中行面试-过年吉祥话

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1
理科数学
第Ⅰ卷 < br>一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符 合题目要求的一项.
1.已知集合
A{x|x
2
2x3…0}
，
B{x|2„x2}
，则
AB
（ ）.

A
.

2,1


B
.

1,2


C
.

1,1


D
.

1,2



(1i)
3
2.

（ ）.
(1i)
2
A
.
1i

B
.
1i

C
.
1i

D
.
1i


3.设函数
f(x)
，
g(x)
的定义域都为
R
，且
f(x)
是奇函数，
g(x)
是偶函数，则下列结论
正确的是（ ）.
A
.
f(x)g(x)
是偶函数
B
.
f(x)g(x)
是奇函数
C
.
g(x)f(x)
是奇函数
D
.
f(x)g(x)
是奇函数

4.已知
F< br>是双曲线
C
：
xmy3m(m0)
的一个焦点，则点
F
到
C
的一条渐近线的距
离为（ ）.
22
A
.
3

B
.
3

C
.
3m

D
.
3m


5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公
益 活动的概率（ ）.
1357
A
.
B
.
C
.
D
.
8888


6如 图，圆
O
的半径为1，
A
是圆上的定点，
P
是圆上的动点， 角
x
的始边为射
线
OA
，终边为射线
OP
，过点< br>P
作直线
OA
的垂线，垂足为
M
，将点
M
到 直线
OP
的距
离表示为
x
的函数
f(x)
，则yf(x)
在

0,π

上的图像大致为（ ）.

7.执行下图的程序框图 ，若输入的
a,b,k
分别为1,2,3，则输出的
M
（ ）.

A
.

2071615

B
.
C
.
D
.
3258
8.设

(0,

1sin

< br>)
，

(0,)
，且
tan


，则（ ）.
22
cos

A
.
3






2

B
.
3





2

C
.
2





2

D
.
2





2


xy1
9.不等式组

的解集记为
D
.有下 面四个命题：

x2y4
p
1
：
(x,y)D, x2y2
，
p
2
：
(x,y)D,x2y2
,
P
3
：
(x,y)D,x2y3
，
p
4
：
(x,y)D,x2y1
.
其中真命题是（ ）.
C
.
p
1
，
p
4

D
.
p
1
，
P
A
.
p
2
，
P
3

B
.
p
1
，
p
2

3

10.已知抛物线
C
：
y8x
的焦点为F
，准线为
l
，
P
是
l
上一点，
Q< br>是直线
PF
与
C
的一
个焦点，若
FP4FQ
，则
|QF|
（ ）.
2
75
A
.
B
.
3

C
.
D
.
2

22

11.已知函数
f(x) ax3x1
，若
f(x)
存在唯一的零点
x
0
，且< br>x
0
0
，则
a
的取值范
32

围为（ ）.
A
.

2,


B
.

1,


C
.

,2


D
.

,1



12.如图，网 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的
个条棱中，最长的棱的长 度为（ ）.
A
.
62

B
.
6

C
.
42

D
.
4






第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必
须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.
(xy)(xy)
8
的展开式中
xy
的系数为 .（用数字填写答案）
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过
A
，
B< br>，
C
三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过
B
城市；
乙说：我没去过
C
城市；
丙说：我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为 .

15.已知
A
，
B
，
C
是圆
O
上的三点，若
AO
为 .

16.已知
a,b,c
分别为
ABC
的三个内角< br>A,B,C
的对边，
a2
，且
27
1
(ABAC )
，则
AB
与
AC
的夹角
2
(2b)(sinA sinB)(cb)sinC
，则
ABC
面积的最大值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，
a
1
1
，
a
n
0
，
a
n
a
n1

S
n
1
，其中

为常数.
（Ⅰ）证明：
a
n2
a
n


； < br>（Ⅱ）是否存在

，使得

a
n

为等差数 列？并说明理由.

