河北工业大学就业-育儿心得

中考数学模拟试题及答案解析(2)
第I卷（选择题）

评卷人

得分

一、单选题
1．﹣2的绝对值是（ ）
A. 2 B. ﹣2 C.
11
D.


22
2
22
2．下列运算正确的是（ ）
A.
aaa
B.

ab

ab
C.
a
336

3

2
a
6
D.
a
12
a
2
a
6

3．如图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ）

A. 圆锥 B. 长方体 C. 圆柱 D. 三棱柱
4．一组数据2，3，5，4，4的中位数和平均数分别是（ ）
A. 4和3.5 B. 4和3.6 C. 5和3.5 D. 5和3.6
5．某同学用剪刀沿直线将一 片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长
比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一 现象的数学知识是（ ）

A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短 D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
6．如 图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，
分别交OA、 OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）

第 1 页

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A. 以点F为圆心，OE长为半径画弧
B. 以点F为圆心，EF长为半径画弧
C. 以点E为圆心，OE长为半径画弧
D. 以点E为圆心，EF长为半径画弧
7．小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20只铅笔和1 0本笔记本共需110元，
但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支铅笔x元，每本笔记本y 元，则可列方程
组（ ）
A.
{
20x30y11020x10y110

B.
{

10x5y8530x5y85
5x20y110

D.
{

30x10y8510x30y85
20x5y110
C.
{
8．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍
药 的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（ ）

A. 84株 B. 88株 C. 92株 D. 121株
9．对于二次函数
yx
2
2mx3
，下列结论错误的是（ ）
A. 它的图象与x轴有两个交点
2
B. 方程
x2mx3
的两根之积为﹣3
C. 它的图象的对称轴在y轴的右侧
D. x＜m时，y随x的增大而减小
10．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为C D边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，
点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作 ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交
于点N，现有下列结论：
①AM=AD+MC； ②AM=DE+BM；③DE
2
=AD•CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个


第II卷（非选择题）
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评卷人

得分

二、填空题
11．根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为______．
12．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是______事件（ 从“必然”、“随机”、“不
可能”中选一个）．
13．如图，已知AB是⊙O的弦，半径O C垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于
弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC= 70°，则∠ADC=______度．

14．（2017湖北省随州市）在△ABC在， AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在
边AC上，当AE=______时，以A 、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
15．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是 OA上的一动点，点N（3，0）是OB
上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM +PN最小，则点P的坐标为______．

16．在一条笔直的公路上有A、B、C三地 ，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公
路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地 ，在甲车出发至甲车到达C地的过
程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h ）之间的函数关系如图所
示．下列结论：①甲车出发2h时，两车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相 距170km；③
乙车出发
2
5
h时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相 距40km．其中正确的是______
7
（填写所有正确结论的序号）．


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评卷人

得分

2
三、解答题
0

1

17．计算：



2017




3


3

2
2
．
18．解分式方程：
3x
1
.
x
2
xx1
k3
的图象于点B，AB=．
x2
19．如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过
点A作y 轴的平行线交反比例函数
y
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若P（
x
1
，
y
1
）、Q（
x
2
，
y
2
）是 该反比例函数图象上的两点，且
x
1
x
2
时，
y
1
y
2
，
指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由．

20．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如
图 1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA
方向水平前 进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶
片的顶端D（D、C、H 在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶
片连接处的长度忽略不计），山高 BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考
数据：tan55°≈1.4，ta n35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）

21．某校为组织代 表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，
分成5个小组（x表示成绩， 单位：分），A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D
组：90≤x ＜95；E组：95≤x＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图．
第 4 页

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请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有 名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？
（ 3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D
组中的两名男生 和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，
求恰好选中一名男生和一名 女生的概率．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A 的⊙O与BC相切
于点D，交AB于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

23．某水果店在两 周内，将标价为10元斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元
斤，并且两次降价的百分率相同 ．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为 整数）的售价、销量及储存和损耗费用的
相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元斤，设销售 该水果第x（天）的利润为y
（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销 售利润最大？

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少 127.5元，则第
15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
24．如图，分别是可 活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长
相等．
（1）在一次数 学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图
1所示的图形，AF经过点C ，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
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思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…

请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；
AM
的值；
NE
AFAM
（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于
2
的常数 ），直接用含k的代数式表示
ABMF
（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135 °时，延长AD、EF交于点N，求
的值．

