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绝密★启用前学科网
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）学科网
数学Ⅰ试题


注 意 事 项
学科网
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
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1.本试卷共4页，包 含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满
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分160
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分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务 必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的
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规定位置。
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3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
学科网
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作 答必须用0.5
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毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。
学科网
5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
学科网
6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
参考公式：学科网
1
n
1
n
2
样本数据
x
1
,x
2
,,x
n
的方差
s

(x
i
x) ,其中x

x
i

n
i1
n
i1< br>学科网
2
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题 卡相应的位
．．．．．．．
置上.学科网
．．
1.若复数
z
1
429i,z
2
69i,
其中
i
是虚数单位， 则复数
(z
1
z
2
)i
的实部为 ▲ 。
[解析]考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。 -20


o
2.已知向量
a
和向量
b
的夹角为
30，
|a|2,|b|3
，则向量
a
和向量
b
的数量 积
ab
=
▲。

3
[解析] 考查数量积的运算。
ab23

3
2
3.函数
f(x)x15x33x6
的单调减区间为 ▲ .学科网
[解析] 考查利用导数判断函数的单调性。
32
f

(x)3x
2
30x333(x11)(x1)
，
由
(x11)(x1)0
得单调减区间为
(1,11)
。亦可填写闭区 间或半开半闭区间。
sin

(x

（
)A,

,

为常数，4.函数
yA
A0,

0< br>）在闭区间
[

,0]
上的图象如图所示，
则
< br>= ▲ .学科网
[解析] 考查三角函数的周期知识。

3
2
T

，
T

，所以

3
，
2
3

5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机
抽取2根竹竿，则它们的长度恰好 相差0.3m的概率为 ▲ .学科网
[解析] 考查等可能事件的概率知识。
从 5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的
事件数为2，分 别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号 为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，
投中的次数如下表：学科网
学生
甲班
乙班
1号
6
6
2号
7
7
2
3号
7
6
4号
8
7
5号
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为
s
= ▲ .学科网
[解析] 考查统计中的平均值与方差的运算。
甲班的方差较小，数据的平均值为7，
(67)
2
0
2
0
2
(87)
2
0
2
2

故 方差
s
55
2
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的
W
[解析] 考查读懂算法的流程图的能力。
22


▲ .学科网
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积
比为1：4，类 似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：
2，则它们的体积比为 ▲ .
[解析] 考查类比的方法。
体积比为1：8
9.在平面直角坐标系
xo y
中，点P在曲线
C:yx10x3
上，
且在第二象限内，已知曲线C 在点P处的切线的斜率为2，则点P
的坐标为 ▲ .学科网
[解析] 考查导数的几何意义和计算能力。
3
y

3x
2
10 2x2
，又点P在第二象限内，
x2

点P的坐标为（-2，15）
10.已知
a
51
x
， 函数
f(x)a
，若实数
m
、
n
满足
2
f(m)f(n
，则
)
m
、
n
的大小关系为 ▲ .学科网
[解析] 考查指数函数的单调性。

a
51
(0,1)
，函数
f(x)a
x
在R上递减。由
f(m)f( n)
得：m2
11.已知集合
Axlog
2
x2 ,B(,a)
，若
AB
则实数
a
的取值范围是
(c ,)
，
其中
c
= ▲ .学科网
[解析] 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。
由
log
2
x2< br>得
0

x4
，
A(0,4]
；由
A B
知
a4
，所以
c
4。
12.设

和

为不重合的两个平面，给出下列命题：学科网 （1）若

内的两条相交直线分别平行于

内的两条直线，则

平行于

；
（2）若

外一条直线
l
与

内的一条直线平行，则
l
和

平行；
（3）设

和

相交于直线
l
，若

内有一条直线 垂直于
l
，则

和

垂直；
（4）直线
l
与

垂直的充分必要条件是
l
与

内的两条直线 垂直。
上面命题中，真命题的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）.学科网
．．．
[解析] 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。
真命题的序号是(1)(2)
．．．
x
2
y
2
1 3．如图，在平面直角坐标系
xoy
中，
A
1
,A
2
,B
1
,B
2
为椭圆
2