18.（本小题满分12分）

从某企业生产的 某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果
得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数
x
和样本方差
s
（同一组数据用该区间
的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种 产品的质量指标值
Z
服从正态分布
N(

,

2< br>)
，
其中

近似为样本平均数
x
，

近似为样本方差
s
.
（i）利用该正态分布，求
P(187.8Z212.2)
；
（ii） 某用户从该企业购买了100件这种产品，记
X
表示这100件产品中质量指标
值为于 区间

187.8,212.2

的产品件数，利用（i）的结果，求
EX
.
附：
15012.2
，若
Z
～
N(< br>
,

2
)
，则
P(



Z



)0.6826
，
2
2
2
P(

2

Z

2

)0.9544
.
19.（本小题满分12分）
如图三棱锥
A BCA
1
B
1
C
1
中，侧面
BB
1C
1
C
为菱形，
ABB
1
C
.
（Ⅰ）证明：
ACAB
1
；
（Ⅱ）若
ACAB
1
，
CBB
1
60
o
，
ABBC
，求二面角
AA
1
B
1
C
1
的余弦值.

20.（本小题满分12分）
x
2
y
2
3
已知点
A

0,2

，椭圆
E
：
2

2
1(ab0)
的离心率为，
F
是椭圆的右焦
ab
2
点，直线
AF
的斜率为
（Ⅰ ）求
E
的方程；
（Ⅱ）设过点
A
的动直线
l
与< br>E
相交于
P,Q
两点，当
OPQ
的面积最大时，求
l
的方程.

21.（本小题满分12分）
23
，
O
为坐标原点.
3
be
x1
设 函数
f(x)aelnx
，曲线
yf(x)
在点

1 ,f(1)

处的切线方程为
x
x
ye(x1)2
.
（Ⅰ）求
a,b
；
（Ⅱ）证明：
f(x)1
.


请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如
果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框
涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD
是
O
的内接四边形，
AB
的延长线与
DC的延长线交于点
E
，
且
CBCE

(Ⅰ）证明：
DE
；
（Ⅱ）设
AD
不是
O
的直径，
AD
的中点为
M
，且
MBMC
，证明：
ADE
为等
边三角形.








23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

< br>
x2t
x
2
y
2
1
，直线
l
：

已知曲线
C
：（
t
为参数）.
49

y22t
（Ⅰ）写出曲线
C
的参数方程，直线
l
的普通方程；
（Ⅱ）过曲线
C
上任一点
P
作与
l
夹角为
30
o
的直线，交
l
于点
A
，求< br>|PA|
的最大值与
最小值.

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
若
a0,b0
，且
11
ab
.
ab
（Ⅰ）求
a
3
b
3
的最小值；
（Ⅱ）是否存在
a,b
，使得
2a3b6
？并说明理由.

参考答案
一、选择题
ADCAD CDCBB CB
二、填空题
13.
20
14.
A
15.
三、解答题
π
16.
2
3

a
n
a
n1


S
n
1
17.（1）证明：由题意得


aa

S1
n1< br>
n1n2
所以
a
n1
a
n2
a
n
a
n1


a
n1

又因为
a
n
0

所以
a
n1
0

所以
a
n2
a
n



（2 ）解：假设存在

，使得

a
n

为等差数列.

a
1
a
2


a
1
 1
由（1）知


aa


31
因为
a
1
1


a
2


1
所以


a

1

3
因为
a
1
a
3
2a
2

所以

22


1


所以

4

故
a
n2
a
n
4,

所以

a
2n1

是首项为1，公差为4的等差数列，
a
2n 1
4n3;


a
2n

是首项为3，公差 为4的等差数列，
a
2n
4n1.

所以
a
n
2n1,a
n1
a
n
2.
因此存在

4
，使得

a
n

为等 差数列.

18.解：
（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数
x1700.021800.091900.222000.33

2100.242200.082300.02

200
< br>s
2


30

0.02

20

0.09

10

0.22
< br>222
00.3310
2
0.2420
2
0.0 830
2
0.02

150

(2）（1）由（1）知，
Z~

200,150

，从而
P

187.8Z212.2

P

200 12.2Z20012.2

0.6826

（2）由（1）知， 一件产品的质量指标值位于区间

187.8,212.2

的概率为
0.6826

依题意知
X~B

100,0.6826

，所以
EX1000.682668.26


19.解：
O
，连结
AO
.因为侧面
BB
1
C
1C
为菱形，所以
B
1
CBC
1
，且
O
（1）连结
BC
1
，交
BC
1
于
为
BC
1
与
BC
1
的中点.
又
B
1
OCO
，故
ACAB
1

AOCO
（2）因为
ACAB
1
且
O
为BC
1
的中点，所以
又因为
ABBC
，所以
BOA BOC

故
OAOB
，从而
OA
，
OB
，
OB
1
两两互相垂直.
以
O
为坐标原点，
OB
的方向为
x
轴正方向，
OB
为单位长，建立如图所示空间直角坐标< br>系
Oxyz
.
因为
CBB
1
60
， 所以
CBB
1
为等边三角形.又
ABBC
，则

