2018年高考全国卷1数学试题及答案解析[理科]
克罗斯-武汉教育局
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2017
年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、
选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
x
1.
已知集合 A x x 1 ，B x
3 1 ，则（）
A． A B x x 0 B． A B R
C． A B x x
1 D． A B
2.
如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 .
正方形内切圆中的黑色部分和白色
部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概
率是（）
A．
1
π
4
B．
8
C．
1
D．
π
2
4
3.
设有下面四个命题，则正确的是（）
1
R ，则 z
p
1
：若复数 z
满足
R ；
z
p
2
2
：若复数 z 满足zR
，则 z R ；
p
3
：若复数
z
1
，z
2
满足z z
1
R
2
，则
z
z
1
；
2
p
4
：若复数 z R ，则 z R ．
A． p
1
，p
3
p ，p
p ，p p ，p
B． C．D．
2
4
Sa
1
4
4.
记
n
为等差数列
n
的前 n
项和，若
a
4
a
5
24，S
6
48
2
，则
3
a
n
的公差为
（）
A．1 B．2 C． 4 D．8
5.
函数
f x 在 ， 单调递 ，减且为奇函数． 若 f 1 1，则满足1≤ f x 2 ≤ 1
的
的取值范围是（）
A． 2，2 B． 1，1 C． 0 ，4 D． 1，3
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x
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1
6
6.
1 1
展开式中
2
x 的系数
x
2
为
x
A．15 B． 20 C． 30 D． 35
7.
某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组 ，成
正方形的边长为
2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形， 这些
梯形的面积之和为
A．10 B． 12 C． 14 D．16
右面程序框图是为了求出满足3 2
n
8.
1000
n
的最小偶数 n ，那么在
和
两个
空白框中，可以分别填入
A． A 1000 和 n n 1 B．
A 1000 和 n n 2
C． A≤ 1000 和 n n 1 D． A≤ 1000 和
n n 2
9.
已知曲线
2π
C
1
:
y cos x ， C
2
: y sin 2x ，则下面结论正确的
是（）
3
A．把 C
1
上各点的横坐标伸长到原来的 2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π
个
单位长度，得到曲线 C
6
2
B．把 C
1
上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平
π
移
个
12
单位长度，得到曲线
C
2
C．把
C
1
1
上各点的横坐标缩短到原来的
2
倍，
移
纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平
单位长度，得到曲线 C
2
D．把
C 上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，
再把得到的曲线向左平
移
1
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π
个
6
π
个
12
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单位长度，得到曲线 C
2
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10.
已知 F 为抛物线
C ：
2 4
y x 的交点， 过 F 作两条互相垂直 l
1
，l
2
，直线 l
1
与 C 交
于 A 、B
DE 的最小值为（）
C． 12
C． 3y 5z 2x
D．10
两点，直线 l
2
与 C 交于 D ， E 两点， AB
A．16
B． 14
x y z
11.
设x ， y ， z 为正数，且
235，则（）
A． 2x 3y 5z
D． 3y 2x 5z
B． 5z
2x 3y
12.
几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴，趣
他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的
答案：已知数列 1, 1, 2 , 1, 2 , 4 , 1, 2 , 4 , 8 , 1,
2 , 4 , 8 , 16 ，⋯ ，其中第一项是
0
2，
0 1 6 1
2
接下来的两项是 2， 2，在接下来的三项式2， 2， 2，依次类推，求满足如下条件的
最小整数 N ：N 100 且该数列的前N 项和为 2的整数幂． 那么该款软件的激活码是 （
A． 440 B． 330 C． 220 D．110
二、 填空题：本题共 4
小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.
已知向量 a ， b 的夹角为 60
， a
）
2 ， b 1，则 a 2b ________．
x 2y 1
14.
设x ， y 满足约束条件
2x y
，则 z 3x 2y
的最小值为
_______．
1
2
2
15.
已知双曲线
C
x y
，（ a 0 ，b 0
）的右顶点为 A，以 A为圆心， b 为半径作
:
2
圆 A，
2
a b
圆 A与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ，N 两点，若 MAN 60 ，则
C 的离心率为 _______．
ABC 的中心为 O ，D 、
16.
