战马观后感-河南理工学院

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2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案

一、选择题：1～8小题，每小题 4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
把所选项前的字母填在题后的 括号内.
（1）设
f(x)x
2
(x1)(x2)
，则f
'
(x)
的零点个数为（ ）

A

0

B

1.

C

2

D

3
（2）曲线方程为
yf(x)
函数在 区间
[0,a]
上有连续导数，则定积分

a
t
0
af(x)dx
（ ）

A

曲边梯形
ABCD
面积.

B

梯形
ABCD
面积.

C

曲边三角形
ACD
面积.

D

三角形
ACD
面积.
x

（3）在下列微分方程中，以
yC
1
eC
2
cos2xC< br>3
sin2x
（
C
1
,C
2
,C
3
为任意常数）为通解的是（

A

y
'''
y< br>''
4y
'
4y0


B

y
''

'
y
'

'
4y< br>'
4y0


C

y
'''
y
''
4y
'
4y0


D
< br>y
'''
y
''
4y
'
4y0
< br>（5）设函数
f(x)
在
(,)
内单调有界，
x
n

为数列，下列命题正确的是（ ）

A

若

x
n

收敛，则

f(x
n
)

收敛.

B

若

x
n

单调，则

f(x
n
)

收敛.

C

若

f(x
n
)

收敛，则

x
n

收敛.
< br>D

若

f(x
n
)

单调，则< br>
x
n

收敛.
（6）设函数
f
连续，若
F(u,v)
D

f(x
2
y
2
)
2
uv
x
2
y
dxdy
，其中区域
D< br>uv
为图中阴影部分，则
F
u



A

vf(u
2
)


B

v
u
f(u
2
)


C

vf(u)


D

v
u
f(u)

（7）设
A
为
n
阶非零矩阵，
E
为
n
阶单位矩阵. 若
A
3
0
，则（ ）


A

EA
不可逆，
EA
不可逆.

B

EA
不可逆，
EA
可逆.

C

EA
可逆，
EA
可逆.

D

EA
可逆，
EA
不可逆.

）

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（8）设
A

12


，则在实数域上与
A
合同的矩阵 为（ ）

21



A



21


.

12



B



21


. 
12


21


C


.
12


12



D


.
21

1co s[xf(x)]
(e1)f(x)
x
2
二、填空题：9-14小题，每小 题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9） 已知函数
f(x)
连 续，且
lim
x0
1
，则
f(0)____
. （10）微分方程
(yx
2
e
x
)dxxdy0
的通解是
y____
.
（11）曲线
sin

xy< br>
ln

yx

x
在点

0 ,1

处的切线方程为

.
（12）曲线
y(x5)x
的拐点坐标为______.
（13）设< br>z

2
3
z

y

，则

x

x

x
y
(1,2)
___ _
.
（14）设3阶矩阵
A
的特征值为
2,3,

.若行列式
2A48
，则

___
.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.

(15)（本题满分9分）
sinxsin
< br>sinx


sinx


求极限
lim
.
4
x0
x
(16)（本题满分10分）

dx
xx(t)

2
2te
x
0
y

设函数
yy(x)
由参数方程

确定，其中x(t)
是初值问题

dt
的解.求
2
.
t
2
x
y

ln(1u)du


x
t0
0
0


(17)（本题满分9分）求积分
(18)（本题满分11分）
求二重积分

1
xarcsinx< br>1x
2
0
dx
.

max(xy,1)dxd y,
其中
D{(x,y)0x2,0y2}

D
(19)（本题满分11分）

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设
f(x)
是区间

0,

上具有连续导数的单调增加函数，且
f(0)1
.对任意的
t

0,

，直线
x0,xt
，曲线
yf(x)
以及
x
轴所围成的曲边梯形绕
x
轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积< br>在数值上等于其体积的2倍，求函数
f(x)
的表达式.
(20)（本题满分11分）
(1) 证明积分中值定理：若函数
f(x)
在闭区间
[a,b]
上连续，则至少存在一点

[a,b]
，使得

b
a
f(x)dxf(

)(ba)

