夏天的英文-赵楚然

符号：·
3
a
a
√

2xy10
1
x
1
A′

x
2

90°
%
∥

π⊥≌∽△∠＜＞∵∴＋－×==＞→⊙


2

3xy12
1、怎么用尺规作图过直线外一点作已知直线的垂线？
过此点用圆规画弧，与直线形成两个交点，分别过两点再以相同长度画弧，交点与原点相连就是已
知直线的垂线。
可以用三角形全等来证明。
2、 已知两条等宽的纸条倾斜相交（注意不垂直）
求证：四边形ABCD是菱形
证明：很容易证明是平行四边形。两种思路：
① 由两平行线距离相等， 且由平行四边形面积公式可得，这平行四边形底也相等，所以邻边相等
② 由两平行线距离相等推出三角形全等，得邻边相等。
3、 如图,已知各点坐标:A1(1，0) ，A2(1，1) ，A3(-1，1) ，A4(-1，-1) ，A5(2，-1) ，A6(2，2) ，A7(-2，
2) ，A8(-2，-2) ，A9(3，2)……求A2007的坐标.
解:(周期性)由A1+4×2 A1(1，0)


(+2，+2) A1=4×501+3
A9(3，2) A2005
∴A2005(502,-501) A2006(502,502) A2007(-502,502)
4、 △ABC的中线为BD，过B作BE∥AC，过A作AE∥BD，AE与BE相交于E，连结CE交BD于点O
问：BD与CE是何关系？请给出证明。

BD与CE相互平分
证明：连结ED
由EB

AD=CD得四边形EBCD是平行四边形
∴平行四边形对角线相互平分


5、 如图所示，在△ABC中，M是B C中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN。若AB=14,AC=24,求MN的长。

解：延长BN到D，则
ΔABN≌ΔADN(ASA)
∴N为BD中点
∴NM为
ΔBCD的中位线
∴NM=
11
DC=（24-14）=5
22




6、矩形内有一点P到各边的距离分别为1,3,5,7，则该矩形的最大面积为 64 平方单位。
解：面积（长×宽）当长和宽越接近时越大。所以长=宽=8时面积最大。∴面积为8×8=64
7、三角形三边长为
21
，5，2，求最大边上的高为
3.36

设x，由21- x
2
＝2
2
－(5- x
2
)
==＞x=4.2
∴h=
3.36

8 、如图所示，在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，B G
- 1 -

⊥AE，垂足为G。BG=4
2
，则△CEF的周长为（8）

首先AG
2
= 6
2
－（4
2
）
2
==＞AG=2
由
△ABG≌△EBG得EG=AG=2 且BE=BA
由∠F=∠BAF=∠DAF得DF=AD=9 ∴FC=9－6=3
由平行线分线段成比例得FE:AE=FC:CD得FE=2
由EC=9－6=3
∴△CEF的周长为3+2+3=8
9、平行四边形是（
中心
）对称图形。
10、把两个全等三角形按各种方式拼成四边形，则这些四边形中平行四边形有（
3
） 个。
11、把三边长为4、5、6的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成 6 种不同的四边形，其中有3 个
平行四边形。
12、以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（3）个。
13、以不在一条直线上的三个已知点A、B、C为顶点作平行四边形，这样的平行四边形可作 3 个。
14、平行四边形两邻边上的高是2
3
和3
3
，高的夹角是< br>60
，则周长是（20）

解：显然∠BAF=
30
，∴设BF=x，则AB=2x
由
(2x)
－
x
=12 ==＞x=2 ∴AB=4
同理得BC=6
∴平行四边形的周长为(4+6)×2=20



15、如图所示：矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板 ，则矩形ABCD的周长为（ 8
5
）






解：过G作GH⊥AE于H，则图中分成四个相似的直角三角形
由GH=4，AH=2得AG
2
= AH
2
＋HG
2
得AG=2
5

2
2
2
5

5
8
由相似比2
5
：4=4：AB==＞AB=
5

5
28
5
+
5
)×2=8
5
∴矩形ABCD的周长为(2
5
+
55
∴由相似比2
5
：2=2：GD==＞GD=

16、如图所示，将两张长为 8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，问：①当两张纸条垂
- 2 -

