领导人-小学教务工作计划

山西省2018年高中阶段教育学校招生统一考试
数 学
本试卷满分120分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、 选择题：(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的
四个选项中,只有一项是符合题 目要求的)
1.下面有理数比较大小,正确的是
( )
A.
0＜2
B.
5＜3
C.
2＜3
D.
1＜4

2.“算经十书”是指汉唐一 千多年间的十部著名数学著作,它们曾经是
隋唐时期国子监算学科的教科书,这些流传下来的古算书中凝 聚着历
代数学家的劳动成果.下列列四部著作中,不属于我国古代数学著作
的是 ( )




A.《九章算B.《几何原C.《海岛算D.《周髀算
术》 本》 经》 经》
3.下列运算正确的是
( )
A.
(a
3
)
2
a
6

C.
2a
2








B.
2a
2
3a
2
6a
2



g a=2a
36

b
2
3
b6
D.
()
3
2a8a
4.下列一元二次方程中，没有实 数根的是
( )

A.
x
2
2x=0
B.
x
2
4x10

C.
2x
2
4x30
D.
3x
2
5x2

5.近年来快递业发展迅速,下表是201 8年1—3月份山西省部分地市邮
政快递业务量的统计结果(单位：万件)
太原市 大同市 长治市 晋中市 运城市 临汾市 吕梁市
3 303.78

332.68

302.34

319.79

725.86

416.01

338.87

1—3月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是
( )
A.
319．
B.
332．
C.
338 87
D.
416．79
万件
68
万件
．
万件
01
万件
6.黄河是中华民族的象征,被誉为母亲河, 黄河壶口瀑布位于山西省吉
县城西45千米处,是黄河上最具气势的自然景观.其落差约30米,
年平均流量
1 010
立方米秒.若以小时作时间单位,则其年平均流
量可用科学记数法表示为
( )


B.
3.13610
6
立方米时
D.
36.3610
5
立方米时

A.
6.0610
4
立方米时
C.
3.63610
6
立方米时
7.在一个不透明的袋子里装 有两个黄球和一个白球,它们除颜色外都相
同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀 后,再随
机摸出一个球,两次都摸到黄球的概率是

4
9




3
( )
C.
2
9
A.
B.
1
D.
1
9< br>8.如图,在
Rt△ABC
中,
∠ACB＝90
°
,
∠A＝60
°
,
AC＝6
,将
△ABC
绕点
C按逆时
针方向旋转得到
△A

B

C
,此时点
A

恰好在
AB
边上,则点
B

与点B
之间的距离为( )
A.12 B.6 C.
62
D.
63

9.用配方法将二次函数
yx
2
8x9
化为
ya(xh)
2
k
的形式为
( )
A.
y(x4)
2
7

C.
y(x+4)
2
7





B.
y(x4)
2
25

D.
y(x+4)
2
25

10.如图,正方形
ABCD
内接于
eO
,
eO
的半径为2,以点
A
为圆心,以
AC
长
为半径画弧交
AB
的延长线于点
E
,交
AD
的延长线于点
F
,则图中
阴影部分的面积是
A.
4π4

C.
8π4




( )








B.
4π8

D.
8π8

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：(本大题共5小题,每小题3分,共15分.请把答案填写在
题中的横线上)
11.计算：
(321)(321)
.
12.图1是我国古 代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出
现裂纹并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然 和谐美.图2是
从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形,则
∠＋∠12＋∠3＋ ∠4＋∠5=
度.