(2)若函数

(x)
具有二阶导数，且满足

(2)

(1)

,(2

)

xd(x
，)
证明至少存在一点
2
3

(1,3使得),


()

0
（21）（本题满分11分）
求函 数
ux
2
y
2
z
2
在约束条件
z x
2
y
2
和
xyz4
下的最大值与最小值.
（22）（本题满分12分）


2a1


2

a2a


，现矩阵
A
满足方程
AX B
，其中
X

x,,x

T
，设矩阵
A

1n


1


2
a2a

nn
B

1,0,,0

，
（1）求证
A

n1

a
；
n
（2）
a
为何值，方程组有唯一解，并求
x
1
；
（3）
a
为何值，方程组有无穷多解，并求通解.
（23）（本题满分10分）
设
A
为3阶矩阵，

1,

2
为
A
的分别属于特征值
1,1
特征向 量，向量

3
满足
A

3


2


3
，
（1）证明

1
,

2
,

3
线性无关；
（2）令
P
< br>
1
,

2
,

3

，求
PAP
.
1

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2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、选择题
(1)【答案】
D

【详解】因为
f(0)f(1)f(2) 0
，由罗尔定理知至少有

1
(0,1)
，

2
(1,2)
使
f

(

1
)f

(

2
)0
，
所以
f

( x)
至少有两个零点. 又
f

(x)
中含有因子
x
，故
x0
也是
f

(x)
的零点， D正确.
本题的难度值为0.719.
(2)【答案】
C

【详解】

a
0
a
xf

(x)dx

xdf (x)xf(x)
0


f(x)dxaf(a)

f(x)dx

000
aaa
其中
af(a)
是矩形ABOC面积，
积．
本题的难度值为0.829.

(3)【答案】
D


a
0
f(x)dx
为曲边梯形ABOD的面积，所以

xf

(x)dx
为曲边三角形的面
0
a
【详解】由微分方程的 通解中含有
e
、
cos2x
、
sin2x
知齐次线性方程所 对应的特征方程有根
x
r1,r2i
，所以特征方程为
(r1)(r 2i)(r2i)0
，即
r
3
r
2
4r40
. 故以已知函数为通解的
微分方程是
y

y
< br>y

40

本题的难度值为0.832.
(4) 【答案】
A

【详解】
x0,x1
时
f(x)
无定义，故
x0,x1
是函数的间断点
f(x)lim
因为
lim

x0x0
lnx11x
limlim


x0x0
cscx|x1|cscxcotx
sin
2
xx
limlim0

x0

xcosxx0

cosx
f(x)0
同理
lim

x0
又
limf(x)lim
 
x1x1
lnx1

limsinxlim

x1


sin1sin1


x1
x1x

所以
x0
是可去间断点，
x1
是跳跃间断点.
本题的难度值为0.486.

(5)【答案】
B

【详 解】因为
f(x)
在
(,)
内单调有界，且
{x
n
}
单调. 所以
{f(x
n
)}
单调且有界. 故
{f(x
n
)}
一定存在

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极限.
本题的难度值为0.537.
(6)【答案】
A

【详解】用极坐标得
F

u,v


所以

Df

u
2
v
2

u
2
v
2
dudv

dv

0
vu
f(r2
)
r
1
rdrv

f(r
2
)d r

1
u
F
vf

u
2


u
本题的难度值为0.638.
(7) 【答案】
C

【详解】
(EA)(EAA
2
)EA
3
E
，< br>(EA)(EAA
2
)EA
3
E

故
EA,EA
均可逆．
本题的难度值为0.663.
(8) 【答案】
D


12

【详解】记
D

，
< br>21

则

ED

1
2
2

12
22



1

 4
，又

EA


1

4

12

1
所以
A
和
D有相同的特征多项式，所以
A
和
D
有相同的特征值.
又
A
和
D
为同阶实对称矩阵，所以
A
和
D
相似．由 于实对称矩阵相似必合同，故
D
正确.
本题的难度值为0.759.
二、填空题
(9)【答案】2
2sin
2
[xf(x)2]2s in
2
[xf(x)2]f(x)
【详解】
lim

l imlim
22
x
2
x0x0x0
xf(x)[xf(x) 2]4
(e1)f(x)
1cos[xf(x)]
11
limf(x )f(0)1

2
x0
2
所以
f(0)2

本题的难度值为0.828.
(10)【答案】
x(e
x
C)

