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数学解答题是高考数学试卷中非常重要的题型，通常有6个大题，分值在7 0分及以上，
例如历年的课标全国卷，解答题为6道题，分值为70分，几乎占总分150分的一半.
解答题的考点相对较多、综合性强，所以解答题的区分度高，做解答题时，不仅要得出
最后的结 论，还要写出关键步骤，并且每步合情合理，因此怎样解答、把握步骤的得分点就
非常重要了.
我们可以把解数学解答题的思维过程划分为一个个小题来分步解答，总结恰当的“解答
题模板”，按照 一定的解题程序和答题格式分步解答，在短时间内取得最高的答题效率.

一、三角函数解答题模板：
（一）难度、分值及考查内容：
1. 难度：以基础、中等题为主.
2. 分值：12分（以课标全国卷为例）.
3.考查内容：
（1）三角函数概念，
yAsin


x


的图象、性质及变换.
常见公式的应用：诱导公式、倍角公式、正弦、余弦和差公式、辅助角公式.
（2）三角函数与平面向量结合.
（3）正余弦定理与三角恒等变换结合等.
（二）解题模板：




f

x

4tanxsin

x

cos

x

3
3

2

例：【天津理，15】已 知函数.
（Ⅰ）求
f
(
x
)的定义域与最小正周期；
 
,
（Ⅱ）讨论
f
(
x
)在区间[
44
] 上的单调性.


（一）本题思维过程：
1

1.解析式化成
方法如下：
yAsin


x


h
的形式：
（1）利用诱导公式、三角函数关系式等，将不同角化成同角；
（2）利用倍角公式等，对三角函数降幂，都降为一次幂；
（3）利用辅助角公式，将已知解 析式化成
2.根据三角函数
yAsin


x


h
的形式.
yAsin


x

h
的性质来求解周期、单调性等.
（二）本题解答过程：扫描二维码观看视频讲解.
（三）三角函数解题模板：
第一步：化简，对已知三角函数式进行化简.
一般化成
y
＝
Asin(ω
x
＋φ)＋
h
的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式 ．
π

如：
f
(
x
)＝2sin
< br>2
x
＋

＋1.
3

第二步：利用yAsin


x


h
的知识，求周 期、最值等.
第三步：整体代换，将ω
x
＋φ看作一个整体，利用
y
＝sin
x
的性质来确定题目
中所要求解的问题.
第四步：求解.例如求解单调性， 将ω
x
＋φ看作一个整体，代入
y
＝sin
t
的单调
区间内，求解
x
的范围.
第五步：查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性.
xxx
f(x)2sincos2sin
2
222
． 练习：【，北京理，15】已知函数
（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期；
（Ⅱ）求
f(x)
在区间
[π，0]
上的最小值．

二、解三角形解答题模板：
（一）难度及分值：
1. 难度：以基础、中等题为主.
2. 分值：12分（以课标全国卷为例）.
3.考查内容：
（1）应用正弦定理、余弦定理求角、边，判断三角形形状.
2

（2）结合三角形面积公式考查.
（3）在解答题中与三角函数习题共同考查.
（4）个别地区的自主命题，会考查解三角形的实际应用.
（二）解题模板：
例： 【全国Ⅰ理，17】
△ABC
的内角
A
，
B
，
C< br>的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
2cosC (acosB+bcosA)c.

（Ⅰ）求
C
；
33
（Ⅱ）若
c7,△ABC
的面积为
2
，求
△ABC
的周长 ．

（一）本题思维过程：
1.将已知等式进行“边化角”；
2.利用三角函数的运算化简求出角
C
的余弦值，从而求得角
C
.
22
3.根据面积公式求得边：
ab
=6，根据角
C
相关的 余弦定理，求得
ab13
，从而求
得
a+b
，求出周长.
（二）本题解答过程：扫描二维码观看视频讲解.
（三）三角函数解题模板：
第一 步：确定题目条件，即确定三角形中的已知和所求，可以自己画一个三角形，标注
出来，然后确定已知条 件的转化方向，“边化角”还是“角化边”．
第二步：利用正弦定理或余弦定理，将已知条件进行边角 转化，要确定“边化角”还是
“角化边”．
第三步：边角转化后，进行恒等变形、化简.例如上述例题利用三角变换公式进行化简.
第四步：求值.向已知方向转化，例如已知面积，那么转化方向就是能够利用上面积公
式.
第五步：反思检查.
练习：
1.【山东理，16】在△
ABC
中 ，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
2(tanAtanB)

tanAtanB
.
cosBcosA

3

（Ⅰ）证明：
a
+
b
=2
c
；
（Ⅱ）求cos
C
的最小值.