< br>

3

3

3

，，， B0,,0C0,,0

A

0,0,
B1,0,0

1




3
3

3




33

3

AB
1



0,
3
,
3< br>

，
A
1
B
1
AB


1,0,
3


，



3


B
1
C
1
BC

1,,0


3

设
n

x,y,z

是平面
AA

1
B
1
的法向量，

33
yz0

< br>
nAB
1
0

33
即

< br>


nA
1
B
1
0

x
3
z0

3

所以可取
n1,3,3< br>



mB
1
C
1
0设
m
是平面
A
1
B
1
C
1
的 法向量，则




mA
1
B
1
0
同理可取
m1,3,3

则
cosn,m

nm
nm

1

7
1
.
7
所以二面角
AA
1
B
1
C
1
的余弦值为

20.解：
（1）设
F

c,0

，由条件知，

2
c
c323
222
，得
c3
又

，所以
a2，
bac
1

a2
3
x
2
y
2
1
. 故
E
的方程为
4
（2）依题意设直线
l
：
ykx2

x
2
y
2
1
得 将
ykx2
代入
4

14k

x
22
16kx120

8k24k
2
3
3
当
16< br>
4k3

0
，即
k
时，
x
1,2


2
4
4k1
2
2
4k
2
14k
2
3
从而
PQk1x
1
x< br>2


2
4k1
2
又点
O
到直线
PQ
的距离
d
2
k1
2
，所以
OPQ
的面积
S
OPQ
144k
2
3

d PQ
2
24k1
OPQ
2
设
4k3t
， 则
t0
，
S
4t4


2
4
t4
t
t
因为
t
4
7
4
，当且仅 当
t2
，即
k
时等号成立，且满足
0

t
2
所以当
OPQ
的面积最大时，
l
的方程为
y

7
x2
.
2
a
x
b
x1
b
x1
e
2
ee
,
xxx
x
21.解：（1）函数
f

x

的定义域为
0,

，
f


x

aelnx
由题意可得
f

1

2
,
f


1

e

故
a1,b2.

x
（2）由（1）知，
f

x

elnx
2
x1
2
e
从而f

x

1
等价于
xlnxxe
x
.
xe
设函数
g

x

xln x
，则
g


x

1lnx
. 所以当
x

0,

时，
g

x

0
;当
x

,

时,
g


x

0
.


1

e


1

e


故
g

x

在

0,

单调递 减，在

,

单调递增，从而
g

x

在

0,

的最小值为


1< br>
e


1

e


1< br>
1

g


.
e

e


x
设函数
h

x

xe
2
x
，则
h


x

e

1x

.
e
所以当
x
< br>0,1

时，
h


x

0;当
x

1,

时，
h

< br>x

0
.故
h

x

在

0,1

单调递增，在

1,

单调递减， 从而
h

x

在

0,

的 最大值为
h

1


e
.
综上，当< br>x0
时，
g

x

h

x
,即
f

x

1
.

22.
（
1
）由题设得，
A,B,C,D
四点共面，所以
 DCBE

由已知得，
CBEE
,
所以
DE

（
2
）设
BC中点为N
，连接
MN
,
则由
MBMC
,
知
MNBC< br>
所以
O
在
MN
上，又
AD
不是
O
的直径，
M
为
AD
中点，故
OMAD

即
MNAD
所以
AD

BC
,
故
A CBE
.
又
CBEE
，故
AE
由（
1
）知
DE

所以
△ADE
为等边三角形。

1

x2cos

(

为参数)
23 .
（
1
）曲线
C
的参数方程为

y3sin

直线
l
的普通方程为
2xy60

（
2
）在曲线
C
上任意取一点
P(2cos

,3 sin

)
到
l
的距离为
d
5
4cos

3sin

6

5
则
PA
4
d25

tan



其中为锐角。且
5sin(



)6
0
3
sin305< br>当
sin(



)
1
时，
P A取得最大值
225

5
当
sin(



)
1
PA取得最小值

24.
（
1
）由
ab
25

5
112

得
ab2
，当且仅当
ab2
时等号成立。

ab
ab
故
a
3
b
3
2a
3
b
3
43
且当且仅当
ab2
时等号成立。

由于436，从而不存在
a,b使得2a3b6
。