2
1(a b0)
的四个
ab
顶点，
F
为其右焦点，直线
A
1
B
2
与直线
B
1
F
相交于点T，线段
O T
与椭圆的交点
M
恰为
线段
OT
的中点，则该椭圆的离心率 为 ▲ .学科
网
学科网
学科网
[解析] 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的
计算等。以及直线的方程。
直线
A
1
B
2
的方程为：
直线
B
1
F
的方程为：
xy
1
；
ab
xy2acb(ac)
1
。二者联立解得：
T(,)
，
cbacac
x
2
y
2
acb(ac)
,)
在椭圆
2

2
1(ab0)
上， 则
M(
ab
ac2(ac)c
2
(ac)
2
1,c
2
10ac3a2
0,e
2
10e30
，
22
(ac)4(ac)
解得：
e275

14．设

a
n

是公比为
q
的等比数列，
|q|1
，令
b
n
a
n
1(n 1,2,)
，若数列

b
n

有连
续四项在集 合

53,23,19,37,82

中，则
6q
= ▲ .学科网
[解析] 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。

a
n

有连续四项在集合

54,24,18,36, 81

，四项
24,36,54,81
成等比数列，公比为
3< br>q
，
6q
= -9
2
二、解答题：本大题共6小题，共 计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤.学科网
15．（本小题满分14分）学科网

设向量
a(4cos

,sin

),b(sin

,4cos

) ,c(cos

,4sin

)

学科网
 
（1）若
a
与
b2c
垂直，求
tan(


)
的值；学科网

（2）求
|bc|
的最大值;学科网

（3）若
tan

tan

16
，求证：
a
∥< br>b
..网
[解析] 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关 系式、二倍角的
正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。

16．（本小题满分14分）学科网
E
、
F
分别是
A1
B
、
AC
D
在
B
1
C
1< br>上，如图，在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
1
的中点，点
A
1
DB
1
C
。学 科网

求证：（1）EF∥平面ABC；

平面
BB
1
C
1
C
. （2）平面
A
1
FD
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关

系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。

17．（本小题满分14分）学科网
设

a
n

是公差不为零的等差数列，
S
n
为其前
n
项和，满足
a2
2
a
3
2
a
4
2
a
5
2
,S
7
7
。
学
（1）求数列
< br>a
n

的通项公式及前
n
项和
S
n
；学科网
（2）试求所有的正整数
m
，使得
a
m
a
m1
为数列

a
n

中的项。
a
m2
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分
14分。
（ 1）设公差为
d
，则
a
2
为
d
2222
， 由性质得
3d(a
4
a
3
)d(a
4
a< br>3
)
，因
a
5
a
4
a
30
，所以
a
4
a
3
0
，即
2a
1
5d0
，又由
S
7
7
得
7a1

76
d7
，
2
解得
a
1< br>(2)
5
，
d2
,
a
m
a
m 1
(2m7)(2m5)
=,设
2m3t
，
2m3
a
m2
（方法一）
则
8
a
m
a
m1
(t4)(t2)
t6
, 所以
t
为8的约数 =
tt
a
m2

（方法二） 因为
a
m
a
m1
(a
m2
4)(a
m2
2)
8
为数列

a
n

中的项，
a
m2
6
a
m2
a
m2
a
m2
故
8
a
m+2
为整数，又由（1）知：
a
m2
为奇数，所以
a
m2
2m31,即m1,2
经检验，符合题意的正整数只有
m2
。

18．（本小题满分16分）学科网
在平面直角坐标系
xoy
中，已知圆
C
1
:(x3)
2
(y1)
2
4
和圆
C
2
:(x4)
2
(y5)
24
.
（1）若直线
l
过点
A(4,0)
，且被圆< br>C
1
截得的弦长为
23
，
求直线
l
的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对
互相垂直的直线
l
1
和
l
2
，它们分别与圆
C
1
和圆
C
2
相交，
且直线
l
1
被圆
C
1
截得的弦 长与直线
l
2
被圆
C
2
截得的弦
长相等，试求所有 满足条件的点P的坐标。
[解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离
公式， 考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。
(1)设直线
l
的方程 为：
yk(x4)
，即
kxy4k0

