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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1
:
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有 一个选项符合题
目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
1
(1cosx)
均是比
x
高阶的无穷小，(1) 当
x0
时，若
ln(12x)
，则

的取值范围是( )



(A)
(2,)
(B)
(1,2)
(C)
(,1)

1
2
(D)
(0,)

1
2
(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )
(A)
yxsinx

(C)
yxsin










(B)
yxsinx

(D)
yxsin
2
2
1

x
1

x
(3) 设函数
f(x)
具有2阶导数，
g(x)f(0)(1 x)f(1)x
，则在区间
[0,1]
上 （ ）
(A) 当
f

(x)0
时，
f(x)g(x)

(C) 当
f

(x)0
时，
f(x)g(x)



(B) 当
f

(x)0
时，
f(x)g(x)

(D) 当
f

(x)0
时，
f(x)g(x)

2


xt7
(4) 曲线

上对应于
t1
的点处的曲率半径是 （ ）
2


yt4t1
(A)
10

50
(B)
10

100
(C)
1010
(D)
510

(5) 设函数
f(x)arctanx
，若
f(x)xf
< br>(

)
，则
lim
x0

2
x< br>2

（ ）
(D) (A)
1
(B)
2

3
(C)
1

2
1

3

2
u
(6) 设函数
u(x,y)
在有界闭区 域
D
上连续，在
D
的内部具有2阶连续偏导数，且满足
0
xy

2
u
2
u
及
2

2
0
，则 （ ）
xy
(A)
u(x,y)
的最大值和最小值都在
D
的边界上取得
(B)
u(x,y)
的最大值和最小值都在
D
的内部上取得
1

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
(C)
u(x,y)
的最大值在< br>D
的内部取得，最小值在
D
的边界上取得
(D)
u(x, y)
的最小值在
D
的内部取得，最大值在
D
的边界上取得
0ab0
b

（ ）
0
d








(B)
(adbc)

(D)
bcad

2222
2
a00
(7) 行列式
0cd
c0
2
0
(A)
(adbc)

(C)
adbc

2222
(8) 设

1
,

2
,

3
均为3维向量，则对任意常数
k,l
，向量组

1
k

3
,
2
l

3
线性无关是向量组

1
,

2
,

3
线性无关的 （ ）
(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件
二、填空题：9
:
14小题 ,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．
((9)
1< br>

x
2
2x5
dx
__________ .
1
(10) 设
f(x)
是周期为
4
的可导奇函数，且
f

(x)
2(x1),
2yz
则
f(7)
__________.
x[0,2]
，

(11) 设
zz(x,y)
是由方程
e
7
xy
2
z
确定的函数，则
dz
4
11
(,)
22

___ _______.
(12) 曲线
rr(

)
的极坐标方程是< br>r

，则
L
在点
(r,

)(
__________.

,)
处的切线的直角坐标方程是
22
2
(13) 一根 长为1的细棒位于
x
轴的区间
[0,1]
上,若其线密度


x

x2x1
,则该细棒的质
心坐标
x
__________.
(14) 设二次型
f

x
1
,x
2
,x
3

x
1
x
2
 2ax
1
x
3
4x
2
x
3
的负惯性指数 为1，则
a
的取值范围为
22
_______.
三、解答题：15 ～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证
．．．
明过 程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
2

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二

求极限
lim
x< br>x
1

2

1


t
te 1


t

dt





.


1

x
2
ln

1


x

22
(16)(本题满分10分 )
已知函数
yy

x

满足微分方程
xyy

1y

，且
y

2

0
，求
y

x

的极大值与极小
值.
(17)(本题满分10分)
设平面区域
D


x,y

1x
2
y
2
4,x0,y0,
计算< br>
D
x

xsin

x
2
y< br>2
xy


dxdy
.
(18)(本题满分10分)

2
z
2
z
x2 x
设函数
f(u)
具有二阶连续导数，
zf(ecosy)
满足< br>2

2
(4zecosy)e
，若
xy
f( 0)0,f
'
(0)0
，求
f(u)
的表达式.
(19)(本题满分10分)
设函数
f(x),g(x)
的区间
[ a,b]
上连续，且
f(x)
单调增加，
0g(x)1
.证明：
(I)
0

g(t)dtxa,x[a,b]
,
a
b
x
(II)

a
a

a
g (t)dt
f(x)dx
b
f(x)g(x)dx
.

a
(20)(本题满分11分)
设函数
f(x)
x
,x

0,1

，定义函数列
f
1
(x )f(x),f
2
(x)f(f
1
(x)),
L,
< br>1x
f
n
(x)f(f
n1
(x)),L
，记
S
n
是由曲线
yf
n
(x)
，直线
x 1
及
x
轴所围成平面图形的面积，求
极限
limnS
n.
n
(21)(本题满分11分)
已知函数
f(x,y)
满足
f
2(y1)
，且
f(y,y)(y1)
2
(2y)lny,
求曲线
f(x,y)0
y
所围成的图形绕直线< br>y1
旋转所成的旋转体的体积.
3

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
(22)(本题满分11分)

1234


设矩阵
A0111
，
E
为三阶单位矩阵.

