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2006年考研数学一真题

一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。）
(1)
【答案】2。
【解析】
等价无穷小代换：
当
所以
时，


。
综上所述，本题正确答案是2。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷
小量的比较

(2)微分方程
【答案】
【解析】
原式等价于
（两边积分）
即，为任意常数
。
的通解为__________。
，为任意常数。
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程
(3)设是锥面的下侧，则
。
【答案】。

【解析】
设，取上侧，则


而

0
所以
综上所述，本题正确答案是。


【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性
质及计算
(4)点(2,1,0)到平面
【答案】
【解析】
点到平面的距离公式：

其中
所以

综上所述，本题正确答案是。
为点的坐标，为平面方程
。
的距离 。

【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到
直线的距离
(5)设矩阵
则
，为二阶单位矩阵，矩阵满足
___________。
，
【答案】2。
【解析】

因为，所以。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质
线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(6)设随机变量与相互独立，且均服从区间
___________。
【答案】。
【解析】
本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的
分布。
事件
上的均匀分布，则
又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出

综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布
二、选择题（7~14小题，每 小题4分，共32分，下列每题给出的四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(7 )设函数具有二阶导数，且
分别为
，为自
变量在点处的增量，与
微分，若(A)
(C)
【答案】A。
【解析】
【方法一】
由函数
所示的图
，则
在点处对应的增量与
(B)
(D)


单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下

由图可得

【方法二】
由凹曲线的性质，得
于是

综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数
的几何意义和物理意义
(8)设
(A)
(C)
【答案】C。
【解析】
如图所示，显然是型域，则原式
为连续函数，则
(B)
(D)
等于

，
，
即

综上所述，本题正确答案是C
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本
性质和计算
(9)若级数收敛，则级数

(A)
(C)
收敛 (B)
收敛 (D)
收敛
收敛
【答案】D。
【解析】
由收敛知收敛，所以级数收敛。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—无穷级数—收敛级数的和的概念
(10)设
是
项正确的是
(A)若
(B)若
(C)若
(D)若
【答案】D。
【解析】
本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。
作拉格朗日函数
的参数的值为则
消去得
整理得：
即
并记对应
，则
，则
，则
，则




与均为可微函数，且
在约束条件
。已知
下的一个极值点，下列选< /p>

,
若则
综上所述，本题正确答案是D
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限
(11)设
确的是
(A)若
(B)若
(C)若
(D)若
【答案】A。
【解析】
【方法一】
因为
得
从而有
即
而是上式成立，说明
【方法二】
利用秩来求解，利用分块矩阵有

那么
由于
线性相关。
线性相关，故存在不全为零的数


不全为0
使
线性相关， 则
线性相关，则
线性无关，则
线性无关，则
线性相关
线性无关
线性相关
线性无关
均为维列向量，是矩阵，下列选项正

因 为
从而
线性相关，有
故

线性相关。
综上所述，本题正确答案是A
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关，向量
组的秩
(12)设为 三阶矩阵，将的第2行加到第1行的，再将的第1列的
倍加到第2列得，记
(A)
(C )
(B)
(D)
，则


【答案】B。
【解析】
按已知条件，用初等矩阵描述有

所以
综上所述，本题正确答案是B
。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(13)设
(A)
(C)
为随机事件，且
(B)
(D)
,则必有

【答案】C。
【解析】
由，得到，又已知

综上所述，本题正确答案是C。
【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—条件概率，概率
的基本公式
(14)设随机变量
且
(A)
(C)
(B)
(D)
服从正态分布服从正态分布
则必有


【答案】A。
【解析】
由于与的分布不同，不能直接判断和
的大小与参数的关系，将其标准化，就 可以方便
比较。
随机变量
且其概率密度函数为偶函数，故


同理
因为是单调增函数，当
。

时，
即
即。
所以
综上所述，本题正确答案是A
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—正态分布及应
用
三、解答题（15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。）
(15)（本题满分10分）
设区域
.
【解析】
本题需要用到 二重积分的对称性，又因为积分区域为圆域的一部
分，所以化为极坐标下的累次积分来求解。
积分区域如图所示，因为区域关于轴对称，函数
是变量的偶函数，函数
量的奇函数，则


,
故

是变
，计算二重积分

。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概
念、性质、计算和应用
(16)（本题满分12分）
设数列满足
(I)证明
(II)计算
【解析】
本题数列是由递推关 系给出的，通常用单调有界准则证明极限存
在，并求出极限，第二问转化为函数的极限来求解。
(I)用归纳法证明
由于
则由
则
所以
存在。
记
。
由知所以，即
单调减且有下界，故极限
单调减且有下界：

存在，并求该极限；
.
.

知，设

(II)由于所以，考虑函数极限

又

则
故

【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算、单调
有界准则
（本题满分12分）
将函数展成的幂级数
【解析】

则
即
而
故

(17)

【考点】高等数学—无穷级数—初等函数的幂级数展开式
(18)（本题满分12分）
设函数
足等式
(I)验证
(II)若
在

；
，求函数的表达式。
内具有二阶导数，且满
【解析】本题主要考查复合函数偏导数的求解。
(I)设则
,

,
,
得
(II)令则
即
由可得

由可得 故。
所以有
即
将
。
两边积分得：

两边积分得
代入
【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数的偏导数
(19)（本题满分12分）
设在上半平面
且对任意的都有
内，函数

具有连续偏导数，

证明：对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有

【解析】
两边对求导得

令
设
，则
，则




即，所以对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有

【考点】高等数学—多元函数积分学—平面曲线积分与路径无关
的条件
(20)（本题满分9分）
已知非齐次线性方程组
有三个线性无关的解。
(I)证明方程组系数矩阵的秩
(II)求的值及方程组的通解。
；

【解析】
本题主要考查含参数的非齐次线性方程组的求解问题。

(I)设是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，那么
是
即
线性无关的解，所以
,
显然矩阵中有阶子式不为
秩
又有从而

(II)对增广矩阵作初等行变换，有


由题设和第一问知，

故有
解出
那么
此时
是
是
的解，且


的基础解系，所以方程组的通解是
。
【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的通解
线性代数—矩阵—矩阵的秩
(21)（本题满分9分）
设三阶实对称矩阵的各行元素之和均 为3，向量

是线性方程组
的两个解。
(I)求的特征值与特征向量；
(II)求正交矩阵和对角矩阵，使得
【解析】本题中未知，故用定义法求解。
;
(I)因为矩阵的各行元素之和均为
以是矩阵的特征值，
又故
即有
是 属于的特征向量。
所
是矩阵属于
.
的两个线性无
关的特征向量。 因此矩阵的特征值是
的特征向量为
的特征向量为
是不全为0的常数。
(II)因为不正交，故需要

其中为常数；
其中
正交化，

单位化
那么令

得
【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和
特征向量的概念、性质、计算
(22)（本题满分9分）
设随机变量的概率密度为
令
为二维随机变量
(I)的概率密度
(II)
【解析】
(I)设的分布函数为
当
当
时，
时，

的分布函数，求：
.
则


,
当时，

,
;
当时，

故的概率密度为
(II)
,



【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维连续型
随机变量的概率密度、分布函数
概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望
(均值)、协方差
(23)（本题满分9分）
设总体的概率密度为

其中是未知参数
随机样本，记为样本值
似然估计
【解析】
似然函数为

取对数,得
为来自总体的简单
中小于的个数，求的最大

两边对求导，得

令，得
。
显然最大，所以的最
大似然估计为
【考点】概 率论与数理统计—参数估计—最大似然估计法