2x
【 详解】微分方程
yxedxxdy0
可变形为

dyy
 xe
x

dxx
11


dx



x
dx

xx
1
x
xyexeedxC
所以



x

xedxC

x(eC)

x


本题的难度值为0.617.
(11)【答案】
yx1

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1
1
F
x

dy
yx

【详解】设
F(x,y)sin(xy)ln(yx)x
，则，
1

dxF
y
xcos(xy)
yx
ycos (xy)
将
y(0)1
代入得
dy
dx
1
， 所以切线方程为
y1x0
，即
yx1

x0
本题的难度值为0.759.
(12)【答案】
(1,6)

【详解】
yx
53< br>5x
23

y


5
23
10< br>13
10(x2)
xx

333x
13
101010(x1)


y

x
13
x
43

999x
43
x 1
时，
y

0
；
x0
时，
y< br>
不存在
在
x1
左右近旁
y

异 号，在
x0
左右近旁
y

0
，且
y(1) 6

故曲线的拐点为
(1,6)

本题的难度值为0.501.
(13)【答案】
2
(ln21)

2
yx
,v
，则
zu
v

xy
【详解】设
u
所以
zzuzvy1
vu
v1
(
2
)u
v
lnu

xuxvxxy
xy
v

vylnu


y


u


2




uxy


x

所以
1

y



1ln


y

x

z2
(ln21)

x
(1,2)
2
本题的难度值为0.575.
(14)【答案】-1
|A|23

6


|2A|2
3
|A|
【详解】

1

2
3
6

48






本题的难度值为0.839.

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三、解答题
(15)【详解】
方法一：
lim
[sinxsin(sinx)]si nxsinxsin(sinx)
lim

43
x0x0
x x
1
2
sinx
cosxcos(sinx)cosx1cos(sin x)1
2

limlimlim
x0x0x0
3x< br>2
3x
2
3x
2
6
1
3
1
333
方法二：
sinxxxo(x)

sin(sinx)sinxsinxo(sinx)

66

sin
4
xo(sin
4
x)

1[sinxsin( sinx)]sinx
lim



lim


6

44
x0x0
x
4
6xx

本题的难度值为0.823.
(16)【详解】
dx
2te
x
0
得
e
x
dx2t dt
，积分并由条件
x
t0
得
e
x
1t2
，即
xln(1t
2
)

dt
dydy
dt
ln(1t
2
)2t
所以
(1t
2
)ln(1t
2
)

2tdx
dx
dt1t
2
d
[(1t
2
)ln (1t
2
)]
2
dyd

dy

dt< br>2tln(1t
2
)2t




2
dx2t
dxdx

dx
< br>dt1t
2
方法一：由
(1t
2
)[ln(1t2
)1]

dx
2te
x
0
得
e
x
dx2tdt
，积分并由条件
x
t0
得
e
x
1t
2
，即
xln(1t
2
)

dt
dy
dy
dt
ln(1t
2
)2t< br> 所以
(1t
2
)ln(1t
2< br>)e
x
x

2t
dx
dx
dt1t2
方法二：由
d
2
y
x
e(x1)
所以
2
dx
本题的难度值为0.742.
(17)【详解】
方法一： 由于
lim

x1
x
2
arcsinx
1x< br>2

，故

1
x
2
arcsinx1x
2
0
dx
是反常积分.
令
a rcsinxt
，有
xsint
，
t[0,

2)< br>


1
x
2
arcsinx
1x
2
0

2
tsintttcos2t
2
dx

2
costdt

2
tsintdt

2
()dt

000
cost22


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
t

4
2
2
0
2
1

tsin2t

2
tdsin2t
4
0
164

2

2
0
1



2sin2tdt

4
0
2
1

2
1< br>cos2t

168164
0

方法二：

1
x
2
arcsinx
1x
2
0
dx< br>
1
1
1
22
xd(arcsinx)