1203


(I)求方程组
Ax0
的一个基础解系；
(II)求满足
ABE
的所有矩阵.
(23)(本题满分11分)

11L

11L

证明
n
阶矩阵

MMM


11L










1


0


1


0
与


M
M


1


0
L01


L02

相似.

MMM

L0n





2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:1
:
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题
4

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
1

(1cosx)

均是比
x
高阶的无穷小，(1) 当
x0
时，若
ln(12x)
，则

的取值范围是( )

(A)
(2,)
(B)
(1,2)
(C)
(
1
2
,1)
(D)
(0,
1
2
)

【答案】B
【解析】由定义 < br>lim
ln

(12x)
x
lim
(2x)
x
lim
0
2

x

1
x0x0x
0

所以

10
，故

1
.
2
1
当
x0

时，
(1cosx)

~x
1
是比
x
的高阶无穷小，所以
2
，即
2
.
2


10
故选B
(2) 下列曲线中有渐近线的是 (
(A)
yxsinx
(B)
yx
2
sinx

(C)
yxsin
1
(D)
yx
2
sin
1
x

x

【答案】C
xsin
1
【解析】关于C选项：
lim
x
sin
1
x
x
lim1
x
limx
x
x
101
.
lim[
x
xsin
111
x
x]limsin
x
x
0< br>，所以
yxsin
x
存在斜渐近线
yx
.
故选C
(3) 设函数
f(x)
具有2阶导数，
g(x)f(0 )(1x)f(1)x
，则在区间
[0,1]
上 （
(A) 当
f

(x)0
时，
f(x)g(x)
(B) 当
f

(x)0
时，
f(x)g(x)

(C) 当
f

(x)0
时，
f(x)g(x)
(D) 当
f

(x)0
时，
f(x)g(x)

【答案】D
【解析】令
F(x)g(x)f(x)f(0)(1x)f( 1)xf(x)
，则
F(0)F(1)0
,
F

(x)f(0)f(1)f

(x)
,
F

(x )f

(x)
.
若
f

(x)0，则
F

(x)0
，
F(x)
在
[0,1 ]
上为凸的.
5
)
）

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
又
F(0)F(1)0
，所以当
x[0,1]
时，
F(x)0
，从而
g(x)f(x)
.
故选D.
2


xt7
(4) 曲线

上对应于
t1
的点处的曲率半径是 （ ）
2


yt4t1
(A)
10

50
(B)
10

100
(C)
1010
(D)
510

【答案】C
【解析】
dy
dx
2
t1

2t4
2t
'
t1
3


t1
2
2
dydy
t

t1

2
t1
dxdx2t< br>1
k
y
''

1y

3
' 2
2

1

1q

3
2
,R 
1
1010

k
故选C
(5) 设函数
f( x)arctanx
，若
f(x)xf

(

)
，则
lim
x0

2
x
2

（ ）
(D)(A)
1

【答案】D
(B)
2

3
(C)
1

2
1

3
【解析】因为
f(x)1
xf(x)< br>2
f
'
(

)


，所以
2
x1

f(x)
2

limx0

x
2
lim
x0
xf(x)xarc tanx
limlim
x
2
f(x)
x0
x
2
arctanx
x0
1
1
1x
2

1

3x
2
3
故选D.