cosAcosBsinC

bc
. 2.【四川理，17】在△
ABC
中，角
A
,
B
,
C
所对的边分别是
a
,
b
,
c
,且
a
（Ⅰ）证明：
sinA sinBsinC
；
6
b
2
c
2
a
2
bc
5
，求
tanB
. （Ⅱ）若




数学解答题是高考数学试卷中非常重要的题型，通常有6个大题，分值在70分及 以上，
例如历年的课标全国卷，解答题为6道题，分值为70分，几乎占总分150分的一半.
解答题的考点相对较多、综合性强，所以解答题的区分度高，做解答题时，不仅要得出
最后的结论，还 要写出关键步骤，并且每步合情合理，因此怎样解答、把握步骤的得分点就
非常重要了.
我们 可以把解数学解答题的思维过程划分为一个个小题来分步解答，总结恰当的“解答
题模板”，按照一定的 解题程序和答题格式分步解答，在短时间内取得最高的答题效率.

（一）难度、分值及考查内容：
1. 难度：课标全国卷以基础、中等题为主，部分自主命题试卷数列考查难度较大.
2. 分值：12分（以课标全国卷为例）.
3.考查内容：
（1）考查等差、等比数列的通项公式、求和公式基本运算.
（2）一般数列的求和、根据递推关系求通项等.
例如错位相减法求和，累加、累乘法求通项等.
4

（3）难度较大的考查：数列、函数、方程、不等式等相关内容的综合问题.
（二）解题模板：（以课标全国卷考查难度为例）
模板一：数列的通项、求和问题

a

例：【山东文，19】已知数列
n
的前
a
n
b
n
b
n1
.
n
项和
S
n
3n
2
8n
，

b
n

是 等差数列，且
（Ⅰ）求数列

b
n

的通项公式； (a
n
1)
n1
c
n

n
c

T
(b2)
n
（Ⅱ）令.求数列
n
的前
n
项和
n
.

（一）本题思维过程：
1. 求出数列
2.求数列

a
n

的通项，再求数列

b
n

的通项。

c
n

的通项，然后利用错位相减法求和。
（二）本题解答过程：扫描二维码观看视频讲解.
（三）数列的通项、求和问题解题模板：
第一步：求通项。
1.已知数列前
n
项和，求通项时，利用
a< br>n
=
S
n
－
S
n
-1
（
n
≥2），如上述例题。
2.根据已知的递推 公式求通项：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，转化
为等差或等比数列求通项公式，即构造法 。或利用累加法或累乘法求通项公式等等．
第二步：求和。
1.等差、等比数列直接运用公式，即公式法。
2.一般数列的求和：根据数列表达式的结构 特征确定求和方法，如错位相减法、分
组法、裂项相消法等。
第三步：查看关键点、易错点及解题规范，例如错位相减法的计算量较大，注意检验.
练习： 【新课标Ⅰ文，17】已知

a
n

是公差为3的等差数列，数列< br>
b
n

满足
1
b
1
=1，b2
=，a
n
b
n1
b
n1
nb
n
3
.
（Ⅰ）求

a
n

的通项公式；
5

（Ⅱ）求

b
n

的前
n
项和.