直时，菱形的周长为最小，为什么？那么最小值为多少？②什么时间菱形的周长最大？最大值是多少？

解：显然在打斜时菱形的边长变长
此时AE=2,显然AE∴最小周长为2×4=8
最大：如图，当两矩形有一条对角线重合时周长最大< br>（再移动就不是菱形了）
，这时菱形的一条边等于

8
=4，∴最大周长为4×4=16
2
17、矩形ABCD中，AE⊥BD ，若BE：ED=1：3，对角线交点O到AD的距离为4，则∠EAB=
30
，BD= 16

解：如图所示，由BE：ED=1：3及矩形性质，得BE=OE=
∴AO=2×4=8 EO=
11
BO=AO ∴∠EAC=∠EAB=∠OAD=
30

22
1
AO=4 ∴BD=4EO=4×4=16
2



19、菱形ABCD的对角线长分别为a,b。以菱形ABCD各边的中点为顶点 作矩形A1B1C1D1,然后再以矩形
A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2……， 如此下去，得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积用
含a、b的代数式表示为(
ab
2
解：
2010
)。为什么？
2
S
矩形A1B1C1D1
=
1
S
菱形ABCD
=
1
× (
1
ab)=ab
2

2
1
菱形A2B2C2D2
=S
2
22
矩形A1B1C1D1
S=ab
2

3
……
∴
S
四边形A2009B2009C200 9D2009
=ab
2
2010

20、矩形中各内角平分线所组成的四边形是( )，为什么？
解：是正方形。证明如下：

证明：由上角的关系得四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形)
由∠HBC=∠HCB=
45
得BH=CH 由△ABE≌△DCG得BE=CG
∴EH=GH
∴矩形EFGH也是一个正方形




- 3 -

22、如图所示，正方形ABCD中，点O是对角线A C的中点，P是AC上一动点（P与A、O、C不重合），过
点P作PF⊥CD于F。PE⊥PB
(1)求证：DF=EF
(2)写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明。








(1)证明： 连结PD，再过点P作PG⊥BC交BC于G（利用那个
90
条件搭桥转化）
由△BPA≌△DPA（SAS）得BP=DP
由∠BPE-∠GPE=∠FPG-∠GPE得△BGP≌∠EFP（ASA）得BP=EP
∴PD=PE
又PF⊥ED ∴DF=EF
(2)由正方形斜边与边的关系易得：
PC=
2
CF=
2
(CE＋FE)=
PA=
2
DF ②
①－②得PC－PA=
2
CE
(或：PC=
2
CE＋PA)
23、如图所示，在梯形ABC D中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，AD=6，BC=8，则梯形的高为（ 7 ）
2
(CE＋FE)=
2
(CE＋DF) ①

解：由该辅助线得得△BDE为等腰直角△，∴高也是中线 ∴高DF=
11
BE=(BC+CE)=
7

22

24、在梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（ ），为什么？
A)3:5:6:4 B)3:4:5:6 C)4:5:6:3 D)6:5:4:3
解：由∠A+∠B=∠C+∠D，选
C

25、求证：连接菱形的各边中点得到的是矩形，并且矩形的面积等于这个菱形的一半。
- 4 -

证明：如图所示：

(1) 显然由EG

11
BD，FH

BD ==＞EG

FH 得到平行四边形
22
证法一：连结FG，则由ABFG是平行四边形得FG=AB，同理EH=AD
∴FG=EH=AB ∴平行四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
证法二：(从角的角度考虑)由菱形得∠1＋∠2=
180
∠3=∠4，∠5=∠6
∴∠3＋∠4=
180
－∠1① ∠5＋∠6=
180
－∠2②
①＋②: ∠3＋∠4＋∠5＋∠6=
360
－(∠1＋∠2)
=
360
－
180

=
180

180
=
90
∴∠EFH=
90

180
2
11802360(1
(或∠4=，∠5=，∠4+∠5=
222
∴∠EFH=
90

∴∠4＋∠5=
∴平行四边形EFGH是矩形
(2) 连结FG则由
S△EFG
=
2)
)=
360180
=
90

2
1
S
2
ABFG
（等底等高）同理……
∴矩形的面积等于这个菱形的一半。证完.
26、如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC ，∠ADC＋∠BCD=
90
，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯
形 外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是 S2=S1+S3 。为什么？