如图，圆形纸片的圆心为 O ，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形
x y 0
E、 F 为元O 上的点， △DBC ， △ECA， △FAB 分别是一 BC ， CA ，
AB 为底边的等腰
三角形，沿虚线剪开后，分别以 BC ， CA ， AB
为折痕折起△DBC ， △ECA， △FAB ，
使得 D ， E ， F
重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体位： 单（积
3
cm
）的最大值为 _______．
三、 解答题： 共 70 分。 解答应写出文字说明、
证明过程或演算步 。骤
每个试题考生都必须作答。第
（一）必考题：共 60 分。
第 17-21 题为必考题，
22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
2
17.
△ABC 的内角 A， B ， C 的对边分别为 a
， b ， c ，已知 △ABC 的
a
．
A
面积为
3sin
（1）求 sin B sin C ；
（2）若 6cos
Bcos C 1 ， a 3 ，求 △ABC 的周长．
18.
（12 分）
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如图，在四棱锥 P ABCD 中，
AB ∥ CD 中，且 BAP CDP 90 ．
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（1）证明：平面 PAB
平面 PAD ；
（2）若 PA PD AB DC ， APD 90 ，求二面角 A PB
C 的余弦值．
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19.
（12 分）
为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零
件，并测量其尺寸（单位： cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下
2
生产的零件的尺寸服从正态分布
N ，
．
（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
（I
）试说明上述监控生产过程方法的合理性：
（II ）下面是检验员在一天内抽取的
9.95
16 个零件中其尺寸在
3 ， 3
3 ， 3
之外的零件数，求 P X ≥ 1 及 X 的数学期望；
之外的零件，就认为这条
生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
16
个零件的尺寸：
9.98 10.04 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92
10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
16
16 16
1 1
x x
2 2 2
9.97，
s x x x x ，其中 x
i
经计算得
为抽
i
i 1
16 0.212
i i
16 16
i 1 i 1
取的第 i 个零件的尺寸， i 1，2， ，16 ．
用样本平均数 x 作为
的估计值? ，用样本标准差s 作为 的估计值? ，利用估计值
判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除
据估计 和 （精确到 0.01）．
2
， ,则P 3 Z 3 0.997 4 ．
? 3 ?， ? 3 ?
之外的数据，用剩下的数
10.26
9.91
附：若随机变量 Z
服从正态分布N
16
0.997
4 0.9592 ， 0.008 0.09
．
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20.
（12 分）已知椭圆
C ：
2 2
x y
2 2
a b 0 ，四点 P
1
1，1
，P
2
0，1 ，P
3
1， ，
1
a b
3
2
3
P 1， 中恰有三点在椭圆 C 上．
4
2
（1）求 C 的方程；
（2）设直线 l 不经过 P
2
点且与 C 相交于 A 、 B 两点，若直线 P
2
A 与直线
P
2
B 的斜率的和
为 1，证明： l 过定点．
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21.
（12 分）
已知函数
f x
x ．
2x
ae
x
a 2 e
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x
有两个零点，求
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a 的取值范围．
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（二）选考题：共10
分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22.
[ 选修4-4 ：坐标系与参考方程 ]
在直角坐标系
xOy 中，曲线C 的参数方程为
x
3cos
，
y sin
，
（ 为参数），直线
程为
x a 4t
，
（ t 为参
，
数）．
y 1 t
（1）若 a 1，求 C 与 l
的交点坐标；
（2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17 ，求 a ．
23.
[ 选修4-5 ：不等式选讲]
已知函数
2 4 1 1
f x x ax ，g x x
x ．
（1）当 a
1时，求不等式 f x ≥ g x 的解集；
（2）若不等式 f x ≥ g x 的解集包含
1，1 ，求 a 的取值范围．
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l 的参数方
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答案及解析
一、
选择题
24.
A
【解析】 A x x 1 ， B
x
x 3 1 x x 0
x x 1 ， ∴ A B
选 A
25.
B
x x 0 ， A B
【解析】 设正方形边长为
2，则圆半径为 1
π
2
则正方形的面积为 2 2
4 ，圆的面积
π 1 π，图中黑色部分的概率为
2
为
π
则此点取自黑色部分的概率为 2
π
4 8
故选 B
26.