模板二：考查数列的函数性质
例：【全国Ⅱ理，17】
其中，S
7
28.
记
b
n
=

lga< br>n

，
S
n
为等差数列

a
n
的前n项和，且
a
1
=1

x

表 示不超过
x
的最大整数，如

0.9

=0，
< br>lg99

=1
．
b
1
，b
11
，b
101
； （Ⅰ）求
（Ⅱ）求数列

b
n

的前1 000项和．

（一）本题思维过程：
1.利用已知条件求出等差数列的公差，进而求出通项公式 ，然后求解
2.根据求解得出数列的规律，然后求和。
（二）本题解答过程：扫描二维码观看视频讲解.
（三）数列的通项、求和问题解题模板：
第一步：根据题意求通项。注意等差数列通项形如关于
n
的一次函数的形式；等比数列
通
项形如指数函数的形式。
第二步：利用函数性质研究数列的性质，例如周期、单调性等。
第三步：利用函数、数列的交汇性质来综合求解问题。
第四步：查看关键点、易错点及解题规范，例如错位相减法的计算量较大，注意检验.







b
1
，b
11
，b
101
。
6

数学解答题是高考数学试卷中非常重要的题型，通常有 6个大题，分值在70分及以上，
例如历年的课标全国卷，解答题为6道题，分值为70分，几乎占总分 150分的一半.
解答题的考点相对较多、综合性强，所以解答题的区分度高，做解答题时，不仅要得 出
最后的结论，还要写出关键步骤，并且每步合情合理，因此怎样解答、把握步骤的得分点就
非 常重要了.
我们可以把解数学解答题的思维过程划分为一个个小题来分步解答，总结恰当的“解答题模板”，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，在短时间内取得最高的答题效率.

（一）难度、分值及考查内容：
1. 难度：以中等题为主.
2. 分值：12分（以课标全国卷为例）.
3.考查内容：
（1）统计主要考查抽样的统计分析 、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计
总体及其特征的思想.
（2）概率考查概率的计 算，可以与统计相结合，或者以排列组合为工具求解概率，
主要考查对五种概率事件的判断识别及其概率 的计算.
（二）解题模板（理科）：
模板一：统计和古典概型的综合问题
第一步：定模型，根据统计知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型．
第二步：列事件，将所有基本事件列举出来(可用树状图)．
第三步：算概率，计算基本事件 总数
n
，事件
A
包含的基本事件数
m
，代入公式
P
(
A
)＝
m
.
n
第四步：规范答，要回到所求问题，规范作答.
练习：某校高三(1)班共有40 名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟
之间，按他们学习时间的长短分5个组 统计，得到如下频率分布表：
7

组别

第一组

第二组

第三组

第四组

第五组

(1)求分布表中
s
，
t
的值；
分组

[180，210)

[210，240)

[240，270)

[270，300)

[300，330)

频数

频率
0.1

8

12

10

s

0.3
0.25
t

(2)王老师为完成一项研究，按学习时间用分层抽样的方 法从这40名学生中抽取20名进行
研究，问应抽取多少名第一组的学生？
(3)已知第一组 学生中男、女生人数相同，在(2)的条件下抽取的第一组学生中，既有男生又
有女生的概率是多少？
答案：
8
(1)
s
＝＝0.2，
t
＝1－0.1－
s
－0.3－0.25＝0.15.
40
x20
(2)设应抽取
x
名第一组的学生，则＝，得
x
＝2.故应 抽取2名第一组的学生．
440

模板二：离散型随机变量的期望与方差
第一步：确定随机变量的所有可能取值．
第二步：求每一个可能值对应的概率．
第三步：列出离散型随机变量的分布列．
第四步：利用公式求出均值和方差．
第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．
8

练习：【天津理，16，13分】某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动
次数为 1，2， 3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座
谈会. （Ⅰ）设
A
为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件
A
发生的概率；
（Ⅱ）设
X
为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量
X
的分布列和数学
期望.