由垂径定理，得： 圆心
C
1
到直线
l
的距离
d4
2
(< br>结合点到直线距离公式，得：
23
2
)1
，
2
|3k14k|
k1
2
1,

化简得 ：
24k7k0,k0,or,k
求直线
l
的方程为：
y 0
或
y
2
7

24
7
(x4)< br>，即
y0
或
7x24y280

24
(2) 设点P坐标为
(m,n)
，直线
l
1
、
l
2
的方程分别为：
111
ynk(xm),yn(xm)
，即：kxynkm0,xynm0

kkk
因为直线
l< br>1
被圆
C
1
截得的弦长与直线
l
2
被圆C
2
截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径
定理，得：：圆心
C
1
到直线
l
1
与
C
2
直线
l
2
的距离相等。
41
|5nm|
k
故有：
|3k 1nkm|

k
，
2
1
k1
1
2
k
化简得：
(2mn)kmn3,或(mn8)kmn5< br>
关于
k
的方程有无穷多解，有：


2mn 0

m-n+8=0

,或

mn30m+n-5= 0

解之得：点P坐标为
(
3
,
13
)
或
(
5
,
1
)
。
22
22

19.(本小题满分16分)学科网
按照某学者的 理论，假设一个人生产某产品单件成本为
a
元，如果他卖出该产品的单
价为
m
元，则他的满意度为
m
ma
；如果他买进该产品的单价为
n
元，则他的满意度为
n
.
na
如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满 意度分别为
h
1
和
h
2
，则他对这两种交易的综合满
意度为
h
1
h
2
.学科网
现假设甲生产A、B两种产品 的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品
的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B 的单价分别为
m
A
元和
m
B
元，甲买进A与
卖出B 的综合满意度为
h
甲
，乙卖出A与买进B的综合满意度为
h
乙
(1)求
h
甲
和
h
乙
关于
m
A
、
m
B
的表达式；当
m
A
(2)设
m
A< br>
学科.网
3
m
B
时，求证：
h
甲
=
h
乙
；学科网
5
3
m
B
，当m
A
、
m
B
分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最 大的
5
综合满意度为多少？学科网
(3)记(2)中最大的综合满意度为
h
0
，试问能否适当选取
m
A
、
m
B
的值， 使得
h
甲
h
0
和
h
乙
h
0< br>同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。学科网
[解析] 本小题主要考查函数的概念、基 本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概
括能力以及数学阅读能力。满分16分。
(1)


3
当
m
A
m
B时，
h
甲

5
m
B
m
B
2< br>

,
3
(m
B
20)(m
B
5)
m
B
12
m
B
5
5
3
m
B
5
h
乙

3
m
B
m
B
m
B
2
5

,

3
m20(m5)(m20)
BB
m
B
3
B
5
h
甲
=
h
乙

（2）当
m
A
3
m
B
时，
5
m
B
2
11
h
甲
=,
< br>20511
(m
B
20)(m
B
5)
(1)( 1)100()
2
251
m
B
m
B
m
B
m
B

由
m
B
[5,20]得
111
[,]
，
m
B
205
故当
11

即
m
B
20,m
A
12
时，
m
B
20
10
。
5
甲乙两人同时取到最大的综合 满意度为
（3）（方法一）由（2）知：
h
0
=
由
h
甲
=
10

5
m12m
B
5
5m
A
m
B
10
得：
A

，
h
0

mm2
m
A
12m
B
5 5
AB
令
15
35
x,y,
则
x、y[,1 ]
，即：
(14x)(1y)
。
42
m
A
m
B
5
10
得：
(1x)(14y)

2< br>5
同理，由
h
乙
h
0

1x、1+y [,2],
另一方面，
x、y[,1]14x、1+4y[2,5],
155
(14x)(1y),(1x)(14y),
当且仅当
xy
，即
m
A
=
m
B
时，取等号。
4
22
所以不能否适当选取
m
A
、
m
B
的值，使得
h
甲
h
0
和
h
乙
h
0
同时成立，但等号不同时成立。
1
4
5
2

