消防征文-河西学院录取分数线

2018年数学试题 文（全国卷3）
一、选择题（本题共12小题，每小 题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要
求的.）
1，2

，则
AIB
（ ） 1．已知集合
A< br>
x|x1≥0

，
B

0，
A．
0

B．

1

C．

1，2


1，2

D．

0，
2．

1i

2i


（ ）
A．
3i
B．
3i
C．
3i
D．
3i

3．中国古建筑借助榫卯将木构件 连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进
部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的 木构件与
某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可
以是（ ）
1
4．若
sin


，则
cos2
< br>
3
（ ）
8
A．
9
B．
7

9

7
C．


9

8
D．


9
5．若某群体中的成 员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支
付的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．函数
f

x


A．
tanx
的最小正周期为（ ）
1tan
2
x


4
B．


2
C．

D．
2


7．下列函数中，其图像与函数
ylnx
的图 像关于直线
x1
对称的是（ ）
A．
yln

1x

B．
yln

2x

C．
yln

1x

D．
yln

2x


< br>8．直线
xy20
分别与
x
轴，
y
轴交于A
，
B
两点，点
P
在圆

x2
< br>y
2
2
上，则
ABP
面积的
取值范围是（ ）
A．

2，6


8

B．

4，
2
C．

2，

32


D．

22，

32


9．函数
yx
4
x
2
2
的 图像大致为（ ）

x
2
y
2
10．已知双曲线< br>C：
2

2
1
（
a0，b0
）的离心 率为
2
，则点

4，0

到
C
的渐近线的
ab
距离为（ ）
A．
2
B．
2
C．
32

2
D．
22

a
2b
2
c
2
11．
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
．若
ABC
的面积为，则
C
4
（ ）
A．


2
B．


3
C．


4
D．


6
12．设< br>A
，
B
，
C
，
D
是同一个半径为4的球的球 面上四点，
ABC
为等边三角形且其面积
为
93
，则三棱锥
DABC
体积的最大值为（ ）
A．
123
B．
183
C．
243
D．
543

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知 向量
a=

1,2

，
b=

2,2< br>
，
c=

1,λ

．若
c∥
< br>2a+b

，则


________．
14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准
备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是
________．

2xy3≥0，
1

15．若 变量
x，y
满足约束条件

x2y4≥0，
则
zx y
的最大值是________．
3

x2≤0.

1 6．已知函数
f

x

ln

1x
2
x1
，
f

a

4
，则
f

a


________．

三、解答题（ 共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试
考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
等比数列

an

中，
a
1
1，a
5
4a
3< br>．
⑴求

a
n

的通项公式；
⑵记S
n
为

a
n

的前
n
项和 ．若
S
m
63
，求
m
．






18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两
种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式 ，
第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高并说明理由；
⑵求40名工人完成生产任务所需时 间的中位数
m
，并将完成生产任务所需时间超过
m
和不
超过
m
的工人数填入下面的列联表：

第一种生产方式
第二种生产

方式
⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异
2< br>PK≥k

0.0500.0100.001

2
K
附：，．
k3.8416.63510.828

ab

c d

ac

bd

超过
m


不超过
m



n

adbc

2









19．（12分）
如图，矩形
ABCD
所在平面与半圆弧
⑴证明：平面
AMD⊥
平面
BMC；
⑵在线段
AM
上是否存在点
P
，使得
MC∥
平面
PBD
说明理由．
所在平面垂直，
M
是上异于
C
，
D
的点．

20．（12分）
x
2
y
2
已知斜率为
k
的直线
l
与椭圆C：1
交于
A
，
B
两点．线段
AB
的中点 为
M

1，m

m0

．
43
1
⑴证明：
k
；
2
uuuruuuru uur
uuuruuuruuur
⑵设
F
为
C
的右焦点，< br>P
为
C
上一点,且
FPFAFB0
．证明:
2 FPFAFB
．








21．（12分）
ax
2
x1
已知函数
f

x


．
e
x
⑴求由线
y f

x

在点

0，1

处的切线方程 ；
⑵证明：当
a≥1
时，
f

x

e ≥0
．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

xcos

在平面直角坐标系
xOy
中，（

为参数），
⊙O
的参数方程为


ysin

过点

0，2

且倾斜角为

的直线
l
与
⊙ O
交于
A，B
两点．
⑴求

的取值范围；
⑵求
AB
中点
P
的轨迹的参数方程．









23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数
f

x

2x1x1
．
⑴画出
yf

x

的图像；
⑵当
x∈

0，

，
f

x

≤axb
，求
ab
的最小值．

参考答案
一、选择题
1．答案：C
解答：∵
A{ x|x10}{x|x1}
，
B{0,1,2}
，∴
AIB{1 ,2}
.故选C.
2．答案：D
解答：
(1i)(2i)2ii3i
，选D.
3．答案：A
解答：根据题意，A选项符号题意；
4．答案：B
解答：
cos2