解：过B作BE∥AD 则有∠EBC=
90

∴
EC
=
EB
＋
BC
且AB=DE=EC 即S2=S1+S3
2
2
2



27、在梯形 ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=4，BC=5，那么腰CD的取值范围是（2＜CD＜6），为什么 ？
解：由第29题得同样做法得答案。
28、等腰梯形的中位线长30，一个底角是
60
，且一条对角线平分这个角，则这个等腰梯形的周长为
（ 100 ），为什么？
解：如图（把各个角度算出来之后，用方程解）
由
1
(x＋2x)=30得x=20
2
∴周长：(x+x+x+2x)=20×5=100


29、能否画出以10cm、15cm为底，12cm、6cm为腰的梯形？若能，请画出。若不能，为什么 不能？
解：由该辅助线得不能形成三角形，∴不能

- 5 -

30、若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为
60
，则 该等腰梯形的面积为（4
3
或
4
3
3
），为什么？
解：①第一种：∠DOC=
60


由平行得∠BDE=
120
△BDE为等腰△
∴∠DBE=∠DEB=
30

tan
30
=
3
h
=
3
1
(ab)
2
∴h=
23

3
2343
1
（a＋b）× =
33
2
∴
S
梯形ABCD
=
②第二种：∠AOD=
60


则由平行得∠BDE=
60
由BD=ED得△BDE为等腰△
∴∠BED=
60

tan
60
=
3
=< br>h
1
(ab)
2

∴h=2
3

∴
S
梯形ABCD
=
1
(a＋b)×2
3
=43

2
31、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=2AD，BD平分∠A BC，则∠C=（
60
），为什么？
解：就分析它的边就可以得出角的关系。

32、若梯形ABCD的两腰AB、CD的长分别是8和6，点E、F分别是AD、BC中点 ，则EF的取值范围
- 6 -

是（ ），为什么？
解：如图：

解：作了辅助线之后得到一个平行四边形，
∴8－6＜2EF＜8＋6
即1＜EF＜7




33、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点G、F分别是对角线AC和BD的中点。
求证：①FG∥BC
②FG＝
1
(BC－AD)
2

很容易！（利用“中点”）构造全等三角形，很容易转化。连结AF并延长交BC于E
34、 梯形ABCD中，AD∥BC，AD＋BC=CD，点E是AB的中点，则∠CED=（
90
），为什么？

解：如图，考虑到中点，过点E作EF∥BC
则由E为中点得EF为梯形ABCD的中位线，
EF=
11
(AD＋BC)= CD=FD=FC
22
∠DEF=∠EDF, ∠CEF=∠ECF
∴∠DEF+∠CEF=∠EDF+∠ECF
∴∠DEC=
1
×
180
=
90

235、如图所示，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段A B、AD上，将△
AEF沿EF翻折，点A的落点记为P。
①当AE=5，P落在线段CD上时，PD=？
②当P落在梯形内部呢，PD最小是多少？

解：①
作垂直！！过点P作PH⊥AB交AB于H，则
HE=3，
∴
AH=DP=8-3-3=2





- 7 -

②当点E与点B重合,且点P落在DB上时,PD最
小.(如图).
PE=AE=8;DB=√(AD^2+AB^2)=4√5;
所以:PD=4√5-8.即点P落在梯形内部时,PD最小值
为4√5-8.


36、如图所示，是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中，等腰梯形的上底与 下底长的的比
是( 1:2 )

解：从第一个平行四边形的左上方可以看出，2个上底=1个下底。
37、如图所示，在梯形 ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD，AC=6。则该梯形的中位线EF=（ ），为什
么？？

解：很容易，过点A作AG∥DB交BC于G。
则由直角等腰△有
(GBBC)
=
6
+
6
=72
∴EF=

38、如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=
90
，
AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=
15
，且AE=AD。 连结DE交对角线AC于H，连结BH。则①△ACD≌△
ACE；②△CDE为等边三角形；③
222
1
×
72
=3
2