2
u
(6) 设函数
u(x,y)
在有界闭区域
D
上连续，在
D
的内部具有2阶连续偏导数，且满足
0
xy< br> 6

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二

2
u
2
u及
2

2
0
，则 （ ）
xy
(A)
u(x,y)
的最大值和最小值都在
D
的边界上取得
(B)
u(x,y)
的最大值和最小值都在
D
的内部上取得
(C) u(x,y)
的最大值在
D
的内部取得，最小值在
D
的边界上取 得
(D)
u(x,y)
的最小值在
D
的内部取得，最大值在D
的边界上取得
【答案】A

2
u
2
u 
2
u
,C
2
,B0,A,C相反数
【解析】记A
2
,B
xxyy
则
=AC-B0
, 所以
u(x,y)
在
D
内无极值，则极值在边界处取得.
故选A
2
0ab0
b

( )
0
d
2
a00
(7) 行列式
0cd
c0
2
0
22222222
(A)
(adbc)
(B)
(adbc)
(C)
adbc
(D)
bcad

【答案】B
【解析】由行列式的展开定理展开第一列
0
a
0
c
ab
00
cd
00
0< br>ab
b
acd
0
00
d
0ab0
0c 00b

dcd0

ad(adbc)bc(adbc)


(adbc)
.
(8) 设
a
1
,a
2< br>,a
3
均为三维向量，则对任意常数
k,l
,向量组
a
1
ka
3
,
a
2
la
3
线性无关是 向量组
2
a
1
,a
2
,a
3
线性无关的 ( )
(A)必要非充分条件


7
(B)充分非必要条件

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
(C)充分必要条件
【答案】A
【解析】


1
k

3
(D)既非充分也非必要条件

2
l

3




1

2

10



3


01

.

kl



10


01

3
< br>，
C


. 若

1
,
2
,

3
线性无

kl


)
记
A


1
k

3

2
l

3

，
B

1

2
关，则
r(A)r(BC)r(C)2
，故

1
k

3
,

2
l
< br>3
线性无关.
)
举反例. 令

3
0，则

1
,

2
线性无关，但此时

1
,

2
,

3
却线性相关.
综上所 述，对任意常数
k,l
，向量

1
k

3
,

2
l

3
线性无关是向量

1< br>,

2
,

3
线性无关的必
要非充分条件.
故选A
二、填空题：9
:
14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在 答题纸指定位置上.
．．．
1


x
2
2x 5
dx
__________.
3
【答案】


8
(9)
1
【解析】
1
111x1
dxd xarctan


x
2
2x5

< br>
x1

2
4
22
1
1
< br>
1




3








2

4

2


8

(10) 设
f(x)
是周期为
4
的可导奇函数，且
f

(x)
2(x1),
【答案 】1
【解析】
f
则
f
'
'
则
f(7)
__________.
x[0,2]
，


x

2

x1

，x

0,2
< br>且为偶函数

x

2

x1
，x

2,0


2
又
f
x

x2xc
且为奇函数，故
c=0

8

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
f

x

x
2
2x，x

2,0


又
Qf< br>
x

的周期为4，
f

7

 f

1

1

(11) 设
zz(x,y)
是由方程
e
2yz
7
xy
2
z
确 定的函数，则
dz
4
11
(,)
22

_____ _____.
【答案】

1
(dxdy)

2
2yz
【解析】对
e
7
xy
2
z
方程两边 同时对
x,y
求偏导
4
zz

2yz
e2 y10

xx



zz
2yz

e(2z2y)2y0
yy


当
x
11
,y
时,
z0

22
11
( ,)
22
故
z
x
1z
,
2y
11
(,)
22
1


2
故
dz
11
(,)
22
111
dx()dy(dxdy)

222
(12) 曲线
limnS
n
的极坐标方程是
r< br>
，则
L
在点
(r,

)(
n

,)
处的切线的直角坐标方程是
22
__________.
【答案】
y
2

x

2

【解析】由直角坐标和极坐标的关系


xrcos



cos

，

yrsin

< br>
sin

于是

r,








,

,
对 应于

x,y



0,

,


22

2

dy
dy
dy
d


cos

sin

切线斜率


dx
dx
dx
cos


sin

d






0 ,


2


2


9

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
所以切线方程为
y
即
y= 

2

2


x0


2

x

2

(13) 一根长为1的细棒位于
x
轴的区间
[0,1]
上,若其线密度


x
x
2
2x1
,则该细棒的质
心坐标
x__________.
【答案】
11

20
1
0< br>x


x

dx

【解析】质心横坐标x




x

dx
1
0

x
3

1
5
2

xdx=x 2x1dxxx



3

0
< br>
0

0

3

11
2

x2
3
x

1
11
x

0


0
x


x

dx=
0
x

x2x1

dx

2

12

43
11
11
x
12=

5
20
3
11
2
42

(13) 设二次型
f

x
1
,x
2
,x
3

x
1
x
2
2ax
1
x
3
4x
2
x
3
的负惯性指数是1，则
a
的取值范围
22
_________.
【答案】

2,2


【解析】配方法：
f
x
1
,x
2
,x
3



x
1
ax
3

ax
3

< br>x
2
2x
3

4x
3

222
22
由于二次型负惯性指数为1，所以
4a0
，故
2a2
.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答 应写出文字说明、证
．．．
明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分) 2

求极限
lim
x
x
1

2

1


t

t

e1

t

dt





< br>.


