中秋假期-湛江中考

2017年中招考试数学试卷

一．选择题（共10小题）

1．下列各数中比1大的数是（ ）

A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3

2．2016年，我国国内生产总值达到万亿元，数据“万亿”用科学记数法表示
（ ）

A．×10
12
B．×10
13
C．×10
13
D．×10
15

3．某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（ ）


A． B． C． D．

4．解分式方程﹣2=，去分母得（ ）

A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3

5．八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，9 5分，95分，
95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ）

A．95分，95分 B．95分，90分
2
C．90分，95分 D．95分，85分

6．一元二次方程2x﹣5x﹣2=0的根的情况是（ ）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不 能判定▱ABCD
是菱形的只有（ ）


A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2

8．如图是一次数学活动课制作的一个转 盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分
别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后 记录指针所指区域
的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正
数的概率为（ ）


A． B． C． D．

9．我们知道 ：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的

正方形ABCD的边A B在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方
形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴 上点D′处，则点C的对应点C′的坐
标为（ ）


A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，）

10．如图，将半径为2，圆心角为120° 的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点
O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影 部分的面积是（ ）


A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣

二．填空题（共5小题）

11．计算：2
3
﹣= ．

12．不等式组的解集是 ．

13．已知点A（1，m），B （2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m与n的大小
关系为 ．

14 ．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是
点P运动时，线段BP 的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的
最低点，则△ABC的面积是 ．


15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点 M，N分别是边BC，AB
上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC 上，
若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 ．


三．解答题（共8小题）

16．先化简，再求值：（2x+y）+（x﹣y）（x+ y）﹣5x（x﹣y），其中x=+1，y=
﹣1．

17．为了了解同学们每月零花 钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，
根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表 ．

调查结果统计表

组别

分组（单位：元）

人数

2

A

B

C

D

E

0≤x＜30

30≤x＜60

60≤x＜90

90≤x＜120

x≥120

4

16

a

b

2

请根据以上图表，解答下列问题：

（1）填空：这次被调查的同学共有 人，a+b= ，m= ；

（2）求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；

（3）该校共有学生1000人，请估 计每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的
人数．


18．如图，在 △ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF
∥AB，与过点B的切线 交于点F，连接BD．

（1）求证：BD=BF；

（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．


19．如图所示，我国两 艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收
到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时 ，B船在A船的正南方向5海里
处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东 53°方向，
已知A船的航速为30海里小时，B船的航速为25海里小时，问C船至少要等
待 多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，
≈）


20．如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（m， 3）
和B（3，1）．

（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；

（2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于 点D，连接OP，若△POD的面
积为S，求S的取值范围．

21．学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和
6个B种魔方共需 130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同．

（1）求这两种魔方的单价；

（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔 方共100个（其中A种魔方
不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说 明选择
哪种优惠活动购买魔方更实惠．


22．如图1，在Rt△ABC中 ，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，
AD=AE，连接DC，点M，P，N 分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想

图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；

（2）探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连 接MN，BD，CE，判断
△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN
面积的最大值．


23．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0 ），与y轴交于点B，抛物线y=
﹣x
2
+bx+c经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点 M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物
线分别交于点P，N．

①点M在线段OA上 运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M
的坐标；

②点M在x 轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的
中点（三点重合除外），则称M， P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，
N三点成为“共谐点”的m的值．

2017年中招考试数学试卷参考答案与解析
一．选择题（共10小题）

4. A 5. A
二．填空题（共5小题）

11．解：2
3
﹣=8﹣2=6，故答案为：6．



12．解：

解不等式①0得：x≤2，

解不等式②得：x＞﹣1，

∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，

故答案为﹣1＜x≤2．



13．解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣2＜0，
∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，