12sin
5．答案：B
解答：由题意
P10.450.150.4
.故选B.
6．答案：C
解答：
sinx
tanx
cosx
sinxcosx
sinxcosx
1
sin2x
，
f( x)
sin
2
x
sin
2
xcos
2
x1tan
2
x2
1
cos
2
x
2
2

1
.故选B.
2
9
7
9
∴< br>f(x)
的周期
T
7．答案：B
2



.故选C.
2

解答：
f(x)
关于
x1
对称，则f(x)f(2x)ln(2x)
.故选B.
8．答案：A
解答：
由直线
xy20
得
A(2,0),B(0,2)
，∴|AB|2
2
2
2
22
，圆
(x2)
2
y
2
2
的圆心为
(2,0)
，∴圆心到直线
xy20
的距离为
22
22
，
11
∴点
P
到直线
xy20
的距离的取值范围为
222d222，即
2d32
，∴
S
ABP

9．答案：D
解答：
1
|AB|d[2,6]
.
2
当
x0
时，
y2
，可以排除A、B选项；
又因为
y

4x2x4x(x
3
22
)(x )
，则
f

(x)0
的解集为
22
(,< br>222
2
)U(0,)
，
f(x)
单调递增区间为
( ,)
，
(0,)
；
f

(x)0
的解222
2
222
2
,0)U(,)
，
f(x)单调递减区间为
(
,)
.结合图象，
,0)
，
(
222
2
集为
(
可知D选项正确.
10．答案：D
解答：
由题意
e
为
d
cb
2
，则
1
，故渐近线方程为
xy0
，则点
(4,0)
到渐近 线的距离
aa
|40|
22
.故选D.
2
11．答案：C
解答：

S
ABC
∴
C
1
a
2
b
2
c2
2abcosC1
abcosC
，又
S
ABC
absinC
，故
tanC1
，
442
2

4
.故选C.
12．答案：B
解答：
如图，
ABC
为等边三角形，点
O
为
A
，
B
，
C
，D
外接球的球心，
G
为
ABC
的重心，由
得
AB6
，取
BC
的中点
H
，∴
AHABsin60 33
，∴
AG
S
ABC
93
，
∴球心O
到面
ABC
的距离为
d
2
AH23
，< br>3
4
2
(23)
2
2
，∴三棱锥
DA BC
体积最大值
1
V
DABC
93(24)183.
3

二、填空题
13．答案：
解答：
1

2
rrrrr
1
2ab(4,2)
，∵< br>c(2ab)
，∴
12

40
，解得
< br>
.
2
14．答案：分层抽样
解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.
15．答案：
3

解答：
由图可知在直线
x2y4 0
和
x2
的交点
(2,3)
处取得最大值，故
z2 33
.
1
3

16．答案：
2

解答：
f

x
< br>ln

1x
2
x1(xR)


f(x)f(x)ln(1x
2
x)1ln(1x
2
x) 1
ln(1x
2
x
2
)22
，
∴
f(a)f(a)2
，∴
f(a)2
.
三、解答题
n1n1
17．答案：（1）
a
n
2< br>或
a
n
(2)
；（2）
6
.
解答：（ 1）设数列
{a
n
}
的公比为
q
，∴
q
n1n1
∴
a
n
2
或
a
n
(2 )
.
2
a
5
4
，∴
q2
. a
3
12
n
1(2)
n
1
n
 21
或
S
n
[1(2)
n
]
， （2） 由（1）知，
S
n

12123
m
m
∴
S
m
2163
或
S
m
[1(2)]63< br>（舍），
1
3
∴
m6
.
18．
解答：
（1）第一种生产方式的平均数为
x
1
84
，第 二种生产方式平均数为
x
2
74.7
，∴
x
1
x
2
，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的
效 率更高.

（2）由茎叶图数据得到
m80
，∴列联表为

n(adbc )
2
40(151555)
2
K106.635
(a b)(cd)(ac)(bd)20202020
（3），∴有
2
99 %

的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19．
解答：（1）∵正方形
ABCD
半圆面
CMD
，
∴AD
半圆面
CMD
，∴
AD
平面
MCD
.
∵
CM
在平面
MCD
内，∴
ADCM
，又∵M
是半圆弧
CD
上异于
C,D
的点，
∴
CM MD
.又∵
ADIDMD
，∴
CM
平面
ADM
，∵
CM
在平面
BCM
内，∴平
面
BCM
平面< br>ADM
.
（2）线段
AM
上存在点
P
且
P
为
AM
中点，证明如下：
连接
BD,AC
交于点
O
，连接
PD,PB,PO
；在矩形
ABCD
中，
O
是
AC
中点，
P
是
AM
的中点；
∴
O PMC
，∵
OP
在平面
PDB
内，
MC
不在平面< br>PDB
内，∴
MC
平面
PDB
.

