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2018年上海市中考数学真题
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。 下列各题的四个选项中，有且只有一
个选项是正确的）
1．（4分）下列计算
A．4 B．3 C．2
﹣的结果是（ ）
D．
2．（4分）下列对一元二次方程
2
+﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
3．（4分）下列对二次函数y=
2
﹣的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的 4．（4分）据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：
27， 30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29
5．（4分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC
6．（4分）如图，已 知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长
为2的⊙A与直线OP相 切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）

A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）﹣8的立方根是 ．
8．（4分）计算：（a+1）
2
﹣a
2
= ．
9．（4分）方程组的解是 ．

10．（4分）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是 元．（用含字母a
的代数式表示）．
11．（4分）已知反比例函数y=
范围是 ．
12．（4分）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20﹣30元这个小组的组频率是 ．
（是常数，≠1）的图象有一支在第二象限，那么的取值

13．（4分）从，π，这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为 ．
14． （4分）如果一次函数y=+3（是常数，≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随的增
大而 ．（填“增大”或“减小”）
15．（4分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联 结DE并延长，与AB的
延长线交于点F．设=，=那么向量用向量、表示为 ．

16．（4分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如
果从 某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 度．
17．（4分）如图 ，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在
边AB、AC上．如果B C=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 ．

18．（4 分）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边
上，且该图形与矩形的 每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边
长称为该图形的宽，铅锤方向的边长 称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边
AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它 的宽的值是 ．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出．





20．（10分）先化简，再求值：（





21．（10分）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=
（1 ）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
．
﹣）÷，其中a=．

22．（10分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程（千米）
之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求y关于的函数关系式；（不需要写定义域） < br>（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行
驶了5 00千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，
汽车开始提示加 油，这时离加油站的路程是多少千米？





23． （12分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足
分别是 点E、F．
（1）求证：EF=AE﹣BE；
（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．

24．（12分）在平面直角坐标系Oy中（如图）．已知抛物线y= ﹣
和点B（0，
2
+b+c经过点A（﹣1，0）
），顶点为C，点D在其对 称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺
时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使 其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点
M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点 的四边形面积为8，求点M的坐标．




25．（14分）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA ，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）
边形的一边，求△ACD的面 积．

【参考答案】
一 、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。下列各题的四个选项中，有且只有一
个选项是正确的 ）
1．C
【解析】
=3
=2
﹣
．

﹣
故选：C．
2．A
【解析】∵a=1，b=1，c=﹣3，
∴△=b
2
﹣4ac=1
2
﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，
∴方程
2
+﹣3=0有两个不相等的实数根．
故选：A．
3．C
【解析】A、∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵﹣=，
，选项B不正确； ∴抛物线的对称轴为直线=
C、当=0时，y=
2
﹣=0，
∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线=
∴当＞
，
时，y随值的增大而增大，选项D不正确．
故选：C．
4．D
【解析】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，
处于最中间是数是28，
∴这组数据的中位数是28，
在这组数据中，29出现的次数最多，

∴这组数据的众数是29，
故选：D．
5．B
【解析】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A= ∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩
形，正确；
B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
故选：B．
6．A
【解析】设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O=30°，AD=2，
∴OA=4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，

∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；
当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，

∴OB=OA+AB=4+2+3=9，

∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，
故选：A．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7． ﹣2
【解析】∵（﹣2）
3
=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
8． 2a+1
【解析】原式=a
2
+2a+1﹣a
2
=2a+1，
故答案为：2a+1.
9． ，
【解析】
②+①得：
2
+=2，
解得：=﹣2或1，

把=﹣2代入①得：y=﹣2，
把=1代入①得：y=1，
所以原方程组的解为，，
故答案为：
10．0.8a
，．
【解析】根据题意知售价为0.8a元，
故答案为：0.8a．
11． ＜1
【解析】∵反比例函数y=
∴﹣1＜0，
解得＜1．
的图象有一支在第二象限，

故答案为：＜1．
12． 0.25
【解析】20﹣30元这个小组的组频率是50÷200=0.25，
故答案为：0.25．
13．
，π，这三个数中，无理数有π，
，
这2个， 【解析】∵在
∴选出的这个数是无理数的概率为
故答案为：．
14． 减小
【解析】∵一次函数y=+3（是常数，≠0）的图象经过点（1，0），
∴0=+3，
∴=﹣3，
∴y的值随的增大而减小．
故答案为：减小．
15． +2
【解析】如图，连接BD，FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB．
∴△DCE∽△FBE．
又E是边BC的中点，
∴==，
∴EC=BE，即点E是DF的中点，
∴四边形DBFC是平行四边形，
∴DC=BF，故AF=2AB=2DC，
∴=+=+2=+2．
故答案是：+2．

