情况报告格式范文-迎新年手抄报

2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选 择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求 的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
．．．

1cosx
, x0

（1）若函数
f(x)

在
x
连续，则
ax

b,x0

(A)
ab
【答案】A
【详解】由
lim

x0
1
．
2
(B)
ab
1
．
2
(C)
ab0
． (D)
ab2
．
1
1cosx1
b
,得
ab
.
2ax2a
（2）设函数
f

x

可导，且
f( x)f'(x)0
则
(A)
f

1

f

1

． (B)
f

1

f

1

．
(C)
f

1

f

1

．
【答案】C
(D)
f

1

f

1

. f
2
(x)
]

0
,从而
f
2(x)
单调递增,
f
2
(1)f
2
(1)
. 【详解】
f(x)f

(x)[
2
（3）函数
f(x ,y,z)xyz
在点
(1,2,0)
处沿着向量
n(1,2,2)< br>的方向导数为
(A)
12
．
【答案】D
(B)
6
． (C)
4
． (D)
2
．
22【详解】方向余弦
cos


12
2
,cos

cos


,偏导数
f
x

2xy ,f
y

x,f
z

2z
,代入
33
cos

f
x

cos

f
y

cos

f
z

即可.
（4）甲乙 两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲
线
vv
1
(t)
(单位：ms)，虚线表示乙的速度曲线
vv
2
(t)
(单位：ms)，三块阴影部分面积
的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲 的时刻记为(单位：s)，则
数学（一）试题 第1页（共4页）

(A)
t
0
10
．
【答案】C
【详解】 在
t
0
25
时,乙比甲多跑
10
m,而最开始的时候甲在 乙前方
10
m处.
（5）设
α
为
n
维单位列向量 ，
E
为
n
阶单位矩阵，则
(A)
Eαα
不可逆．
(C)
E2αα
不可逆．
【答案】A
【详解】可设


T
,则

的特征值为
1,0,,0
,从而
E

的 特征值为
T
T
T
T
(B)
15t
0
20
． (C)
t
0
25
． (D)
t
0
25
．
(B)
Eαα
不可逆．
(D)
E2αα
不可逆．
T
T
0,1,,1
,因此
E

T
不可逆.

200

210
1


2
（6）设有矩阵
A

021

，
B

020

，
C



001

001

2< br>

(A)
A
与
C
相似，
B
与
C
相似． (B)
A
与
C
相似，
B
与
C
不相似．
(C)
A
与
C
不相似，
B
与
C
相似． (D)
A
与
C
不相似，
B
与
C
不相似．
【答案】B
【详解】
A,B
的特征值为
2,2,1
,但< br>A
有三个线性无关的特征向量,而
B
只有两个,所以
A
可对角 化,
B
则不行.
（7）设
A,B
为随机事件，若
0P (A)1
，
0P(B)1
，则
P(A|B)P(B|A)
的 充分
必要条件
(A)
P(B|A)P(B|A)
．
(C)
P(B|A)P(B|A)
．
【答案】A
【详解】由
P(A|B)P(A|B)
得
(B)
P(B|A)P(B|A)
．
(D)
P(B|A)P(B|A)
．
P(AB)P(AB)P(A)P(AB),即

P(B)P(B)1P(B)
P(AB)>P(A)P(B)
;
数学（一）试题 第2页（共4页）

由
P(B|A) P(B|A)
也可得
P(AB)>P(A)P(B)
.
1
n（8）设
X
1
,X
2
,,X
n
(n…2)< br>为来自总体
N(

,1)
的简单随机样本，记
X

X
i
，则下
n
i1
列结论不正确的是
(A)
2
2
服从分布 ．
(X

)


i
i1
n
(B)
2(X
n
X
1< br>)
2
服从

2
分布．
(C)

(X
i1
n
i
X)
2
服从

2分布． (D)
n(X

)
2
服从

2
分布．
【答案】B
nn
X
i


22
【详解】
~N(0,1)

(X
i


)~
(n),

(X
i
X)
2
~

2< br>(n1)
;
1
i1i1
(X
n
X
1
)
2
1
22
X~N(

,),n(X

)~

(1);
X
n
X
1
~N(0, 2),~

2
(1)
.
n
2

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．
．．．
（9）已知函数
f(x)
【答案】0
【详解】
f (x)
1
,
f
(3)
(0)
．
2
1x
1
24
1xx

