海棠花语-有效教学心得体会

数学“存在性”问题的解题策略

存在性问题是指判断满足某种条 件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较
广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活 ，对学生分析问题和解决问题的能力要
求较高，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思 路是：假设存在→推理论
证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做 出不存在的
判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在 假设存在性以后进行
的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确 、完整
地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
【典型例题】
例1.
若关于x的一元二次方程x
2
3(m1)xm
2
9 m200有两个实数根，

3
又已知a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠ C的对边，∠C90°，且cosB，

5
ba3，是否存在整数m，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt

△ABC的斜边c的平方？若存在，求出满足条件的m的值，若不存在，请说明

理由。
分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m，满足的条 件有m
是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC斜边c的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先抓住Rt△ABC的斜边为c这个突破口，利用题设条件，运用勾股
定理并 不难解决。
解：
在Rt△ABC中，∠C90°，∵cosB
∴设a=3k，c=5k，则由勾股定理有b=4k，
∴4k3k3，∴k3

∵ba3，

∴a9，b12，c15


设一元二次方程x3(m1)xm9m200的两个实数根为x
1
，x< br>2


则有：x
1
x
2
3(m 1)，x
1
x
2
m9m20

22

∴x
1
x
2
(x
1
x
2
)
2
2x
1
x
2
[3(m1)]
2
 2(m
2
9m20)

2
22
3

5

7m36m31


由x
1
x
2
c，c15


有7m36m31225，即7m36m2560


∴ m
1
4，m
2

22
222
2
64< br>
7
- 1 -

∵m
64
不是整数，应舍去，

7

当m4时，0

∴存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边c的平方。
k
例2.
如图：已知在同一坐标系中，直线ykx2与y轴交于点P，抛物

2
线yx
2
2(k1)x4k与x轴交于A(x
1
，，0)B (x
2
，两点，0)C是抛物线的顶点


（1）求二次函数的最小值（用含k的代数式表示）
（2）若点A在点B的左侧，且x
1
²x
2
<0
①当k取何值时，直线通过点B；
②是否存在实数k，使S
△
ABP
=S
△
ABC
？如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，
请说明理由 。
分析：本题存在探究性体现在第（2）问的后半部分。认真观察图形，要使S
△< br>ABP
=S
△
ABC
，由于AB=AB，因此，只需两个三角形同底上 的高相等就可以。OP显然是△ABP的
高线，而△ABC的高线，需由C作AB的垂线段，在两个高的 长中含有字母k，就不难找
到满足条件的k值。
解：
(1)∵a10， ∴y
最小值
2
4³4k4(k1)
2
(k1)
2

4

(2)由yx2(k1)x4k，得：y(x2)(x2k)


①当y0时，x
1
2，x
2
2k

∵点A在点B左侧，

∴x
1
x
2
，又∵x1
x
2
0，∴x
1
0，x
2
0

∴A（2k，0），B（2，0），

将B(2，0)代入直线ykx2

得：2k2

∴当k
k

2
k4
0，∴k

23
4
时，直线过B点

3
- 2 -

（2）过点C作CD⊥AB于点D

则CD|(k1)
2
|(k1)
2


∵直线ykx2

∴OP2
kk
交y轴于P(0，2)，

22
k

2
11
AB²OPAB²CD

22

若S
△ABP
S
△ABC
，则
∴OP=CD
k
(k1)
2

2
1

解得：k
1
，k
2
2

2

∴2

由图象知，k0，∴取k

∴当k
1

2
1
时，S
△ABP
S
△ABC

2

此时，抛物线解析式为：yx
2
x2

例3. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。
（1）当点P在线段AB上时，求证：PA²PB=PE²PF
（2）当点P为线段BA延长 线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证
明；如果不成立，请说明理由。

(3)若AB42，cos∠EBA
1
，求⊙O的半径

3
分析：第（1）问是一个常规性等积式的证明问题，按一般思路，需要把它转化为比 例
式，再转化为证明两个三角形相似的问题，同学们不会有太大的困难。难点在于让P点沿
BA 运动到圆外时，探究是否有共同的结论，符合什么共同的规律。首先需要按题意画出图
形，并沿用原来的 思路、方法去探索，看可否解决。第（3）问，从题意出发，由条
件cos∠EBA
1，欲求⊙O的半径，启发我们作出直径AH为辅助线，使隐性的

