【解析】由于
2
y
x
=

y
x

=y
x+1
y
x
y
x+2
y
x+1


y
x+1
y
x

y
x+2
2y
x+1
y
x
，故原差< br>分方程可化为y
x+2
2y
x+1
=5,即y
x+12y
x
5。
设一阶常系数线性差分方程对应的其次方程为y
x+1< br>2y
x
5,其通解为y
x
c2
x
。
设原差方程的特解y

c
1
,代入原方程得c
1
-2c< br>1
=5,即c
1
=-5。
所以原差分方程的通解为y
x
c2
x1
5,c为任意常数。
12.函数


x

满足


xx



< br>x

2x


x

x

x

x0

,
且

0

2
,则


1

__.
答案


1

2e.

【解析 】
由


x

2x


x
x


x

,可知

x

可微,且

'

x

=2x

x

。

这是一个可分离变量微分方程,求得其通 解为


x

ce
x
;
再由


0

2
2
,可得
c2
。
2
故



x

2e
x
,


1

2e。
3阶矩阵,

1< br>,

2
,

3
为线性无关的向量组,若13.设A
为
A

1
2

1

< br>2


3
，A

2


2
2

3
,A

3


2

3
,可得

200


。A< br>

1
,

2
,

3
< br>


1
,

2
,

3< br>

111




121



200


由于

1
,< br>
2
,

3
线性无关,故
A
:
< br>111

=B，
从而有相同的特征值。


12 1



2
因

EB1
100
1


2



2
2

3

,


1
2

1
故
A
的实特征值为2。

14.设随机事件
A,B,C
相互独立，且

P(A)P(B)P(C)
1
，
2
则
P(ACAB)______
．
解 由条件概率以及事件相互独立性的定义，得
P(ACAB)


P

AC

AB



P(AB )
P

AC

P(A)P(B)P(AB)
P

A

P

C


P(A)P(B) P(A)P(B)
11

1
22
.
1111
3

2222
三、 解答题
1

x
15 .已知实数
a,b
,满足
lim


axb
< br>ex

2,求a,b。

x

答案
a1,b1

abt

e
t
1

1
2,
【解析】
令 t=,可得lim

t0
xt
abt
< br>e
t
1

ae
t
1ae
t
1
t
其中limlimlimbelimb

t0

t
t0

t
t0

t0

tae
t
1ae
t
1
2b,而要使得lim存在,必须有 a1。
可知
lim


t0

t0
tt
ae
t
1
此时,有lim=1=2b,故b1.
t0< br>
t
综上,a1,b1。

16.设平面区域
D
由曲线
分
y3

1x
2

与直线
y 3x
及
y
轴围成。计算二重积

xdy。
D
2< br>
3
答案
32


2

.

【解 析】
I

2
2
0
dx

2
3< br>
1x

3x
2
xdy

2
2
2
2
2
0
x
2

3

1 x

3xdx

2



2
2
0
x
2
3

1x

dx3

2
2
2
0
0
x
3
dx,
其中对于


x
2
3

1x
dx,令xsint,可化为
2

4
0
3

3

3
2
4
3sintcostdtsin2td2t

8

0
8432
2
2
2
而

0
2
11333
x
3
dxx
4< br>2
，综上I=




2

。

416321632
0
17.将长为2
m
的铁丝分成三 段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面
积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值. < br>【解析】设分成的三段分别为
x,y,z,
则有
xyz2及x,y,z> 0，
圆的面积为
S
1

