马的生活习性-大连外国语分数线

第5章
1. 设

B
t
,t0

是一维标准Brown运动, 判断它是否均方连续, 是否均方可微.
解：由均方连续准则，Brown运动

B
t
,t0

的相关函数
R(s,t)
为
E

B
s

B
t
B
s
< br>B
s
2

s



2
E

B
t

B
s
B
t

B
t

t


st
ts
R(s ,t)E

B
s
B
t

故
R

t
0
,t
0

t
0
连续，故Brown 运
动是均方连续的。
由均方可微准则，对Brown运动，
1
hk
[R(th,tk)R(th,t)R(t,tk)R(t,t)]
hk

kh

1
min(th,tk)min(th,t)min(t ,tk)t


k


hk

1< br>

h
当
h0,k0
时极限不存在，故Brown运动不 是均方可微的。
t
t
2. 设

X,Y

~22
N

0,0,

1
,

2
,


. 令
X
t
XtY,Y
t


0
X
u
du
,
Z
t


0
X
u
du
，
2
0st
.
1) 证明
X
t
在
t0
上均方可微； 2) 求
Y
t
,Z
t
的均方导数.
证：1）
s,t ,R

s,t

E

X
s
X
t

E

(XsY)(XtY)



1


st


1

2
 st

2

22
根据均方可微准则，相关函数
R(s,t)
在

t,t

点广义二次可微：
lim
1
hk< br>[R(th,tk)R(th,t)R(t,tk)R(t,t)]
1
h k
[


1


2thk


1

2


th

tk


2




1


2th


1

2


th
t

2
222
2222
2
h,k0
lim
2
h,k0




1
< br>
2tk


1

2

tk

t

2




1


2t


1

2
t
2

]
lim
22

hk
2



2

hk

1
h, k0
故
X
t
在
t0
上均方可微。

X,Z

X
2
2）
Y
tttt< br>t
3．分别用Itô积分的定义和Itô公式证明

Bds
0
2
s
1
3
t
B
3
t

Bds
.
s
0

解：由Itô公式，
dB
t
3
3B
t
2
dB
t

t
3
t
2
s
tt
6
2
B
t

dB
t

3B
t
dB
t
3B
t
dt
2
2
B3

BdB
s
3
< br>B
s
ds
即

Bds
000
2
s
1
3
t
B
3
t

Bds

s
0
4.设
X
t
:R
n
是随机过程，

N
t

t0
是一个

代数流，
H
t

代数，求证：如果

X
t

t 0
关于

N
t

t0
是鞅，则关于
H< br>t
X

表示由

X
s
,
st
生成的

也是鞅；


X

< br>t0
证：因为

X
t

t0
关于

N
t

t0
是鞅，故

X
t

t0
关于

N
t

t0
是可测的 ，且
st
，
E

X
t
|
H
s

X

X

s
a.s.

又 由于
H
t

X

使是

X
t
t0
可测的最小

代数，故
H
t

X


H
t

s
st
，
E X
t
|
H
s

E

E
X

X

t
|
H
s

|H

X

s

E

X|
H
s

X


X
s
a.s.
< br>所以，

X
t

t0
关于
H
t< br>
也是鞅。
t0
证毕。
5．判断下列过程哪些是鞅
t
3
1)
X
t
B
t
4t
； 2)
X
t
B
； 3)
X
t
tB
t
2