(1x 1)
,没有三次项.
2
1x
（10）微分方程
y

2y

3y0
的通解为 ．
x
【答案】
ye(C
1
cos2xC
2
sin2x)
x
2
【详解】特征方程
r2r30
得
r 12i
,因此
ye(C
1
cos2xC
2
sin2x )
.
（11）若曲线积分
．
【答案】
1

xdxaydy
22

L
x
2
y
2
1
在区域
D(x,y)xy1
内与路径无关，则
a


【详解】有题意可得

Q P

,解得
a1
.
xx
n1
（12 ）幂级数

(1)
n1
nx
n1
在(-1,1)内的 和函数
S(x)
．
数学（一）试题 第3页（共4页）

【答案】
1

2
(x1)
【 详解】

(1)nx
n1
n1

n1


[(x)
n
]


n1

1
.
(x1)
2

101


（1 3）
A

112

，

1
，

2
，

3
是3维线性无关的列向量，则

A

1
,A

2
,A

3

的秩

011


为 ．
【答案】2
【详解】
r(A

1
,A

2
,A

3
)r(A)2

（14）设随即变量
X
的分布函数
F(x)0.5(x)0.5(
布函数，则
EX< br> ．
【答案】2
【详解】
EX
x 4
)
，其中
(x)
为标准正态分
2



xf(x)dx


0
x[0,5

( x)
0.5x4

()]dx2
.
22
三、解答题 ：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答
案写在答题纸指定位 置上．
．．．
（15）（本题满分10分）．
dy
设函数
f(u ,v)
具有2阶连续偏导数，
yf(e,cosx),
求
dx
x< br>d
2
y
,
2
x0
dx
.
x0
【答案】
yf(e,cosx)

x
dy
f
1
'
e
x
f
2
'
sinx,dx
dy
x0f
1
'
(1,1)
dx

2

dy
''x''x'x''x'''
fefsinxef e(fefsinx)sinxfcosx
1112121222
2
dx
d
2
y
''
x0f
11
(1,1)f
1< br>'
(1,1)f
2
'
(1,1)
2
dx


（16）（本题满分10分）．
求
lim
kk
ln(1)
.
n
n
2
n
【答案】
数学（一）试题 第4页（共4页）

lim

kk
ln(1)< br>2
n
n
k1
n

122nn
1
lim

2
ln(1)
2
ln(1).. .
2
ln(1)

n
nnnnnn

1

1122nn

lim

ln(1)ln(1) ...ln(1)

n
nnnnnnn

11
1


xln(1x)dx

ln(1x)dx
2< br>00
2
1
1
111
x
2
ln(1x)

x
2

dx
0
0
221x
1 1
1
x
2
11
ln2

dx
0< br>221x
1
111
1
ln2[

(x1)d x

dx]
0
1x22
0
11
111
ln2[(x
2
x)ln(1x)]
00
222
1111
ln2(1ln2)
2224
（17）（本题满分10分）．
已 知函数
y(x)
由方程
x
3
y
3
3x3y 20
确定，求
y(x)
的极值.
【答案】
xy3x3y20
①，
方程①两边对
x
求导得：
3x3yy33y0
②，
令
y0
，得
3x3,x1
.
当< br>x1
时
y1
，当
x1
时
y0
.
方程②两边再对
x
求导：
6x6y(y)3yy3y0
，
令
y0
，
6x(3y1)y0
，
'2''
'22''''
'2
22''
33

3< br>''
，当
x1
，
y0
时
y6
.
2
所以当
x1
时函数有极大值，极大值为1，当
x 1
时函数有极小值，极小值为0.
当
x1
，
y1
时
y
''

（18）（本题满分10分）．
设函数
f(x)
在区间
[0,1]
上具有2阶导数，且
f(1)0
，
lim

x0
f(x)
0
.证明：
x
（I）方程
f(x)0
在区 间
(0,1)
内至少存在一个实根;
数学（一）试题 第5页（共4页）

（II）方程
f(x)f''(x)[f'(x)]
2< br>0
在区间
(0,1)
内至少存在两个不同实根.
【答案】
(1)
lim

x0
f(x)
0
，由极限的局部保 号性，
c(0,

),使得f(c)0
，又
f(1)0,
由零
x
点存在定理知，


(c,1)
，使得，
f(

)0
.
(2)构造
F(x)f(x)f'，
xF(0)f(0)f'(0)0
，
F(

)f(
)f'(

)0
，
lim

x0f(x)f(1)f(0)
0,f'(0)0,
由拉格朗日中值定理知


(0,1),f'(

)0
，
x10
使
(
1
)
(0
，
,1)
得
f'

，
0
f'(0)f'(

)0,
所以由零点定理知

1
(0

,)
F(

1< br>)f(

1
)f'(

1
)0,
所以原方程至少有两个不同实根。

（19）（本题满分10分）．
设薄片型物体
S
是圆锥面
zx
2
y
2
被
z
2
2x
割下的有限部分，其上任意一点处的
222
密度为

(x,y,z)9xyz
，记圆锥面与柱面的交线为C；
（I）求C在
xOy
平面上的投影曲线的方程；
（II）求S的质量M。
22


(x1)
2
y
2
1

zxy
【答案】(1)
C
的方程为

，投影到xoy
平面的方程为：


2
z0


z2x
(2)M

u(x,y,z)dS

9x
2
+y
2
z
2
dS92

x
2
+y
2
x
2
+y
2
dS
 

18

2

d


2
2cos

0
8
x+ydxdy18

2

cos
3

d



3
2
22

2
96

2
cos
3

d

96(1)64

0
3

（20）(本题满分11分)．
设
3
矩阵
A(

1
,

2
,

3
)
有3个不同的特征值 ，

3


1
2

2

（I）证明：
r(A)2
;
（II）若



1


2


3
，求方程组
Ax 

的解.