B
1 1 a bi
R ，得到 b 0 ，所以 z
R . 故 P
1
正
【解析】 p
1
:设 z a bi ，则
2
确；
2
z a bi a b
2 2
p
2
:若 z
zR ，而 z i ，不满足 zR ，故 p
2
不正
2 1 ，满
确；
足
p
3
:若 z
1
1，z
2
2，则z
1
z
2
2，满足 z
1
z
2
R ，而它们实部不相等， 不是共轭复数，
故
p 不正
确；
3
p
4
:实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故
27.
C
p
4
正确；
【解析】
a
4
a
5
a
1
3d a
1
4d 24
6 5
S 6a d 48
6 1
2
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①
2a 7d 24
联立求得
1
②
6a 15d 48
1
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①
3
6d 24
∴d 4
选C
28.
D
② 得 21 15 d 24
【解析】 因为 f x 为奇函数，所以f 1 f 1
1，
1 | 于是 1≤ f x 2 ≤ 1 等价于 f 1 ≤ f x 2 ≤ f
29.
C.
【解析】
30.
B
【解析】
31.
D
【答案】
又 f x 在 ， 单调
减递
1≤ x 2≤ 1
1≤ x≤ 3
故选D
1
6 6
1
1+ 1 x
6
1 1 x 1
x
x
2
x
2
6
6 5
对1 x 的
x
2
项系数为
C
2
6
15
1
对
1 x
6
2
的
2
2
x 项系数为
4
C
x
=15
6
，
∴ x
2
的系数为 15 15 30
故选C
由三视图可画出立体图
该立体图平面内只有两个相同的梯形的面
S
梯
2 4 2
2
6
S
全梯
6 2 12
故选B
因为要求 A
大于 1000 时输出，且框图中在“否”时输出
∴“ ”中不能输入A 1000
排除
A、B
又要求 n 为偶数，且 n 初始值为 0，
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“
故选D
”中 n 依次加
2 可保证其为偶
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32.
D
2π
【解析】
C
1
: y cosx ，C
2
: y sin
33.
A
【解析】
2x
3
首先曲线 C
1
、 C
2
统一为一三角函数名，可将 C
1
: y cosx 用诱导公式处理．
π π π
y cos x cos x sin x ．横坐标变换需将 1 变成 2
，
2 2 2
即
π点横 标缩
1
π
来 π
C
y x
1
上各 坐 短它原
y x x
sin sin 2 sin 2
2
2 2 4
2π π
y sin 2x sin 2 x ．
3 3
注意
的系数，在右平移需将 2 提到括号外面，这
时
x
π
平移至
x
π
4
，
根据“左加右减”原则，“
x
π
”到“
x
π
3
”需加上
π
，即再向左平移
π
4 3
12
．
12
设 AB倾斜角为 ．作 AK
1
垂直准线， AK
2
垂直 x 轴
AF cos GF AK
1
（
系）
几何关
易知
AK
1
AF
（抛物线特
性）
P P
GP P
2
2
∴
AF cos P AF
同理
AF
P
P
1 cos
，
BF
1
cos
2P 2P
AB
∴ 2 2
1 cos sin
又 DE 与 AB 垂直，即 DE 的倾斜角为
π
2
DE
2P 2P
2
2
sin
π
cos
2
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而
2 4
y x，即 P
2 ．
1
AB
∴
DE 2P
2
sin
2
cos
1
2
2
4
sin cos
2 2
2 2
sin cos
4
sin cos
4
1
4
2
sin
2
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16
π
2
≥ 16 ，当
取等号
sin 2
4
即 AB
34.
D
DE 最小值为 16 ，故选A
【解析】 取对数：xln 2 y ln3 ln5 .
x
y
ln3 3
ln 2 2
z ln5
∴
2x 3y
x ln2
x
则
z
ln5
5
ln 2
2
∴ 2x 5z ∴ 3y 2x
5z，故选D
35.