2
SEDC
AHEH
=2；④= 以上正确有( ①,②)，为什么？
SEHC
CHBE

【1】
AB=BC, ∠ABC=90°→ ∠BAC=45°，∠HAD=90°-45°=45°
又 AE=AD → AH ⊥ ED → CE=CD → △ACD ≌ △ACE
【2】
在【1】CE=CD 的基础上，
加上∠CED = 180°- ∠CE -∠AED = 60°
→△CDE为等边三角形
【3】设 BC=100，可以计算出：
BE≈26.8，EH≈51.76 → 结论不成立
【4】
从【1】可知△EDC与△EHC的面积比为 2
而 HA=HD=x，CD=2x得CH=
3
x ∴AH ：CH = 1 ：√3 → 结论不成立
39、如图所示，已知G为直角△ABC的重心，∠ABC=
90
，且AB=12，BC=9，则△AGD面积为（ ）
- 8 -

解：①首先证明重心的性质：分线段比为1：2(很容易 ，利用平行线分线段成比例的性质)
延长AG交BC于E，过D作DF∥AE交BC于F
由AD：DC=EF：FC=1：1
∴DG：BG=EF：BE=1：2
②有了DG：BG=1：2的性质就好办了
S
△ADG
=
1
S
△ADB
而
S
△ADB
=
1
S
△ABC
∴
S
△ADG
=
1
×54=9
326
40、如图 所示，正方形ABCD中，过重心O的一条直线a绕点O旋转
90
，得到直线b，这两条直线将
正方形分成的四部分有什么关系？请证明。
解：很容易，连结AC，由△AOG≌△COH同理可推出.

41、如图所示，设点M为△ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，求△ABC的面积。

解：首先由S△MBD=S△CDM、S△ABD=S△ADC（等底等高）
==＞S△ABM=S△AMC，同理得到分成三个面积相等（不是全等）的三角形
∴延长AD到G使DG=DM 则有△BDG≌△CDM 由MG=1.5×2=3，BM=4，BG=MC=5
∴△BMD为RT△，∴S△ABC=
1
×4×3×3=18
2
4 2、如图所示，在ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于M、N
求证：BM=MN=ND
- 9 -

证明：（关键是辅助线，中线“伸出”）延长EF分别与AB、AD延长线交于G、H
则由△GBE≌△FCE==＞GE=FE
由BM：GE=AM：AE=MN：EF得BM=MN
同理得MN=ND 完
43、下表中，若平均数为2，则x=（B），为什么？
分数
学生人数
0
x
1
5
2
6
3
3
4
2
A.0 B.1 C.2 D3
解：（0×x+1×5+2×6+3×3+4×2)÷(x+5+6+3+2)=2
34÷(2x+16)=2
解得：x≈1
44. 已知有f1个数据的平均数为 x1，有f2个数据的平均数为x2，那么这f1+f2个数据的平均数
x=(
f1x1f2x2
) （用总量除以份数）
f1f2
45、甲、乙、 丙、丁四人的数学测验成绩分别为90分、90分、80分、x分。若这组数据的众数与平均
数恰好相等 ，则这组数据的中位数是（100），为什么？
解：众数=90, ==> x=100
46、一组数据的方差是2，将这组数扩大到原来的3倍，则所得新数据组的方差是（18），为什么？
解：利用公式
S
=
=
2
1
2
〔
( x1X)
+……〕
n
1
2
〔(
(ax1aX)
+……〕
n
1
2
2
=〔
a

(x1X)
+……〕
n
=
3
×2=18
47. 一个样本M的数据是：
x
1
，
x
2
，…，
x
n
，它的平均数是5；另一个样本N的数据是：
x
1
，< br>x
2
，…，
2
x
n
，它的平均数是34，那么下面结 果一定正确的是（A），请说明理由。
22
2
A．
S
M
=9 B.
S
N
=9 C.
S
M
=3 D
S
N
=3
2
2
2
2
1
222
（
x
1
＋…＋
x
n
－n
X
）
n
1
=(34n－25n)
n
解：
S
M
=
2
=9
50. 一个样本的容量为80，分组后落在某一区间的频数为5，则该组数据所占百分比为（6.25
%
），为什
- 10 -

么？
解：
频数：出现的次数（即出现多少次）
∴580=6.25%
51、某县 抽取200名学生进行调查，画出如图所示的直方图。已知图中从左到右的4个小组所占百分比
分别是4
%，10%，16%，40%。则第五个小组的频数是（60），为什么？