图1 图2

13.2018年国 内航空公司规定：旅客乘机时,免费携带行李箱的长、
宽、高之和不超过
115 cm
.某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行
李箱的宽为
20 cm
,长与高的比为
8:11
,则符合此规定的行李箱的高的
最大值为
cm
.
14.如图,直线
MN∥PQ
,直线
AB
分别与
MN
,
PQ
相交
于点
A
,
B
.小宇同学利用尺规按以下步骤作
图：
①以点
A
为圆心,以任意长为半径 作弧交
AN
于
点
C
,交
AB
于点
D
；
②分别别以
C
,
D
为圆心,以大于
1
CD< br>长为半径作弧,
2
两弧在
∠NAB
内交于点
E
；
③作射线
AE
交
PQ
于点
F
.
若
AB=2
,
∠ABP=60
°
,则线段
AF
的长为 .
15.如图,在
Rt△ABC
中,
∠ACB=90
°
,
AC=6
,
BC=8
,点
D
是
AB
的中点 ,以
CD
为直径作
eO
,
eO
分别与
AC
,
BC
交于点
E
,
F
,过点
F
作
eO
的切线
FG
,交
AB
于点
G
,则
FG
的长为 .
三、解答题：(本大题共8个小题,共75分.解答应写出必要的文字说< br>明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分10分,每题5分)
计算：

(1)
(22)
2
|4|31
62
0
；
x2x
2
11
(2).
g
2

x1x4x4x2



17.(本小题满分8分)
如图,一次函数
y
1
k
1< br>xb(k
1
0)
的图象分别与
x
轴,
y
轴相交于点
A
,
B
，
与反比例函数
C(-4,-2)
,
D(2,4)
.
y
2

k
2
(k< br>2
0)
x
的图象相交于点
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)当
x
为何值时,
y
1
＞0
；
(2 )当
x
为何值时,
y
1
＜y
2
,请直接写出
x
的取值范围.





18.(本小题满分9分)
在“优秀传统文化进校园”活动中,学校计
划每周二下午 三节课时间开展此项活动,拟
开展活动项目为：剪纸,武术,书法,器乐,要
求七年级人人参加 ,并且每人只能参加其中
一项活动.教务处在该校七年级学生中随机
抽取了100名学生进行调 查,并对此进行统计,绘制了如图所示的条
形统计图和扇形统计图均不完整)
请解答下列问题：
(1)请补全条形统计图和扇形统计图
(2)在参加“剪纸”活动项目的学生中,男生所占的百分比是多少？
(3)若该校七年级学生共有500人,请估计其中参加“书法”项目活

动的有多少人？
(4)学校教务处要从这些被调查的女生中，随机 抽取一人了解具体
况，那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？
19.(本 小题满分8分)祥云桥位于省城太原
南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合
而成,全桥共设13 对直线型斜拉索,造型
新颖,是“三晋大地”的一种象征.某数学
“综合与实践”小组的同学把 “测量斜
拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题
活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间借 助该桥斜拉索完成了
实地测量.测量结果如下表.
项目 内容
课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量示
意
图
说明：两侧最长斜拉索
AC
,
BC
相交
于点
C
,分别与桥面交于
A
,
B
两点,
且点
A
,
B
,
C
在 同一竖直平面内
测量数
B
的度数
AB
的长度
∠A
的度数
据
234米
38
°

28
°

… …
(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜 拉索顶端点
C
到
AB
的
距离(参考数据
sin38
°
0.6
,
cos38
°
0.8
,
tan38
°
0.8
,
sin28
°
0.5
,
c os28
°
0.9
,
tan28
°
0.5
)；
(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认
为还需要补充哪些项目( 写出一个即可).







20 .(本小题满分7分)2018年1月20日,山西迎来了
“复兴号”列车,与“和谐号”相比,“复兴 号”
列列车时速更快,安全性更好.已知“太原南一北
京西”全程大约500千米,“复兴号”
G92
次列车
平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千
米,其行驶时间 是该列“和诸号”列车行驶时间的
4
(两列车兴号中途停留时间均除外).经查询,“复兴号”
G92
次列
5

车从太原南到 北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐
“复兴号”
G92
次列车从太原 南到北京西需要多长时间.