2

0
1
1
2

2
1
22
x(arcsinx)

x(arcsinx)dx

x(arcs inx)
2
dx

00
28
0
令
arcsinxt
，有
xsint
，
t[0,
2)

1

1

2
2

0< br>x(arcsinx)dx
2

0
sin2tdt
4< br>
0
2
tdcos2t

1
2
2
2
1
2
1


1
(tcos2t)

2
tcos2tdt

42
0
164
0

故，原式


2
1


164
本题的难度值为0.631.
(18)【详解】 曲线
xy1
将区域分成两
D
1

个区域
D1
和
D
2
D
3
，为了便于计算继续对
区域分割，最后为

max

xy,1

dxdy

D
D
3
D
2



xy dxdy

dxdy

dxdy

D
1
D
2
D
3
O 0.5 2 x
22
2x


dx

1dy

1
dx

1dy

1
dx

1
xydy

0
2
1
2
0
22
1
x
0
12ln2
1519
ln2ln2

44
本题的难度值为0.524.
(19)【详解】旋转体的体积
V

t
0
f
2
(x)dx
，侧面积
S 2


f(x)1f

2
(x)dx
，由题设 条件知
0
t

t
0
f(x)dx

f(x)1f

2
(x)dx

0
2
t
22
上式两端对
t
求导得
f(t)f(t)1f

(t)
， 即
y

y
2
1

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y
由分离变量法解得
ln(y
2
1)t
1
C
， 即
yy
2
1C
t
e

将
y(0)1
代入知
C1
，故
yy
2
1e
t
，
y
1
t
(ee
t
)

2
于是所求函数为
yf(x)
本题的难度值为0.497.
1
xx
e(e

)
2
(20)【详解】(I) 设
M
与
m
是连续函数
f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值，即
mf(x)M

x[a,b]

b
由定积分性质，有
m(ba)

a

f(x)dxM(ba)
，即
m

f(

)
b
a
b
af(x)dx
ba
M

由连续函数介值定理，至少存在一点

[a,b]
，使得
即
f(x)dx
ba


b
a
f(x)dxf(

)(ba)

(II) 由(I)的结论可知至少存在一点

[2,3]
，使
又由


(x)dx

(

)(3 2)

(

)

2
3

(2 )


x(d)x

(
，知
)

2

3

2
3
对

(x)
在
[1,2][2,

]
上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到< br>
(1)

(2)
，

(

)

(2)
得


(

1
)< br>
(2)

(1)
21
0

1

1
2



(

2
)

(

)

(2)
0

2

1


3

< br>2
在
[

1
,

2
]
上 对导函数


(x)
应用拉格朗日中值定理，有


(

)
本题的难度值为0.719.
(21)【详解】


(

2
)
< br>
(

1
)
0


(

1
,

2
)(1,3)

< br>2


1
方法一：作拉格朗日函数
F(x,y,z,

,

)xyz

(xyz)

( xyz4)

22222

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
F
x

2x2

x
0

F

2y2

y
< br>0
y


令

F
z

2z



0


F

x
2
y
2
z0




F


xyz40
解方程 组得
(x
1
,y
1
,z
1
)(1,1,2),( x
2
,y
2
,z
2
)(2,2,8)

故所求的最大值为72，最小值为6.
方法二：问题可转化为求
u x
2
y
2
x
4
2x
2
y
2
y
4
在
xyx
2
y
2
4条件下的最值
设
F(x,y,

