三本大学-考号查询

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每 小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标 号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分 ，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.已知集合A={x|x<1},B={x|
3
x
1
},则
A.
AB{x|x0}
B.
ABR
C.
AB{x|x1}
D.
AB

【答案】A
【难度】容易
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中
均有涉及。
2.如图，正方形A BCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形
的中心成中心 对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A.
1
π
1
π
B. C. D.
4824

【答案】B
【难度】容易
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班
中均有涉及。

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3.设有下面四个命题
1
p
1
:
若复数
z
满足
R
，则
zR
；
z
p
2
:
若复数
z
满 足
z
2
R
，则
zR
；
p
3
:
若复数
z
1
,z
2
满足
z
1
z
2
R
，则
z
1
z
2
；
p
4
:
若复数
zR
，则
zR
.
其中的真命题为
A.
p
1
,p
3
B.
p
1
,p
4
C.
p
2
,p
3
D.
p
2
,p
4

【答案】B
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 < br>4．记
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．若
a
4
a
5
24
，
S6
48
，则
{a
n
}
的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【难度】容易
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第六章《数列》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中
均有涉及。
5．函数
f (x)
在
(,)
单调递减，且为奇函数．若
f(1)1
，则满足
1f(x2)1
的
x
的取值范围
是
A．
[2,2]

【答案】D
【难度】容易
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章《函数的性质及其应用》中有详细讲解，在寒假特训班、
百日冲刺班中均有涉及。
6.
(1
B．
[1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]

1
6
2
)(1x)
x
展开式中的系数为
2
x
A.15 B.20 C.30 D.35
【答案】C中等
【难度】
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十六章《计数技巧》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲
刺班中均有涉及。
7.某多面体 的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，

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俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A.10 B.12 C.14 D.16
【答案】B
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲
刺班中均有涉及。
8.右面程序 框图是为了求出满足3
n
-2
n
>1000的最小偶数n，那么在
填 入
和两个空白框中，可以分别

A.A>1000和n=n+1
B.A>1000和n=n+2
C.A

1000和n=n+1
D.A

1000和n=n+2
【答案】D
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十三章《算法与统计》中有详细讲解，在寒假特训班、百日
冲刺班中均有涉及。

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9.已知曲线C
1
：y=cos x，C
2
：y=sin (2x+
2π
)，则下面结正确的是
3
π
个单位长度，得到曲6
A.把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向 右平移
线C
2
B.把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐 标不变，再把得到的曲线向左平移
线C
2
C.把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
线C
2
D.把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
线C
2

【答案】D
【难度】较难
π
个单位长度，得到曲
12
1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲
26
1π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲
212
【点评】 本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺
班中均有涉及。
10.已知F为 抛物线C：y
2
=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l
1
，l
2
，直线l
1
与C交于A、B两点，直线
l
2
与C交于D、 E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特
训班、百日冲刺班中均有涉及。
xyz
11.设xyz为正数，且
235
，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中
均有涉及。
12.几位大学生响 应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学
题获取软件 激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，
4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是2
0
，接下来的两项是2
0< br>，2
1
，再接下来的三项是2
0
，2
1
，2
2
，
依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂. 那么该款软件的激活码

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是
A.440 B.330 C.220 D.110
【答案】A
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第六章《数列》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中
均有涉及。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2， | b |=1，则| a +2 b |= .
【答案】
23

【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺
班中均有涉及。

x 2y1

14.设x，y满足约束条件

2xy1
，则z3x2y
的最小值为 .

xy0

【答案】-5
【难度】容易
【点评】
x
2
y
2
15.已知双曲线C：
2

2< br>1
（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C
ab
的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。
【答案】
6

3
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解，在寒
假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E 、F为圆O上
的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿 虚线剪开后，分别以BC，CA，
AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合 ，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱
锥体积（单位：cm
3
）的最大值 为_______。

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【答案】
415

【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特
训班、百日冲刺班中均有涉及。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生< br>都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17.（12分）
a
2
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知△ABC的面积为

3sinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长
【答案】（1）

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S
ABC1a
2
bcsinA
23sinA
3
bcsin
2
Aa
2
2
abc
2R
sinAsinBsinC
33
bcsin
2
Aa
2
sinBsinCsin2
Asin
2
A
2
22
2
sinBsinC 
3
1
(2)cosBcosC
6
2
由于sinBsin C
3
1
cos(BC)cosBcosCsinBsinC
2
21
BC

，A

33
1
ABC的周长=abc36sin(B

)
6
11
sin(B

)(,1]
62
所以，周长的取值范围为(6,9].
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺
班中均有涉及。
18.（12分）
如图，在四棱锥P- ABCD中，ABCD，且
BAPCDP90


(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=PD=AB=DC,
APD90
,求二面角A-PB- C的余弦值.
【答案】

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∠AEC为所求的二面角

因此，AC=
23a

AE
2
CE
2
AC
2
3
所以，
cosAEC
.

2AE*CE3

【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲
刺班中均有涉及。
19
．（
12
分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产 过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16
个零件，并测量其尺寸
2
cm< br>）

（单位：．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服 从正态分布
N(μ,σ)
．
（
1
）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的
16
个零件中其尺寸在
(μ–3σ,μ+3σ)
之 外的零件数，求
P(X
≥
1)
及
X
的数学期望；


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（
2
）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(μ–3σ,μ+3σ)
之外的零件，就认为 这条生产线在这一天的生产过
程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的
16
个零件的尺寸：

9.95
10.26
10.12
9.91
9.96 9.96 10.01
9.22
9.92 9.98 10.04
9.95 10.13 10.02 10.04 10.05
1
16
1
16
1
16
2 222
x
i
9.97
，
s
经计算得
x
(xx)(x16x)0.212
，其中
x
i
为抽取的第


ii
16
i1
16
i1
16
i 1
i
个零件的尺寸，
i=1,2,
…
,16
．

ˆ
，用样本标准差
s
作为
σ
的估计值

ˆ
，利用估计值判断是否需对当天的
用样本平均数
x
作为
μ
的 估计值

ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据，用剩下的数据估计
μ
和
σ（精确到
0.01
）．

生产过程进行检查？剔除
(

216

附：若随机变量Z
服从正态分布
N(μ,σ)
，则
P(μ–3σ，
0.997 4
≈
0.959 2
，
0.0080.09
．
【答案】




【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班
中均有涉及。
20.（12分）

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33
x
2
y
2
已知椭圆C：
2

2
=1
（a>b>0），四点P
1
（1,1），P
2
（0,1），P
3< br>（–1， ），P
4
（1，）中恰有三点
ab
22
在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P
2
点且与C相交于A，B两点 .若直线P
2
A与直线P
2
B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【答案】



由题意可知
k
P
2
A
 k
P
2
B
1
.即

将
y
A
kx
A
 m,y
B
kx
B
m代入(b)式得






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【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特
训班、百日冲刺班中均有涉及。
21.（12分）
已知函数
f(x)
=ae
2x
+（a﹣ 2）e
x
﹣x.
（1） 讨论
f(x)
的单调性；
（2） 若
f(x)
有两个零点，求a的取值范围.
【答案】




且g(1)=1-1+ln1=0

f(-lna)＜0




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【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中
均有涉及。

（二）选 考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）

x3cos
< br>,
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（θ为参数），直线l的参数 方程为
ysin

,


xa4t,
. < br>（t为参数）

y1t,

（1）若a=-1，求C与l的交点坐 标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为
17
，求a.
【答案】

【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特
训班、百日冲刺班中均有涉及。
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=–x
2
+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.
【答案】

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(2)x
2
ax4|x1||x1|
即 x
2
ax2≤0，令p(x)x
2
ax2
a11当0,p(1)1a0,1a0

22
a
当0,p(1)1a0,0a1
2

【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中
均有涉及。





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