解：第五小组的频数为：
200×(1－4%－10%－16%－40%)=200×30%=60.
【第五小组的频数即为第五组的人数(出现的次数)。】
52. 如图所示，已知正方形ABCD中，M为AB中点，BN平分∠CBE，且DM⊥NM
请用两种证法证明：DM=MN

（两种证法都是构造出全等三角形转化）
证法一：取AD中点F，连接MF 由△DFM≌△MBN（ASA）得DM=MN
证法二：过N作NG⊥BE，NH⊥BC 易得四边形NHBG为正方形；且证出四边形NHMB为平行四边形得
MB=NH=BG=AM=NG ∴△DAM≌△MGN(AAS) 得DM=MN
53、如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同 侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF
①四边形ADEF是什么四边形，请证明。
②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形。
③ 当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。

解：①由△EBD≌△CBA(SAS) ==＞DE=AC，且AF=AC 同理DA=EF∴两组对边相等的四边形是平行…
②很容易计算当∠BAC=
360
-
60
×2-
90
=
150
时∠DAF=
90，这时四边形就为矩形
③很容易当∠BAC=
60
时形成不了四边形
54. 如图所示，一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，其
- 11 -

余的瓷砖是白色，如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖总数是多少？为什么？

解:做这道题先明白一个原理(对下去)得:对角线上的小正方形块数和边上的块数相等.
接下来就好办了.一条边的小正方形块数(101-1)÷2+1=51(块)
∴一共有51×51=2601(块)
55. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从 正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、
CD、DA以同样的速度向点B、C 、D、A移动。
问：PE是否过某一定点？并说明理由。

恒过对角线的中点O。 连结PE和AC，设它们相交于K。只需
证明K为AC的中点，与O重合即可。(通过△APK≌△CEK(AAS))




56. 如图所示是一个用来盛 爆米花的圆锥形纸杯，纸杯口圆的直径EF长为10cm，母线OE(OF)长为
10cm，在母线OF 上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬
行到A点。求此 蚂蚁爬行的最短距离为多少厘米？

解：
因为OE＝OF＝EF＝10（cm）
所以底面周长＝10π（cm）
将圆锥侧面沿OE剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE＝< br>10（cm），弧长等于圆锥底面圆的周长10π（cm）
设扇形圆心角度数为N，则根据弧长公式得：
N*π*10180＝10π
所以N＝180°
即展开图正好是一个半圆
因为F点是展开图弧的中点
所以∠EOF＝90°
连接EA，则EA就是蚂蚁爬行的最短距离
在直角三角形AOE中由勾股定理得
EA^2＝OE^2＋OA^2＝100＋64＝164
所以EA＝2√41（cm）
即蚂蚁爬行的最短距离是2√41（cm）
57. 如图所示，矩形ABCD，AD=6，AB=8，P为DC上一动点(不与D、C重合)，且BQ⊥AP。设AP =x，
BQ=y，求x与y的函数表达式。
- 12 -

解：(提示：用等面积法！(连结PB))
58. 若双曲线y=
8
上两点：点A(4，2)、C的纵坐标为8，O为原点。求△AOC的面积。
x
解：先算出C(1，8)
作AB⊥x轴于B,CD⊥x轴于D,
S△AOC=S（OCD)+S(CDBA)-S(OAB)
=4+(8+2)*32-4
=15
59．已知抛物线y= －
(xm)
＋1与x轴的交点为A、B(B在A的右边)，与y轴的交点为C。当点B在
原点的 右边，点C在原点下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；
若不存在，请 说明理由。
解：首先由图象分析函数只能在右边(B在原点右边)，∴m＞0
由y=0得0= －
(xm)
+1
∴x=±1＋m ∵xB＞xA ∴xB=1+m
由x＝0==＞yC=－
m
+1(注意是＜0)
由等腰直角三角形有|1+m|=|－
m
+1|
得1+m=
m
-1
得
m
-m-2=0 ∴m=2(存在m使△BOC为等腰三角形)
60、如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC= 5，O为对角线的交点。现过点O作OE⊥AC交AD于E。求AE
的长。
2
2
2
2
2
2