21.(本小题满分8分)
请阅读下列材料,并完成相应的任务：
在数学中,利用 图形在变化过程中的不变性质,
常常可以找到解决问题的办法.著名美籍匈牙利数
学家波利亚在 他所著的《数学的发现》一书中有这样
一个例子：试问如何在一个三角形
ABC
的AC
和
BC
两
边上分别取学的点
X
和
Y
,使得
AX=BY=XY
.(如图)解决这个问
题的操作步骤如下：
第一 步,在
CA
上作出一点
D
,使得
CDCB
,连接
BD
.
第二步,在
CB
上取一点
Y

,作
Y

Z

∥CA
,交
BD
于点
Z

,并在
AB
上取一点
A

,使
Z
< br>A

Y

Z

.
第三步,过点
A
作
AZ∥A

Z

,交
BD
于点
Z
.
第四步,过点
Z
作
ZY∥AC
,交
BC< br>于点
Y
,再过点
Y
作
YX∥ZA
,
交
AC
于点
X
则有
AXBYXY
.
下面是该结论的部分证明

证明：∵
AZ∥A

Z

,∴
∠BA

Z

＝∠BAZ

又∵
∠A

BZ

＝∠ABZ
.

Z

A

BZ


,

ZABZ
Z

A

Y

Z

Y< br>
Z

BZ




同理可得：, ∴
ZAYZ
YZBZ
∴
△BA

Z

∽△ BAZ
∴
∵
Z

A

Y

Z< br>
,∴
ZAYZ
.…

任务：(1)请根据上面的操作步骤 及部分证明过程,判断四边形
AXYZ
的形状,并加以证明.

(2)请再仔细阅读上面的操作步骤,在(1)的基础上完成
AX= BY=XY
的
证明过程
(3)上述解决问题的过程中,通过作平行线把四边形
BA

Z

Y

放大得到
四边形
BAZ Y
,从而确定了点
Z
,
Y
的位置,这里运用了下面一种图形的
变化是 .
A.平移 旋转 C.轴对称 D.位似






22.(本小题满分12分)
综合与实践 问题情境：在数学活动课上,老师出示了这样一个问题：如图1,在矩
形
ABCD
中,
AD=2AB
,
E
是
AB
延长线上一点,且
B E=AB
,连接
DE
,交
BC
于点
M
,以
DE
为一边在
DE
的左下方作正方形
DEFC
,连接
AM< br>.试判断
线段
AM
与
DE
的位置关系.
探究展示： 勤奋小组发现,
AM
垂直平分
DE
,并展示了如下的证明方法：
证 明：∵
BE=AB
,∴
AE=2AB
∵
AD=2AB
,∴< br>AD=AE

∵四边形
ABCD
是矩形,∴
AD∥BC
∴
∵
BE=AB
,∴
EM
1
,∴
EMDM< br>.
DM
即
AM
是
△ADE
的
DE
边上的中线,
EMEB
.(依据

DMAB
1)
又∵
AD=AE
,∴
AM⊥DE
.(依据2)
∴.
AM
垂直平分
DE

反思交流
(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点
A
是否在线段
GF
的垂直平分线上,请直接回
答,不必证明：
( 2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接
CE
，以
CE
为一边在
CE
的左下方作正方形
CEFG
，发现点
G
在线 段
BC
的垂直平分线上，请你给出证明；
探索发现：
(3)如图3，连接
CE
，以
CE
为一边在
CE
的右上方作正方形
CE FG
，
可以发现点
C
，点
B
都在线段
AE
的垂直平分线上，除此之外，请观
察矩形
ABCD
和正方形
CEFG
的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪

条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明；

图1




23.(本小题满分13分)
综合与探究
图2

图3

如图，抛物线
y
1
x
2
1
x4
与
x
轴交于
A
，
B
两点(点
A
在点
B
的左侧)，
33
与
y
轴交于点
C
，连接
AC
，
BC
．点
P
是第 四象限内抛物线上的一个动
点，点
P
的横坐标为
m
，过点
P
作
PMx
轴，垂足为点
M
，
PM
交
BC
于
点
Q
，过点
P
作
PE∥AC
交
x
轴于点
E
，交
BC
于点
F
．
(1)求
A
，
B
，
C
三点的坐标；
(2 )试探究在点
P
运动动的过程中，是否存在这样的点
Q
，使得以
A< br>，
C
，
Q
为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)请用含
m
的代数 式表示线段
QF
的长，并求出
m
为何值时
QF
有最
大值.