3
条件和结论显现出来。
证明：（1）（如图所示）


- 3 -

∵BT切⊙O于B，∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，∴∠AFP=∠C
∠AFP=∠EBA
又∵∠APF=∠EPB
∴△PFA∽△PBE

∴
PAPF


PEPB
∴PA²PB=PE²PF
（2）（如图所示）

当P为BA延长线上一点时，第（1）问的结论仍成立。
∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBA=∠C
∵EP∥BC，∴∠PFA=∠C
∴∠EBA=∠PFA
又∵∠EPA=∠BPE
∴△PFA∽△PBE

∴
PFPA


PBPE
∴PA²PB=PE²PF
（3）作直径AH，连结BH，∴∠ABH=90°，
∵BT切⊙O于B，∴∠EBA=∠AHB

∵cos∠EBA
2
11
，∴cos∠AHB

33
2

∵sin∠AHBcos∠AHB1

又∵∠AHB为锐角
∠AHB

∴sin
22

3
AB
，AB42

AH

在Rt△ABH中，∵sin∠AHB

∴AH
AB
6，

sin∠AHB
∴⊙O的半径为3。

- 4 -

例4.
已知二次函数ymx
2
(m3)x3(m0)

（1）求证：它的图象与x轴必有两个不同的交点；
（2）这条抛物线与x轴交于两点A（x
1
，0），B（x
2
，0）（x
1
＜x
2
），与y轴交于点
C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积S。
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD⊥x轴，垂足为D）被
直线BC分 成面积比为1：2的两部分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
分析：本题的难点是第（3）个问题。
我们应先假设在抛物线上存在这样的点P，然后由已知 条件（面积关系）建立方程，如
果方程有解，则点P存在；如果方程无解，则这样的点P不存在，在解题 中还要注意面积
比为1：2，应分别进行讨论。
解：
(1)∵(m3 )
2
12m(m3)
2
0(m0)

∴它的图象与x轴必有两个不同的交点。


(2)ymx(m3)x3(mx3)(x1)


令y0，则A(x
1
，0)，B(x
2
，0)


∵x
1
x
2
，m0

2
3
，x
1
1

m
3

∴A(1，0)，B(，0)

m

∴x
2

∵AB=4，OA=1，

∴OB3，∴
2
3
3，∴m1，∴B(3，0)

m

∴yx2x3

∵C（0，－3），∴OC=OB，∴∠ABC=45°
∴∠AMC=90°，设M（1，b），由MA=MC，得：

(11)
2
b
2
1
2
(b3)
2

∴b=－1，∴M（1，－1）

∴MA(11)
2
(1)
2
5

- 5 -

∴S
扇形MAC

15
²
2



44
（3）设在抛 物线上存在这样的点P（x，y），则过B（3，0），C（0，－3）的直线
BC的解析式为：

yx3，设BC与PD交于点E

①当S
△
PBE
：S
△
BED
=2：1时，
PE=2DE，∴PD=3DE
PD的长是P点纵坐标的相反数，DE的长是E点纵坐标的相反数，且P、E两点横坐标
相同

∴PDy
抛
x
2
2x3，DEy
直线x3


∴x
2
2x33(x3)


解得：x
1
2，x
3
3(不合题意，舍去)

∴P（2，－3）
②当S
△
PBE
：S
△
BED
=1：2时，
13
DE，∴DPDE

22
3
2

∴x2x3(x3)

2
1

解得：x
1
，x
2
3(不合题意，舍去)

2
115

∴P(，)

24

PE

∴抛物线上存在符合题意的点P(2，3)或P(，
2< br>1
2
15
)

4
例5.
如图：二次函数yxbxc的图象与x轴相交于A、B两点，点A在原

点左边 ，点B在原点右边，点P(1，m)在抛物线上，AB2，tan∠PAO
2

5

（1）求m的值；
（2）求二次函数的解析式；
（3）在x轴下方的抛物线上有一动点D，是否存在点D，使△DAO的面积等于△PAO的面积？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由。
- 6 -