解：用等面积法+勾股定理：△AOE的高是
1
34
1
AB AO=AC=
2
2
2
- 13 -

由等面积法：
1
34
11
·AE·AB=··OE
2
2
22
∴OE=
3AE

34
34
2
3AE
2
)

)
＋
(
由勾股定理：
AE
=
(
2
34
2

25
AE
2
34
=
344
17

5
∴AE=
61. 如图所示，在梯形ABCD 中，AB∥DC，∠ADC=
90
，AD=DC=4，AB=1，F为AD的中点，求F到BC 的距
离。


解：用面积法。AF=FD=
1
×4=2 连接BF、FC
2
过点B作BE⊥DC交DC于E。F到BC的距离为△BFC中BC边上的高
1
×BC×高
2
11
11
即：(1＋4) ×4－×1×2－×4×2=×BC×高
22
22
则S△BFC=S梯形－ S△AFB－S△FDC＝
2
22
(41)
BC4
而=＋==＞BC=5
∴ 10－1－4=
5
×高
2
高=2
∴F到BC的距离为2。
62. 如图所示，二次函数y=ax^2+bx +c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y轴交于负
半轴。以下结论：①ab c＜0；②2a+b＞0；③a+c＝－1；④a＞1正确的是( )，为什么？
- 14 -

解：显然a＞0，

由

b
＞0==＞b＜0，c＜0
2a

abc0
b
＜1==＞0＜2a+b 由

得b=－1 ∴a+c=1 a＞1
2a
abc2

63．（1）已知线段a=8， b=4， c=2.5， d=5，判断它们是否成比例线段？为什么？
（2）已知线段a=8， b=4， c=5， d=2.5，判断它们是否成比例线段？为什么？
解：把四条线段按从小到大或从大到小排列，之后看是否成比例。∴它们都是比例线段。
64.若
3
a
与
a
(a≥0)均有意义，则一定有(D)
A.
3
a
≤
a
B.
3
a
≠
a
C.
3
a
≥
a
D以上结论都不对
65. 某个图形上的各点的横、纵坐标都变成原来的12，连结各点所得的图形与原图形相比一定 是 (选
“是”“不是”“无法确定”)位似图形。为什么？
解：某个图形上的点A的横、纵坐标为(m,n)，则该点对应点为A'(m2,n2)，
由y=kx+b 过(m,n) (0,0)得b=0 (m2，n2)一定过直线y=
n
x
m
所以O、A'、A三点共线，且|OA|=2|OA'|.
可知新旧图形位似，【位似中心】为坐标原点O，【位似比】为1:2。
66.二次函数y=
x
－2x－3在0＜x＜2这个范围有没有最大值？若有，请求 该最大值；若没有则请说明
原因。
解：由图象得函数在此区间上无限接近最大值－3，但始终取不到。∴没有。
若题目改为在0≤x≤2这个范围则函数有最大值－3。
67. 有一个病毒，经过两轮传染 后共有169人得了病，若每轮每个病毒传染人数相同，平均每个病毒传
染了多少人？
解：设平均每个病毒传染了x人
第一轮后，有x＋1个人被传染（增加了x人，原来有1人，∴x＋1）
第二轮后，有(< br>x＋1)
个人被传染
(
即增加了(x＋1)x人，原来有(x＋1)人，∴(x ＋1)x＋(x＋1)= (
x＋1))

2
∴(
x＋1)
=169
x+1=13（负值舍去）
x=12
答：平均每个病毒传染12人。
68. 如图所示，在平面直角坐标系 中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标
为（0，8），点C的坐标为（ 10，0），OB＝OC．
（1）求点B的坐标；
（2）点P从C点出发，沿线段CO 以5个单位秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂
足为H，设△HBP的面积为S（S≠ 0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直
接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段- 15 -
22
2

EF5
MR分别交直线PH、O B于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，？

EG2

解：(1)注意是OB=OC=10
∴AB=6 ∴点B(6，8)
(2)(由相似三角形得出面积的求法)