山西省2018年高中阶段教育学校招生统一考试
数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题
1.【答案】B
【解析】A中，
0 2
，错；B中，
53
，正确；C中，
23
，错误；D 中，
14
，
错误，故选B.
【考点】有理数的大小比较.
2.【答案】B
【解析】“算经十书”包括《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《 五曹算经》、
《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算< br>经》在四个选项中《几何原经》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，
故选B.
【考点】我国古代数学著作.
3.【答案】D
【解析】A中，
(a3
)
2
(1)
2
(a
3
)
2a
6
，错误；B中，
2a
2
3a
2
5a
2
，错误；C中，
b
2
3
b
6
2a g a=2a
，错误；D中，
()
3
，正确，故选D.
2a8a
235
【考点】整式的运算.
4.【答案】C
【解析】A中，
b
2
4ac(2)
2
4 0
，此方程有两个不相等的实数根，不符合
题意；B中，
b
2
 4ac4
2
41(1)200
，此方程有两个不相等的实数
根 ，不符合题意；C中，
b
2
4ac(4)
2
42 380
，此方程没有实数
根，符合题意；D中，原方程变形为
3x
2< br>5x20
，
b
2
4ac(5)
2
 43210
.此方程有两个不相等的实数根，不符合题意，
故选C.
【考点】一元二次方程根的判别式.
5.【答案】C
【解析】把这7个数据按从小 到大的顺序排列为
302.34
，
319.79
，
332.68，
338.87
，
416.01
，
725.86
，303.78
，位于最中间的数据为
338.87
故选C.
【考点】中位数.

6.【答案】C
【解析】
1 010
立方米秒
1 0103 600
立方米时
=3 636 000
立方米时
3.636 10
6
立方米时，故选C.
【考点】科学记数法.
7.【答案】A 【解析】画树状图如图所示，共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是黄
球的结果有4种， 所以
P
(两次都摸到黄球)
=
，故选A.
4
9

【考点】列表法或画树状图法求概率.
8.【答案】D
【解析】连接
BB

，由旋转的性质知，
AC=A

C
，又
∠A6 0
°
，∴
△ACA

是等边三角
形∴
∠ACA
=60
°
，由旋转可知
∠BCB

=∠ACA

=60
°
，
BC B

C
，∴
△B CB

为等边
三角形，∴
BB

BC
.在
Rt△ABC
中，
BC ACtan60

6363
，∴ 点
B

与点
B
之的距离是
63
，故选D.
【考点】旋转的性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数.
9.【答案】B
【解析】
yx
2
8x9x
2
8x16169(x 4)
2
25
，故选B.
【考点】二次函数表达式的一般式与顶点式的转换.
10.【答案】A
【解析】∵ 四边形
ABCD
为正方形，∴
ABBCCDAD
，
ACBD 4
，
S
弓形AB
 S
弓形AD
S
弓形BC
 S
弓形CD
∴.如图所示
S
阴影
 S
扇形AEF
 S
△ABD
90π4
2
1
424

4
，故选A.
3602
，

【考点】正方形的性质、扇形的面积公式.
第Ⅱ卷
二.填空题
11.【答案】17
【解析】原式
(32)
2
1
2
181 17
.
【考点】平方差公式

12.【答案】360
【解析】由多边形的外角和为
36 0
°
，知
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=360
°
.
【考点】多边形的外角和定理.
13.【答案】55
【解析】设长为
8x cm
，高为
11x cm
，根据题意，得
8x+11x+20115
，解得
x5
，
11x55
，即符合此规定的行李箱的高的最大值为
55 cm

【考点】一元一次不等式的应用.
14.【答案】
23

【解析】 如图，过点
A
作
AGPQ
于点
G
，由尺规作图可知，∵< br>MN∥PQ
，
∠1=∠2
，
∴
∠1=∠3
.∴
∠2=∠3
.∵
∠ABP=60
°
，∴
∠2=∠3=30
°
.在
Rt△ABG
中
AG ABsin60
°
2< br>3
3
.在
Rt△AGF
中，∵
∠3=30
°
，∴
AF2AG23
.
2

