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2008年考研数学（三）真题
一、选择题：
x
（1）设函数
f(x)
在区间
[1,1]
上连续，则
x0是函数
g(x)

0
f(t)dt
x
的（ ）


A

跳跃间断点.

B

可去间断点.


C

无穷间断点.

D

振荡间断点.
（2）曲线段方程为
yf(x)< br>，函数
f(x)
在区间
[0,a]
上有连续的导数，则定积分

a
t
0
af(x)dx
等于（

A
< br>曲边梯形
ABCD
面积.

B

梯形
ABCD
面积.


C

曲边三角形
ACD
面积.

D

三角形
ACD
面积.
（3）已知
f(x,y)e
x
2
y
4
，则 < br>（A）
f
x

(0,0)
，
f
y

(0,0)
都存在 （B）
f
x

(0,0)
不存在，
f
y

(0,0)
存在
（C）
f
x

(0,0)
不存在，
f
y

(0, 0)
不存在 （D）
f
x

(0,0)
，
fy

(0,0)
都不存在
（4）设函数
f
连续，若< br>f(u,v)
f(x
2
y
2
)
D
< br>uv
x
2
y
2
dxdy
，其中
D
uv
为图中阴影部分，则
F
u

（ ）
（A）
vf(u
2
)
（B）
v
u
f(u
2
)
（C）
vf(u)
（D）
v
u
f(u)

（5 ）设
A
为阶非0矩阵
E
为阶单位矩阵若
A
3
0< br>，则（ ）


A

EA
不可逆，
EA
不可逆.

B

EA
不可逆，
EA
可逆.


C

EA
可逆，
EA
可逆.

D

EA
可逆，
EA
不可逆.
（6）设
A


12


则在实数域上域与A
合同矩阵为（ ）

21



A


21


12

.

B


21





12


.


C


21


12


.

D



12


21< br>

.
（7）随机变量
X,Y
独立同分布且
X< br>分布函数为
F

x

，则
Zmax
X,Y

分布函数为（ ）


A


F
2

x

.

B


F

x

F

y

.


）


C


1


1F
x



2
.

D




1F

x





1F

y

< br>
.
（8）随机变量
X~N

0,1

，
Y~N

1,4

且相关系数

XY
 1
，则（ ）

A


P

Y2X1

1
.

C< br>
P

Y2X1

1
.



B

P

Y2X1

 1
.

D

P

Y2X1

1
.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
< br>x
2
1,xc

（9）设函数
f(x)
2
在
(,)
内连续，则
c
.
,xc

x

2
1xx
3
（10）设
f(x)
，则

2
x1x
4
2
f(x)d x______
.
（11）设
D{(x,y)x
2
y
2
1}
，则

(x
D
2
y)dxdy< br>
.
（12）微分方程
xy
< br>y0
满足条件
y(1)1
的解
y
 
.
（13）设3阶矩阵
A
的特征值为1，2，2，E为3 阶单位矩阵，则
4A
1
E_____
.
（14）设随机变量
X
服从参数为1的泊松分布，则
PXEX
2

 
.
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸 指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
(15) （本题满分10分）
求极限
lim
x0

1sinx
.
ln
x
2
x
22
(16) （本题满分10分）
设
zz(x,y)
是由方程
xyz


xyz

所确定的函数，其中

具有2阶导数且


 1
时.
（1）求
dz

（2）记
u

x ,y


u
1

zz

，求.


x
xy

xy

(17) （本题满分11分）
计算

max(xy,1)dxdy,
其中
D{(x,y)0x2,0y2}
.
D
(18) （本题满分10分）
设
f

x

是周期为2的连续函数，
（1）证明对任意实数
t
，有



t2
t
f

x

dx

f

x< br>
dx
；
0
2

（2） 证明
G

x



x
0

2f

t


t2
f

s

ds

dt
是周期为2的周期函数．

t


(19) （本题满分10分）
设银行存款 的年利率为
r0.05
，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取< br>19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应
为多少万元？
(20) （本题满分12分）

2a1

2
a2a
设矩阵
A



a
2




，现矩阵
A
满足方程
AXB
，其中
X

x,
1
1


2a

nn
,x
n

，
T
B
< br>1,0,,0

，
n
（1）求证
A

n1

a
;
（2）
a
为何值，方程组有唯一解;
（3）
a
为何值，方程组有无穷多解.
（21）（本题满分10分） 设
A
为3阶矩阵，
a
1
,a
2
为
A< br>的分别属于特征值
1,1
特征向量，向量
a
3
满足
Aa
3
a
2
a
3
，
证明（1）
a
1
,a
2
,a
3
线性无关；
（2）令
P