25．在平面直角坐标系中，我们定义 直线y=ax﹣a为抛物线
yax
2
bxc
（a、b、c为常
数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其
“梦想三角 形”．

已知抛物线
y
23
2
43
xx 23
与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的
33
左侧），与x轴负半轴交于 点C．

（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐
标为 ；

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△AC M以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对
称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，< br>使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；
若 不存在，请说明理由．
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参考答案
1．A
【解析】解：﹣2的绝对值是2，即|﹣2|=2．故选A．
2．C
【解析】解：A．原式=2a
3
，不符合题意；
B．原式=a
2
﹣2ab+b
2
，不符合题意；
C．原式=a
6
，符合题意；
D．原式=a
10
，不符合题意．
故选C．
3．C
【解析】解：这个几何体是圆柱体．故选C．
点睛：本题考查由三视图想象立体图形．做这类 题时要借助三种视图表示物体的特点，从主
视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左 右和前后形状；从左视图上弄
清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草 图后，再检验是
否符合题意．
4．B
【解析】解：把这组数据按从大到小的顺序排 列是：2，3，4，4，5，故这组数据的中位数
是：4．
平均数=（2+3+4+4+5）÷5=3.6．故选B．
5．A
【解析】∵用剪 刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周
长要小，
∴线段AB的长小于点A绕点C、点D到B的长度，
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选A．

6．D
【解析】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为 半径画弧
①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径
画弧．故选D．
7．B
【解析】解：设每支铅笔x元，每本笔记本y元，根据题意得：
{
20x10y110

．故选
30x5y85
B．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，
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要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
8．B
【解析】解：由图可得，芍药的数量为：4+（2n﹣1）×4，∴当n=11时，芍药的数量为：4+（2×11﹣1）×4=4+（22﹣1）×4=4+21×4=4+84=88，故选B．
点睛：本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变
化规律．
9．C
22
【解析】A、∵b﹣4ac=（2m）+12=4m2+12＞0，∴二 次函数的图象与x轴有两个交点，故
A选项正确，不合题意；B、方程x﹣2mx=3的两根之积为：
2
c
=﹣3，故B选项正确，不
a
合题意；C、m的值不能确定， 故它的图象的对称轴位置无法确定，故C选项错误，符合题
意；
D、∵a=1＞0，对称轴x=m，∴x＜m时，y随x的增大而减小，故D选项正确，不合题意；
故选C．
10．B
【解析】解：∵E为CD边的中点，∴DE=CE，又
∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD=CF，AE=FE，又∵ME⊥AF，∴ME垂直平分AF，∴AM=MF=MC+CF，∴AM=MC+AD，故①正确； 当AB=BC时，即四边形ABCD为正方形时，设DE=EC=1，BM=a，则AB=2，BF=4，A M=FM=4﹣a，
在Rt△ABM中，2
2
+a
2
=（4﹣a）< br>2
，解得a=1.5，即BM=1.5，∴由勾股定理可得
AM=2.5，∴DE+BM =2.5=AM，又∵AB＜BC，∴AM=DE+BM不成立，故②错误；
∵ME⊥FF，EC⊥M F，∴EC
2
=CM×CF，又∵EC=DE，AD=CF，∴DE
2
=AD •CM，故③正确；
∵∠ABM=90°，∴AM是△ABM的外接圆的直径，∵BM＜AD，∴当BM∥AD时，
MNBM

ANAD
＜1，∴N不是AM的中点，∴点N不是△ABM的外心，故④ 错误．
综上所述，正确的结论有2个，故选B．
点睛：本题主要考查了相似三角形的判定与 性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以
及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三 角形的对应边相等以及相似三角形
的对应边成比例，解题时注意：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂 直平分线的交点，叫
做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点的距离相等．
11．1.17×10
7
．
【解析】解：11700000=1.17×1 0
7
．故答案为：1.17×10
7
．
12．随机．
【解析】解：“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 随机事件，故答案为：随机．
13．35．
【解析】解：如图，连接OA．∵OC⊥AB，∴
ACBC
，∴∠AOC=∠COB=70°，∴∠ADC=
1
∠AOC=35°，故答案为：35．
2
第 8 页

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点睛： 本题考查圆周角定理、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化
的思想思考问题．
125
或．
53
AEAB

【解析】
当时，

ADAC
14．
∵∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC，

AB·AD6212

；

AC55
ADAB

当时，

AEAC
此时AE=
∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ABC，

AC·AD525

；

AB63
125
或
. 故答案是：
53
此时AE=
15．（
3
3
， ）．
2
2
【解析】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵< br>OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形， ∵点M是
ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM =1.5，∴
PM=
33
333
，∴P（， ）．故答案为：（， ）．
22
222
第 9 页