解：（1）作PH⊥x轴于H，在Rt△PAH中
PH2


AH5
5

∵PHm，∴AHm

2
∠PAO

∵tan
∵P（1，m）在抛物线上，m=1+b+c，

设A(x
1
，0)，B(x
2
，0)，∵AB2


∴|x
2
x
1
|2

2

∴(x
1
x
2
)4x
1< br>x
2
2


令y0，得：x
2
bxc0


∴x
1
x
2
b，x
1
x
2
c，∴b
2
4c2

b±b
2
4cb±2

∵x


22

且x
1
x2
，∴x
1

b2b2
，x
2

22
∵OH=1，∴AH－AO=1
5b2
m，AOx
1


22
5b2
1

∴m
22

∵AH

m1bc

b2

5
1

由：

m
2

2

b
2
4c2


b4(舍去)


∴m
24

m

25

4

得：

b

5

21

c

25

24

25
2

(2)yx
421
x

525
（3）假设在x轴下方的抛物线上存在点D（x
0
，y
0
），

使S
△DAO
S
△PAO
，则有：

< br>S
△DAO

11
|AO|²|y
0
|，S
△PAO
|AO|²|PH|

22
- 7 -

∴|y
0
||PH|m

∴y
0

24
，

25
244212
，代入y
0
x
0
x
0
，得：

2555
4212431
2
，解得：x
1
，x2


x
0
x
0

552555
∴满足条件的点有两个：

D(
324124
，)或D(，)

525525
例6. 如图，在平面直角坐标系O—XY中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别
在y轴的 负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax
2
+bx+c经过点A和B，且12a+5c=0。

（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点A沿AB边以2 cm秒的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿
BC边以1cm秒的速度向点C移动，那么：
①移动开始后第t秒时，设S=PQ
2
（cm
2
），试写出 S与t之间的函数关系式，并写出t
的取值范围；
②当S取最小值时，在抛物线上是 否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，请求出点R的坐标；若不存 在，请说明理由。
解：（1）根据题意，A（0，－2），B（2，－2）

2c


根据题意：

24a 2bc

12a5c0

5

a

6

5

∴

b

3


c2



∴抛物线的解析式为：y
5
2
5
xx2

63
（2）①移动开始后第t秒时，AP=2t，BQ=t
∴P（2t，－2），Q（2，t－2）

∵SPQ，∴S(2t2)(2t2)


即S5t8t4(0t1)


②当S取得最小值时，t
2
222
4

5
- 8 -

∴P(，2)，Q(2，)

假设在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，
若以PR为一条对角线，使四边形PBRQ为平行四边形
8
5
6
5

82
QR

55
212126
，∴R(，)，

∴2
5555
126

经检验R(，)在抛物线上，

55

∴BP2
若为PB为一条对角线，使四边形PRBQ为平行四边形

4
PR

5
414

∴2

55
814814

∴R(，)，经检验R(，)不在抛物线上

5555
126

综上所述，当S最小时，抛物线上存在点R(，)，使得以P、B、Q、R

55

∵BQt
为顶点的四边形是平行四边形。

练习
一、单项选择题（每题3分，共42分）
1.
1
（ ）
A. 1 B. －1
2. 下列计算正确的是（ ）
235
2
C. －2 D. 2
4723362
A.
3aa4a
；B.
(a)a
；C.
(ab)ab
；D.
aaa(a≠0)

- 9 -

3. 1纳米=0.000000001米，则3.14纳米用科学计数表示为（ ）
A. 3.14³10
9
米； B. 3.14³
10
米； C. 3.14³
10
米； D.
314.³10
10
米

