2018年全国卷2文科数学试题及答案解析
泰山大学-企业文化标语口号
绝密★启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题
5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。学 @科网
1．i 2 3i
A．3 2i
2．已知集合 A
A． 3
3．函数
f x
x
e e
2
x
B． 3 2i
1,3,5,7 ， B
B． 5
的图像大致为
C． 3 2i
2,3,4,5 ，则 A B
C．
3,5
D． 3 2i
D． 1,2,3,4,5,7
x
4．已知向量 a ，
b
满足 | a | 1， a b
A．4
B．3
1 ，则 a (2a b)
C．2 D．0
2 人都是女同学的概率为
5．从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的
A．0.6
6．双曲线
x
A．
y
2
2
2
B．0.5 C． 0.4 D．0.3
y
2
1( a 0,b 0)
B．
y
的离心率为
C．
3 ，则其渐近线方程为
2
y
2
x
D．
y
3
2
a b
2x 3x
x
7．在
△ABC
中， cos
C
2
5
5
， BC 1 ，
AC 5
，则
AB
A．4 2
. 资料
B． 30 C． 29 D．2 5
1 1 1 1 1
8．为计算S 1
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
2 3 4 99 100
开始
N 0,T 0
i 1
是 否
i 100
N N
1
i
S N T
1
输出S
T T
i 1
结束
A ． i i 1 B． i i 2
C．
i i 3
D． i i 4
9．在正方体
ABCD A B C D
1 1
中，
1 1
E 为棱CC
的中点，则异面直线
1
AE 与 CD 所成角的正切值为
A． 2
B．
3
D． 7
2
2
C．
5
2
2
10．若 f (x) cos x
sin x 在 [0, a] 是减函数，则 a 的最大值是
A．
π
B．
π
4
C．
3π
2
4
D． π
11．已知
F
PF
1
1
， F
2
是椭圆
C 的两个焦点，
P
是 C 上的一点，若
PF
2
，且
PF
2
F
1
60 ，则 C 的离心率
为
A．
1
3
1
2
B． 2 3 C．
3
2
D． 3 1
12 ． 已 知 f (x) 是 定义域 为 ( , ) 的 奇 函 数 ， 满 足 f
(1 x) f (1 x) ． 若 f ( 1 ) ，2 则
f ( 1 ) f ( 2
)f ( f ( 5 0 )
A． 50 B．0 C．2 D．50
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．曲线 y 2ln
x在点 (1, 0) 处的切线方程为 __________．
x 2y 5≥ 0,
14．若
x, y
满足约束条件 x 2y 3≥ 0, 则 z x y
的最大值为 __________．
x 5
≤
0,
15．已知
5π 1
tan( )
α ，则
tanα
__________．
4 5
16．已知圆锥的顶点为
S，母线 SA， SB 互相垂直， SA与圆锥底面所成角为 30 ，若
△
SAB
的面积为 8 ，则
. 资料
该圆锥的体积为
__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60
分。
17．（12 分）
记
S 为等差数列 { a
n
} 的前 n 项和，已知 a
1
n
17～21
题为必考题，每个试题考
7 ， S
3
15 ．
（1）求 { }
a 的通项公式；
n
（2）求
S ，并求
S
n
的最小值．
n
18．（12 分）
下图是某地区
2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区
2018 年的环境基础设施投资额， 建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型． 根据 2000
年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1, 2,
至 2016
年的数据（时间变量 t 的值依次为 1, 2,
（1）分别利用这两个模型，求该地区
,17 ）建立模型①： y ?30.4 13.5t ；根据 2010 年
, 7
）建立模型②： y 99 17.5t ． ?
2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12 分）
如图，在三棱锥 P ABC 中， AB BC 2 2 ， PA PB PC AC 4 ，O
为
AC
的中点．
. 资料
（1）证明：
PO
平面
ABC
；
（2）若点
M
在棱 BC 上，且
MC 2MB ，求点 C 到平面 POM 的距离．
20．（12 分）
设抛物线
2
4
C：y x 的焦点为
F
，过
F
且斜率为 k(k 0) 的直线 l 与 C 交于
A
，
B
两点， | AB |
（1）求 l 的方程；
（2）求过点
A
，
B
且与 C 的准线相切的圆的方程．
21．（12 分）
已知函数
1
3
2
1
f x
3
x a x x
．
（1）若 a 3 ，求 f
(x) 的单调区；间
（2）证明： f (x) 只有一个零点．
（二）选考题：共10
分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22． [
选修4－ 4：坐标系与参数方程 ] （10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线
C 的参数方程为
x 2cosθ,
（
θ
为参数），直线
l 的参数方程为
y 4sin θ
（ t 为参数）．
（1）求 C 和 l
的直角坐标方程；
（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2) ，求 l
的斜率．
23． [ 选修4－ 5：不等式选讲] （10 分）
设函数 f (x)
5 | x a | | x 2| ．
（1）当 a 1 时，求不等式 f (x)≥ 0
的解集；
（2）若 f (x)≤ 1 ，求 a 的取值范围．
. 资料
8 ．
x 1 t cosα,
y 2 t sin α
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2018 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1．D
7．A
二、填空题
13．
y
=2
x
–2
三、解答题
17．解：
（1）设{
a
n
} 的公差为
d
，由题意得
3
a
1
+3
d
=–15．
由
a
1
=–7 得
d
=2．
所以{
a
n
} 的通项公式为
a
n
=2
n
–9．
2
2．C
8．B
3．B
9．C
4．B
10．C
5．D
11．D
6．A
12． C
14．9 15．
3
2
16．8π
（2）由（ 1）得
S
n
=
n
–8
n
=（
n
–4）
2
–16．
所以当
n
=4
时，
S
n
取得最小值，最小值为 –16．
18．解：
（1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
$$
=–30.4+13.5 × 19=226.1 （亿元）．
y
利用模型②，该地区
2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
$$ =99+17.5 × 9=256.5
（亿元）．
y
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i ）从折线图可以看出， 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线
y
=–30.4+13.5
t
上下，
这说明利用 2000
年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋
势．2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，
条直线的附近，这说明从
2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一
2010 年 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用
.