16． 540
【解析】从某个多 边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．所
以该多边形的内角和是3×1 80°=540°．
故案为540．
17．
【解析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴BC•AH=6，
=3， ∴AH=
设正方形DEFG的边长为，则GF=，MH=，AM=3﹣，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴=，即=，解得=
．
，
即正方形DEFG的边长为
故答案为．

18．
【解析】在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，
设AF=，则CF=，

在Rt△CBF中，CB=1，BF=﹣1，
由勾股定理得：BC
2
=BF
2
+CF
2
，
，
解得：=或0（舍），
， 即它的宽的值是
故答案为：．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．解：
解不等式①得：＞﹣1，
解不等式②得：≤3，
则不等式组的解集是：﹣1＜≤3，

不等式组的 解集在数轴上表示为：
20．解：原式=[
=
=
当a=
原式=
，
时，
==5﹣2．
•
﹣]÷

21．解：（1）作A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC=
∴AE=3，BE=4，
=，AB=5，

∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC=
（2）∵DF垂直平分BC，
∴BD=CD，BF=CF=
∵tan∠DBF=
∴DF=，
=，
=
，
，
=；
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD=
∴AD=5﹣
则=．
=，

22．解：（1）设该一次函数解析式为y=+b，
将（150，45）、（0，60）代入y=+b中，
，解得：，
∴该一次函数解析式为y=﹣
（2）当y=﹣
解得=520．
+60=8时，
+60．
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530﹣520=10千米，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
23．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，

∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△DAF中
，
∴△ABE≌△DAF，
∴BE=AF，
∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；
（2）解：如图，∵
而AF=BE，
∴
∴
=
=
，
，
=，
∴Rt△BEF∽Rt△DFA，
∴∠4=∠3，
而∠1=∠3，
∴∠4=∠1，
∵∠5=∠1，
∴∠4=∠5，
即BE平分∠FBP，
而BE⊥EP，
∴EF=EP．

24．解：（1）把A （﹣1，0）和点B（0，）代入y=﹣
2
+b+c得，解得，
∴抛物线解析式为y =﹣
（2）∵y=﹣
∴C（2，
（﹣2）
2
+
2
+ 2+
，
；
），抛物线的对称轴为直线=2，
﹣t）， 如图，设CD= t，则D（2，
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC=90°，DP=DC=t，
∴P（2+t，
把P（2+t，
﹣t），
﹣t）代入y=﹣
2
+2+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t，
整 理得t
2
﹣2t=0，解得t
1
=0（舍去），t
2
=2，
∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置，[__]
个单位，
个单位得到点E，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移
而P点（4，）向左平移2 个单位，向下平移
∴E点坐标为（2，﹣2），
设M（0，m），
当m＞0时，< br>当m＜0时，
•（m+
•（﹣m+
+2）•2=8，解得m=，此时M点坐标为 （0，）；
）； +2）•2=8，解得m=﹣
）或（0，﹣
，此时M点坐标为（0，﹣
）． 综上所述，M点的坐标为（0，

25．解：（1）∵OD⊥AC，
∴=，∠AFO=90°，
又∵AC=BD，
∴
∴
∴
=
=
=
，即
，
=，
+=+，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
∵AB=2，
∴AO=BO=1，
∴AF=AOsin∠AOF=1×
则AC=2AF=

（2）如图1，连接BC，
；
=，

∵AB为直径，OD⊥AC，
∴∠AFO=∠C=90°，
∴OD∥BC，
∴∠D=∠EBC，
∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），

∴BC=DF、EC=EF，
又∵AO=OB，
∴OF是△ABC的中位线，
设OF=t，则BC=DF=2t，
∵DF=DO﹣OF=1﹣t，
∴1﹣t=2t，
解得：t=，
、AC=
AC=，
==， 则DF=BC=
∴EF=FC=
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠D，
则cot∠ABD=cot∠D===；
（3）如图2，

∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，
∴∠BOC=
则+2×
、∠AOD=∠COD=
=180，
，
解得：n=4，
∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，
∴BC=AC=，
∵∠AFO=90°，
∴OF=AOcos∠AOF=，

则DF=OD﹣OF=1﹣
∴S
△ACD
=


AC•DF=×
，
×（1﹣）=．