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点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键
是确 定P的位置．
16．②③④．
【解析】解：①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象 相交，∵C地位于A、B两地之
间，∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误 ；
②甲车的速度为240÷4=60（kmh），乙车的速度为
200÷（3.5﹣1）=8 0（kmh），∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）=1.5（h），∴乙车出
发1 .5h时，两车相距170km，结论②正确；
③∵（240+200﹣60）÷（60+80）=< br>2
（h），∴乙车出发
2
5
7
5
h时，两车相遇，结 论③正确；
7
④∵80×（4﹣3.5）=40（km），∴甲车到达C地时，两车相距40 km，结论④正确．
综上所述，正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
点睛：本题考查了一次函数的应用，根据函数图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
17．9．
【解析】试题分析：原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及 绝对值的
代数意义化简，即可得到结果．
试题解析：解：原式=9﹣1+3﹣2=9．
点睛：此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
18．x=3
【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检
验即可得到分式方程的解．
试题解析：解：去分母得：3+x
2
﹣x=x
2
，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（1）
y
3
；（2）P在第二象限，Q在第三象限．
x
【解析】试题分析：（1）求出点B坐标即可解决问题；
（2）结论：P在第二象限，Q在第三象限．利用反比例函数的性质即可解决问题；
试题解析：解：（1）由题意B（﹣2，
∴反比例函数的解析式为
y
33k
），把B（﹣2， ）代入
y
中，得到k=﹣3，
22x
3
．
x
（ 2）结论：P在第二象限，Q在第三象限．理由：∵k=﹣3＜0，∴反比例函数y在每个象
限y随x的 增大而增大，∵P（x
1
，y
1
）、Q（x
2
，y
2
）是该反比例函数图象上的两点，且x
1
＜x
2
时，y
1
＞y
2
，∴P、Q在不同的象限，∴P在第二象限，Q在第三象限．
第 10 页

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点睛：此题考查待定系数法、反比例函数 的性质、坐标与图形的变化等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．63米．
【解析】试题分析：作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=10，设A H=x，则BE=GH=43+x，由
CH=AHtan∠CAH=tan55°•x知CE=CH﹣E H=tan55°•x﹣10，根据BE=DE可得关于x的方程，解
之可得．
试题解析：解 ：如图，作BE⊥DH于点E，则GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=GA+AH=4 3+x，
在Rt△ACH中，
CH=AHtan∠CAH=tan55°•x，∴CE=CH﹣ EH=tan55°•x﹣10，∵∠DBE=45°，∴BE=DE=CE+DC，
即43+x=ta n55°•x﹣10+35，解得：x≈45，∴CH=tan55°•x=1.4×45=63．
答：塔杆CH的高为63米．

点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要 求学生能借助仰角构造直角三角形并解
直角三角形．
21．（1）40；（2）108°，15%；（3）
2
．
3
【解 析】试题分析：（1）用A组人数除以A组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用
总人数乘以B组所 占百分比得到B组人数，从而补全频数分布直方图；
（2）用360度乘以C组所占百分比得到C组对 应的圆心角度数，用E组人数除以总人数得
到E组人数占参赛选手的百分比；
（3）首先根据 题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和
一女生的情况，再利用概率公 式即可求得答案．
试题解析：解：（1）参加初赛的选手共有：8÷20%=40（人），B组有：4 0×25%=10（人）．
频数分布直方图补充如下：

故答案为：40；
（2）C组对应的圆心角度数是：360°×
×100%=15%；
（3）画树状图得：
126
=108°，E组人数占参赛选手的百分比是：
4040
第 11 页

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∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，∴抽取的两
人恰好是一 男生和一女生的概率为
22．（1）证明见解析；（2）
1
82
=．
123