模板三：利用期望与方差的决策问题
第一步：求离散型随机变量的数学期望，关键是求出随机变量
X
的分布列.期望求解公
式：
EXx
1
p
1
x
2
p
2
x
n
p
n
.
第二步：遇到决策问题，选哪种情况的，先比较数学期望，期望高的较好.
第三步：若期望相等，则比较方差.
第四步：离散型随机变量方差求解公式：
DX 

x
1
EX

p
1

< br>x
2
EX

p
2


x
n
EX

p
n
222
.
练习：【 课标全国Ⅰ理，19，12分】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘
汰.机器有一易损 零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机
器使用期间，如果备件不足 再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个
易损零件，为此搜集并整理了100台 这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱
状图：

以这100台机器更 换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记
X
n
表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数. 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，
（Ⅰ）求
X< br>的分布列；（Ⅱ）若要求
P(Xn)0.5
，确定
n
的最小值；
9

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在
n19
与
n20
之中选其一，应
选用哪个？




数学解答题是高考数学试卷中非常重要的题型，通常有6个大题，分值在70分及 以上，
例如历年的课标全国卷，解答题为6道题，分值为70分，几乎占总分150分的一半.
解答题的考点相对较多、综合性强，所以解答题的区分度高，做解答题时，不仅要得出
最后的结论，还 要写出关键步骤，并且每步合情合理，因此怎样解答、把握步骤的得分点就
非常重要了.
我们 可以把解数学解答题的思维过程划分为一个个小题来分步解答，总结恰当的“解答
题模板”，按照一定的 解题程序和答题格式分步解答，在短时间内取得最高的答题效率.

（一）难度、分值及考查内容：
1. 难度：以中等题为主.
2. 分值： 12分（以课标全国卷为例）.
3.考查内容：一般以多问形式出现，包含证明和求解.
（1）证明题：常考查：线面、面面位置关系的判定、证明；
（2）求解题：理科常考查空间 角（二面角、异面直线所成角、线面角等）、线面距
离等求解.理科立体几何的处理有几何法以及空间向 量法.
文科常考查几何体的体积等相关求解.
考查多以常见的棱柱、棱锥等为载体，或者结 合圆柱、台、及简单几何体等，所以要熟
练掌握各类几何体的性质特征.
（二）解题模板（理科）：
模板一：判定或证明空间线面的位置关系
第一步：作辅助线（面）， 特别注意有中点时候，例如找寻中位线、等腰三角形的中线
10

等等.
第二步：找线线关系，通过中位线、等腰三角形的中线、特 殊四边形的性质、平行公理
等，或者线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直.
第三步 ：找线面关系，通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可
由面面关系的性质找线面 垂直或平行.
第四步：找面面关系，通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行.
第五步：写步骤，严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.
模板二：求空间角
（一）几何法求空间角的步骤：
第一步：找角，利用定义准确找到所要求解的空间角，
第二步：证角，证明所找角是所求角；
第三步：计算，转化到三角形中计算所求角.
（二）利用向量法求空间角的步骤：
第一步：建系.建立空间直角坐标系：
1.当图中有三条相互垂直的直线交于一点时，可直接利用这三条直线建系.
2.没有明显的 三条互相垂直的直线，可以利用特殊图形的对称性、面面垂直的性质
等作出互相垂直且交于一点的三条直 线，建系.
第二步：求出相关点、线段的坐标，求出相关面的法向量.
第三步：利用数量积公式求角.

n,n
设
12
分别是两个半平面的法向量，由

n
1
,n
2
则< br>

n
1
n
2
cosn
1
,n
2


n
1
n
2
求出

n
1
,n
2
，
的大小或其补角的大小即为所求二面角的大小，

n,n
注意
12
的方向.
练习：【课标全国Ⅰ 理，18,12分】如图，在以
A
，
B
，
C
，
D< br>，
E
，
F
为顶点的五面体中，面
ABEF
为正方形，
AF
=2
FD
，
AFD90
，且二面角
D-
AF
-
E
与二面角
C
-
BE
-F
都是
60
．


11

（Ⅰ）证明：平面
ABEF

平面
EFDC
；
（Ⅱ）求二面角
E
-
BC
-
A
的余弦值．

4、【四川理，18，12分】如图，在四棱锥
PABCD
中，
ADBC
，
ADCPAB90
，
BCCD
1
AD
2
，
E
为棱
AD
的中点，异面直线
PA
与
CD
所成的角为
90
.
（Ⅰ）在平面
PAB
内找一点
M
，使得直线
CM
平面
PBE
，并说明理由；
（Ⅱ）若二面角
PCDA
的大小为
45
，求直线
PA
与平面
PCE
所成角的正弦值.