1
2
13
2
1
2
1
2
3
2
x，正方形的面积为S
2
=y
2
,正三角形的面积为S
3
=z，总面积为S=x+y+z，
4

16364

1636
1
2
1
2
3
2
x+y+z的最小值。令
4

1636
则问题转化为 在条件xyz2,x,y,z>0下,求函数

L=
1
2
1< br>2
3
2
x+y+z


xyz2

,
4

1636


Lx


x
=
2



0
23
x


3

439
Ly


=

0


83

y8

则有

,解得唯一条件极值点为

y，在该点的函数值即
3

439

L
=
3
z

0


z18

18

x
3< br>
439

L
=xyz20





为最小值,最小值为
3

+12+9 3

3

439

2

1
n
ax

1x1

,求a
n
.
< br>
n
18.已知
cos2x
2

1x

n0

答案
a
2n1


1

n
2n2

2n2

2n2,n0, 1,2,L;

n
a
2n

1

22n

1

2
2n
2n1


1

2n1



2n1
< br>,n0,1,2,L。


2n

!

2 n

!
1
【解析】
将cos2x与-


1+x

2
2n

展成幂级数可得

cos2x


1

n0
n

2x
< br>
2n

!


n0

1
2x


2n

!
n2n
x
2n
,x,

1

1x
< br>
2

n
n

n1

1





'1x1

n1< br>
x
n
,1x1






1x


n0

n0
则
a
2n1


1

2n2

2n 2

2n2,n0,1,2,L;
n
2n
a
2n
1

2


2n

!
n
2n

1

2
2n1


 1

2n1



2n

!



2n1

,n0,1,2,L。

xx< br>19.设数列

X
n

满足:
x
1
0,x
n
e
n1
e
n
1

n1 ,2,L

.
证明

X
n

收敛,并求< br>n
limx
n
.

证明:①证明
x0
,易证
n
②再证

X
n

单减,由
e
x
n1
e
x
n
1e
x
n
e
0
拉格朗日中值定理

e ,



0,x
n

x
n
xn
0


x
n1


xn


x
n

单减有下界,由此得limx
n
存在
x
③设
n
limx
n
A,则A e
A
e
A
1

A0

20.设实 二次型
f

x
1
,x
2
,x
3



x
1
x
2
x
3



x
2
x
3



x1
ax
3

,
其中
a
是参数.
(1)求
f

x,x,x

0
的解;
123
(2)求
f

x
1
,x
2
,x3

的规范形.
222

解析:(1)
f

x
1
,x
2
,x
3

0
而


x
1
x
2
x
3
0

x
2
x
3
0,


x
1
ax
3
0
由

111
102

得
A


011

< br>


011



10a




00a2


当
a2< br>时,
r

A

3,
只有零解
x
1
x
2
x
3
0.

当
a2
时,
r

A

2,
方程有无穷多解,
通解为< br>
x
1

2

为任意常数
x


x

.
2

k

 1

,k


x
3




1


(2)由(1)知,当
a2
时
A可逆,

y
1
x
1
x
2
x< br>3
令


y
fy
222

2x
2
x
3
,即
YAX
,则规范形为
1< br>y
2
y
3
,


y
3
x
3
当
a2
时,
r

A

 2,


令

y
1
x
1
x< br>2
x
3

y
22
2

1

2
3
2

2
x
2
x
3,则
fy
1
y
2


y
1
y
2

2

y
1
y
2

y
2
,


y
3
x

2

2
3


z
1

1
2




y
1

2
y2


令



z
3
22< br>
2

2
y
2
,则得规范形为
fz
1
z
2
.



