古代爱情诗-劳动最光荣

2012考研数学三真题

1.选择题：1~8小题，每 小题4分，共32分，下列每小题给出的四
个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填 在答题
纸指定位置上.
x
2
x
（1）曲线
y
2
渐近线的条数为（ ）
x1
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
）
（2 ）设函数
f(x)(e
x
1)(e
2x
2)…（e
n x
-n
，其中
n
为正整数，
则
f

(0)
=（ ）
（A）
(1)
n1
(n1)!
（B）
(1)
n
(n1)!

（C）
(1)
n1
n!
（D）
(1)
n
n!


（3）设函数
f(t)
连续，则二次积分
（A）
（B）

2
0
d


2
2cos

f(r
2
)rdr
=（ ）


2
0
2
dx

dx
< br>4x
2
2xx
2
4x
2
2xx
2< br>x
2
y
2
f(x
2
y
2
)dy

f(x
2
y
2
)dy

0
（ C）


2
0
dx

1
4x
2
2xx
2
4x
2
2xx
2

n
x
2
y
2
f(x
2
y
2
)d y

（D）
2
0
dx

1
f(x
2
y
2
)dy


1
(1)
n
nsin

绝对收敛，

2

条件收敛，则

n
i1
n
（4）已知级数

(1)
i1范围为（ ）

（A）0<


（C）1<


1
1
（B）<


1
2
2
33
（D）<

<2
22< br>
1


0

0

1



（5）设

1
0,
2
1,

3
1,

4
1
其中
c
1
，c
2
，c
3
，c
4
< br>

c

c

c


c


1

2

4

3

为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）
（A）

1
，

2
，

3
（B）

1
，

2
，

4
（C）

1
，

3
，

4
（D）

2
，

3
，

4

1


1

，
（6）设
A
为3阶矩阵，
P
为3阶可逆矩阵，且
P
-1
AP=


2


）
则
Q1
AQ=（

P=（

1
，

2< br>，

3
），Q=（

1
+

2，

2
，

3
）

1
< br>1




1

（A） （B）
2


12


2
 
2




（C） （D）
12< br>

2

1


（7）设随 机变量
X
与
Y
相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀
分布，则

（ ）
｛

2
+

2
1｝
（A） （B） （C）
1
4
1
2

（D）
84
（8）设
X
1
，X
2
，X
3
，X< br>4
为来自总体
N
的简单随
（1，

2
）（< br>
0）

机样本，则统计量
X
1
X
2
的分布（ ）
|X
3
+X
4
-2|
（A）
N
（B）
t(1)
（C）

2
(1)
（D）
F(1,1)

（0，1）
二、填空题：9~14小题，每小题4分， 共24分，请将答案写在答题
纸指定位置上.
（9）
lim(tanx)
x 
1
cosxsinx


4
dy

lnx,x1
,yf(f(x)),求
（10）设函数
f(x)

dx


2x1,x1
（11）函数zf(
___________.
x0
,x
满
)y
足
lim
x0
y1
f(x,y)2xy2
x(y1 )
22
0,
则
dz
(0,1)

_______ .
4
（12）由曲线
y
和直线
yx
及
y4 x
在第一象限中所围图形的面
x
积为_______.
（13）设
A
为3阶矩阵，|
A
|=3，
A
*
为
A
的 伴随矩阵，若交换
A
的第
一行与第二行得到矩阵
B
，则|
B A
*
|=________.
（14）设
A,B,C
是随机事件，
A,C
互不相容，
P(AB)
11
,P(C),
则23
P（

C）=
_________.
三、 解答题：1 5~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置
上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
（15）（本题满分10分）

ee
22cosx
计算
lim

4
x0
x
（16）（本题满分10分）
计算二重积分
域.
（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品 ，投入
的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量
x
e< br>
xydxdy
，其中
D
为由曲线
yx与y
D
x
2
1
所围区
x
x
分别为
x
(件 )和
y
(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+（万
2
元件）与6+
y
（万元件）.
1）求生产甲乙两种产品的总成本函数
C(x,y)
（万元）
2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最
小？求最小的成本.
3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其
经济意义.
（18）（本题满分10分）
1xx
2
cosx1,1x1.
证明：
xln1x2
（19）（本题满分10分）已知函数
f(x)
满足方程
f
(x)

f(x)
1）求表达式
f(x)
2f(x
及
)
f

(x)f(x)2e
x

2）求曲线的拐点
yf(x)

f(t
2
)dt< br>
0
2
x

（20）（本题满分10分） < br>
1

0
设
A


0


a
a
1
0
0
0
a
1
0
0

1


1

0


，b



0

a

 
1

0

（I）求|A|
（II）已知线性方程组
Axb
有无穷多解，求
a
，并求
Axb
的通解.
(21)（本题满分10分）

1

0
已知
A


1


0
01

11

，
二次型
f(x
1
,x
2
,x< br>3
)x

(

)x
的秩为2，
0a


a1

（1） 求实数
a
的值；
（2） 求正交变换
x=Qy
将
f
化为标准型.

（22）（本题满分10分）
已知随机变量
X
,
Y
以及< br>XY
的分布律如下表所示：
X
P

Y
P

0 1 2
0
1

2
1
1

3
2
1

6
1

3
1

3
1

3

XY
P
0 1 2
0
4
7

12
1

3
1

12
求（1）
P
(
X
=2
Y
);
（2）
cov(XY,Y)与
XY
.
（23）（本题满分10分）
设随机变量
X
和
Y
相互独立 ，且均服从参数为1的指数分布，
Vmin(X,Y),U=max(X,Y).

求（1）随机变量
V
的概率密度；（2）
E(UV)
.