三本大学排名-建筑专业排名

普通班高数作业（上）

第一章 函数
1、试判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明理由：
（
2
）
ysin(arcsinx)
与
yx
；

（
4
）
yx
与
yx
2
；
< br>（
6
）
yarctan(tanx)
与
yx
；< br>
（
8
）
yf(x)
与
xf(y)
。

解：判断两个函数的定义域和对应法则是否相同。

（
2
）
ysin(arcsinx)
定义域不同，因此两个函数不同；

（
4
）
yx
2
x
，两个函数相同；

（
6
）
yarctan(tanx)
定义域不同，因此两个函数不 同；

（
8
）
yf(x)
与
xf(y)
定义域和对应法则都相同，因此两个函数相同。

2、求下列函数的定义域，并用区间表示：
1
x2
（
2
）
y
；

（< br>3
）
y2
x
arcsinln1x
；
（
7
）
ye
xx
1
x
1
。


1lnx
解：（
2
）
x[2,0)
；

（
3
）
x[1e,0)(0,1e]
；

（
7
）
x(0,e)(e,)
。

2

x1,x0
3、设
f(x)

，求
f(x)f(x)
。
2


1x,x0
22< br>
0x0
解：按
x0
，
x0
，
x0
时，分别计算得，
f(x)f(x)

。
2x0

4、讨论下列函数的单调性（指出其单增区间和单减区间）：
（
2
）
y4xx
2
；

（
4
）
yxx
。

4xx
2
4(x2)
2
单增区间为
[0,2]
，单减区间为
[2,4 ]
。

解：（
2
）
y

2xx0< br>（
4
）
yxx

，定义域为实数集，单减区间为
(,)
。

x0

0
1

5、讨论下列函数的奇偶性：
（
2
）
f(x)x x
2
1tanx
；

（
3
）
f(x)ln(x
2
1x)
；


1x,x0
f(x)coslnx
（6）； （7）
f(x)

。
1x,x0

解：（
2
）奇函数；（
3
）奇函数；（
6
）非奇非偶函数；（
7< br>）偶函数。

6
、求下列函数的反函数及反函数的定义域：

0x1

2x1,
（1）
yln(12x),D
f
(,0)
； （6）
f(x)

。
2
2(x2),1x2

1e
x
解：（1）反函数为
y< br>，其定义域为
D
f
1
(0,)
；
2

x1
,1x1

y

2
（6）反函 数为

22x,1x2
。

1x
2
x< br>2
2
7、（1）已知
f(x)
（2）已知
f(x1) ln
2
，且
4
，求
f(x)
；
x
1x< br>x2
f[

(x)]lnx
求

(x)
。
解：（1）令
ux
11
f(x)
， ；
xx
2
2
u1x1
（2）令
ux1
，求出
f(u)ln
，

(x)
。
u1x1
2
8、以下各对函数
f(u)
与
ug(x)
中，哪些可以复合构成复 合函数
f[g(x)]
？哪些
不可复合？为什么？
（2）
f(u)arccosu,u
x
2
； （4）
f(u)ln(1u),usinx
。
1x
解：（2）可以构成复合函数；（4）可以构成复合函数。
9、某公司全年需 购某商品1000台，每台购进价为4000元，分若干批进货。每批进
货台数相同，一批商品售完后马 上进下一批货。每进货一次需消耗费用2000元，商
品均匀投放市场（即平均年库存量为批量的一半） ，该商品每年每台库存费为进货价
格的4%。试将公司全年在该商品上的投资总额表示为每批进货量的函 数。
解：设每批进货量为
x
，公司全年在该商品上的投资总额
y
可 以表示为：
2

y400010002000

1000x2000000
40004%400000080x

x2x
第二章 极限与连续
1、求下列数列的极限：
（2）设
0q1
，
x
n

（3）设
a
n
（5）
x
n
2
n
nn

q(

a
k
k1k1
nn
k1k1
k
a
1
a
2
a
n
),n1,2
；
；
2，
x
n


a
k
(

ak
a
1
a
2
a
n
),n1,2
n
3
n
2
n
3
,n1,2
。
q(1q
n
)q
x
n
lim
解：（2）0q1
，

lim
；
nn
1q1q
（3）
limx
n
lim2
nn
1
1
2
n
2
；

（
5
）运用根式有理化 得，
1
limx
n
。
n
3
2、用夹逼定理证 明
lim
sinnx
0
对一切实数
x
成立。
n
n
1sinnx1
sinnx

，
lim0
。 证明：

n
n
nnn
3、求 极限
lim
3nsinn
。
n
2ncosn
解：
lim
3nsinn3


n
2ncosn21
n1
1
n
2
k
2
4、（2）设
y
n


1
n2
2

1
nn
2
，求极限
lim
n
y
n
。
解：
1
n
2
n

1
，
limy
n
1
。
n
n
3

5、由 函数
y2
解：
lim2
x
x
x
的图形 考察极限
lim2
x
x
x
，
lim2
x
x
，
lim2
x
x
。
0< br>，
lim2
x