S△HBP=
1
·BH·PH
2
由△BNO∽△PHO(有两角……)
NOBN
BO
==(注意NO=BA=6)
HOPH
PO
610
8
即==
10BH
PH
105t
得
10(10－BH)=60－30t
∴BH=4+3t PH=8－4t
1
(4+3t)(8－4t)
2
2
=－16
t
＋4t＋16(0≤t＜2)(不能取2)(5t=10)
∴S△HBP=

69.(典型题)如图1所示，抛物线y＝ x
2
＋bx＋c与x轴交于A、B两点， 与y轴交于点C(0，
2)，连接AC，若tan∠OAC=2.
（1） 求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2） 在抛物线的对称轴L上是否存在点P，使∠APC=90 °，若存在，求出点P的坐标：若
不存在，请说明理由。
（3） 如图2所示，连接BC，M 是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直
线L′∥L，交抛物线于点N，连接CN、B N，设点M的横坐标为t。当t为何值时，
△BCN的面积最大？最大面积为多少？

图1 图2
2
解：(1) tan∠OAC==2 ∴OA=1 二次函数经过C(0，2)，A(1，0)
OA
- 16 -

2


b3

20b0c
2
∴ ∴二次函数解析式：y＝
x
－3x＋2


2


c2

01b1c
(2)(用
相似
或直角三角形知识都可以解！特别是相似)设对称轴L与x轴交于E点，过点C作CD⊥L交L
于D 且令∠CPD＝∠1，∠APE＝=∠2，∠PAE＝∠3（注意∠APC＝90°是已知条件）
b33
＝ ∴点P的坐标为(，PE)
2a22
3
13
∴EA＝－1＝ CD＝
2
22
对称轴：x＝－
∵∠APC＝90° ∴∠1＋∠2＝90° ∴∠1＝∠3
解一（用相似解）：∴△CDP∽△PEA（有两角……）
3
PDCD31
2PE
3
∴＝ 即＝
2
即（2－PE）PE＝ 解得PE＝或PE＝
1
AEPE42
2
PE< br>2
解二(用直角三角形解)由∠1＝∠3得tan∠1=tan∠3
33
PE
2
＝
PE
解得PE＝
3
或PE＝
1
即
2
＝ 即
11< br>2
2
PD2PE
22
333
1
∴点P坐标为(，) 或(，)
222
2
(3)(用折分法)
S
△BCN＝
S< br>△CNM＋
S
△BMN
先求B点坐标：(2，0)（由对称轴看出）
C点坐标：(0，2)
由


02Kb
得直线BC的解析式：y＝－x＋2

20Kb
∴M点坐标(t，－t＋2)
11
·MN·t＋·MN·(2－t) ＝MN
22
2
而MN＝－t＋2－(
t
－3t＋2)
2
＝－
t
＋2t

2
＝－(
t
－1)＋1
S
△BCN＝
∴当t＝1时，
S
△BCN的最大值为1。

70.如图所示，△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分的面积(阴影部分) 是△ABC
的面积的一半，若AB=
2
，则三角形移动的距离AA′是(A)
A
2
－1 B
2
1
C1 D
2
2
- 17 -

解：利用小学学过的“三角形面积之比是对应线段的比的平方”来做
设
A′B=x
(
x
2
1
)＝
∴x=1
2
2
∴A
A′=
2
－1
71.如图所示，要建一个面积为130
m
的小仓库，仓库的一边靠墙且墙长16m ，并在与墙平行的一边开
一道1m宽的门，现有能围成32m墙的木板，求仓库的长(平行于墙的边长) 和宽。
2

解：设宽为x，则长为(32＋1－2x) (注意“32m”为右图红色部分)
(32＋1－2x)x=130 (注意长：32＋1－2x≤16)
即2x
2
－33x＋130=0
解这个一元二次方程得
x
1
=10
x
2
=6.5
由
x
1
=10解得长：32＋1－2×10=13， 由
x
2
=6.5解得长：33-13=20(舍去)
答：仓库的长为13m，宽为10m。
72. 如图。有一块三角形土地，它的底边BC=1 00m，高AH=80m，某单位要沿着BC边修一座底面是矩
形DEFG的大楼，当这座大楼的地基面 积最大时，这个矩形的长和宽各是多少米？

