱ）知，
1
c1
故
0x
0
1
，又
g(0)g(1)0
，故当
0x1
时，
c
，
g( x)0
.
lnc
所以当
x(0,1)
时，
1(c 1)xc
x
. ………………12分
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（Ⅰ）连结
PB,BC
，则
BFDPBABPD,PCDPCBBCD
.
因 为
APBP
，所以
PBAPCB
，又
BPDBCD< br>，所以
BFDPCD
.

又
PFDBFD1 80,PFB2PCD
，所以
3PCD180

， 因此
PCD60

.
（Ⅱ）因为
PCDBFD
，所以
PCDEFD180

，由此知
C,D,F,E
四点 共
圆，其圆心既在
CE
的垂直平分线上，又在
DF
的垂直平分线上， 故
G
就是过
C,D,F,E
四点的圆的圆心，所以
G
在CD
的垂直平分线上，因此
OGCD
.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x
2
解：（Ⅰ）
C
1
的普通方程为
y
2
1
，C
2
的直角坐标方程为
xy40
. ……5分
3

（Ⅱ）由题意，可设点
P
的直角坐标为
(3cos
,sin

)
，因为
C
2
是直线，所以|PQ|
的
最小值，
即为
P
到
C
2
的距离
d(

)
的最小值，
d(

)

|3cos

sin

4|

2
2| sin(



3
)2
.
|

………………8分

当且仅当

2k



6
(kZ)
时，
d(

)
取得最小值，最小值为
2
，此时
P
的直角坐标
为
(,)
. ………………10分
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（Ⅰ）当
a2
时，
f(x)|2x2|2
.
解不等式
|2x2|26
，得
1x3
.

因此，
f(x)6
的解集为
{x|1x3}
. ………………5分
（Ⅱ）当
xR
时，
f(x)g(x)|2xa| a|12x|

31
22
|2xa12x|a

|1a|a
，

当
x

所以当
xR
时，
f(x)g(x)3
等价于
|1a|a3
. ① ……7分
当
a1
时，①等价于
1aa3
，无解.

当
a1
时，①等价于
a1a3
，解得
a 2
.

所以
a
的取值范围是
[2,)
. ………………10分


1
时等号成立，
2