运动会项目-如何使用消防栓

2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学及答案

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部 分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷
3至5页.




2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. < br>选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求 的.

2
A{x|x4x30}
，
B{x|2x30 }
，则
AIB

（1）设集合
333
3
(3, )(3,)(,3)
(1,)
2
（B）
2
（C）
2（D）
2
（A）

（2）设
(1i)x1yi
， 其中
x
，
y
是实数，则
xyi=

（A）1（B）
2
（C）
3
（D）2
（3）已知等差数列
{a
n
}
前9项的和为27，
a
1 0
=8
，则
a
100
=

（A）100（B）99（C）98（D）97

（4）某公司的班车在7:00，8 :00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站
乘坐班车，且到达发车站的时刻是随 机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A）（B）（C）（D）

（5）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则
n
的取值范围
是

（A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3)

（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂 直的半径.若
该几何体的体积是，则它的表面积是

（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π

（7）函数
y
=2
x
2
–e
|
x
|
在[–2,2]的图像大致 为


（A）（B）

（C）（D）


（8）若
ab10，c1
，则

（A）
a
c
b
c
（B）
ab
c
ba
c
（C）
alog
b
cblog
a
c
（D）
lo g
a
clog
b
c


（9）执行右面的程序图 ，如果输入的
x0，y1，n1
，则输出
x
，
y
的值 满足

（A）
y2x
（B）
y3x
（C）
y 4x
（D）
y5x

(10)以抛物线
C
的顶点为圆心的 圆交
C
于
A
、
B
两点，交
C
的标准线于< br>D
、
E
两点.已知
|
AB
|=
42
，|
DE|=
25
，则
C
的焦点到准线的距离为

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

(11 )平面
a
过正方体
ABCD
-
A
1
B
1< br>C
1
D
1
的顶点
A
，
a
aa< br>

323
1
知函数
223
3
f(x) sin(

x+

)(

0，

), x
为
f(x)
的零点，
x
为
yf(x)
图 像的对称轴，且
244



5


f(x)
在

，

单调，则

的最大值为


1836

（A）11????????（B）9?????（C）7?? ??????（D）5



第II卷

本卷包括必考题和 选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须
作答.第(22)题~第( 24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)设向量
a
=(
m
，1)，
b
=(1，2) ，且|
a
+
b
|=|
a
|+|
b
|，则< br>m
=.

(14)
(2xx)
5
的展开式中，x
3
的系数是.（用数字填写答案）

（15）设等比数列满足
a
1
+
a
3
=10，
a
2
+
a< br>4
=5，则
a
1
a
2
…a
n
的最大 值为。

（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A 需
要甲材料，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3个工
时， 生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有
甲材料150kg ，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的
利润之和的最大值为元。

222

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本题满分为12分）

VABC
的内角
A
，B
，
C
的对边分别别为
a
，
b
，
c< br>，已知
2cosC(acosB+bcosA)c.

（I）求
C
；

（II）若
c7,VABC
的面 积为
33
，求
VABC
的周长．

2
（18）（本题满分为12分）

如图，在已
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
为顶点的 五面体中，面
ABEF
为正方形，
AF
=2
FD
，
AFD90
o
，
且二面角
D
-
AF
-
E
与二面角
C
-
BE
-
F
都是
（I）证明 平面
ABEF

EFDC
；

（II）求二面角
E
-
BC
-
A
的余弦值．

（19）（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被 淘汰.机器有一易损零件，在购进
机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用 期间，如果备件不
足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜 集
并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

60
o
．

以这100台机器更换的易损 零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，
n
表示购买2台机器的同时购买的易 记
X
表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，
损零件数.

（I）求
X
的分布列；

（II）若要求
P(Xn)0.5
，确定
n
的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在
n19
与
n 20
之中选其一，
应选用哪个？

20. （本小题满分12分）

设圆
x
2
y
2
2x150
的圆心为
A
，直线
l
过点
B
（1,0）且与
x
轴不重合，
l
交圆
A
于
C
，
D
两点，过
B< br>作
AC
的平行线交
AD
于点
E
.

（I）证明
EAEB
为定值，并写出点
E
的轨迹方程；

（II）设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，直线
l
交
C
1
于
M
,
N
两点，过
B
且 与
l
垂直的直线与圆

A
交于
P
,
Q
两点，求四边形
MPNQ
面积的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

已知函数有两个零点.

(I)求
a
的取值范围；

(II)设
x
1
，
x
2
是的两个零点，证明：+
x
2
<2.


请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请
写清题号


（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，△
OAB
是等腰三角形，∠
AOB
=120°.以⊙
O
为圆心，
OA
为半径作圆.