【考点】解直角三角形、角平分线的作法、平行线的性质、三角形外角的性质.
15.【答案】
12

5
【解析】如图，连接
EF
，
DE
，
DF
.∵
∠ACB=90
°
，∴
EF
为
eO
的直径，∴
EF
必
过圆心
O
∵
CD
为
eO
的直径，∴
DEAC
，∵
∠ACB= 90
°
，
AD BD
，
DFBC
，
∴
CDADBD5
，∴
AECE3
，∴
EF∥AB
，∴∠FGB∠OFG
，
CFBF4
，
∵
FG
为eO
的切线，∴
∠OFG=90
°
，∴
∠FGB=90
°
，在
Rt△CDF
中，
DF CD
2
CF
2
5
2
4
2
3
，在
Rt△BDF
中， ∵
DF g BFBD g FG
，∴
DF g BF3412
FG
.
BD 55

三、解答题
16.【答案】(1)7

(2)
x

x2
【解析】(1)原式
8421


7

(2)原式



x2(x1)(x1)1

g 
x1(x2)
2
x2
x+11


x2x2
x


.
x2
【考点】实数的运算、分式的混合运算.
17.【答案】解：(1)∵一次函 数
y
1
k
1
xb
的图象经过点
C(-4,-2 )
，
D(2,4)
，
∴


4k
1
b2,

2kb 4.

1
解，得：


k
1
1,
b2.

∴一次函数的表达式为
y
1
x2
.
∵反比例函数
y
2

∴
4=
k
2
的图象经过点
D(2,4)
，
x
k
2
，∴
k
2
=8
.
2
8
.
x
∴反比例函数的表达式为
y
2

(2)由
y
1
>0
，得
x＋20
.
∴
x2
.
∴当
x2
时，
y
1
0
.
(3)
x4
或
0x2
.
【解析】解：(1)∵一 次函数
y
1
k
1
xb
的图象经过点
C(-4, -2)
，
D(2,4)
，
∴


4k
1
b2,

2kb4.

1

k
1
1,
b2.

解，得：

∴一次函数的表达式为
y
1x2
.
∵反比例函数
y
2

∴
4=k
2
的图象经过点
D(2,4)
，
x
k
2
，∴
k
2
=8
.
2
8
.
x
∴反比例函数的表达式为
y
2

(2)由
y
1
>0
，得
x＋20
.
∴
x2
.
∴当
x2
时，
y
1
0
.
(3)
x4
或
0x2
.

【考点】待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、一次函数与反比例函数交
点问题.
18.【答案】解：(1)补全条形统计图和扇形统计图如图所示.

(2)
10
100%40%
.
10+15

答：男生所占的百分比为
40%
.
(3)
50021%＝105
(人)
答：估计其中参加“书法”项目活动的有105人.
(4)
15155

.
15+10+8+154816
5
.
16
答：正好抽到参加“器乐 ”活动项目的女生的概率为
【解析】解：(1)补全条形统计图和扇形统计图如图所示.

(2)
10
100%40%
.
10+15


答：男生所占的百分比为
40%
.

(3)
50021%＝105
(人)
答：估计其中参加“书法”项目活动的有105人.
(4)
15155

.
15+10+8+154816
5
.
16
答：正好抽到参加“器乐 ”活动项目的女生的概率为
【考点】条形统计图、扇形统计图、概率公式.
19.【答案】解 ：(1)过点
C
作
CDAB
于点
D
.
设
CDx
米，在
Rt△ADC
中，
∠ADC90

，
∠A=38

.
CDx5
CD
，∴
ADx
.

tan38 0.84
AD
在
Rt△BDC
中，
∠BDC90

，
∠B28

.
CDx
CD
∵
tan28< br>

，∴
BD2x
.
tan28

0.5
BD
5
∵
ADBDAB234
，∴
x2x 234
.
4
解，得
x72
.

∵
tan38


答：斜拉索顶端点C到桥面的距离为72米.
(2)还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受
等.
【解析】解：(1)过点
C
作
CDAB
于点
D
.
设
CDx
米，在
Rt△ADC
中，
∠ADC90