sB
s
ds
； 4）
X
t
B
t
3tB
t
.
2
t
2
0
解：（1）
st,E

B
t
4t|
F
s

E

B
t
B
s
B
s
4t|
F
s

B
s
4tB
s
4s
；
2


BBB

2
|
F

E


BB

2
|
F

B
2
B
2
ts B
2


B|
F
E
（2）
E

s

ssssssss

t

t
< br>t

t

2

t

2
（ 3）
E

tB
t
2

uB
u
d u|
F
s

tE

B
t
|
F< br>s

2E


uB
u
du|
F< br>s


0

0

t

uB
u
du
0
1
2
t

0
B< br>u
du
2
1
2
B
t
t
2
1
2
t

udB
u
0
2
t
< br>2

E

tB
t
2

uBu
du|
F
s

2E
0

t< br>
11
2
Bt

t
22

s
t
2

2


udB
u
|
F
s

E

B
t
t|
F
s

E


udB
u
|
Fs

0

0

2
s
2
t< br>
t
2

由于

udB
u
是鞅， E


udB
u
|
F
s

0

0

2

u
0
2
dB< br>u
sB
s
2

uB
u
du
< br>0
ts

2

2
E

tB
t
2

uB
u
du|
F
s

 sB
s
2

uB
u
du
；
00

（4）

3


BB B

3
3tB|
F


E

B 3tB|
F
E
ts

ssts

t

t

32
32
E


B
tB
s

B
s
3

B
t
B
s

B
s
3

B
t
B< br>s

B
s
3t

B
t
B
s

3tB
s
|
F
s


3
3


BB

2
B|
F
< br>
E


B
t
B
s

|
F
s

E

B|
F
3E
s

sss

s

t

2
3 E

BBB|
F
s


ss

t

B
t
B
s

|
F
s

3E

tB
s
|
F
s


t

3E

B
s
3

ts

B
s
3tB
s
B
s
3sB
s

33
故（1），（2）不是鞅，（3），（4）是鞅。
6. 设

B
t
,t0

是一维标准Brown运动, 称
Y
t
e
运动. 试将
Y
t
表示成Itô过程的标准形式.
解 由Itô公式，
Y< br>t
e
iB
iB


cosB
t
, sinB
t

为单位圆上的Brown


cosB
t
,sinB
t

仍为Itô过程，且
11

dY
t


dcosB
t
,dsinB
t



sinB
t
dB
t
cosB
t
dt,cosB
t
dB
t
sinB
t
dt

22

7．利用Itô公式，将下列过程
X
t< br>表示成Itô过程的标准形式.
2
1)
X
t
B
t
; 2)
X
t
2te
；
B
t
3)
Xt
B
1

t

B
2

t

,其中

B
1
,B
2

是二维 Brown运动.
22
4)
X
t


t
0
t,B
t

,(
B
t
是一维标准Brown 运动).
5)
X
t


B
1

t

B
2

t

B
3
< br>t

,B
2
2

t

B
1

t

B
3

t


,其中

B
1
,B
2
,B
3

是 三维Brown运
动.
解：1）
dX
t
2B
t
dB
t
dt

取
x
ˆ
公式g
(
t
,
x
)