模板三： 考查存在探究性创新题
（一）探究判断线面之间位置关系的问题：
第一步：清楚题意，明确那些因素是变化的，以及几何元素之间相互制约的关系.
第二步：作 出猜想，若判断“是否存在某个点，满足某种平行或垂直关系”，则可以猜
想存在这样的点，然后来证明 .
第三步：若猜想是肯定的，则可以进行证明；
若猜想为否定的，则尝试反证法说明.
第四步：当作出一种猜想后，如果证明过程中发现失误，及时更改.
（二）探究判断有关角、线段比值、距离、面积或体积等是否为定值的问题：
第一步：清楚题意，明确那些因素是变化的，以及几何元素之间相互制约的关系.
第二步：若判断“某个值是否为定值”，则可以猜想是定值.
第三步：若猜想是定值则加以证明.
PAPD
，练习：【北京理，11】 如图， 在四棱锥
PABCD
中，平面
PAD
平面
ABCD
，< br>PAPD
，
ABAD
，
AB1
，
AD2，
ACCD5
.
12

（1）求证：
PD
平面
PAB
；
（2）求直线
PB
与平面
PCD
所成角的正弦值；
AM< br>（3）在棱
PA
上是否存在点
M
，使得
BM
平面PCD
？若存在，求
AP
的值；若不存
在，说明理由.





数学解答题是高考数学试卷中非常重要的题型，通常有6个 大题，分值在70分及以上，
例如历年的课标全国卷，解答题为6道题，分值为70分，几乎占总分15 0分的一半.
解答题的考点相对较多、综合性强，所以解答题的区分度高，做解答题时，不仅要得出< br>最后的结论，还要写出关键步骤，并且每步合情合理，因此怎样解答、把握步骤的得分点就
非常重 要了.
我们可以把解数学解答题的思维过程划分为一个个小题来分步解答，总结恰当的“解答
题模板”，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，在短时间内取得最高的答题效率.

（一）难度、分值及考查内容：
1. 难度：难.
2. 分值：12分（以课标全国卷为例）.
3.考查内容：
13

< br>（1）第一问较简单，一般为基本量的求解，例如椭圆方程中的
a
，
b
，
c
，
e
等，
也会有求某个动点的轨迹方程问题.
（2 ）后面的小题为综合题，通常考查圆锥曲线的面积问题、存在性、范围等综合
问题，或者与向量等知识相 结合，涉及直线与圆锥曲线相交问题，与圆锥曲线相
关的最值问题，定值问题等等.
通常圆锥曲线解答题，考查载体较多为椭圆或抛物线.
（二）解题模板（理科）：
基本量的求解非常简单，弄清圆锥曲线中的相关概念，有的根据题意可以直接得出，有
的建立等量关系即 可求出.以下先看轨迹方程的求解.
模板一：轨迹方程的求解
第一步：建系设点，依题意建 立适当的坐标系，设出动点坐标，例如
M
（
x
，
y
）. < br>第二步：明确点
M
的变化因素，利用距离、斜率、中点等题目中的要求列出等量关系，< br>注意联系所学过的曲线定义.
第三步：列出与
M
坐标（
x
，
y
）相关的等量关系后，得到关于
x
，
y
的方程，化简方程
为最简形式.
第四步：检验特殊点是否均满足所求轨迹方程.
常见求轨迹方程方法有：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法等.
2
yC
练习：【年全国Ⅲ理，20，12分】分已知抛物线：
2x
的焦点为
F
，平行于
x
轴的两
条直线
l
1
,l
2< br>分别交
C
于
A，B
两点，交
C
的准线于
P， Q
两点．
PQ
的中点，证明
AR

FQ
； （Ⅰ ）若
F
在线段
AB
上，
R
是
（Ⅱ）若
P QF
的面积是
ABF
的面积的两倍，求
AB
中点的轨迹方程.