解：(用相似＋二次函数)矩形的长和宽分别为DG=x、DE=y
由相似三角形得
∴AHx=100AM
- 18 -
xADAM
==
100ABAH

5
(80-y)
4
55
2
5
2
5
2
∴矩形面积S=(80 -y)·y =－
y
＋100y=－(
y
－80y)= －(
y
－80y+1600)+2000
4444
5
2
= －(
y
－40
)
＋2000
4
即80x=100(80-y) ∴x=
当y取40时面积S取最大(2000)
∴当矩形的宽等于40m，长为50m时面积最大。
73. 如图，在平行四边形ABCD中 ，AB=2BC，E是BA的中点，DF⊥BC，垂足为F，则
∠AED=∠EFB吗？ 为什么？

证明：（凡是中点都是伸出！凑在一起）
延长DE与CB相交于G，则DE=GE，△AED≌△BEG
EF为直角三角形斜边上的中线，∴EF=EG ∴∠EFB=∠G
又∠G=∠ADG ∠ADG=∠AED（等角对等边）
∴∠AED=∠EFB
74. 如图，在等腰直角△A BC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过
点B作BF
∥
AC交DE的延长线于点F，连接CF
（1）求证：AD⊥CF
（2）连接AF，试判断△ACF的形状。

证明：(1)要证明∠CGA=90°，需证明∠1＋∠2=90°
↑只需证明∠1=∠3（∠2＋∠3=90°）
只需证明△ACD≌△CBF
可计算出∠CBF＋∠ACD=180°得∠CBF=90° 由∠4=45°得∠5=45°
∴FB=DB=DC ∴△ACD≌△CBF（SAS）整理！！
（2）△ACF是等腰三角形
由△ACD≌△CBF得AD=CF
又由AB为线段DF的垂直平分线〔或△ADB≌△AFB（SAS）〕得AD=AF
由上题得AD=CF ∴CF=AF
∴△ACF是等腰三角形
- 19 -

75. 如图，D是△ABC的BC边上的一点，且CD=AB，∠BDA=BAD，AE是△ABD中线。
求证：AC=2AE

证明：（伸出）延长AE使FE=AE，连结FD
显然△BEA≌△DEF AF=2AE ∠EFD=∠EAB
↑需证AC=AF
需证△ADF≌ADC（SAS）
由AD=AD
FD=AB=CD
∠ADC=180°－∠BDA
∠ADF=180°－∠EAD－∠EFD=180°－(∠EAD＋∠EAB)= 180°－∠BAD=180°－∠BDA
整理！！
(难)76.如图1，在RT△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E是直线AC上的两动点，且AD=CE，AM⊥BD，
垂 足为点M。延长AM交BC于点N，直线BD交直线NE于点F。
①试探求∠EDF与∠DEF的大小关系，并说明理由；
②若D、E运动到如图2所示，其它条件不变，∠EDF与∠DEF的大小关系存在吗？试说明理由；
③如图3，当D、E运动到图3所示位置，试探求∠EDF与∠DEF的大小关系，并说明理由。

图1

图2




图3
证明：①(利用AD=CE构造全等三角形，证两次全等)
过点A作AG平分∠BAC与BF交于H，则∠BAG=

45°=∠C
由AB=AC ∠ABH=∠CAN ASA→△ABH≌△CAN→AH=CN
- 20 -

由AH=CN ∠HAD=∠ECN AD=CE SAS→△AHD≌△CNE→∠ADH=∠CEN→∠FDE=∠FED
②③基本同理。
77.如图，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断△
ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由。（可用全等、直角三角形、轴对称等知识，但不能用相 似）

解：由三角形面积：
1
×底×高
2
过点C作CM⊥AB交AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N
↑只需证CM=GN
需证△CMA≌△GNA
由CA=GA ∠AMC=∠ANG=90°
由∠MAC+∠MAE+∠EAG+∠GAC=180°
90° 90°
又∠NAG+∠EAG=180° ∴（AAS）
7 8.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE
①求证：△DEF是等腰三角形
②当∠A=40°，求∠DEF的度数；
③△DEF有没可能是等腰直角三角形？请说明理由。

① 用SAS证明很容易；
② ③很容易 ，设∠BDE=∠FEC=x，∠BED=∠EFC=y
有∠B++x+y=180°
∠DEF+y+x=180°
∴∠DEF=∠B (③没可能)
- 21 -