资料
至 2016 年的数据建立的线性模型 y$$=99+17.5
t
可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变
化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii ）从计算结果看，相对于 2016
年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到的预测值 226.1
亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更
可靠．
以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科
19．解：
（1）因为
AP
=
CP
=
AC
=4，
O
为
AC
的中点，所以
OP
⊥
AC
，且
OP
= 2 3 ．
连结
OB
．因为
AB
=
BC
=
2
2
AC ，所以△
ABC
为等腰直角三角形，且
OB
⊥
AC
，
由
2 2 2
OP OB PB 知，
OP
⊥
OB
．
由
OP
⊥
OB
，
OP
⊥
AC
知
PO
⊥平面
ABC
．
（2）作
CH
⊥
OM
，垂足为
H
．又由（ 1）可得
OP
⊥
CH
，所以
CH
⊥平面
POM
．
故
CH
的长为点
C
到平面
POM
的距离．
由题设可知
OC
=
1
AC =2，
CM
2
3
BC =
4 2
2
=
3
，∠
ACB
=45° ．
所以
OM
= 2
5
，
CH
=
OC MC sin ACB
= 4 5
3
OM
5
．
所以点
C
到平面
POM
的距离为 4 5
5
．
20．解：
（1）由题意得
F
（1，0），
l
的方程为
y
=
k
（
x
–1）（
k
>0）．
设
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
）．
.
资料
@网
OB
=
1
2
AC
=2．
由
y k(x 1)
2
得
2 2
(2
2
4)
2
0
y 4x
k x k x k ．
2
2
16k 16 0 ，故
2k 4
．
x
1
x
2 2
k
2
所以
AB AF BF (x 1) (x
4k 4
．
1
1)
2 2
2
k
由题设知
4k 4
8
，解得
k
=–1（舍去），
k
=1．
2
k
因此
l
的方程为
y
=
x
–1．
（2）由（ 1）得
AB
的中点坐标为（ 3，2），所以
AB
的垂直平分线方程为
y 2 (x 3) ，即 y x 5 ．
设所求圆的圆心坐标为（
x
0
，
y
0
），则
y x 5
，
解得
x
3，
0
或
x
11，
0
0 0
2
y
2
y
6.
x 1)
0
2
( y
0
0 0
(x
0
1)
16.
2
因此所求圆的方程为
2 2 2 2
(x 3)
( y 2) 16 或
(x 11) ( y 6) 144 ．
21．解：
（1）当
a
=3 时，
f
（
x
）=
1
3 2
3
x x x ，
3
f
′（
x
）=
2
3 3
x 6x 3 ．
令
f
′（
x
）=0 解得
x
=3 2 3 或
x
=3 2 3
．
当
x
∈（ – ∞， 3 2 3 ）∪（ 3 2 3 ，+∞）时，
f
′（
x
）>0；
当
x
∈（ 3 2 3
， 3 2 3 ）时，
f
′（
x
）<0．
故
f
（
x
）在（ –∞， 3 2 3 ），（ 3 2 3 ，+∞）单调递增，在（
3 2 3 ， 3 2 3 ）单调递减．
3
（2）由于
2
x x ，所以 f (x) 0 等价于
x
．
1 0
2
3a 0
设 g (x) =
3
x x 1
x
g
′（
x
）=
2 2
x (x 2x 3)
2
2 2
≥ 0，仅当
x
=0 时
g
′（
x
）=0，所以
g
x x 1
3a
，则
(x
x 1)
（ –∞， +∞）单调递增．故
g
（
x
）至多有一个零点，从而
f
（
x
）至多有一个零点．学· 科网
又
f
（3
a
– 1）=
2
1 1
2
1
1
6 2 6( ) 0
0
，故
f
（
x
）有一个零点．
a a a
，
f
（3
a
+1） =
3
x
）在（
3
综上，
f
（
x
）只有一个零点．
6 6
. 资料
22．解：
（1）曲线 C
的直角坐标方程为
2 2
x y
1
．
4 16
当cos 0 时， l 的直角坐标方程为 y tan x 2
tan ，
当cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x 1．
（2）将 l
的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程
2 2
(1 3cos
)t 4(2cos sin )t 8 0 ．①
因为曲线 C 截直线 l
所得线段的中点 (1,2) 在C 内，所以①有两个解，设为
t ， t
2
，则 t
1
1
t
2
4(2cos sin )
又由①得
1 2 2
t t
1 3cos
，故
2cos sin 0 ，于是直线 l 的斜率 k tan 2 ．
23．解：
（1）当 a 1时，
2x 4,x 1,
f (x) 2, 1 x 2,
2x 6,x 2.
可得 f (x) 0 的解集为 { x | 2 x 3} ．
（2） f (x) 1 等价于 | x a | | x 2| 4 ．
而|x a |
| x 2 | | a 2 | ，且当 x 2 时等号成立．故 f (x) 1等价于 | a 2 |
4 ．
由|a 2 | 4 可得 a 6 或 a 2 ，所以
a
的取值范围是 ( , 6] [2, ) ．
0 ．
. 资料