模板二：求参数的范围问题
第一步：联立方程，联立直线方程和圆锥曲线方程，消
y
后得到关于
x
的一元二次方程，
利用韦达定理或弦长公式写出结论 备用.
第二步：找不等关系：从题设条件中提取不等关系式．
第三步：列出所要求的参数相关的不等式，解不等式．
第四步：根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围得到所求参数的取值范围.
14

注意特殊位置的取值要考虑到.
第五步：回顾检查，注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约.
x
2
y
2
1
E:
t3
练习：【课标全国Ⅱ理，20，12分】已知椭圆 的焦点在
x
轴上，
A
是
E
的左
顶点，斜率为
（Ⅰ）当
（Ⅱ）当
k(k0)
的直线交
E
于
A,M两点，点
N
在
E
上，
MANA
．
t4,|AM||AN|
时，求
AMN
的面积；
2AMAN
时，求
k
的取值范围．

模板三：最值、定值问题
圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约 而恒定不变，则称
定值问题，其解题步骤：
1.把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无
关；
2.把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与所求参数无关.
最值问题步骤：
第一步：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关，也可以在推
理、计算 过程中消去变量，直接得到定点（或定值）.
第二步：建立目标函数求最值：先建立目标函数，再使用 配方法、判别式法、三角函数
值域法、基本不等式法、向量法等去确定目标函数的最值，这是解最值问题 的“通法”，
具有普遍性.
练习：【课标全国Ⅰ，20，12分】设圆
xy2x 150
的圆心为
A
，直线
l
过点
B
（1，0）且与
x
轴不重合，
l
交圆
A
于
C
，
D
两点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
于 点
E
.
（Ⅰ）证明
22
EAEB
为定值，并写出点E
的轨迹方程；
（Ⅱ）设点
E
的轨迹为曲线
C
1，直线
l
交
C
1
于
M
，
N
两 点，过
B
且与
l
垂直的直线与圆
A
交
于
P
，
Q
两点，求四边形
MPNQ
面积的取值范围.

模板四：解析几何中的探索性问题
第一步：先假定，假设结论成立．
15

第二步：再推理，以假设结论成立为条件，进行推理求解．
第三步：下结论，若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；
若推出矛盾则否定假设．
第四步：回顾，查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.
练习：已 知定点
C
(－1,0)及椭圆
x
＋3
y
＝5，过点
C
的动直线与椭圆相交于
A
，
B
两点．
1
(1) 若线段
AB
中点的横坐标是－，求直线
AB
的方程；
2
→ →
(2)在
x
轴上是否存在点
M
，使
MA
·
MB
为常数？若存在，求出点
M
的坐标；若不存在，请说
明理由．
答案：
22

→→
(2)假设在
x
轴上存在点< br>M
(
m,
0)，使
MA
·
MB
为常数． < br>6
k
3
k
－5
(ⅰ)当直线
AB
与
x
轴不垂直时，由(1)知
x
1
＋
x
2
＝－
2
，
x
1
x
2
＝
2
. ③
3
k
＋13
k
＋1
→→
2
所以
MA
·
MB
＝(
x
1
－
m
)(
x
2< br>－
m
)＋
y
1
y
2
＝(
x
1
－
m
)(
x
2
－
m
)＋
k (
x
1
＋1)(
x
2
＋1)
＝(
k
＋1)
x
1
x
2
＋(
k
－
m< br>)(
x
1
＋
x
2
)＋
k
＋
m
.
→→
6
m
－1
k
－5
2 将③代入，整理得
MA
·
MB
＝＋
m
2
3k
＋1
2
2222
22
＝

2
m－
1

3
k
2
＋1－2
m
－14

3

3

3
k
＋1
2
＋
m
2
16
m
＋14
2
＝
m
＋2
m
－－.
2
333
k
＋1
7< br>→→
注意到
MA
·
MB
是与
k
无关的常数， 从而有6
m
＋14＝0，
m
＝－，
3
16

→→
4
此时
MA
·
MB
＝. 9

－1，
2

－1，－
2

(ⅱ )当直线
AB
与
x
轴垂直时，此时点
A
、
B
的坐标分别为

、

，
3

3

7
→→
4
当
m
＝－时，也有
MA
·< br>MB
＝.
39
→→

7

综上，在
x
轴上存在定点
M

－，0

，使
MA
·
MB
为常数.

