考研数学二真题及答案
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2015年考研数学二真题
一、选择题：（1~8小题,每小题
4分，共32分。下列每题给出的四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正
确答案。
；
；
；
，
因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数
在(- ,+ )内
(A)连续
(B)有可去间断点
(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B
【解析】这是“
”型极限，直接有
,
在
处无定义，
且
所以 是
的可去间断点，
选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
，
(3)设函数
(
).若
在
处连续，则
(A) (B)
(C)
(D)
【答案】A
【解析】易求出
，
再有
不存在，
，
于是，
存在 ，此时
.
当 时，
，
=
不存在， ，
因此，
在 连续 。选A
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数
的左极限和右极限
(4)设函数 在(- ,+ )内连续，其
二阶导函数
的图形如右图所示，
则曲线 的拐点个数为
(A)
(B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】 在(- ,+ )内连续，除点 外处处二阶可导。
的可疑拐点是
的点及
不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧
恒正，对应的
点不是
拐点，B点两侧
异号，对应的点就是
的拐点。
虽然
不存在，但点 两侧
异号，因而( ) 是
的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹
凸性和拐点
(5)设函数 满足
，
则
与
依次
A O B
是
(A)
(B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】先求出
令
于是
因此
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-
多元函数的偏导数和全微分
(6)设D是第一象限中由曲线 与直线
围成的平面区域，函数 在D上连续，则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】 B
【解析】D是第一象限中由曲线 与直线
围成的平面区域，作极坐标变换，将
化为累次积分。
D的极坐标表示为
，
，
因此
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和
极坐标系下的计算。
(7)设矩阵
A=
,
b
=
。若集合
，则线性方程
有无穷多解的充分必要条件为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】 有无穷多解
是一个范德蒙德行列式，值为
,如果 ，则
，
，此时 有唯一解，排除(A),(B)
类似的，若
，则
，排除(C)
当
时，
， 有无穷多解
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，
线性方程组求解。
(8)设二次型
在正交变换 下的标准形为
,其中
,若
Q
=
在正交变换
下的标准形为
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A
【解析】设二次型矩阵为
A
,则
可见
都是
A
的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-
也
是
A
的特征向量，特征值为-1，因此
因此在正交变换 下的标准二次型为
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数-二次型-
矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次
型为标准形。
二、填空题：(
)小题，每小题4分，共24分。
(9)设
则
【答案】48
【解析】由参数式求导法
再由复合函数求导法则得
=
,
综上所述，本题正确答案是48。
【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导
(10)函数
在 处的n阶导数
【答案】
【解析】
解法1 用求函数乘积的
阶导数的莱布尼茨公式
在此处键入公式。
其中
，
注意
,于是
因此
解法2
利用泰勒展开
由于泰勒展开系数的唯一性，得
可得
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式
(11)设函数
连续，
.若 =1，
则
【答案】2
【解析】改写
,由变限积分求导法得
由
=1=
，
可得
综上所述，本题正确答案是2
【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应
用
(12)设函数
是微分方程
的解，且在 处
取得极值3，则
=
【答案】
【解析】求
归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题
，
由特征方程
可得特征根
，
，于
是得通解
又已知
，
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性方程
(13)若函数 由方程
确定，则
【答案】
【解析】 先求 ，在原方程中令 得
方程两边同时求全微分得
令 得
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分
(14)设3阶矩阵
A
的特征值为2,-2,1，
,其中
E
为3
阶单位矩阵，则行列式|
B
|=
【答案】 21
【解析】
A
的特征值为2,-2,1,则
B
的特征值对应为3,7,1
所以|
B
|=21
【考点】线性代数—行列式—行列式计算
线性代数—矩阵—矩阵的特征值
三、解答题：
小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。
(15)设函数
,若
与
在 时是等价无穷小，求 的值。
【解析】利用泰勒公式
当 时，
，则
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小的比阶，泰勒公
式
(16)设A>0，D是由曲线段
及直线
所
围成的平面区域，
分别表示D绕 轴与绕 轴旋转所成旋转体
的体积。若
，求A的值
【解析】
由A>0可得
=
=
又
可得A=
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用
(17)已知函数
满足
求
的极值。
【解析】
由
，得
又已知
可得
得
,从而
对 积分得
又
， 所以
所以
于是
,
,
=2
令
，
得驻点(0,-1)，所以
A=
B=
C=
由于
， ,所以极小值为
【考点】高等数学—多元函数微分学—二元函数的无条件极值
(18)计算二重积分
,
其中D=
【解析】
因为区域D关于y轴对称，所以
=0
原式=
=
=
令
,则
=
=
又
所以二重积分=
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分的计算
(19)已知函数
数
【解析】
,令
，得驻点
,
，求
的零点个
当 时，
,
单调减少；
当 时，
,
单调增加；
因为
，所以
在
上存在唯一零点。
又
,
，所以
在 ， 上
存在唯一零点。
综上可知，
有且仅有两个零点。
【考点】高等数学—一元函数微分学—方程的根（零点问题） <
br>(20)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻改物体温度对时间的变
化率与该时刻物体和介质
的温差成正比。现将一初始温度为120℃
的物体在20℃恒温介质中冷却，30min后该物体降温至
30℃，若
要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间？
【解析】
设该物体在
t
时刻的温度为
，由题意得
其中k为比例系数，k>0.解得
将初始条件T(0)=120代入上式，解得C=100
将 代入得
所以
令T=21，得t=60,因此要降至21摄氏度，还需60-30=30（min）
【考点】高等数学—常微分方程—一阶常微分方程，微分方程应
用
(21)已知函数
在区间
上具有2阶导数，
设
曲线
在点( )处的切线与 轴
的交点是(
),证明
【解析】
曲线
在点( )处的切线方程是
,
解得切线与 轴交点的横坐标为
由于
，故
单调增加。由 可知
.