．
4
【解析】试题分析：（1）连接DE，OD．利用弦 切角定理，直径所对的圆周角是直角，等
角的余角相等证明∠DAO=∠CAD，进而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAC=45°，由BC相切⊙O于点D，得到∠ODB=90° ，
求得OD=BD，∠BOD=45°，设BD=x，则OD=OA=x，OB=
2
x ，根据勾股定理得到BD=OD=
2
，
于是得到结论．
试题解析：解：（1）证明：连接DE，OD．
∵BC相切⊙O于点D，∴∠CDA=∠AE D，∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACD=90°，∴∠DAO=∠CAD ，∴AD平分∠BAC；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC =45°，∵BC相切⊙O于点D，∴∠ODB=90°，
∴OD=BD，∴∠BOD=45°，设BD =x，则OD=OA=x，OB=
2
x，∴BC=AC=x+1，∵AC
2
+ BC
2
=AB
2
，
∴2（x+1）
2
=（
2
x+x）
2
，∴x=
2
，∴BD=OD=
2
，∴ 图中阴影部分的面积=S
△
BOD
﹣S
扇形
1
22< br>DOE
=
2
45



2
2360
=
1

．
4

点睛：本题主要考查 了切线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算和勾股定理．熟练掌
握切线的性质是解题的关键． < br>23．（1）10%；（2）
y{
17.7x352(1x9)
（3 ）0.5．

，第10天时销售利润最大；
3x
2
60x8 0(9x15)
【解析】试题分析：（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种 原因连续
两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；
（2）根据两个取值先计算： 当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价﹣进价）×
销量﹣费用列函数关系式，并根 据增减性求最大值，作对比；
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（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，根据第15天的利润比（2）中最大
利润 最多少127.5元，列不等式可得结论．
试题解析：解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x， 10（1﹣x）
2
=8.1，x=10%或x=190%
（舍去）．
答：该种水果每次降价的百分率是10%；
（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：< br>10×（1﹣10%）=9，∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+3 52，∵﹣17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，∴当x=1时，y有最大值，y
大
=﹣17.7×1+352=334.3（元）；
当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元 ，
∴y=（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x
2
﹣64x+400）=﹣3x
2
+60x+80=﹣3（x﹣10）
2
+380，∵﹣
3＜0，∴ 当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当
x=10时 ，y有最大值，y
大
=380（元）．
17.7x352(1x9)
综上所述，y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式为：
y{
，
3x2
60x80(9x15)
第10天时销售利润最大；
（3）设第15 天在第14天的价格基础上最多可降a元，由题意得：
380﹣127.5≤（4﹣a）（120﹣15 ）﹣（3×15
2
﹣64×15+400），252．5≤105（4﹣a）﹣115，
a≤0.5．
答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．
点睛：本题考查 了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题
目中的等量关系且利用其列出 方程，注意第2问中x的取值，两个取值中的最大值才是最大
利润．
24．（1）证明见解析；（2）
k2
2
；（3）．
2
k2
【解析】试题分析：（1）证法一，利用菱形性质得AB=CD，AB∥CD，利用平行四边形的 性
质得AB=EF，AB∥EF，则CD=EF，CD∥EF，再根据平行线的性质得∠CDM=∠FE M，则可根
据“AAS”判断△CDM≌△FEM，所以DM=EM；
证法二，利用菱形性质 得DH=BH，利用平行四边形的性质得AF∥BE，再根据平行线分线段
成比例定理得到
DH DM

=1，所以DM=EM；
BHEM
（2）由△CDM≌△FEM得到 CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明四边形
ABCD为正方形得 到AC=
2
a，接着证明△ANF为等腰直角三角形得到NF=a+
2
b，则
NE=NF+EF=2a+
2
b，然后计算
AM
的值；
NE
（3）由于
2
AFbaAM
2a2b2ab
= =
22
=k，则 =，然后表示出 =
ABab
k2
MFaa
=
2
2
aa
1
，再把 =代入计算即可． < br>bb
k2
试题解析：解：（1）如图1，证法一：∵四边形ABCD为菱形，∴AB= CD，AB∥CD，∵四边
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形ABEF为平行四边形，∴AB=EF，AB∥EF，∴CD=EF，CD∥EF，∴∠CDM=∠FEM，在 △CDM
和△FEM中，∵∠CMD=∠FME，∠CDM=∠FEM，CD=EF，∴△CDM≌△F EM，∴DM=EM，
即点M是DE的中点；
证法二：∵四边形ABCD为菱形，∴DH=B H，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AF∥BE，∵
HM∥BE，∴
DHDM

=1，∴DM=EM，即点M是DE的中点；
BHEM
（2）∵△CDM≌△FEM，∴CM=FM，设AD=a，CM=b，∵∠ABE=135°，∴∠BAF=4 5°，∵四
边形ABCD为菱形，∴∠NAF=45°，∴四边形ABCD为正方形，∴AC=
2
AD=
2
a，∵AB∥
EF，∴∠AFN=∠BAF=45°，∴△ANF 为等腰直角三角形，∴NF=
22
AF=（
2
a+b+b）=a+
2 2
2
b，∴NE=NF+EF=a+
2
b+a=2a+
2
b ，∴
AM
2
2ab2ab
= =；