2
te
,
by由Ito
B
t
2)
1
B

dX
t
dtedB
t
edt
1e
t
22

B
t
1


B
t

dtedB
t

3）
dXt
2dt2B
1

t

dB
1

t

2B
2

t

dB
2
t



dt


1

0

dt
4）
dX
t



dB
t

dB
0

1


t


5）
dX
1

t
< br>dB
1

t

dB
2

t
dB
3

t


dX
2

t

dtB
3

t

dB
1

t

2B
2

t

dB< br>2

t

B
1

t

d B
3

t


8. 设
X
t
,Y
t
是Itô过程, 求证
d

X
t
Y
t

X
t
dY
t
Y< br>t
dX
t
dX
t
dY
t
.利用分部积分 求证
tt
s
t

X
0
dY
s
 X
t
Y
t
X
0
Y
0


Y
s
dX
s


dX
s
dY
s

00
解：由多维Itô公式，
dY
k

< br>g
k
t
n
(t,X)dt

i1
g
k
x
i
y,
(t,X
t
)dX
i
g
y
1
n

2
2
g
k
x
i
x
j
2
2
(t,X
t
)dX
i
dX
g
y
2
2
j

i,j1
取
g

t,x,x

xy
，则
g
x
x,
g
xy
1,
g
x< br>2
0
，于是，
d

X
t
Y
t

X
t
dY
t
Y
t
dX
t< br>dX
t
dY
t

写成积分形式即为
tt
s
t
X
t
Y
t
X
0
Y
0

X
0
dY
s


Y
s< br>dX
s

0

dX
0
s
dYs

移项即得证。
9. 设

B
t
,t0

是一维标准Brown运动,用Itô公式证明下列过程是鞅，
1
t
1
t
1)
X
t
e
2
cosB
t
; 2)
Xt
e
1
2
1

sinB
t
; 3)
X
t


B
t
t

ex p

B
t
t


2

1
t
证 1）由Itô公式，
dX
t
e
2
cosB
t
dte
2
sinB
t
dB
t

t
1
2
t
1
2
1e
2
cosB
t
dte
2
sinB
tdB
t

t
1
t
即
X
t


e
0
s
sinB
s
dB
s
是I tô积分，所以是鞅。
1
2）由Itô公式，
dX
t
e
t
1
2
t
1
sinB
t
dte
2
t
cosB
t
dB
t

1
2
1
e
2
t
1
sinB
t
dte
2
t
cosB
t
dB
t

即
X
t

2

ecosB
s
dB
s
是Itô积分，所以是鞅。
0
s
3）由Itô公式，

1

11


dX
t


exp

B
t
t



B
t
t

exp

B
t
t


dt
2

22




1

1




exp

B
t
t



B
t
t

exp

B
t
t


dB
t
2
< br>2





11

1



expBt1BtexpBt

dt

ttt


2

22
 


1

1





exp

B
t
t



B
t
t

exp

B
t
t


dB
t
2

2




所以是鞅。
证毕。
10. 在下列过程中,求
f

t,



V

0,t

, 使满足:
T
F



E

F


T

f

t,


dB



t
0
1)
F



B
T



; 2)
F





0
B
t



dt
; 3)
F



B
T




2
4)
F



B
3
T


; 5)
F



e< br>B
T



; 6)
F



sinB
T




解：1）
f

t,


1
； 2）< br>f

t,


B
t



；
3)

dB
t
2B
t
dB
t


dB
t

2B
t
dB
t
dt
2
T
2
T
T
2
2
B 2

B
t
dB
t
T2

B
t
dB
t
E

B
T
00

f

t,


2B
t
4)
dB
t
3B
t
dB
t
3B
t
< br>dB
t

3B
t
dB
t
3B
t
dt
322
TT
2
t
2
B
3
T


3B
0
dB
t


3B< br>t
dt
0
TTT
由分步积分，

3B
tdt3TB
T


3tdB
t


3

Tt

dB
t

000
而
E

B
T
3

0
，
f
t,


3B
t
3

Tt
< br>
2
5)

de
而
B
t

t
2

1
2
e
B
t

t2
dte
B
t

t
2
dB
t

1
2
e
B
t

t
2
dte
B
T
T
t
B
t


22
e

1

edB
t

0

T


E

e
B
T

< br>

e
x
1
2

T
e

x
2
T
2T
dx
e
2

2
t


e


xT

2T
2
T
dxe
2

f

t,


e
B
t

t
2

ttt t



2

1

2
1

22
6）

d

esinB
t

esinB
t
dtecosB
t
dB
t
esin B
t
dt

22

T
t
t
2< br>sinB
T
e
2

e
0

x< br>
cosB
t
dB
t

E

sin

B
T





1


sinx

1
2

T
x
2
2
e


2T
dx


1
2

T
e

x
2
2T
dcosx

2

T

T

x
cosxe

2T
dx0
Tt
f

t,

e
11.求证下列过程分别是对应随机微分方程的解
1)
X
t
e
解
dX
t

2)
X
t

B
t
1t
B
t
2
cos B
t

1
2
X
t
dtX
t
dB
t
;
1
1t
X
t
dt
1
1t
dB
t
;X
0
0
;
,B
0
0
解
dX
t

3)
X
t
sinB
t,B
0
a



1
2



2
,

,解
2

dX
t
X
t
dt





2
1X
t
dB
t
;tT


inf

s0,B
s


,


;