又
,故
,即有
由拉格朗日中值定理得
因为
，所以
单调增加，从而
,故
由此可知
,即
综上所述，
【考点】高等数学—一元函数微分学—微分中值定理
(22)设矩阵 =
(1)求 的值；
(2)若矩阵 满足
,其中
为三阶单位
矩阵，求
【解析】
(1) 由于
，所以
于是
(2) 由于
所以
由(1)知
因为
均可逆，所以
,且
【考点】线性代数—矩阵—矩阵方程
(23)设矩阵 =
相似与矩阵 =
(1)求 的值；
(2)求可逆矩阵 ,使
为对角矩阵。
【解析】
(1) 由于矩阵 与矩阵
相似，所以
于是
解得
(2)
由(1)知矩阵 =
, =
由于矩阵 与矩阵 相似,所以
故 的特征值为
，
当
,解方程组
,得线性无关的特征向量
，
当
，解方程组
,得特征向量
令
,则
，
故 为所求可逆矩阵。
【考点】线性代数—矩阵的特征值与特征向量—矩阵的相似对角化
严歌苓说，人之间的关系不一定从陌生进展为熟识，从熟识走向陌生，同样是正常进展。
人与人之间的缘分，远没有想像中的那么牢固，也许前一秒钟还牵手一起经历风雨，后一秒就说散就散，所以，你
要懂得善待和珍惜。
人与人相处，讲究个真心，你对我好，我就对你好，你给予真情，我还你真意，人心是相互的。
两
个人在一起，总会有人主动，但主动久了，就会累，会伤心，心伤了就暖不回来了，凡事多站在对方的角度想一想
，多一份忍耐和谦就，就不会有那么多的怨气和误解，也少了一些擦
肩而过。
做人不要太苛刻，太苛无友，人无完人，每个人都有这样或那样的缺点，重在包容。 包容是一种大度，整天笑呵
呵的人并不是他没有脾气和烦恼，而是心胸开阔，两个懂得相互包容的人，
才能走得越久。
人与人相处，要多一份真诚，俗语说，你真我便真。常算计别人的人，总以为自己有多聪明，孰不知被欺骗过的人
，就会选择不再相信，千万别拿人性来试人心，否则你会输得体无完肤。
人与人相处不要太较真，
生活中我们常常因为一句话而争辩的面红耳赤，你声音大，我比你嗓门还大，古人说，有理不在声高，很多时候，
让人臣服的不是靠嘴，而是靠真诚，无论是朋
友亲人爱人都不要太较真了，好好说话，也是一种修养。
俗语说，良言一句三冬暖， 你对我好，我又岂能不知，你谦让与我，我又怎能再得寸进尺，你欣赏
我，我就有可能越变越好，你尊重我，我也会用尊重来回报你，你付出爱，必会得到更
多的爱。
与人相处，要多一份和善，切忌恶语相向，互相伤害就有可能永远失去彼此，每个人心中都有一座天
平，每个人心中都藏一份柔软，表面再强势的人，内心也是渴求温暖的。
做人要学会谦虚，虚怀若
谷。人人都喜欢和谦虚的人交往，司马懿说：“臣一路走来，没有敌人，看见的都是朋友和师长”.这就是胸怀。
有格局的人，心中藏有一片海，必能前路开阔，又何愁无友。
人与人相处，开始让人
舒服的也许是你的言语和外表，但后来让人信服的一定是你的内在。就如那句，欣赏一个人，始于颜值，敬于才华
，合于性格，久于善良，终于人品。
人这一生，遇见相同的人不容易，遇见正确的人更不容易，只
有选择了合适的相处方式，带上真诚与人相处，才会走得更长，更远更久。
人与人相处，要多一份
真诚，俗语说，你真我便真。常算
计别人的人，总以为自己有多聪明，孰不知被欺骗过的人，就会选择不再相信，千万别拿人性来试人心，否则你会
输得体无完肤。
人与人相处不要太较真，生活中我们常常因为一句话而争辩的面红耳赤，你声音大
，我比你嗓门还大，古人说，有理不在声高，很多时候，让人臣服的不是靠嘴，而是靠真诚，无论是朋
友
亲人爱人都不要太较真了，好好说话，也是一种修养。
俗语说，良言一句三冬暖， 你对我好，我
又岂能不知，你谦让与我，我又怎能再得寸进尺，你欣赏我，我就有可能越变越好，你尊重我，我也会用尊重来回
报你，你付出爱，必会得到更
多的爱。
与人相处，要多一份和善，切忌恶语相向，互相伤
害就有可能永远失去彼此，每个人心中都有一座天平，每个人心中都藏一份柔软，表面再强势的人，内心也是渴求
温暖的。
做人要学会谦虚，虚怀若谷。人人都喜欢和谦虚的人交往，司马懿说：“臣一路走来，没
有敌人，看见的都是朋友和师长”.这就是胸怀。
有格局的人，心中藏有一片海，必能前路开阔，又何愁无友。
人与人相处，开始让人舒服的也许是
你的言语和外表，但后来让人信服的一定是你的内在。就如那句，欣赏一个人，始于颜值，敬于才华，合于性格，
久于善良，终于人品。