a
1
,a
2
,a
3

，求
PAP
.
1
（22）（本题满分11分） < br>设随机变量
X
与
Y
相互独立，
X
的概率分布为
P

Xi


1

i1,0,1

，
Y
的概率密度为
3

10y1
f
Y

y



，记
ZXY


0其它
（1）求
P

Z


1X0

；
2

（2）求
Z
的概率密度．
（23） （本题满分11分）
X
1
,X
2
,
1
n
1
n
2
,X
n
是总体为
N(

,

)
的简单随机样本.记
X

X
i< br>，
S(X
i
X)
2
，

n
i 1
n1
i1
2
2
1
TXS
2
.
n
（1）证
T
是

的无偏估计量.
（2）当

0,

1
时 ，求
DT
.
2

还来不及享受美丽的锦瑟华年，就已经到了白发迟暮， 一生匆匆而过。生命，就是这样匆匆，还来不及细细品味，就只剩下了回忆。
生命匆匆，累了就选 择放下，别让自己煎熬痛苦，别让自己不堪重负。放下该放下的，心才会释放重负，人生才能安然自如。
人生就是一个口袋，里面装的东西越多，前行的脚步就越沉重。总觉得该得到的还没有得到，该拥有 的却已经失去，苦苦追寻的依然渺茫无踪。心累，有时候是为了生存，有时候是为了攀比。
只有放 下羁绊前行脚步的重担，放下阴霾缭绕的负面情绪，才能感受到“柳暗花明又一村”的豁然开朗，领悟到“一蓑烟 雨任平生”的超然物外。
人生太匆匆，累了，就放一放吧，何苦要执拗于一时的成败得失！
很多时候，我们用汗水滋养梦想，可是，梦想是丰满的，现实是骨感的。每个人都渴望成功的鲜花围 绕自己，可是，谁都不是常胜将军，都会猝不及防地遭遇人生的滑铁卢。唉声叹气只会让自己裹足不前，一蹶不振 只
能让自己沉沦堕落。
如果真的不能承受其重，就放一放，重新审视前方的道路，选择更适合自己的方向。
有些东西，本 就如同天上的浮云，即使竭尽全力，也未必能揽之入怀。或者即使得到，也未必能提高幸福指数。所以与其为得不 到的东西惶惶终日，不如选择放下，为心减负，轻松前行。
一人难如百人愿 ,不是所有的人，都会欣赏和喜欢自己。所以，我们不必曲意逢迎他人的目光，不用祈求得到所有人的温柔以待。
真正在意你的人，不会对你无情无义，不在意你的人，你不过是轻若鸿毛的可有可无。做最好的自己 ，静静地守着一江春水的日子，让心云淡风轻，怡然自若。
人生本过客，何必千千结。不是所有的 相识都能地久天长，不是所有的情谊都能地老天荒。有些人终究是走着走着就散了，成为我们生命中的过客。
爱过，恨过，都会装点我们原本苍白的人生，感谢曾经在我们生命中出现过的人。如果无缘继续红尘 相伴，就选择放下吧，给自己和对方都留一段美好的回忆和前行的空间。
鱼总是自由自在地在水中 快乐游弋，是因为鱼只有七秒钟的记忆，只在一瞬间，鱼便忘记了所有的不愉快。所以，忘记所有的不愉快，才能 为美好的情绪留出空间，才能让心情灿然绽放。
林清玄说：一尘不染不是不再有尘埃，而是尘埃让 它飞扬，我自做我的阳光。是呀，世事喧嚣纷扰，放下纷扰，做一个阳光快乐的人，做自己快乐的主人！

还来不及享受美丽的锦瑟华年，就已经到了 白发迟暮，一生匆匆而过。生命，就是这样匆匆，还来不及细细品味，就只剩下了回忆。
生命匆匆 ，累了就选择放下，别让自己煎熬痛苦，别让自己不堪重负。放下该放下的，心才会释放重负，人生才能安然自如 。
人生就是一个口袋，里面装的东西越多，前行的脚步就越沉重。总觉得该得到的还没有得到，该 拥有的却已经失去，苦苦追寻的依然渺茫无踪。心累，有时候是为了生存，有时候是为了攀比。
只 有放下羁绊前行脚步的重担，放下阴霾缭绕的负面情绪，才能感受到“柳暗花明又一村”的豁然开朗，领悟到“一 蓑烟雨任平生”的超然物外。
人生太匆匆，累了，就放一放吧，何苦要执拗于一时的成败得失！
很多时候，我们用汗水滋养梦想，可是，梦想是丰满的，现实是骨感的。每个人都渴望成功的鲜花围 绕自己，可是，谁都不是常胜将军，都会猝不及防地遭遇人生的滑铁卢。唉声叹气只会让自己裹足不前，一蹶不振 只
能让自己沉沦堕落。
如果真的不能承受其重，就放一放，重新审视前方的道路，选择更适合自己的方向。
有些东西，本 就如同天上的浮云，即使竭尽全力，也未必能揽之入怀。或者即使得到，也未必能提高幸福指数。所以与其为得不 到的东西惶惶终日，不如选择放下，为心减负，轻松前行。
一人难如百人愿 ,不是所有的人，都会欣赏和喜欢自己。所以，我们不必曲意逢迎他人的目光，不用祈求得到所有人的温柔以待。
真正在意你的人，不会对你无情无义，不在意你的人，你不过是轻若鸿毛的可有可无。做最好的自己 ，静静地守着一江春水的日子，让心云淡风轻，怡然自若。
人生本过客，何必千千结。不是所有的 相识都能地久天长，不是所有的情谊都能地老天荒。有些人终究是走着走着就散了，成为我们生命中的过客。
爱过，恨过，都会装点我们原本苍白的人生，感谢曾经在我们生命中出现过的人。如果无缘继续红尘 相伴，就选择放下吧，给自己和对方都留一段美好的回忆和前行的空间。
鱼总是自由自在地在水中 快乐游弋，是因为鱼只有七秒钟的记忆，只在一瞬间，鱼便忘记了所有的不愉快。所以，忘记所有的不愉快，才能 为美好的情绪留出空间，才能让心情灿然绽放。
林清玄说：一尘不染不是不再有尘埃，而是尘埃让 它飞扬，我自做我的阳光。是呀，世事喧嚣纷扰，放下纷扰，做一个阳光快乐的人，做自己快乐的主人！