z
3
y3



12a
21.已知
a
是常数,且矩阵
A



130



可经初 等变换化为矩阵
B

1

0


27 a




1
(1)求
a
;
(2)求满足
APB
的可逆矩阵
P
.
解析:(1)
QA
经过初等列变换化为
B

a2

11

11




r

A

r

B



12a

12a

12
Q
A


130





01a




a



a




033a


01a

27



000



r

A

2r

B

2


1aa2

1a2

由B

2
< br>
011



1


111




011


011




0a13


< br>
002a


得a=2.
(2)令
P
1


X
1
,X
2
,X
3

,B

b
1
,b
2
,b
3


AP
1
A

X
1
,X
2
,X< br>3



AX
1
,AX
2
,AX< br>3



b
1
,b
2
,b
3


AX
i
b
i
i=1，2，3

22
M
122

122
M
122

A
M
B



1

130
M
011

M
111



2111



72
M



012
M
333





0 36




122
M
122

44


012
M
111


11





106
M
3

012
M
1

000
M
000
< br>


000
M
000



6

3

6k
1
AXb

3


11
的通解为X
1
=k1

2



1


< br>2k
1
1


,

k
1
为任意常数


1




0




k
1



6

4

6
AX

k
2
4

1

2
b
2
的通解为X
2
=k
2

2



1


2k
2

,

k

2
为任 意常数


1




0



k
2



AX
< br>6




4




6k
3
4


3
b
3
的通 解为X
3
=k
3

2



< br>1



2k
3
1

,

k
3
为任意常数



1




0




k
3



6k
1
36k
2
46k
3
4


P
1
=


2k< br>1
1，2k
2
1，2k
3
1

(其中k
1
,k
2
,k
3
为任意常数)

k
1
k
2
k
3


6k
1
36k
2
46k
3
4
QP
1
=2k
1
1，2k
2
1，2k
3
1=k3
k
2
k
1
k
2
k
3
当< br>k
2
k
3
时,
P
1
可逆,取可逆矩阵


6k
1
36k
2
46k
3
4


P=

2k
1
1，2k2
1，2k
3
1

(k
1
为任意常数,k
2
k
3
)，使得AP=B.


kk
2
k
3

1

22. 设随机变量
X
与
Y
相互独立，
X
的概率分布为
PX
1
PX
1


1
，
2
（2）
Z
的
Y
服从参数为

的泊松分布
P

．令
ZXY
，求（1）
CovX,Z
；概率分布．
解 （1）由题意，知
2
111
22
1
EX
1

1

0
，
EX
1< br>
1

1
，
2222





则
DXEX
2
E2
X1
，且
EY






．于是，由协方差计算公式，得
CovX
,
ZCovX,
XY
2




E

X

E

Y

E

X

E

Y

EX
2
YEXEXY
2

EYDX
.
（2）随机变量
ZXY
的取值为< br>0,1,2,K
，则
PZ
0
PX
1,
Y
0
PX
1,
Y
0

P

X


1
PY
0
PX 
1
PY
0





1

0


1

0

eee


,
20!20!
PZkP X
1,
Yk

P

X
1
PY k




1

k

e
,
2
k
!
同理，
PZkPX
1,
Yk

PX
1
PYk

1< br>
k


e
,
2
k
!






其中，
k1,2,K
．
23 .总体
X
的概率密度为
1


（
x
）
fx
,< br>
e
，
2


x
其中

0,
为未知参数，
X
1
,
X
2
,
K
,
X
n
为取自于总体
X
的简单随机样


µ
，求（1）

µ
；
µ
,D
µ
．
本．记

的最大似然估计量为

（2）
E

解 （1）构造似然函数




L


fx
i
,

i
1
n
x
i

n


x
i

n
1


1

i
1


e
nn
e
,
2

i
1
2

方程两边取自然对数，得
ln
L

n
l n2




x
i
1
n
i

，
求上述方程的驻点，得
d
ln
L
d



n


x
i
1
n
i


2

0
，
即最大似 然估计量为
µ



X
i
1
n
i
n
．
（2）由期望的公式，得
EX






xfx
,

dx
x

1





xedx
2

x

1



2
< br>xedx

，
0
2

同理，

< br>2

EX
2


x
2
fx< br>,

dxE

X



< br>x


1


x
2
e

dx

2


x


1< br>
2

x
2
e

dx
0
2

x

1


2


xedx
2

2
,


0
< br>由方差的公式，得
DX

2
2


 E

X

EX

2
，则





n


X
i
µE

E

i
1

n







EX






，

2
n

n
< br>
X
i
µ
D

i
1
D


n






1

DX

n




．