A
【解析】 设首项为第 1 组，接下来两项为第
设第 n 组的项数为 n ，则n 组的项数和为
2 组，再接下来三项为第
n
1 n
2
3 组，以此类推．
n 1 n
*
由题， N 100 ，
100 → n≥ 14
n N ，即 N
出现在第 13 组之
2
令
且
后
n
第
n组的和为 1 2
1 2
2 1
n
n
n
n 组总共的和为
2 1 2
n 2 2
1 2
n
n 1 n
若要使前 N 项和为 2 的整数幂，则k 应与2 n
互为相反数
N 项的和2 1
2
k *
即
2
1 2 n k N ，n
≥ 14
k log n 3
2
→ n
29，k 5
29 1 29
则
5 440
2
N
故选A
二、 填空题
36.
2 3
2
a 2b
2 b
2
(a 2b)
2
a 2 a 2b cos60
2
2 1
2
2 2 2 2
2
2
4 4 4 【解析】
12
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∴ a 2b
37.
5
12 2 3
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x 2 y 1
不等式组
2x y
x y 0
y
1
表示的平面区域如图所示
A
C
B
1
x
x+2y-1=0
2x+y+1=0
3 z
由
z 3x 2y
y
x ，
得
2 2
3 z
求
z 的最小值，即求直线
y x 的纵截距的最大
值
2 2
3 z
当直线
y x 过图中点 A 时，纵截距
最大
2 2
2x y
由
1
解得 A 点坐标为 (
1,1)，此时 z 3 ( 1) 2
1 5
x 2y 1
38.
2 3
39.
3
【解析】 如图，
OA
a， AN
AM b
AP
3
b ，
OP
2
2 2 2
3 2
OA PA a b
4
∵ MAN 60 ，∴
∴
tan
AP
OP
3
b
2
2
a
3
b
4
2
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3
b
b
，解得
2
又∵ tan
，∴ 2
b
a
2 a 3b
3
2
2
a b
4
1
2
3
1
3 3
2
b
∴
e
1
2
a
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40.
4 15
【解析】 由题，连接OD ，交 BC 与点 G ，由题，
OD BC
3
OG BC ，即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比
6
设OG x ，则BC 2 3x， DG 5 x
三棱锥的高h DG
2
OG
2
25 10x x
2
x 25 10x
1
2
S
△ ABC
2 3 3x 3 3x
2
1
2
V则 S△
ABC
h 3x 25 10x = 3
25x
4
10 x
5
3
令
5
x
5
f x 25x
4
3
10x ，
(0,
)
2
，
f x 100x
4
50x
令 f x 0，即 x
4
2x
3
0 ， x 2
则f x ≤ f 2 80
V则 ≤
3 80 45
∴体积最大值为4 15 cm
3
三、
解答题（必考题）
（1）∵ △ ABC 面
2
41.
1
积
S
a
.
3sinA
且
S bc sin
A
2
∴
2 1
a
bcsin A
3sin A 2
∴
2 3 2
a bc sin
A
2
∵由正弦定理得
2 3 2
sin A sin B
sin C sin
A ，
2
由 sin A 0
2
得
sin B sin
C
.
3
（2）由（ 1）
得
sin B sin
2
1
C
，
cosB cosC
3
6
∵ A B C π
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∴
cos A cos π B C
cosC
又∵ A
0，π
cos B C
1
sin B sinC cos B
2
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∴ A 60 ，sin
A
3
，
1
cos A
2
2
2 2 9
由余弦定理得
2
a b c bc
①
a a
由正弦定理得 sin ，c sin
b B C
sin A
sin A
2
a
∴
②
bc 2 sin B sinC 8
sin A
由①②得 b c
∴ a b c 3
33
33 ，即 △ABC 周长为 3 33
42.