NE
2
2a2b
22ab

（3）∵
2
AFbb1aAM
2a2b
k2
，∴ == =
22
=k，∴=，∴ =ABaa2b
k2
MF
a

2
a
k2< br>2ab
1
==
21
=
2
．
b
a
k2
k2
点睛：本题考查了相似形的综合题：熟练掌握平行线分线段成 比例定理、平行四边形和菱形
的性质；灵活利用全等三角形的知识解决线段相等的问题；会利用代数法表 示线段之间的关
系．
25．（1）
y
2323
；（﹣2，
23
）；（1，0）；（2）N点坐标为（0，
23
﹣3）
x< br>33
或（
3
33432343
， ）；（3）E（﹣1，﹣）、F（0， ）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，
2
2333
103
）．
3
【解析】试题分析：（1）由梦 想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式
可求得A、B的坐标；
（2）当 N点在y轴上时，过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求
得ON的长，可 求得N点坐标；当M点在y轴上即M点在原点时，过N作NP⊥x轴于点P，
由条件可求得∠NMP=6 0°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的长，则可求得N点坐标；
（3）当AC为平行四边形的 一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可
证△EFH≌△ACK，可求得DF的 长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE
的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的 对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可
表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线 AB的解析式可求得t的值，可求得E、F
的坐标．
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（1）∵抛物线
y
23
2
43232 3
∴其梦想直线的解析式为
y
，
xx23
，
x< br>3333
2323
x
x2
33

，联立梦想直线与抛物线解析式可得：
{
解得：
{
y23< br>23
2
43
yxx23
33
y
或
{
x1
y0
∴A（﹣2，
23
），B（1，0），故答案为：
y

，
2323
；（﹣2，
23
）；
x
33
（1，0）；
（2）当点N在y轴上时 ，△AMN为梦想三角形，如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，
在
y
23
2
43
，且A（﹣
xx23
中，令y=0可求得x=﹣3或 x=1，∴C（﹣3，0）
33
2，
23
），∴AC=

23

2
23

2
=
13
，由 翻折的性质可知AN=AC=
13
，在Rt△AND
中，由勾股定理可得DN=
AN
2
AD
2
=
134
=3，∵OD=
23
，∴ON=
23
﹣3或
ON=
23
+3，当ON=23
+3时，则MN＞OD＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意，∴N点坐
标为（0，
23
﹣3）；
当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2 ，在Rt△AMD中，AD=2，
OD=
23
，∴tan∠DAM=
MD=
3
，∴∠DAM=60°，∵AD∥x轴，∴∠AMC=∠DAO=60°，
A D
13
3
MN=，NP=
22
2
又由折叠可知∠NMA=∠ AMC=60°，∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，∴MP=
MN=
3
333 3
，∴此时N点坐标为（， ）；
2
22
3
33
， ）；
2
2
综上可知N点坐标为（0，
23
﹣3）或（
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（3）①当AC为平行四边形的边时 ，如图3，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于
点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠A CK=∠EFH，在△ACK和△EFH中，∵∠ACK=∠EFH，∠AKC=
∠EHF，AC=EF ，∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=
23
，∵抛物线对称轴 为x=
﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，
232343
），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH﹣OF=
23< br>﹣=，即E
333
点纵坐标为﹣
4343
，∴E（﹣1，﹣）；
33
当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，
23
），∴线段AC的中点
坐标为（﹣2.5， ，设E（﹣1，t），F（x，y） ，则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=
23
，∴x=
3
）
﹣4， y=
23
﹣t，代入直线AB解析式可得
23
﹣t=﹣
232343
×（﹣4）+，解得t=﹣，
333
∴E（﹣1，﹣
43103
）， F（﹣4， ）；
33
432343
）、F（0， ）或E（﹣1，﹣）、
333
综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣
F（﹣4，
103
）．
3
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉 及函数图象的交点、勾股定理、轴对称的性质、平行
四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在 （1）中理解题目中梦想直线的定义是
解题的关键，在（2）中确定出N点的位置，求得ON的长是解题 的关键，在（3）中确定出
E、F的位置是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性 较强，难度较
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大．
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