，
∠A=38

.
CDx5
CD
，∴
ADx
.
tan38

0.84
AD
在
Rt△BDC
中，
∠BDC90

，
∠B28

.
CDx
CD
∵
ta n28


，∴
BD2x
.
tan28

0.5
BD
5
∵
ADBDAB234
，∴
x 2x234
.
4
解，得
x72
.

∵
tan38


答：斜拉索顶端点C到桥面的距离为72米.
(2)还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受
等.
【考点】解直角三角形的应用.
20.【答案】解法一：设乘坐“复兴号”G92次列车从太 原南到北京西需要
x
小时，

由题意，得
8
3
500500
40
.
151
x(x)
646
解，得
x

经检验，
x
是原方程的根.
答：乘坐“复兴号次列车从太原南到北京西需要小时.
解法二：设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要
x
小时，
由题意，得
5
2
500500
40
.
5x
x
4
8
3
8
3
解，得
x
.
经检验，
x
是原方程的根.
518

(小时).
263
5
2
答：乘坐“复兴号”C92次列车从太原南到北京西需要个小时.
【解析】解法一：设乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要
x
小时，
由题意，得
8
3
500500
40
.
151
x(x)
646
8
3
解，得
x

经检验，
x
是原方程的根.
答：乘坐“复兴号次列车从太原南到北京西需要小时.
解法二：设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要
x
小时，
由题意，得
5
2
500500
40
.
5x
x
4
8
3
8
3
解，得
x
.
经检验，
x
是原方程的根.
518

(小时).
263
5
2
答：乘坐“复兴号”C92次列车从太原南到北京西需要个小时.
【考点】分式方程的应用.
21.【答案】解：(1)四边形
AXYZ
是菱形.
证明：∵
ZY∥AC
，
YX∥ZA
，
∴四边形
AXYZ
是平行四边形.

8
3

∵
ZA=YZ
，∴
YAXYZ
是菱形.
(2)证明：∵
CDCB
，∴
1=2
.
∵
ZY∥AC
，∴
1=3
.
∴
2=3
.∴
YB=YZ
.
∵四边形
AXYZ
是菱形，∴
AX=XY=YZ
.
∴
AX=BY=XY
.
(3)D(或位似)
【解析】解：(1)四边形
AXYZ
是菱形.
证明：∵
ZY∥AC
，
YX∥ZA
，
∴四边形
AXYZ
是平行四边形.
∵
ZA=YZ
，∴
YAXYZ
是菱形.
(2)证明：∵
CDCB
，∴
1=2
.

∵
ZY∥AC
，∴
1=3
.
∴
2=3
.∴
YB=YZ
.
∵四边形
AXYZ
是菱形，∴
AX=XY=YZ
.
∴
AX=BY=XY
.
(3)D(或位似)

【考点】菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、
位似. < br>22.【答案】(1)①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(或
平行线 分线段成比例).
依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三
角形的“三线合一”).
②点
A
在线段
GF
的垂直平分线上.
(2)证明：过点
G
作
GHBC
于点
H
，

∵四边形
ABCD
是矩形，点
E
在
AB
的延长线上，
∴
∠CBE=∠ABC=∠GHC=90
°
.
∴
∠1＋∠2=90

.
∵四边形
CEFG
为正方形，
∴
CGCE
，
∠CCE=90

∴
∠1＋∠3=90

∴
∠2=∠3
.
∴
△GHC≌△CBE
.
∴
HCBE
.
∵四边形
ABCD
是矩形，∴
ADBC
.
∵
AD2AB
,
BEAB
，∴
BC2BE2HC
.
∴
HCBH
.∴
GH
垂直平分
BC
.
∴点
G
在
BC
的垂直平分线上.
(3)点
F在
BC
边的垂直平分线上(或点
F
在
AD
边的垂直平分 线上).
证法一：过点
F
作
FMBC
于点
M
， 过点
E
作
ENFM
于点
N
.
∴
∠BMN∠ENM∠ENF90

.