3




数学解答题是高考数学试卷中非常重要的题型，通常有6个大题，分值在70分及以上，
例如历年的课标 全国卷，解答题为6道题，分值为70分，几乎占总分150分的一半.
解答题的考点相对较多、综合 性强，所以解答题的区分度高，做解答题时，不仅要得出
最后的结论，还要写出关键步骤，并且每步合情 合理，因此怎样解答、把握步骤的得分点就
非常重要了.
我们可以把解数学解答题的思维过程 划分为一个个小题来分步解答，总结恰当的“解答
题模板”，按照一定的解题程序和答题格式分步解答， 在短时间内取得最高的答题效率.
课标全国卷对于导数应用的考查，其难点一直围绕函数的单调性、极 值和最值展开，以
导数为工具探究函数的性质，借此研究不等式、方程等问题，着重考查分类讨论、数形 结合、
化归与转化的数学思想方法，意在考查学生的运算求解能力、推理论证能力，充分体现数学
理性思维的特点，从思维的层次性、深刻性和创新性等方面进行考查，凸显了高考试题的选
拔功能，一 直是压轴题的不二选择，下面通过近几年的高考导数压轴题，分析归纳解题策略.

一、命题规律：
（一）考试地位：导数知识及其应用，每年必考，属于考点中的重难点.
（二）分值： 1道解答题.分值12分（以课标全国卷为例）.
（三）考查内容：
导数作为研究函数的工具，在函数习题中考查.
1.导数的运算：（1）求导，其中复合函数求导为理科.（2）切线斜率相关的问题.
17

2.利用导数判断函数的单调区间，求函数极值、最值，处理函数零点问题等.
3.导数与不等式相结合考查.
4.理科还考察定积分的基本运算或利用定积分求面积.
（四）难度：难.
在历年新课标卷中，导数解答题都作为最后一题，习题的后几问属于难题，有一定的区
分度.
在个别地区的自主命题中，导数解答题有时作为压轴解答题，有时也放在前几个解答题中，
难度 基础或中等.
（五）难题类型：
1.导数习题的解答题后几问.
2.导数难题常 考内容：与函数结合，解决复杂的函数问题.例如函数图象、最值、零点
等问题.
3.导数与不等式等问题相结合.
二、解题模板：
模板一：函数的单调性、极值、最值问题
以函数
f
(
x
)为例，
第一步：确定定义域、求导数：求
f
(
x< br>)的定义域，求
f
(
x
)的导数
f
′(
x< br>)．
第二步：解方程：求方程
f
′(
x
)＝0的根. 第三步：列表格：利用
f
′(
x
)＝0的根将
f
(x
)定义域分成若干个小开区间，并列出表
格.
第四步：得结论：由
f
′(
x
)在小开区间内的正、负值判断
f
(
x
)在 小开区间内的单调性，
从表格观察
f
(
x
)的单调性、极值、最值等 .
第五步：再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意，另外观察
f
(
x< br>)的间断点及步骤
规范性.
练习：
已知函数
f
(
x
)=(
x
－
k
)
e
.
(Ⅰ)求
f
(
x
)的单调区间；
(Ⅱ)求
f
(
x
)在区间上的最小值.

x
18

2
ax
－
a
＋ 1
2.已知函数
f
(
x
)＝(
x
∈R)．其中a
∈R.
x
2
＋1
(1)当
a
＝1时，求曲 线
y
＝
f
(
x
)在点(2，
f
(2))处 的切线方程；
(2)当
a
≠0时，求函数
f
(
x
)的单调区间与极值．
答案：
解： (1)当
a
＝1时，
f(
x
)＝
2
2
2
x
4
，
f< br>(2)＝，
x
＋15
2
2
2
x
＋1－ 2
x
·2
x
2－2
x
6
又
f
′(
x
)＝＝.
2222
，
f
′(2)＝－

x
＋1
x
＋125
所以，曲线
y
＝
f(
x
)在点(2，
f
(2))处的切线方程为
y
－ ＝－(
x
－2)，即6
x
＋25
y
－32＝0.
2
a

x
＋1－2
x
2
ax
－
a
＋1－2
x
－
a

ax
＋1
(2)
f
′(
x
)＝＝.
2222

x
＋1
x
＋1
由于
a
≠0，以下分两种情况讨论．
1
①当
a
＞0时，令
f
′(
x
)＝0，得到
x
1
＝－，
x
2
＝
a
.
22
4
5
6
25
a
当
x
变化时，
f
′(
x
)，
f
(
x
)的变化情况如下表：
x
11
(－∞，－)