（1）证明：∵
BAP CDP 90
AB
平面 PAD
∴ PA AB ， PD CD
又∵ AB ∥CD ，∴ PD
∴ AB
又∵ PD PA P ， PD 、 PA
∴平面 PAB 平面
PAD
平面 PAD ，又 AB 平面 PAB
（2）取 AD 中点 O ， BC
中点 E ，连接 PO ， OE
∵ AB CD
∴四边形 ABCD 为平行四边形
∴OE AB
由（1）知， AB 平面 PAD
∴OE
∴OE
平面 PAD ，又 PO 、 AD
PO ，OE AD
AD
O
xyz
2 ，2，0 ，
平面 PAD
又∵ PA PD ，∴ PO
∴ PO 、OE 、 AD 两两垂直
∴以 O
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
设 PA 2 ，∴ D
∴ PD
设 n
2 ，0，0 、 B 2 ，2，0 、 P 0，0， 2 、 C
2
2 ，0，0 2，0， 2 、 PB 2 ，2 ， 2 、 BC
x , y , z 为平面
PBC 的法向量
n PB 0 2x 2 y 2z
0 由 ，得
n BC
0 2 2x 0
令 y 1，则 z 2 ， x 0 ，可得平面 PBC 的一个法向量 n
PA
0 ,1 , 2
∵ APD 90 ，∴ PD
又知 AB
平面 PAD ， PD 平面 PAD
∴ PD AB ，又 PA AB A
∴ PD
平面 PAB
即 PD 是平面 PAB 的一个法向量， PD
PD n
2
cos PD , n
∴
PD n
2 3
3
3
3
3
2 , 0 , 2
由图知二面角 A PB C 为钝角，所以它的余弦值为
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43.
（
1）由题可知尺寸落在 3 ， 3 之内的概率为 0.9974，落在 3 ， 3 之
外的概率为 0.0026．
0 16
P X
0 C 1
0.9974 0.9974
0.9592
16
P X 1 1 P X 0
1 0.9592 0.0408
0
由题可知 X ~ B 16，0.0026
E X 16 0.0026 0.0416
3 ， 3 之外的概率为 0.0026，
3 之外为小概率事件，
（2）（ i ）尺寸落在
由正态分布知尺寸落在
（ii ）
3
3
3 ，
因此上述监控生产过程的方法合理．
9.97 3 0.212 9.334
9.97 3 0.212 10.606
3 9.334 ，10.606 3 ，
9.96
9.334，10.606
， 需对当天的生产过程检．查
10.27
16
9.22
因此剔除 9.22
剔除数据之后：
0.998
．
2 2 2 2
2
2
[
9.95 10.02 10.12 10.02 9.96 10.02 9.96 10.02 10.01
10.02
2 2 2 2 2 9.92
10.02 9.98 10.02
10.04 10.02 10.26 10.02 9.91 10.02
2
2
10.13
10.02
10.02 ]
0.8
0.8
15
2
10.02 10.02
2
10.04 10.02
2
10.05 10.02 9.95
1
15
0.09
P
3
、
P
4
P ，所以过
P ，P ，P 三
1
点
2 3 4
44.
（ 1）根据椭圆对称性，必过
又
P 横坐标为 1，椭圆必不过
4
P 0，1 ，P
将 2
1
2
b
3
1，
代入椭圆方程得
3
2
2
b
1
1
3
4
，解得
2
a
4 ，
1
2
x
2 1
∴椭圆 C 的方程为：
4
y
．
（2） ① 当斜率不存在时，设:
l x m，A m，y
，B m ， y
A A
1
2 2
a b
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y 1 y 1 2
k k 1
A A
P A P
B
m m
2 2
m
得 m 2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满．足
②
当斜率存在时，设l∶ y kx b b 1
A x ，y ，B x ，y
1 1 2
2
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2 2 2
1 4k x 8kbx 4b 4
，整理得
0
x 4y 4 0
2
8kb
4b 4
，
x x
x x
1 2
1
2
2
2
1 4k
1 4k
y 1 y 1
x kx b x x kx b
1 2
k k
则
x
P A P
2 1 2 1 2
x x
B
1
2 2
1 2
x x
1 2
2 2
8kb 8k
8kb 8kb
2
1 4k
2
4b 4
2
1
4k
y kx b
联立 2 2
8k b 1
1
，又 b
4 b 1 b 1
1
b 2k 1，此时
当 x 2 时， y
64k ，存在 k 使得
1
0 成立．
∴直线 l 的方程为 y kx 2k 1
所以 l 过定点 2 ， 1 ．
2x x
45.