4. 李明沿着坡角为β的斜坡前进200米，则他上升的最大高度是（ ）
A.
200cos

米； B.
89
200
200
米； C.
200sin

米； D. 米
sin

cos

5. 如图，⊙O的直径AB⊥CD弦于E，若OB=5，CD=8，则BE长为（ ）

A. 3 ； B. 2.5； C. 2； D. 1
6. 今年学校有n件科技小作品参赛，比去年增加了40%还多5件，设去年有m件作品参赛，
则m=（ ）
A.
n5n5
； B.
n(140%)5
； C. ； D.
n(140%)5

140%140%
7. 两圆直径分别为14和6，圆心距为8，则这两圆公切线最多有（ ）条。
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4
8. 在直角坐标系中，点A（m，n）且
m2n0
，则点A一定不在（ ）的图象上。
A.
y
1
2
； B.
yx
； C.
yx
； D.
yx

x
9. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=EC：AE，则DE：BC=（ ）

A. 1：3； B. 1：1； C. 2：1； D. 1：2
10. 是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）
A. 正三角形 ； B. 梯形； C. 平行四边形； D. 直线
11. 三峡工程在6月1日——6月10日下闸蓄水期间，水库水位由1 06米升至135米，高峡
出平湖初现人间。假设水库水位保持均匀上升，能正确反映水位h(米)与时 间t（天）变化
的是（ ）
- 10 -

12. 如果圆锥的母线长是高的2倍，侧面展开图的面积是
83
π，则圆锥的高是（ ）
A. 1 ； B. 1.5； C. 2 ； D.
23

13. 某商品的价格是按利润的50%计算销售价，为了促销，采取打折优惠方式出售。若每件
商品打折后仍能获利20%，则商家是按销售价的（ ）折出售
A. 七五； B. 八； C. 八五； D. 九
14. 已知
y
k
(k0)
图象上有点A
(x
1
，y
1
)
，
B(x< br>2
，y
2
)
，
x
1
x
2
0
，则
y
1
y
2
的
x
D. 正负不确定
值（ ）
A. 小于0； B. 等于0； C. 大于0 ；
二、填空题
15. 函数
y
1x
的自变量x的取值范围是__________。
1x
3
16. 分解因式：
x3x4x12
__________。
17. 已知梯形下底长是上底长的2倍，且中位线是
6cm
，则下底长是__________cm。
18. 如果
x2x
2
8
2
5，则x2x1< br>__________。
2
x2x1
19. 如图，在直角坐标系中，R t△OAB∽Rt△OCD，相似比为1：2，且B（1，1），则D
的坐标是（_____，____ _）。
- 11 -

20. 小明预算4月份家庭用 电开支。四月初连续8天早上电表显示的读数见下表，如果每度
电收取电费0.42元，估计小明家四月 份这个月（按30天计）的电费是__________元。（注：
电表计数器上先后两次显示的读数的 差就是这段时间内所消耗电能的度数）
日期
电报显示读数
1
21
2
24
3
28
4
33
5
39
6
42
7
46
8
49

三、（每题5分，共15分）
21. 如果一个角的补角是155°，求这个角的余角。


22. 计算：
(1tan60°)
1
(

1)
0
|
3
1|
。
2



23. 如图，是一块由长方形ABCG割去长方形EFGD而成的金属板。请你 画一条直线，将
金属板ABCDEF分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，不要证明）

∴__________为所求作的直线。
四、解答题（24题7分，其余每题8分，共39分）
24. 已知等腰梯形ABCD的周长 是15，AD∥BC，AD分∠BCD，求对角线AC的长及 梯形面积S。






- 12 -

25. 某球迷协会组织36名球迷乘车前往比赛场地为中国队加油助威，现 可租用两种车辆：
一种每辆车可乘坐8人，另一种每辆车可乘坐4人，要求每辆车既不超载也不空座位
（1）请你给出三种不同的租车方案
（2）若8个座位的车是每辆280元 天，4个座位的车是每辆200元天，写出租车费用
S（元）与租8人座位车x（辆）的函数解析式，并 求自变量x取值范围。
（3）请确定租车总费用最小的方案，这时费用是多少元？
















26. 已知：如图，塔AB和楼CD的水平距 离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A
的仰角分别45°和60°，试求塔高和楼高。（精确到 0.01米，
21414

.，3
1.732）










- 13 -

27. 如图，已知BC是⊙O的直径，延长CB至A，使
AB< br>1
BC2
，割线APM交⊙O
2
于点M，使3PM=2AP，过M作 ⊙O的另一直径MN，连结PN交AC于E，切线PF切⊙
O于P，交AB于F。
（1）求证：MN⊥BC于O；（2）求△BFP的面积。