1

x
2
ln

1 


x

10

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
x

2
1
2
1

dtdt
tt

t(e1)tt(e1 )t

1

1

lim

【解析】
lim
xx
11
x
2
ln(1)x
2

xx
x
lim[x(e1)x]

x 
1
t
x
2
1
x
e
t
1 te
t
1t1
limlimlim
.
2
< br>t0

t0t0
t2t2t2
22
(16)(本题满分 10分)
已知函数
yy

x

满足微分方程
x yy

1y

，且
y

2

0
，求
y

x

的极大值与极小
值.
【解析】 由
xyy

1y

，得

(y1)y

1x
………………………………………………………①
此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为
22
22
1
3
1
yyxx
3
c

33
2
由
y(2)0
得
c

3

1x
2
又由①可得
y

(x)
2

y1
当
y

(x)0
时，
x1
，且有：
x 1,y

(x)0
1x1,y

(x)0
x1,y

(x)0
所以
y(x)
在
x1处取得极小值，在
x1
处取得极大值
y(1)0,y(1)1

即：
y(x)
的极大值为1，极小值为0.
(17)(本题满分10分)
设平面区域
D


x,y

1x
2< br>y4,x0,y0,
计算

D
2

xsi n

x
2
y
2
xy


dx dy
.
【解析】D关于
yx
对称，满足轮换对称性，则：
xs in(

x
2
y
2
)ysin(

x< br>2
y
2
)
dxdy

dxdy


xyxy
DD
11

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
xsin(

x
2
y
2
)
1

xsin(

x
2
y
2
)ysin(

x
2
y
2
)
I

dxdy




dxdy

xy2
D

xyxy

D


1
sin(

x
2
y
2
)dxdy


2
D
2
1



2
d


sin

rrdr
12
0


1
2
()

rdcos

r
4

1
2
1
2


cos

rr|
1


cos
rdr



1

4

1

1
2



21sin

r|< br>1


4



3


4
(18)(本题满分10分)

2
z
2
z< br>x2x
设函数
f(u)
具有二阶连续导数，
zf(ecosy)满足
2

2
(4zecosy)e
，若
xy< br>x
f(0)0,f
'
(0)0
，求
f(u)
的表 达式.
【解析】由
zfe
x
cosy,

zz< br>f

(e
x
cosy)e
x
cosy,f
(e
x
cosy)

e
x
siny

xy

2
z
f

(e< br>x
cosy)e
x
cosye
x
cosyf

(e
x
cosy)e
x
cosy
，
2
x

2
z
f

(e
x
cosy)

e
x
siny



e
x
siny

f

(e
x
cosy)

e
x
cosy


2
y

2
z
2
z
+
2


4ze
x< br>cosy

e
2x
，代入得， 由
2
xyf


e
x
cosy

e
2x< br>[4f

e
x
cosy

e
x
cosy]e
2x

即
12

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
f


e
xcosy

4f

e
x
cosy

e
x
cosy
，
令
ecosy=t,
得
f

t

4f

t

t

x
特征方程

40,

2
得 齐次方程通解
yc
1
e
2t
c
2
e
 2t

2
设特解
y
*
atb
，代入方程得a
1
4
,b0
，特解
y
*

1
4
t

则原方程通解为
y=f

t
< br>c
2t2t
1
1
ec
2
e
4
t

由
f

0

0,f
'

0

0
，得
c
11
1

16< br>,c
2

16
, 则
y=f

u


1
e
2u
11
16

16
e
2u

4
u
.
(19)(本题满分10分) 设函数
f(x),g(x)
在区间
[a,b]
上连续，且
f(x )
单调增加，
0

x
a
g(t)dtxa,x[a ,b]
,
b
（II）

a

a
g(t )dt
a
f(x)dx

b
a
f(x)g(x)dx.
【解析】（I）由积分中值定理

x
a
g

t

dtg



xa

,
[a,x]