(I)证明：直线
AB
与
O
相切；

(II)点< br>C
,
D
在⊙
O
上，且
A
,
B
,
C
,
D
四点共圆，证明：
AB
∥
CD
.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直 线坐标系
xoy
中，曲线
C
1
的参数方程为（
t
为 参数，
a
＞0）

。在以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极 轴的极坐标系中，曲线
C
2
：
ρ
=cos
θ
.
（I）说明
C
1
是哪种曲线，并将
C
1
的方 程化为极坐标方程；

（II）直线
C
3
的极坐标方程为，其中满足 tan=2，若曲线
C
1
与
C
2
的公共点都在
C< br>3
上，
求
a
。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数
f
(
x
)= ∣
x
+1∣-∣2
x
-3∣.

（I）在答题卡第（24）题图中画出y=
f
(
x
)的图像；

（II）求不等式∣
f
(
x
)∣﹥1的解集。

选择题：
2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学及答案


10. B

填空题： 15. 64

解答题：

17.解（Ⅰ）∵2cos?
C
（
a
c os
B
+
b
cos
A
）=C

∴2cos ?
C
（sin
A
cos?
B+
sin
B
c os
A
）=sin
C

∴2cos
C
?sin(A+B)=sin
C

∴2cos
C?
sin
C
?=sin?
C

∴

∴

∴

(Ⅱ) ∵△
ABC
面积为且

∴即

∴
∵
a
+
b
=5


∴
a
+
b
+
c
=5+

∴△
ABC
周长为5+
18.(I)证明:

.

∵? 平面ABEF为正方形

∴?
AFPE

又∵? ∠AFD=90°即
AFFD

而
FE
，
FD
平面
FECD
且
FEFD
=
F

∴?
AF
又
AF
∴?
平面ABEF
（II）过作



，垂足为，由（I）知平面．

以为坐标原点，
．

的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直
角坐标系

由（I）知
可得，
为二面角
，
的平面角，故
，．

，则，，

由已知，
又平面
由
，所以
平面，可得平面
平面
，故
．

，．

的平面角，

，所以为二面角
．从而可得
所以
设
，
是平面

，
的法向量，则

，．

，即
所以可取
∴?
AFPE

，


又∵? ∠AFD=90°即
AFFD

而
FE
，
FD
平面
FECD
且
FEFD
=
F

∴?
AF
又
AF
∴?
平面ABEF
（II）过作



，垂足为，由（I）知平面．

以为坐标原点，
．

的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直
角坐标系

由（I） 知
可得
由已知，
又平面
由
，
为二面角
，
， 所以
平面
平面
，故
平面
的平面角，故
，
．

，．

．

，则，，
，可得，所以为二面角的平面角，

．从而可得
所以
设
，
是平面
．

，
的法向量，则

，．

，即
所以可取．

，

设是平面的法向量，则，

同理可取．则．

故二面角的余弦值为

19. 19.(I)
x
的取值为16,17,18,19,20,21,22

P
(
x
=16)=()
2
=

P
(
x
=17)==

P
(
x
=18)= ()
2
+2()
2
=

P
(
x
=19)= 2×??+2()
2
=

P
(
x
=20)=()
2
+2×=

P
(
x
=21)= 2×
2
=

P
(
x
=22)=?
x
的分布列：

2
=

(II)

p
(
x
≤18)=

p
(
x
≤19)=??? ∴???
p
(
x
≤
n
) ≥的最小值为19

(III)由(I)分布列：
p
(
x
≤19)=

买19个所需费用期望
EX
1
=200×19×+(200×19+500) ×

+(200×19+500×2) ×

买20个所需费用期望
EX2
=200×20×+(200×20+500) ×

+(200×20+2×500) ×=4080

∴
EX
1
<
EX
2
?? ∴? 买19个更合适.

20.

（Ⅰ）因为
所以
EB
，
EBAC
，故
EBDACDADC
，

.

AD4
，所以
EAEB4
.

ADAC
ED
，故
EDEAEBEAEDAD
又圆A的标准方程为

x1

2
y
2
16
，从而

由题设得
A

1,0

，
B

1,0

，
x
2
y
2
1
（< br>y0
）.

43
AB2
，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：

（Ⅱ）当l
与
x
轴不垂直时，设
l
的方程为
yk
< br>x1

(k0)
，
M

x
1
, y
1

，
N

x
2
,y
2

.



yk

x1

由

x
2

y
2
1
得

4k
2
3

x
2
8k
2
x4k< br>2
120
.



43
8k
2
4k
2
12
则
x
1
x
2
，
x
1
x
2

2
.

4k34k 3.
2
所以
12(k
2
1)
.