－

aa
1
(－，
a
)

a
a
(
a
，＋∞)
－
f
′(
x
)

－

f
(
x
)

a

0

＋

0

极小值

极大值


1

所以
f
(
x
)在区间

－ ∞，－

，(
a
，＋∞)内为减函数，

1
< br>1

1

在区间

－，
a
内为增函数．函数
f
(
x
)在
x
1
＝－处取得 极小值
f

－

，

a

a

a


1

2
且
f

－

＝－
a
.函数
f
(
x
)在
x
2
＝
a
处取得极大值
f
(
a
) ，且
f
(
a
)＝1.

a

1
②当
a
＜0时，令
f
′(
x
)＝0，得到
x
1
＝
a
，
x
2
＝－，
a
当
x
变化时，
f
′(
x
)，
f
(
x
) 的变化情况如下表：
(
a
，－
1
－

1
(－，＋∞)
x
(－∞，
a
)
a
1
)

aa
a
f
′(
x
＋

)

0

极大值

－



19
0

极小值

＋

f
(
x
)

1
< br>1

所以
f
(
x
)在区间(－∞，
a)，

－，＋∞

内为增函数，在区间

a
， －

内为减函数．

a

a

函数< br>f
(
x
)在
x
1
＝
a
处取得极大值
f
(
a
)，且
f
(
a
)＝1.
11

1

2
函数
f
(
x
)在< br>x
2
＝－处取得极小值
f
(－)，且
f

－

＝－
a
.
aa

a
模板二：利用导数求给定区间上的函数的最值问题（通用模板）
第一步：求函数
f
(
x
)的导数
f
′(
x
)
第二步：求函数
f
(
x
)在给定区间上的单调区间
第三步：求函数
f
(
x
)在给定区间上的极值
第四步：求函数
f
(
x
)在给定区间上的端点值
第五步： 比较函数
f
(
x
)的各极值与端点值的大小，确定函数
f
(
x
)的最大值和最小值
第六步：反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．如本题 的关键点是确定函数
f
(
x
)
的单调区间；易错点是忽视对参数a
的讨论
练习：已知函数
f
(
x
)＝
ax< br>＋1(
a
＞0)，
g
(
x
)＝
x
＋
bx
.
(1)若曲线
y
＝
f
(
x
)与曲线
y
＝
g
(
x
)在它们的交点(1，
c< br>)处具有公共切线，求
a
，
b
的值；
(2)当
a< br>＝4
b
时，求函数
f
(
x
)＋
g
(
x
)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．

模板三：构造函数法解函数导数与不等式问题
第一步：求导数，确定函数定义域．
第二步：讨论解析式中的参数，判断
f
(
x
)的单调性．
第三步：构造函数，利用函数的导数证明不等式.
第四步：构造函数，可以由所证不等式，通过移项构造函数.
第五步：讨论这个新的函数的单调性、最值，利用最值问题、恒成立关系等证明不等式.

第六步：反思检验，查找易错、易漏点，规范答题的严谨性．
练习：已知函数
f(
x
)=
e
－ln(
x
+
m
). < br>(Ⅰ)设
x
=0是
f
(
x
)的极值点，求
m
，并讨论
f
(
x
)的单调性；
(Ⅱ)当
m
≤2时，证明：
f
(
x
)>0.

开心一刻
1.妻子每天对丈夫都要做彻底的搜身，看能否找到一根女人的头发。某 天搜了半天，一
x
2
23
20

无所获，却仍训斥道：现在你竟然连尼姑也要了！
2.老师家访，问学生：你 们家幸福吗？学生骄傲地答道：幸福！父亲过来给了他记耳光
“小子，谁让你改姓的！”


21