Q0g

x

1
，
0g



xa


xa


0

x
a
g

t

dt

xa


（II）直接由
0g

x

1
，得到
0

x
g

t

dt

x
aa
1dt=

xa


（II）令
F

u



u
f

x

g

x

dx

a

ua
g

t

dt
a
f

x< br>
dx

F
'

u

f

u

g

u

f

a
a

u
a
g

t

dt
< br>g

u

g

u




f

u

f

a
u
a
g

t

dt


< br>

由（I）知
0

u
a
g
< br>t

dt

ua


aa 

u
a
g

t

dtu

13
0g(x)1
，证明：（I）

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
又由于
f

x
< br>单增，所以
f

u

fa


g

t

dt

0

u
aF
'

u

0，F

u
单调不减，
F

u

F

a
< br>0

取
ub
，得
F

b
0
，即（II）成立.
(20)(本题满分11分)
设函数
f( x)
x
,x

0,1

，定义函数列
1x
f
1
(x)f(x),f
2
(x)f(f
1
( x)),L,f
n
(x)f(f
n1
(x)),L
，记
S
n
是由曲线
yf
n
(x)
，直线
x1
及
x
轴所围成平面图形的面积，求极限
limnS
n
.
n
【解析】
f
1
(x)
xxxx
,f
2(x),f
3
(x),L,f
n
(x),

1 x12x13x1nx
11
x
111
x
nn
dx

S
n


f
n
(x)dx

dx

00
1nx
0
1nx
1
1
1
1
111


1dx

dx2
ln(1nx)
1
0

n
0
n
0
1nxnn
11

2
ln(1n)

nn< br>ln(1n)ln(1x)1
limnS
n
1lim1lim 1lim
101

nnxx
nx1x
 f
2(y1)
，且
f(y,y)(y1)
2
(2y)l ny,
求曲线
y
(21)(本题满分11分)
已知函数
f(x,y)
满足
f(x,y)0
所围成的图形绕直线
y1
旋 转所成的旋转体的体积.
【解析】因为
f
2(y1)
,所以
f(x,y)y
2
2y

(x),
其中

( x)
为待定函数.
y
2
又因为
f(y,y)(y1)
2y

lny,
则

(y)1
2y

lny
，从而
f(x,y)y
2
2y 1

2x

lnx(y1)
2


2x

lnx
.
令
f(x,y)0,
可得
(y1)

2x

lnx
，当
y1
时，
x1
或
x2
，从而所求的体积为
2
14

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
V



y1

dx



2x

lnxdx11
2
2
2



2
1
< br>x
2

lnxd

2x

2

2
2


x
2

x




lnx(2x)





2

dx
1
2

1
2




x
2
2
55



2ln2

(2x)
1


2ln2
< br>


2ln2

.
444

(22)(本题满分11分)

1234


设矩阵
A

0111

，
E
为三阶单位矩阵.

1203


(I)求方程组
Ax0
的一 个基础解系；
(II)求满足
ABE
的所有矩阵
B
.
【解析】

1234100

1234100


01110100111010

AE






1203001

0431 101


61

1234100
< br>10012

10



010213 1

,


01110

0013141

0013141


(I )
Ax0
的基础解系为



1,2,3,1


(II)
e
1


1,0,0
,e
2


0,1,0

,e
3
< br>
0,0,1


TTT
T
Axe
1的通解为
xk
1



2,1,1,0



2k
1
,12k
1
,13k1
,k
1


TT
Axe
2
的通解 为
xk
2



6,3,4,0



6k
2
,32k
2
,43k
2,k
2


Axe
3
的通解为
xk
3



1,1,1,0



1 k
3
,12k
3
,13k
3
,k
3


TT
TT
6k
2
1k
3
< br>2k
1

12k32k12k
123

B


13k
1
43k
2
13k
3



k

kk
123

(23)(本题满分11分)
15
（
k
1
,k
2
,k
3
为任意常数）

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二

11L

11L
证明
n
阶矩阵


MMM


11L
1


M
【解析】已知
A


1L

M



1

1

0


1


0
与
M

M


1


0L01


L02

相似.

MMM

L0n

L

1


2
1

，
B=


00L

M
< br>

n

1

，
则
A
的特征值为
n
，
0
(
n1
重).
A
属 于

n
的特征向量为
(1,1,L,1)
T
；
r (A)1
，故
Ax0
基础解系有
n1
个线性无关
的解 向量，即
A
属于

0
有
n1
个线性无关的特征 向量；故
A
相似于对角阵



.


0

B
的特征值为
n
，
0
(
n 1
重)，同理
B
属于

0
有
n1
个线 性无关的特征向量，故
B
相
似于对角阵

.
由相似关系的传递性，
A
相似于
B
.


n

0
=


O

< br> 16