∵四边形
ABCD
是矩形，点
E
在
AB
的延长线上，
∴< br>∠CBE∠ABC90
°
，∴四边形
BENM
为矩形.
∴
BMEN
，
∠BEN90

，∴
∠1＋∠290< br>
.
∵四边形
CEFG
为正方形，
∴
EFEC
，
∠CEF90
°
，
∴
∠2＋∠390
°
，∴
∠1∠3
.
∵
∠CBE∠ENF90

，∴
△ENF≌△EBC
.
∴
NEBE
.∴
BMBE
.
∵四边形
ABCD
是矩形，∴
ADBC
.
∵
A D2AB
.
ABBE
，∴
BC2BM
，∴
BMMC
.
∴
FM
垂直平分
BC
，∴点
F
在BC
边的垂直平分线上.
证法二：过
F
作
FNBE
交
BE
的延长线于点
N
，连接
FB
，
FC
.

四边形
ABCD
是矩形，点
E
在
AB
的延长线上，
∴
∠CBE∠ABC∠N90

.∴
∠1＋∠390

，
∵四边形
CEFG
为正方形，
∴
ECEF
，
∠CEF90

.
∴
∠1＋∠290

∴
∠2∠3
.
∴
△ENF≌△CBE
.
∴
NFBE
，
NEBC
.
∵四边形
ABCD
是矩形，∴
ADBC
.
∵
AD2AB
，
BEAB
.
∴设
BEa
，则
BCEN2a
，
NFa
.
∴
BFBN
2
FN
2
=(3a)
2
 a
2
10a
.
CFBC
2
BE
2
=(2a)
2
a
2
5a
.
CFCE
2
EF
2
=2CE10a
.

∴
BFCF
，∴点
F
在
BC
边的垂直平分线上.
【解析】(1)①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(或平
行线分线 段成比例).
依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).
②点
A
在线段
GF
的垂直平分线上.
(2)证明：过点
G
作
GHBC
于点
H
， ∵四边形
ABCD
是矩形，点
E
在
AB
的延长线上，
∴
∠CBE=∠ABC=∠GHC=90
°
.
∴
∠1＋∠2=90

.
∵四边形
CEFG
为正方形，
∴
CGCE
，
∠CCE=90

∴
∠1＋∠3=90

∴
∠2=∠3
.
∴
△GHC≌△CBE
.
∴
HCBE
.
∵四边形
ABCD
是矩形，∴
ADBC
.
∵
AD2AB
,
BEAB
，∴
BC2BE2HC
.
∴
HCBH
.∴
GH
垂直平分
BC
.

∴点
G
在
BC
的垂直平分线上.
(3)点
F在
BC
边的垂直平分线上(或点
F
在
AD
边的垂直平分 线上).
证法一：过点
F
作
FMBC
于点
M
， 过点
E
作
ENFM
于点
N
.
∴
∠BMN∠ENM∠ENF90

.
∵四边形
A BCD
是矩形，点
E
在
AB
的延长线上，
∴
∠C BE∠ABC90
°
，∴四边形
BENM
为矩形.
∴
BMEN
，
∠BEN90

，∴
∠1＋∠290
< br>.
∵四边形
CEFG
为正方形，
∴
EFEC
，
∠CEF90
°
，
∴
∠2＋∠390
°
，∴
∠1∠3
.
∵
∠CBE∠ENF90

，∴
△ENF≌△EBC
.
∴
NEBE
.∴
BMBE
.
∵四边形
ABCD
是矩形，∴
ADBC
.
∵
A D2AB
.
ABBE
，∴
BC2BM
，∴
BMMC
.
∴
FM
垂直平分
BC
，∴点
F
在BC
边的垂直平分线上.
证法二：过
F
作
FNBE
交
BE
的延长线于点
N
，连接
FB
，
FC
.

