衡阳财经工业职业技术学院-三扶一支

Born to win
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4 分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答题 纸指定位置上.
．．．
（1）若
lim(eaxbx)
x0
x2
1
x
2
1
,则（ ）
1
1
(A)
a,b1

(B)
a,b1

2
2
11
(C)
a,b1

(D)
a,b1

22
【答案】B
（2）下列函数中,在
x0
处不可导是（ ）
(A)f(x)xsinx
(C)f(x)cosx
【答案】D

B

f(x)xsinx
x

D

f(x)cos


2axx1
1x0


1x0
,若
f(x)g(x)
在
R
上连续,则（ ） （3）设函数
f(x)

，
g(x)

x

1x0

xbx0

(A)
a3,b1

(B)
a3,b2

(C)
a3,b1

(D)
a3,b2

【答案】D

（4）设函数
f(x)
在[0,1]上二阶可导,且
（A）当
f

(x)0
时,
f(

1
0
f(x)dx0
,则
11
)0
（B）当
f

(x)0
时,
f()0

22
11
（C）当
f

(x)0
时,
f()0
（D）当
f

(x)0
时,
f()0

22
【答案】D


(1x)
2
1x
2
2
（5）设
M


dx
,
N


x
2
dx
,
K

2

(1cosx)dx
,则
M,N,K
的大 小关系为
2

2
1x
2
e
2
< br>2
（A）
MNK
（B）
MKN
（C）
KMN
（D）
KNM

【答案】C

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(


1

精勤求学 自强不息
02x
2
12x
2
Born to win!
（6）

1
dx

x
(1xy)dy

dx

0x
(1xy)dy


（A）
5

3
（B）
5

6
（C）
7

3
（D）
7

6
【答案】C


110


（7） 下列矩阵中,与矩阵
011
相似的为


001


111

101

111
 
101


(B)

011

(C)

010

(D)

010


(A)

011



001

001

001

001




【答案】A

（8）设
A,B
为n阶矩 阵,记
r(X)
为矩阵
X
的秩，
(XY)
表示分块矩阵，则
（A）
r(AAB)r(A)
（B）
r(ABA)r(A)
（C）
r(AB)max{r(A),r(B)}
（D）
r(AB)r(A
T
B
T
)

【答案】A
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．
2
(9)
limx[arctan(x1)arctanx]
_______
x

(10) 曲线
yx2lnx
在其拐点处的切线方程是______

(11)
2


5
1
dx
_______
x
2
4x3

3



xcost
t
(12) 曲线

在对应点的曲率为
3
4


ysint
z1
（13）设函数
zz(x,y)
由方程
lnzexy< br>确定，则
z
x
1
(2,)
2
______
（14）设
A
为3阶矩阵，

1
,

2
,

3
为线性无关的向量组，若
2

2


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Born to win
A

12

1


2


3
,A

2


2
2

3
,A

3


2


3
，则
A< br>的实特征值为

【答案】2

三、解答题：15—23小题，共9 4分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
．．．
演算步骤.
（15）（本题满分10分）求不定积分
earctane1dx

（16 ）（本题满分10分）已知连续函数
f(x)
满足

2xx

x
0
f(t)dt

tf(xt)dtax
2
，
0
x
(1)求
f(x)
，(2) 若
f(x)
在区间
[0,1]
上的平均值为1,求
a
的值

xtsint,
（17）（本题满分10分）设平面区域
D
由 曲线

(0t2

)
与
x
轴围成,计算二重积 分
y1cost,


(x2y)dxdy

D< br>2
（18）（本题满分10分）已知常数
kln21
.证明
(x 1)(xlnx2klnx1)0

（19）（本题满分10分）将长为2m的铁丝分 成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积
之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
4
2
x(x0),
点
A(0,1).
。设
P是
L
上的动点，
S
是直线
OA
与
9
直 线
AP
及曲线
L
所围图形的面积。若
P
运动到点（3，4） 时沿
x
轴正向的速度是4，求此时
S
关于时间
t
（20）（ 本题满分11分）已知曲线
L:y
的变化率。
（21）（本题满分11分）设数列
{x
n
}
满足
x
1
0,x
n
e
x
n1
e
x
n
1(n1,2,)
。证明< br>{x
n
}
收敛，并求
limx
n

n< br>（22）（本题满分11分）设实二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)(x
1
x
2
x
3
)(x2
x
3
)(x
1
ax
3
)
其中
a

为参数(1)求
f(x
1
,x
2
,x
3
)0
的解(2)求
f(x
1
,x
2
, x
3
)
的规范形

22

1a2

12a



（23）（本题满分11分）已知
a
是常数,且矩阵
A130
可经初等变换化为矩阵
B

011




111


27a



(1)求
a
(2)求满足
APB的可逆矩阵
P



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(


3