22


4)

X
1

t

,X
2

t



dX
1

1


0

< br>
t,eB
t

解



dt

X
1

dB
t
;X
0
 0
;
dXX

e


2

2

t
B
t
证： 1）由Itô公式，
dX
t
edB
t

2）由Itô公式，
dX
t

1
1
2
e
t
dt
B
1
2
X
t
dtX
t
dB
t


1t
2
B
t
dt
1
2
1
1t
dBt

1
2
0dt
1
1t
1
2
X
t
dt
1
1t
dB
t

3 ）由Itô公式，
dX
t
cosB
t
dB
t
< br>4）由Itô公式，
sinB
t
dt1X
t
dB
t

2
X
t
dt

dt

1

dX
1


dt



0




dtdB
t

1


t


t


X
1

t
eB
t
dtedB
t
0 dt


X
2


e


dX
2


deB
t

2
12. 解下列随机微分方程

dX
1


1

1)
< br>

dt
dX

0


2

1


0
0

dB
1


;
X
1

dB
2

2)
dX
t
X
t
dtdB
t
; (提示:两边同乘
e
t
,考虑
d

e
t
X
t< br>
)
3)
dX
t
X
t
dtet
dB
t
;
4)
dX
t
rdt
X
t
dB
t
,其中
r,

为实常数 . (提示:两边同乘
exp



B
t



1
2

t

).