（1）由于
f x ae a 2 e
x
2x x x
故
x
f x 2ae a 2 e 1
ae
2e 1
①当 a 0时， ae
x
1
0 恒成立．
ln a ．
ln a ，
1 0 ，2e
x
1 0 ．从而
f x
x
f x 在R 上单调递减
②当 a 0时，令 f x
x
f′x
f x 单调减
0 ，从而 ae
， ln a
0
极小值 单调增
) 上单调递增
1 0 ，得 x
ln a
综上，当 a 0 时， f ( x) 在R 上单调递减；
当 a 0 时， f (
x) 在(
（2）由（ 1）知，
当 a 0 时， f x 在 R 上单调减，故 f
x 在R 上至多一个零点，不满足条件．
当 a 0
时，
令
g a
ln a
令
g a
0
f f
ln a
min
1
1
a
1
1
a
而 g 1
ln a a
．
1 1 ．从而 g a 在 0，
增，
上单调
1
ln a 1
a
．
, ln
a) 上单调递减，在 ( ln a,
g ' a
0
，则 2
a a
0 ．当 a 1时 g a
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0 ．故当 0 a 1 时， g a 0 ．当 a 1时 g a 0
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1
若 a 1，则 f
min
1
0
a
满足条件．
，故 f x
ln
a g a
点，不
0 恒成立，从而 f x 无零
若 a 1，则
f
min
0
件．
1
1
a
，故 f x
ln a
满足条
0 仅有一个实根 x ln a 0
，不
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1
若 0 a 1 ，则f
min
1
0
a
ln a
，注意到
a
f 1
0 ．
ln a 0．
a
1
2
e e e
2
故 f x 在 1， ln a
上有一个实根，
而又
ln
3
ln a
1 ln
1
．
3 3
a a
且
3 ln 1 ln 1
3
a a
f ln( 1) e a e a
2 ln
1
a a
3
1
1 3
a a 2 ln
3
1
3
1
3
ln
．
a
0
a a a
故 f x 在
3
ln a ，ln 1 上有一个
实根．
a
又 f x 在
， ln a 上单调减，在 ln a ， 单调增，故 f x
实根．
又
f x 在 1， ln a
3
及
， 上均至少有一个实数根， 故
f
在 R 上
ln a ln 1
a
恰有两个实根．
综上， 0 a 1．
四、 解答题（选考题）
22.
（ 1） a
1时，直线l 的方程为x 4 y 3 0 ．
曲线C 的标准方程是
2
x
2 1
9
y
，
x 4y 3
x
21
0
，解得：
x 3
25
联立方程 2
x
2
y
1
y
0
24
或
y
9
25
，
C则 与 l 交点坐标是 3，0
和
21 24
，
25 25
（2）直线l 一般式方程是
x 4y 4 a 0 ．
设曲线C 上点 p 3cos ，sin ．
则P
到 l 距离
3cos 4sin 4 a 5sin 4 a
d ，其中
tan
3
17 17
4
．
依题意得：
max
d 17 ，解得 a 16或 a 8
23.
（ 1）当 a 1
2 4
1
时，
f x x x ，是开口向下，对称轴
x 的二次函
数．
2
2x ，x 1
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在 R 上至多两个
x
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g x x 1 x 1 2 ， 1≤ x ≤
1
，
2x x 1
，
2
当 x (1, ) 时，令xx
4 2x ，解得
x
17 1
2
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g x 在 1， 上单调递增， f x 在 1，
．
1 2 ．
1
f 1 2 ．
上单调递减
17 1
∴此时 f x ≥ g x 解集为1，
2
当 x
当 x
1，1 时， g x 2 ， f x ≥ f
， 1 时， g x 单调递减， f x 单调递增，且g
17 1
综上所述， f x ≥ g x
1，
．
解集
2
（2）依题意得：
即 x
2
x
2
ax 4 ≥ 2
在 1，1 恒成立．
ax 2 ≤ 0 在 1，1 恒成立．
2
，解出：
1≤ a≤
1 a 1 2 0
1．
≤
2
1
a 1
0
2
≤
则只须
故 a取值范围是 1，1 ．
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