28. 已知：抛物线
yx
2
(12m)x64m
与x轴交于两点A（x
1
，0 ），B（x
2
，0）
(x
1
x
2
，
x< br>1
0)
，它的对称轴交x轴于点N（x
3
，0），若A，B两点距离 不大于6，
x
2
（1）求m的取值范围；（2）当AB=5时，求抛物线的解析式；（ 3）试判断，是否存在
m的值，使过点A和点N能作圆与y轴切于点（0，1），或过点B和点N能作圆 与y轴
切于点（0，1），若存在找出满足条件的m的值，若不存在试说明理由。

- 14 -

试题答案
一、单项选择题：（每题3分，共42分）
1. B
6. C
11. D






2. C
7. B
12. C


3. C
8. A


4. C
9. D


5. C
10. C
13. B 14. A
二、填空题
15.
16.
x1且x≠1

(x2)(x2)(x3)

17.
46
3

18. 0或2
19. D（2，2）
20. 50.4元
三、（每题5分，共15分）
21. 65°
22.
3
1
2

23. 如图：MN为所求作的直线。

24. 对角线AC的长为
33
，梯形面积S为
27
3

4
25. 解：（1）设租用8座车x辆，租用4座车y辆，
则
8x4y
∴
当x
36，∴y92x

0时，y9；当x1时，y7；当x2时，y5

∴三种不同的 租车方案是：租用4座车9辆；租用8座车一辆，4座车7辆；租用8座车两辆，4座车
5辆
（2）
S
即
S
280x200y280x200(92x)

120x1800
最小
(0x4，且x是整数)

当x=4时，
S1800120³41320(元)

∴租车总费用最小的方案是：租用8座车4辆，租用4座车1辆，这时费用为1320元。
26. 塔高：138.56米，楼高：58.56米
- 15 -

1
BC2，∴BC4

2
AP3

∵
3PM2AP，∴
PM2
27. 证明：（1）∵
AB
设AP=3m，则PM=2m，
由切割线定理：AP²AM=AB²AC
∴
3m²5m2³6∴m
2

425

，∴m
55
∴
AM
2
(5m)
2(5³
25
2
)20

5
又∵
∴
MO
2
AO
2
2
2
4
2
20

MO
2
AO
2
AM
2

∴△AOM是直角三角形，∴MN⊥BC
（2）作PH⊥AC于H，∵PH∥MN

∴
PHAP3336
，∴PHMO³2

MOAM5555
设BF=x，则AF=
2x
，∵PF为切线，
∴∠APF=∠TPM=∠N
即∠APF=∠N
∵∠A+∠M=90°，∠N+∠M=90°，∴∠A=∠N
∴∠A=∠APF，∴PF=AF=
2x

由切割线定理：
PF
∴
x
2
FB²FC，∴(2x)
2
x²(x4)

11
(负值舍去)，∴BF

22
11163
∴
S
△BFP
BF²PH³³

222510

28. 解：（1）令y=0，则
x
2
(12m)x6m0

- 16 -

∵
x
1
x
2
，且
x
1
0，∴x
1
0，x
2
0

x
2
∴
x
1
∴
∴
2m3，x
2
2

A(2m3，0)，B(2，0)，

AB2(2m3)52m

由AB≤6，且
x
1
x
2
0
，得：


4m60


52m6
1m3

2
3

m


2
∴


1

m

2

∴

（2）当AB=5时，
52m5，∴m
∴抛物线的解析式为：
y
0

x
2
x6

（3）N（x
3
，0）是抛物线与x轴的交点
∴
N(
2m1
，0)

2
①若N在x轴的正半轴上，

则
OG1，ON
2m1
，OB2

2
由切割线定理：

OG
2
ON²OB

2m1
²2
2
∴m1
∴
1
②若N在x轴的负半轴上，
- 17 -

则
ON
12m
2
，OA32m

由切割线定理：
OG
2
ON²OA

∴
1
12m
2
²(32m)

∴
m1

23
2
，m
23
2
2

∵

1
2
m3

∴
m
23
2
(舍去)

∴
m
23
2

∴m的值为1或
23
2
。
- 18 -