2< br>
解：（1）原方程可写作
dX
1
dtdB
1
; dX
2
X
1
dB
2

X
1
< br>t

X
1

0

tB
1
t

(1)
写成积分形式为
t
X
2

t



X

s

dB

s

12
0
，将（1）代入（2），得
(2)
X
1

t

X
1

0
tB
1

t

;
tt
112
t< br>2
X
2

t

X
2

0



X

0

sB
s



dB

s


< br>
0
X
2

0

X
1

0

t

12

sdB
0
< br>
BdB
0
（2）由Itô公式，
d

e
 t
X
t

e
t
X
t
dte
t
dX
t
e
t
X
t
dte
 t
X
t
dte
t
dB
t
e
tdB
t

t
tst
t
ts
即
e X
t
X
0


edB
s
X
t
eX
0


e
00
dB
s
< br>（3）由Itô公式，
d

e
t
X
t
e
t
X
t
dte
t
dX
t
e< br>t
X
t
dte
t
X
t
dtdB
t
dB
t

ttt
即
eX
t
X< br>0
B
t
X
t
eX
0
eB
t

（4）取
Y
t
g

X
t
,B
t

exp



B
t
X
t
，由二维Ito公式
d


exp
< br>

B
t

X
t




exp



B
t

X
t
dB
t
exp



B
t

dX
t


2
exp


< br>B
t

dB
t
dX
t


2

exp



B
t

Xt
dt
2


exp



B
t

X
t
dB
t
exp



B
t

rdt

X
t
d B
t



2
exp


B
t

dB
t

rdt

X
t
dB
t


1
2

exp



B
t

X
t
dt
2



exp



B
t

X
t
dB
t
exp


< br>B
t

rdt

exp


< br>B
t

X
t
dB
t



2
2
X
t
exp



B
t

dt

2

2
exp



B
t

X
t
dtexp



B
t

rdt
t
即
exp



B
t

X
t
X
0


rexp



B
s

ds

0

t

X
t
exp
< br>
B
t


X
0


re xp



B
s

ds


0

13. 设
dX

t

B
t
,t0

Xd

t
t
是一维标准Brow n运动,求解Ornstein-Uhlenbeck方程
,
t
并求解过程的均值函数 与方差函数.其中

,

为实常数.
dB
解：由Itô公式，
d

e


t
X
t



e


t
X
t
dte


s


t
dX
t


e

t


t
X
t
dte
t


t

X
t< br>dte

dB
t
e

dB
t

tt
t
即
e


t
X
t< br>X
0



e
0
dB
s
X
t
eX
0


e
0

< br>ts


dB
s

均值函数为
m
X

t

E

X
t

方差函 数为
t



ts


t

t
eE

X
0

E

< br>e

dB
s

eE

X
0



0

D
X

t

Var

X
t

e
2

t
2

t



ts

Var

X
0

E


e

dBs


0

t
2

s
t< br>2
eVar

X
0



e22

t

e
0
dse
2

t
Var

X
0



2
2< br>
t


e
2


1


14. (Cox-Ingersoll-Ross模型)设
B
t
是一维标准Brown运动，
X
t
满足随机微分方程：
dX
t
(



X
t
)dt

X
t
dB
t
;X
0
x

其中

,

,
,x
为正常数.求
X
t
的均值函数与方差函数.
t t
解：积分形式为
X
t
x

(

< br>
X
s
)ds


00
X
sdB
s

tt
s
X
t
的均值函数满足
E

X
t

x




E

X



ds


0
m( t)x





m(s)

ds< br>
0
方程两边对t求导得
m

(t)



m(t)
，由于 < br>
e
解得
m(t)xe


t

t


t

t

t

t
m(t)



em(t)e

e

m(t)

e







e


t
。
为计算方差函数，由Itô公式，
d

X
2
t

2X
t
2
tdX
t


dX
t

2X
t
(



X
t
)dt2


X
t

2
dB
t


X
t
dt

2
2
3
写成积分形式为
t
X
2
t
x2

X
s
(


X
s
)ds2



X
s

2
dB
s


0
t
3
t
2
X
0
s
s
ds

0
t
2< br>v(t)

E

X
t
2
2
t

x
2
2

E[X
s
(



X
s
)]ds

0
t
22

E

X

ds
0
tt

x2

[

m(s)

v(s)]ds

0

m(s)dsx
0


2


2


m(s)ds2


v (s)ds
00
方程两边对t求导
v

(t)

2



2

m(t)2

v(t)

2
由于

e
2

t

2

t2

t2

t2

t
v (t)

2

ev(t)ev

(t)2

ev(t)e

2








t

2

t

2



m(t)2



x





e

e





22

m(t)2e
2

t
v(t)

e
2

t
故
v(t )

2



2


x





t

2

t2

t
ee1e




2

2

2







2
方差函数为
D

t

v (t)m

t



2

2
2






t2

t




x

eex






2


22
15. 求下列Itô扩散的特征算子.
1)
dX
t


Xt
dt

dB
t
; 2)
dX
t


X
t
dt

X
t
dB
t< br>; 3)
dX
t


dt

X
t
dB
t
;

dX
1


1< br>

1
4)



dt

dX

0


2

0
0

dB
1


dX
1

1


0


; 5)


< br>dt

X
1

dB
t
;
X1

dB
2

dXX

e


2

2

2
解：1）由定理5.5.3, 对一维扩 散方程
dX
t



X
t

dt 


X
t

dB
t
，
fC

R

，特

征算子
A
满足
A
f

x




x

f


x


1
2
1
2
1
2

2

x

f

x



xf


d

< br>1
2
2

f


x

；
2）
A
f

x



xf


x


3）
A
f

x


f


x


n22

xf


x


22

xf


x


4）< br>A
f

x





x< br>
x
i
i1
f

i
1




x

xx2
T
i,j 1
i,j
i
n
f
2

j
这里，

T

1



0
f
0< br>
1

X
1

0
0
1



X
1

0
0
< br>
2

X
1

22

1

f
2
f


x
1
故
Af

x


。
22

x
1
2

x
1
x
2


1

0

T
,

0
5）




X
1




e


X
2

e
X
1

0





0
0


2X
1

e

故
A
f

x

f
x
1
x
2
f
x1

1
2
e
2x
1
f
x
2
2
2

16. 给出以下列算子为特征算子的Itô扩散：
2
1)
Af

x

f

< br>x

f


x

;fC
< br>R

;
2)
Af

t,x


f
t
cx
f
x

1
2

x
22
f
x
2
2
;fC
f2
2
2

R

;
Af

x
1
,x
2

2x
2

1
f< br>x
1
2
1
ln

1x
1
x
2
22
3)