∵0＜1＜2，

∴A、B两点均在第四象限，

∴m＜n．

故答案为m＜n．



14．


解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，

由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，

即BC=5，

由于M是曲线部分的最低点，

∴此时BP最小，

即BP⊥AC，BP=4，

∴由勾股定理可知：PC=3，

由于图象的曲线部分是轴对称图形，

∴PA=3，

∴AC=6，

∴△ABC的面积为：×4×6=12

故答案为：12



15．


解：①如图1，

当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，

∴BM=BC=+；

②如图2，当∠MB′C=90°，

∵∠A=90°，AB=AC，

∴∠C=45°，

∴△CMB′是等腰直角三角形，

∴CM=MB′，

∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，

∴BM=B′M，

∴CM=BM，

∵BC=+1，

∴CM+BM=BM+BM=+1，

∴BM=1，

综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为+或1，

故答案为：+或1．





三．解答题（共8小题）

16．解：（2x+y）
2
+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）

=4x
2
+4xy+y
2
+x
2
﹣y
2
﹣5x
2
+5xy

=9xy

当x=+1，y=﹣1时，

原式=9（+1）（﹣1）

=9×（2﹣1）

=9×1

=9



17．

解：（1）调查的总人数是16÷32%=50（人），

则b=50×16%=8，a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20，

A组所占的百分比是=8%，则m=8．

a+b=8+20=28．

故答案是：50，28，8；

（2）扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×=144°；

（3）每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数是1000×=560（人）．



18．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠BDA=90°，

∴BD⊥AC，∠BDC=90°，

∵BF切⊙O于B，

∴AB⊥BF，

∵CF∥AB，

∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC，

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，

∴∠ACB=∠FCB，

∵BD⊥AC，BF⊥CF，

∴BD=BF；

（2）解：∵AB=10，AB=AC，

∴AC=10，

∵CD=4，

∴AD=10﹣4=6，

在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD==8，

在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC==4．








19．解：如图作CE⊥AB于E．

在Rt△ACE中，∵∠A=45°，

∴AE=EC，设AE=EC=x，则BE=x﹣5，

在Rt△BCE中，

∵tan53°=，

∴=，

解得x=20，

∴AE=EC=20，

∴AC=20=，

BC==25，

∴A船到C的时间≈=小时，B船到C的时间==1小时，

∴C船至少要等待小时才能得到救援．



20．


解：（1）将B（3，1）代入y=，

∴k=3，

将A（m，3）代入y=，

∴m=1，

∴A（1，3），

将A（1，3）代入代入y=﹣x+b，

∴b=4，

∴y=﹣x+4

（2）设P（x，y），

由（1）可知：1≤x≤3，

∴PD=y=﹣x+4，OD=x，

∴S=x（﹣x+4），

∴由二次函数的图象可知：

S的取值范围为：≤S≤2

故答案为：（1）y=﹣x+4；y=．



21．解：（1）设A种魔方的单价为x元个，B种魔方的单价为y元个，

根据题意得：，

解得：．

答：A种魔方的单价为20元个，B种魔方的单价为15元个．

（2）设购进A种魔 方m个（0≤m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100
﹣m）个，

根据 题意得：w
活动一
=20m×+15（100﹣m）×=10m+600；

w
活动二
=20m+15（100﹣m﹣m）=﹣10m+1500．
当w
活动一
＜w
活动二
时，有10m+600＜﹣10m+1500，< br>
解得：m＜45；

当w
活动一
=w
活动二
时，有10m+600=﹣10m+1500，

解得：m=45；

当w
活动一
＞w
活动二
时，有10m+600＞﹣10m+1500，

解得：45＜m≤50．

综上所述：当m＜45时，选择活动一购买 魔方更实惠；当m=45时，选择两种活
动费用相同；当m＞45时，选择活动二购买魔方更实惠．
（按购买3个A种魔方和4个B种魔方需要130元解答）

解：（1）设A种魔方的单价为x元个，B种魔方的单价为y元个，

根据题意得：，

解得：．

答：A种魔方的单价为26元个，B种魔方的单价为13元个．

（2）设购进A种魔 方m个（0≤m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100
﹣m）个，

根据题意得：w
活动一
=26m×+13（100﹣m）×=+520；

w
活动二
=26m+13（100﹣m﹣m）=1300．

当w
活动一
＜w
活动二
时，有+520＜1300，

解得：m＜50；

当w
活动一
=w
活动二
时，有+520=1300，

解得：m=50；

当w
活动一
＞w
活动二
时，有+520＞1300，

不等式无解．

综上所述：当m＜50时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=50时 ，选择两种活
动费用相同．



22．解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，

∴PN∥BD，PN=BD，

∵点P，M是CD，DE的中点，

∴PM∥CE，PM=CE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴BD=CE，

∴PM=PN，

∵PN∥BD，

∴∠DPN=∠ADC，

∵PM∥CE，

∴∠DPM=∠DCA，

∵∠BAC=90°，

∴∠ADC+∠ACD=90°，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，

∴PM⊥PN，

故答案为：PM=PN，PM⊥PN，


（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，

同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM∥CE，

∴∠DPM=∠DCE，

同（1）的方法得，PN∥BD，

∴∠PNC=∠DBC，

∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC

=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC

=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC=90°，

∴∠ACB+∠ABC=90°，

∴∠MPN=90°，

∴△PMN是等腰直角三角形，


（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，

∴MN最大时，△PMN的面积最大，

∴DE∥BC且DE在顶点A上面，

∴MN最大=AM+AN，

连接AM，AN，

在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，

∴AM=2，

在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，

∴MN
最大
=2+5=7，

∴S
△PMN最大
= PM
2
=×MN
2
=×（7）
2
=．




23．


解：（1）∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，

∴0=﹣2+c，解得c=2，

∴B（0，2），

∵抛物线y=﹣x
2
+bx+c经过点A，B，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x
2
+x+2；


（2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，

∵M（m，0）为x 轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分
别交于点P，N，

∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m+m+2），

∴PM=﹣m+2，PA=3﹣ m，PN=﹣m
2
+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m
2
+4m，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，

∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，

当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，

∴BN=OM=m，

2

∴=，即=，解得m=0（舍去）或m=，

∴M（，0）；

当∠NBP=90°时，则有=，

∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），

∴BP==m，AP==（3﹣m），

∴=，解得m=0（舍去）或m=，

∴M（，0）；

综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的 坐标为（，0）
或（，0）；

②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（ m，﹣m
2
+m+2），

∵M，P，N三点为“共谐点”，

∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，

当P为线段 MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m
2
+m+2，解得m=3（三点重合，舍
去 ）或m=；

当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m
2
+m+2） =0，解得m=3（舍去）或m=
﹣1；

当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2= 2（﹣m
2
+m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；

综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．