20．
解答：

（1）设直线
l
方程为
ykxt
，设
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,

ykxt

2
222
联立消
y
得
(4k3)x8ktx4t1 20
，

xy
2
1


3

4
2222
则
64kt4(4t12)(34k)0
，
得
4k
2
3t
2
…①，
且
x< br>1
x
2

8kt6t
2yyk(xx)2t 2m
， ，
1212
22
34k34k
∵
m0
，∴
t0
且
k0
.
34k
2
且
t
…②.
4k
(34k2
)
2
由①②得
4k3
，
16k
2
2
11
或
k
.
22
1
∵
k0
，∴
k
.
2uuruuruurruuruuurr
（2）
FPFAFB0
，
FP2FM0
,
∴
k
∵
M(1,m)
，
F (1,0)
，∴
P
的坐标为
(1,2m)
.
14m2
33
1
，∴
m
，
M(1,)
， 由于
P
在椭圆上，∴

43
42
x
1
2
y
1
2
x
2
2
y
2
2
 1
，
1
， 又
43
43
两式相减可得
y1
y
2
3
xx

12
，
x
1
x
2
4y
1
y
2
又
x1
x
2
2
，
y
1
y
2

直线
l
方程为
y
即
yx
3
，∴
k1
，
2
3
(x1)
，
4
7
，
4

7
yx


4
∴

2
，
2
x

y
1

3

4
消去
y
得
28x56x10
，
x
1,2

2
14321
，
14
uuruur
|FA||FB|(x
1
1)
2
y
1
2
(x
2
 1)
2
y
2
2
3
，
uur
33|FP|(11)
2
(0)
2

,
22< br>uuuruuuruuur
∴
|FA||FB|2|FP|
.
21．
ax
2
x1
解答：（1）由题意：
f

x


得
e
x
(2ax1)e
x< br>(ax
2
x1)e
x
ax
2
2axx 2
f

(x)
，
(e
x
)
2
e
x
∴
f

(0)
2
2
，即曲线< br>yf

x

在点

0,1

处 的切线斜率为
2
，
1
∴
y(1)2(x0)
，即< br>2xy10
；
（2）证明：由题意：原不等式等价于：
e
x 1
ax
2
x10
恒成立；令
g(x)e
x1< br>ax
2
x1
，
∴
g

(x)e< br>x1
2ax1
，
g

(x)e
x12a
，∵
a1
，∴
g

(x)0
恒成 立，∴
g

(x)
在
(,)
上单调递增，∴
g

(x)
在
(,)
上存在唯一
x
0< br>使
g

(x
0
)0
，
∴
e
x
0
1
2ax
0
10
，即
e
x
0
1
2ax
0
1
，且
g(x)
在
(,x
0
)
上单调递减，在
(x
0
,)< br>上
单调递增，∴
g(x)g(x
0
)
.
又
g(x
0
)e
x
0
1
ax
0
2< br>x
0
1ax
0
2
(12a)x
0
2(ax
0
1)(x
0
2)
，
1
11
1
1
1
g

()e
a
1
，∵
a1
，∴
0e
a
1e1
，∴
x
0

，∴
g(x
0
)0
，得证.
a
a
综上所述：当
a1
时，
f

x

e0
.

22．
解答： （1）
eO
的参数方程为


xcos

2 2
，∴
eO
的普通方程为
xy1
，当

90 
时，

ysin

直线：
l:x0
与
eO
有两个交点，当

90
时，设直线
l
的方程为< br>yxtan

2
，由直
线
l
与
eO有两个交点有
|002|
1tan
2

1
，得
tan
2

1
，∴
tan

1
或
tan

1
，∴
45

90或
90

135
，综上

(45,135 )
.
（2）点
P
坐标为
(x,y)
，当
90
时，点
P
坐标为
(0,0)
，当

 90
时，设直线
l
的
22


xy1①22
方程为
ykx2
，
A(x
1
,y
1< br>),B(x
2
,y
2
)
，∴

有
x (kx2)1
，整理


ykx2②

2kx③

22k
22

1k
2
22
得
(1k)x22kx10
，∴
x
1
x
2
，
y
1
y
2

，∴

2
1k
2
1k

y
2
④
1k
2

得
k
x
2222
代入④得xy2y0
.当点
P(0,0)
时满足方程
xy2y0，∴
AB
y
2y0
，即
x
2
(y
22
中点的
P
的轨迹方程是
xy
2
2
1)
，由图可知，
22
A(
222
22
,)
，则
y0
，故点
P
的参数方程为
,)
，
B (
222
22

2
cos


x
2
（

为参数，
0



）.


y
2

2
sin

22

23．
解答： < br>1

3x,x

2

1

（ 1）
f(x)

x2,x1
，如下图：
2


3x,x1



（2）由（1）中可得：
a3
，
b2
，
当
a3
，
b2
时，
ab
取最小值，
∴
ab
的最小值为
5
.