数学（一）试题 第6页（共4页）

【答案】


3


1


2
，


1
2

2


3
0,

1





1
,

2
,

3


2

0，故

1
0是A的特征值.

1


又
A
有三个不同的特征值，故
1
0
为单根，且
A
一定能相似对角化.

A~,

r(A)r()2.
（2）由（1），
Ax 0
的通解为
k

1,2,1

，
T

1


T




1


2


3
，故有


1,

2
,

3


1


，即A

1,1,1



.

1


Ax

的通解为k
1,2,1

(1,1,1)
T
(k为任意常数).

T


（21）（本题满分11分）．
22
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)2x
1
 x
2
2
ax
3
2x
1
x
2
 8x
1
x
3
2x
2
x
3
在正交变换xQy
下
22
的标准形为

1
y
1
，求
a
的值及一个正交矩阵
Q
。


2
y
2
14

2

（21）【答案】二次型的矩阵< br>A

111

，

41a


22
因为二次型在正交变换下的标准形为

1
y
1< br>，故
A
有特征值0，


2
y
2
A0
，故
a2
.

2
由

E A1
14
1

(

3)(

6)0
得特征值为

2

1
14
< br>1
3,

2
6,

3
0
.
解齐次线性方程组


i
EA

x0
，求特征向量.
数学（一）试题 第7页（共4页）


514

101

1


对

1
3
，
3EA

121



011

,得

1


1

；

415

000

1



414

101

1


对

2
6
，< br>6EA

171



010
< br>,得

2


0

；

414

000

1



214

101

1

 
对

3
0
，
0EA

11 1



012

,得

3


2

；

412

000
1


因为

1
,

2
,

3
属于不同特征值，已经正交，只需规范化：
令< br>
1


1
1

1,1,1
< br>T
,

2


2

1
< br>1,0,1

T
,

3

1
< br>1,2,1

T
，


1

2< br>326

1
2
0
1
2
1


6

2

22
,对应标准形为
f3y6y
12
.

6

1


6


1


3

1
所求正交矩阵为Q


3

1



3< br>
（22）（本题满分11分）．
设随机变量
X
与
Y
相互独立，且
X
的概率分布为
P{X0}P{X2}
率密度为f(y)

（I）求
P{YEY}

（II）求
ZXY
的概率密度。
22、【答案】（1）
EY
2
3

1
，
Y
的概
2

2y,0y1

0,其他.




y f
Y
(y)dy

y2ydy
0
1
2
，
3
P

YEY



f
Y
(y)dy

2ydy
（2）
Z
的分布函数为
2
3
0
4
.
9
数学（一）试题 第8页（共4页）

F
Z
(z)P

Z z

P

XYz,X0

P

XYz,X2

P

X0，Yz

P
X2，Y2z



1

F
Y
(z)F
Y
(z2)

2
1

P< br>
Yz

P

Yz2



2
故
Z
的概率密度函数为

z0

0 ,

z,
0z1
0z1

z,

1

f
Z
(z)F
Z

(z)
< br>f(z)f(z2)



0,1z2


z2,2z3
.
2

z2,2z3

0,其它



z3

0,

（23）（本题满分11分）．
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n次测量，该物体的质量

是已知的.设n次测量结果
X
1
,X2
,X
n
相互独立且均服从正态分布
N(

,

2
)
.该工
程师记录的是n次测量的绝对误差
Z
i
X
i


(i

1,2,

,n)
.利用
Z
1
,Z
2
,Z
n
估计

.
（I）求
Z
i
的概率密度；
（II）利用一阶矩求

的矩估计量；
（III）求

的最大似然估计量.
【答案】
Z
1
的分布函数为
F
Z
1
(z)P

Z
1
z

PX
1


zP


X
1





z

，


z0时,F
Z
1
(z)0;


z

z0时,F
Z
1
(z)2

1.






(z)

所以
Z
i
的概率密度均为
f
Z
(z)F
Z


（2）
EZ
1


2
2
e
2

,
2

0,
z
2
z0< br>其他
2
.


0
2
ze
2< br>

z
2
2

2
令tz
dz

2

2



0
t e

t
2
2
t

2



e
2
dt
2




0

2



，

2


令
EZ
1
Z
，即
2

Z
， 得

的矩估计量为：
2

数学（一）试题 第9页（共4页）

2

1
n
ˆ


Z
，其中
Z

Z
i
.
2
n
i1
（3）记
Z
1
,Z
2
,

,Zn
的观测值为
z
1
,z
2
,

,z< br>n
，当
z
i
0(i1,2,,n)
时，
似然 函数为
L(

)

f(z;

)
< br>i
i1i1
nn

2
2
e
2

2
n
(2

)
2

z
i< br>2
n

2


n
e

1
2

2

z
i
2
i1
n
，
n1
lnL(

)nln2ln(2

)n ln


2
22


z
i1
n
2
i
，
dlnL(

)n1
n
2
1
n
2
令

3

z
i
0 ，得

z
i


d

i1
n
i1
1
n
2
ˆ


的最大似然估 计量为


Z
i
.
n
i1


数学（一）试题 第10页（共4页）