x
1x

2x
f
2
1
2
x
1
f
x
1< br>x
2
2
1f
2x
2
2
2

;fC
2

R

2
解：由定理5.5.3, 对 一维扩散方程，
fC
A
f

x




x

f


x


1
2

R

，特征算子
A
满足

2

x

f


x

。 2
1）对照
Af

x

f

x

f


x

;fC

x

1,
1
2

R

得
2dB
t
；
f
i
2

2
< br>x

1,


x

2
，对应 的Itô扩散为
dX
t
dt
n
i

t

2）记
Y
t


，则对比
A
f

x



X
t




x

x
i1
f

i
1
2
i,j1





x

xx
T
i,j
n
与
j

Af

t,x


f
t
cx
f
x
1
2
T

x
22
f
x
2
2

得，

1
1,

2
c X
t
,


0



0

0




0
22


X
t


X
t

0

X
t



dt

1

0< br>
故
dY
t




dt< br>
dB
t
；
dXcX

X
t

t

t

3）因为
Af

x1
,x
2

2x
2
f
x
1ln

1xx
2
1
2
2

x
f
2

1
2

1x

x< br>2
1
f
2
1
2
x
1
f
x
1
x
2
2

1f
2x
22
2

得，

1
2X
2

t

,

2
ln

1X
1
2

t

X
2
2

t


，

T

1X
1
2

t




X
1

t

X
1

t


X
1

t




1


1
1X
1< br>
t


0

1
1


0

2X
2

t


dX
1

t



X
1

t

dt
故
dX
t





22
dXt
ln1XtXt




2

1
12


1 

dB
1

t






dBt
0


2


1 7. 设
B
t
是一维标准Brown运动，
X
t
X
t
xe
x
ct

B
t
, 求证
X
t
是马氏过程.
证明：根据马氏过程的等价性质，只需证
 h,及st,E


h

X
t

|F
s


E


h

X< br>t

|X
s


，


BB

ct

B
t
ct

B
s


B
t
B
s


E< br>
hxee|
F
s

，其中
e
ts
注意到
E


|
F
s


h
X
t

|
F
s


E< br>
h

xe



关于
Fs
独立，
X
s
xe
ct

B
s< br>关于
F
s
可测。根据独立性引理，
E

hX|F
gX


he


BB
,y

。

gyE
，（其中

ts s


）



ts
由于
g

X
s

关于
X
s
可测，且
A 


X
s


F
s
，

h

X

|X

E

tA
s


dP

h

X

|
F

h

X

dP

E

tt
AA
s


dP

g

X

dP

s
A
t
由条件期 望的唯一性，
E


h

X
t

|X
s


g
x

X
s
，故
X
是马氏过程.
18. 设
B
t
是从
xR
出发的一维Brown运动, 记
inf

t0;B
t
x
0



x
1) 求证: 对所有
x0
,

,a.s.P
; 2) 求证: 对所有x0
,
E
x




;
x
解：设

k
in

ftB0
t
; 
x
或B0
t
,k

kx;
x
，记
0
p
k
P

B

k
k

，则对

f

y


x2
y,0yk
用Dynkin公式得，


k


k

22x2x
xE


A

B
s

ds

xE


1ds
xE


k



< br>0

0

2x
2
E

B


k
而根据

k
inf

t0;B
t
x
0,或B
t
x
k

;kx0
，故
E
x
B

k
只有两个可能取值：0，k,故< br>
B

k
22

k
p
k
，于是，
E
x


k

k
2
p
k
x
（18.1）
2
同理，对
f
< br>y

y,0yk
用Dynkin公式得，
kp
k
x
（18.2）
结合以上两式得
Exx
E


k

limx

kx





lim
kk
。
再由(18.2)式，
P
x

t使B
t
 0

limP
k
x

B

k
0lim

1p
k

1

k

故

a.s.P
x
。