)ux
4
y
4
2x
2
y
2
x
2
 y
2


(xyx
2
y
2
4)< br>

F
x

4x
3
4xy
2< br>2x

(12x)0

32
令

F
y

4y4xy2y

(12y) 0


F

xyx
2
y
240


解得
(x
1
,y
1
)(1,1),(x
2
,y
2
)(2,2)
， 代入
zxy
，得
z
1
2,z
2
8

故所求的最大值为72，最小值为6.
本题的难度值为0.486.
(22)【详解】(I)证法一：
22
2a1
a
2
2a< br>A
a
2
2a
1
2a



a
2a
0
1
3a
2
0
1
4a
3


0
2
1
3a
2
a
2
1
2a



a
2
1
2a



0
1
r
2
ar< br>1
2
1
2a
r
n

n1
arn1
n
2a
1
(n1)a
n
3a4a(n1 )a


(n1)a
n

23n
证法二：记
D
n
|A|
，下面用数学归纳法证明
D
n
(n 1)a
．
当
n1
时，
D
1
2a
，结论成立．
n

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当
n2时，
D
2

2a1
2
，结论成立．
3a< br>2
a2a
假设结论对小于
n
的情况成立．将
D
n按第1行展开得
a
2
0

D
n
2a D
n1

1
2a
a
2
1
2a1


a
2
1
2a

2aD
n 1
a
2
D
n2
2ana
n1
a
2
(n1)a
n2
(n1)a
n

故
|A|(n1)a
n

证法三：记
D
n
|A|
，将其按第一列展开得
D
n
2aD
n1
a
2
D
n2
，
所以
D
n
aD
n1
aD
n1a
2
D
n2
a(D
n1
aD
n2
)

a
2
(D
n2
aD
n3)a
n2
(D
2
aD
1
)a
n< br>
即
D
n
a
n
aD
n1
a
n
a(a
n1
aD
n2
)2an
a
2
D
n2

(n2)a
n
a
n2
D
2
(n1)a
n
a
n 1
D
1

(n1)a
n
a
n1
2a(n1)a
n

n
(II)因为方程组有唯一解，所以由
AxB
知
A0
，又
A(n1)a
，故
a0
．
由克莱姆法则，将
D
n
的第1列换成
b
，得行列式为
11
1
2a



a
2
1
2a
nn

a
2
2a
a
2
1< br>2a
a
2
1
2a



a< br>2
1
2a
(n1)(n1)
D
n1
na
n1

02a
所以
x
1

D
n1
n


D
n
(n1)a

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(III)方程组有无穷多解，由
A0
，有
a0
，则方程组为

01


x
1


1



x


01


2


0















x< br>01


n1


0



0



x
n


0

此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为
n1
，所以方 程组有无穷多解，其通解为
k

1000



0100

,k
为任意常数．
本题的难度值为0.270.
(23)【详解】(I)
证法一：假设

1
,

2
,

3
线性相关．因为

1
,

2分别属于不同特征值的特征向量，故

1
,

2
线性无 关，则

3
可由

1
,

2
线性 表出，不妨设

3
l
1

1
l
2
2
，其中
l
1
,l
2
不全为零(若
l
1
,l
2
同时为0，则

3
为0，
由< br>A

3


2


3
可知

2
0
，而特征向量都是非0向量，矛盾)
TT
A

1


1
,A

2


2


A

3


2


3


2
l
1

1
l
2

2
，又
A

3
A( l
1

1
l
2

2
)l
1

1
l
2

2


l
1

1
l
2

2


2l
1

1
l
2

2
，整理得：< br>2l
1

1


2
0

则

1
,

2
线性相关，矛盾. 所以，

1
,

2
,

3
线性无关.
证法二：设存在数
k
1
,k
2
,k
3
，使得
k
1

1
k
2

2
k
3< br>
3
0
(1)
用
A
左乘(1)的两边并由
A

1


1
,A

2


2
得
k
1

1
(k
2
k
3
)

2
k< br>3

3
0
(2)
(1)—(2)得
2k
1

1
k3

2
0
(3)
因为

1
,

2
是
A
的 属于不同特征值的特征向量，所以

1
,

2
线性无关，从 而
k
1
k
3
0
，代入(1)
得
k2

2
0
，又由于

2
0
，所以
k
2
0
，故

1
,

2
,

3
线性无关.
(II) 记
P(

1< br>,

2
,

3
)
，则
P
可 逆，
APA(

1
,

2
,

3
)(A

1
,A

2
,A

3
)(

1
,

2
,

2


3
)

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
100

100

(

1
,

2
,

3
)< br>
011

P

011


< br>001

001



100


1
所以
PAP

011

.

001


本题的难度值为0.272.