20．(本小题满分16分)学科网
设
a
为实数，函数(1)若
(2)求
f(x)2x
2
(xa)|xa|
. 学科网
f(0)1
，求
a
的取值范围；学科网
f(x)
的最小值；学科网
(不需给出演算步骤)不等式
h(x)1
的解集.
f(x),x(a, )
，直接写出
．．．．
(3)设函数
h(x)
[解析] 本小 题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵
活运用数形结合、分类讨论 的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分
（1）若
f(0)1
，则
a|a|1


a0

a1
2< br>a1

2

f(a),a0

2a,a0



a


2a
2
f(),a0

,a0


3

3
（2）当
xa时，
f(x)3x
2
2axa
2
,
f(x)min
当
xa
时，
f(x)x
2
2axa
2
,
f(x)
min
2

f(a),a0

2a,a0




2

f(a),a0



2a,a0
综上
f (x)
min

2a
2
,a0




2a
2
,a0


3
22
（ 3）
x(a,)
时，
h(x)1
得
3x2axa1 0
，
4a
2
12(a
2
1)128a
2

当
a
66
时，
0,x(a,)
；
或a
22

a32a
2
a32a
2
66
(x)(x)0
当

时，△>0,得：

a< br>
33
22


xa
讨论得：当
a(< br>26
,)
时，解集为
(a,)
;
22
a3 2a
2
a32a
2
62
当
a(,)
时， 解集为
(a,][,)
;
22
33
a32a
2
22
,]
时，解集为
[
当
a[
,)
.
22
3

数学Ⅱ（附加题）
参考公式：
123n
222 2
n(n1)(2n1)
.

6
21.[选做题]在A、B、C 、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分。请在答题
．．．．．．．．
卡指定区 域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
．．．．．
A.选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
[解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查
推理论证能力。满分10分。
证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠< br>CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。


B. 选修4 - 2：矩阵与变换
求矩阵
A


32

的逆矩阵.
< br>
21


xy

32

xy

10

则
,

,

 

zw

21

zw

01

[解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。
解： 设矩阵A的逆矩阵为

即


3x2z3y2w
< br>10

3x2z1,

3y2w0,



,
故



2xz2yw

01

2xz0,

2yw1,
解得：
x1,z2,y2,w3
，

12

从而A的逆矩阵为
A

.
23

1



C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程
1

xt


t
,< br>（
t
为参数，
t0
）. 已知曲线C的参数方程为


y3(t
1
)

t

求曲线C的普通方程 。
[解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。

解：因为
xt2,
所以
x2t
故曲线 C的普通方程为：
3x
2
y60
.


D. 选修4 - 5：不等式选讲
2
1
t
2
1
t
y
,

3
设
a
≥
b
＞0,求证：
3a2b
≥
3a b2ab
.
[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。
证明：
3a
3
2b
3
(3a
2
b2ab
2
)3a
2
(ab)2b
2
(ba)(3a
2
2 b
2
)(ab).

因为
a
≥
b
＞0, 所以
ab
≥0，
3a2b
＞0，从而
(3a
2
2b
2
)(ab)
≥0，
即
3a2b
≥
3ab2ab
.



[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时
．．．．．．．
应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22.（本题满分10分） 在平面直角坐标系
xoy
中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦
点F在
x
轴上。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
（3）设过点
M(m,0)(m 0)
的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记
D和E两点间的距离为
f( m)
，求
f(m)
关于
m
的表达式。
[解析] [必做题 ]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，
考查运算求解能力。满分10分。
3322
22
3322

23. （本题满分10分）
对于正整数
n
≥2，用
T
n
表示关于
x
的一元二次方程
x2axb0
有实数根的有序数组
2
(a,b)
的组数，其中
a,b

1,2,,n
（
a
和
b
可以相等）；对于随机选取的
a,b
1,2,,n

（
a
和
b
可以相等），记
P
n
为关于
x
的一元二次方程
x2axb0
有实数根的概率。
（1）求
T
n
2
和
P
n
2
； < br>（2）求证：对任意正整数
n
≥2，有
P
n
1
2
1
.
n
[解析] [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。