MN 1kx
1
x
2

4k
2
3
2过点
B

1,0

且与
l
垂直的直线
m:y
1
(x1)
，
A
到
m
的距离为
k
，所以

4k
2
3
PQ24()4
2< br>k
2
1
k1
2
2
2
.故四边形
MPNQ
的面积
S
1
MN
2
PQ121
1< br>4k
2
3

.可得当
l
与
x
轴不 垂直时，四边形
MPNQ
面积的取值范围为

12,8
当
l
与
x
轴垂直时，其方程为
x1
，
MN
3)
.

3
，
PQ8
，四边形
MPNQ
的面积为12.

21.（Ⅰ）
（i）设
（ii）设
，则
，则当
，
时 ，
上单调递增．

．

只有一个零点．

；当时，．所以在
上单调递减，在

又
则

，，取满足且，

，

故存在两个零点．

，由得或．

（iii）设
若
增．又当
，则
时，< br>，故当
，所以
时，，因此在上单调递
不存在两个零点

若，则
．因此
，所以
在
，故当时，
单调递减，在
；当
单调 递增．又当
时，
时，
不存在两个零点．

．

综上 ，的取值范围为
（Ⅱ）不妨设
上单调递减，所以
，由（Ⅰ）知
等价于

，，在
?正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）
（i）设
（ii）设
，则
，则当
，
时，
上单 调递增．

．

只有一个零点．

；当时，．所以在
上单调递减，在
又，，取满足且，则

，

故存在两个零点．

，由得或．

（iii）设
若
增．又当
，则
时，
，故当
，所以
时，，因此在上单调递
不存 在两个零点．学科&网

若，则
．因此
，所以
在
，故当时，
单调递减，在
；当
单调递增．又当
时，
时，
不存在两个零点 ．

．

综上，的取值范围为
（Ⅱ）不妨设
上单调递减，所 以
，由（Ⅰ）知
等价于
，
，即．

，在

由于
．

设
所以当时，
，则
，而
，而，所以

．

，故当时，．

从而
22.（Ⅰ）设是
，故
的中点，连结
．

，

因为，所以，．

在
相切．

中，，即到直线的距离等于圆的半径，所以直线与⊙

（Ⅱ）因为，所以不是
．

四点所在圆的圆心，设是四点
所在圆的圆 心，作直线
由已知得在线段
．

的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上， 所以

同理可证，
23.正确答案

（Ⅰ）设是
．所以．

的中点，连结，

因为，所以，．

在
相切．

中，，即到直线的距离等于圆的半径，所以直线与⊙

（Ⅱ）因为，所以不是
．

四点所在圆的圆心，设是四点
所在圆的圆 心，作直线
由已知得在线段
．

同理可证，
的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以
．所以．

（23）（本小题满分10分）

解析

⑴?????????? （均为参数）

∴
∴
∵
∴
⑵?
为以
? ①

为圆心，为半径的圆．方程为


???? 即为

的极坐标方程

两边同乘得


即? ②

：化为普通方程为

由题意：和的公共方程所在直线即为

①—②得：
∴
∴
，即为



24.（Ⅰ）设是的中点，连结，

因为，所以，．

在
相切．

中，，即到直线的距离等于圆的半径，所以直线与⊙

（Ⅱ）因为，所以不是
．

四点所在圆的圆心，设是四点
所在圆的圆 心，作直线
由已知得在线段
．

同理可证，
的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以
．所以．

（23）（本小题满分10分）

解析

⑴?????????? （均为参数）

∴? ①

∴
∵
∴
⑵?
为以为圆心，为半径的圆．方程为


???? 即为

的极坐标方程

两边同乘得


即? ②

：化为普通方程为

由题意：和的公共方程所在直线即为

①—②得：
∴
∴


，即为

（24）（本小题满分10分）

⑴??? 如图所示：

⑵?
正确答案


（Ⅰ）设是的中点，连结，

因为，所以，．

在
相切．

中，，即到直线的距离等于圆的半径，所以直线与⊙

（Ⅱ）因为，所以不是
．

四点所在圆的圆心，设是四点所在圆的圆心，作直线
由已知得在线段
．

同理可证，
的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以
．所以．

（23）（本小题满分10分）

解析

⑴?????????? （均为参数）

∴
∴
∵
∴
⑵?
为以
? ①

为圆心，为半径的圆．方程为


???? 即为

的极坐标方程

两边同乘得


即? ②

：化为普通方程为
由题意：和

的公共方程所在直线即为

①—②得：
∴
∴


，即为

（24）（本小题满分10分）

⑴??? 如图所示：


⑵?


当，，解得或

当，，解得或

或

当，，解得或

或

综上，或或

，解集为