四边形
ABCD
是矩形，点
E
在
AB
的延长线上，
∴
∠CBE∠ABC∠N90

.∴
∠1＋∠390

，
∵四边形
CEFG
为正方形，
∴
ECEF
，
∠CEF90

.
∴
∠1＋∠290

∴
∠2∠3
.
∴
△ENF≌△CBE
.
∴
NFBE
，
NEBC
.
∵四边形
ABCD
是矩形，∴
ADBC
.
∵
AD2AB
，
BEAB
.
∴设
BEa
，则
BCEN2a
，
NFa
.
∴
BFBN
2
FN
2
=(3a)
2
 a
2
10a
.
CFBC
2
BE
2
=(2a)
2
a
2
5a
.
CFCE
2
EF
2
=2CE10a
.

∴
BFCF
，∴点
F
在
BC
边的垂直平分线上.
【考点】平行线分线段成比例、等腰三角形的性质矩形的性质、全等三角形的判定
与性质、正方 形的判定与性质、线段垂直平分线的判定定理.
23.【答案】(1)由
y0
，得
x
2
x40
.
解，得
x
1
3
，
x
2
4
.
∴点
A
，
B
的坐标分别为
A(3,0)
，
B(4,0)
.
由
x0
，得
y4
.∴点
C
的坐标为
C(0,4)
.
5252
,4)
，
Q
2
(1,3)
.
22
(3)过点
F
作
FGPQ
于点
G
，
1
3
1
3
(2)
Q
1
(
则
FG∥x
轴.
由
B(4,0)
，
C(0,4)
.
得
△OBC
为等腰直角三角形.
∴
∠OBC∠QFG45

.
∴
GQFG

2
FQ
.
2
∵
PE∥AC
，∴
∠1∠2
.
∴
FG∥x
轴，∴
∠2∠3
，∴
∠1∠3
.
∵
∠FGP∠AOC90

，∴
△FGP∽△AOC
.
FGGP
FGGP

∴，即.

34
AOOC
44222
FQFQ
. ∴
GPFG g
3323
2227232
FQFQFQ
， ∴
FQQP
， ∴
QPGQGP
2367
∴
PM x
轴，点
P
的横坐标为
m
，
∠MBQ45
，
11
∴
QMMB4m
，
PMm
2
m4
.
33
1114
∴
QPPM－QMm
2
m4(4m)m
2
+m
.
3333
3232 1
2
42
2
42
QP(m+m)mm
. ∴
FQ
773377

42
2
7
0
，∴
QF
有最大值，∴当
m
∵

2
时，
QF
有最大值.
7
2
2()
711
【解析】(1)由
y0
，得
x
2
x40< br>.
33
解，得
x
1
3
，
x
2
4
.
∴点
A
，
B
的坐标分别为
A( 3,0)
，
B(4,0)
.
由
x0
，得
y 4
.∴点
C
的坐标为
C(0,4)
.
5252
,4)
，
Q
2
(1,3)
.
22
(3)过点
F
作
FGPQ
于点
G
，
(2)
Q
1
(
则
FG∥x
轴.
由
B(4,0)
，
C(0,4)
.
得
△OBC
为等腰直角三角形.
∴
∠OBC∠QFG45

.
∴
GQFG

2
FQ
.
2
∵
PE∥AC
，∴
∠1∠2
.
∴
FG∥x
轴，∴
∠2∠3
，∴
∠1∠3
.
∵
∠FGP∠AOC90

，∴
△FGP∽△AOC
.
FGGP
FGGP

∴，即.

34
AOOC
44222
FQFQ
. ∴
GPFG g
3323
2227232
FQFQFQ
， ∴
FQQP
， ∴
QPGQGP
2367
∴
PM x
轴，点
P
的横坐标为
m
，
∠MBQ45
，
11
∴
QMMB4m
，
PMm
2
m4
.
33
1114
∴
QPPM－QMm
2
m4(4m)m
2
+m
.
3333
3232 1
2
42
2
42
QP(m+m)mm
. ∴
FQ
773377

42
2
7
0
，∴
QF
有最大值，∴当
m
∵

2
时，
QF
有最大值.
7
2
2()
7解法二：提示，先分别求出
BQ
和
BF
关于
m
的代数式 ，再由
QFBF－BQ
得到
QF
关于
m
的代数式
【考点】抛物线的性质、等腰三角形的性质、二次函数与一元二次方程的关系、勾
股定理、相似三角形 的判定与性质.