，
lim2
x
不存 在。
x
6、由函数
y
x
(x
2
x x)
，
x
2
xx
的值的变化趋势考察极限
x
lim

xx1
lim(x
2
xx)
，lim(x
2
xx)
，
lim(x
2
xx)< br>。
2
1
22
解：
lim(xxx)
，
lim(xxx)
，
lim(xxx)
不存
x
x
2
x
在，
lim(xxx)
x1
2
21
。
7、求下列函数极限：
22
（1）
lim(xx2x)
； （5）
lim< br>
(
x
x0
12x1
)
；
x xx
2x73
xx
3
x
5
x
7
4
;
（9）
lim;
（7）
lim3
x1
x1
x1
x1
(1x)
10
1
x
n1
(n1)xn
;
（12）
lim(n为正整数)
。 （10）
lim
2
x0
(1x)
11
1
x1
(x1)

(
（5 ）
lim

x0
1
x
3

2x1xx
)1
；，
（7）
lim
x1
2x73
x1
1（分子分母同时有理化;，消零因子）

(9)x
2n 1
1(x1)(x
2n
x
2n1
x
2n2< br>x
2n2
x
2
x1)
xx
3
x
5
x
7
4
lim16
x1
x1


(10)t1(t1)(t
（
nn1
tn2
t
n3
(1x)
10
110
t 1),limt1x;
11
x0
(1x)
11
1
12
）
x
n1
(n1)xnx(x
n
1)n( x1)n(n1)

limlim。
22
x1x1
2
(x1)(x1)
4


1,x0

f(x)

0,x0
，试讨论
limf(x)
是否 存在？ 8、设
x0

1,x0

解：
limf(x)
不存在。
x0

2x1,0x1
9、设
f(x)

，已知存在
limf(x)
，求
a的值。
x1

alnx,x1
解：

a3
。
10、讨论极限
lim
解：

lim< br>x0
1
1e
1
x
x0
是否在？
1
1e
1
x
不存在。
11、利用变量替换
y x1
，求极限
lim(x1)tan
x1

x
22
。
(x1)tan
解：进行变量替换
yx1
，
lim
x1
12、求下列函数极限

x
2
-

.

1
limarctanx
； （2）
lim(sinx1sinx)
； （1）
x
x
x 
sin3x

2x1

1cot
2
x;
（4）
lim(cosx);
（5）
lim

。 （3）
lim
x0
3x1
x0
tan5x
x0

1
limarctanx0
（有界函数乘以无穷小量仍是无穷小量）解：（1）；
x
x
(sinx1 sinx)lim2cos
（2）
x
lim
x
x 
1
x
x1xx1x
sin
，

22
lim(sinx1sinx)0
；
sin3x3x3
lim;
·
（3）
lim
x0
tan5x
x0
5x5
5

（4）
lim(cosx)
x0
1cotx< br>2
e;


1
2

2x1


e
。 （5）
lim
x0
3x1

1
13、设数列

x
n

满足：
0x
1
,x
n1< br>x
n
(12x
n
),n1,2,,
证明：（1）
x
n

单
2
减，且
0x
n

1
x
1
,n1,2,;
（2）
limx
n
存在，并求出其值。
n
2
2
证明：（1）
x
n1
x
n
2x
n
0
，

xn

单减，且由数学归纳法易得
0x
n
12;
< br>（2）由单调有界的数列极限存在知道
lim
n
x
n
存在 ，设为
a
。对
x
n1
x
n
(12x
n
)
两
n
边同时求极限，得到
aa(12a)
，故
a0
，即
limx
n
14、求下列函数极限：
0
。
2xsinx
xarcsinx
12x
21
lim
lim;

（
1
）
lim
；

（
2
）；

（
3
）
2
x
x
x0
x0
xln(1x)
e1
xxxarcsinxsin
（
4
）
lim
x0
sinx
1
1
x
ln(12)
x
;

（
5
）
lim;

（
6
）
lim(xe
x
)
x
.

x
x
ln(13)
x0
12x
2
1
1
；

解：（
1
）
lim
x0
xln(1x)
（
2
）
lim
2xsinx
xx< br>x
2
；

（
3
）
lim
x 0
xarcsinx
e
x
2
1
1;

1
x
0;

xarcsinxsin
（
4
）
lim
x0
sinx
ln(12
x
)
 ;

（
5
）
lim
x
ln(13
x
)
6

（
6
）
lim(x e
x0
x
)e
2
.

1
x

x
2
x1


axb0
，求
a ,b
的值。 15、已知
lim


x

< br>x1


x
2
x1

(1a)x< br>2
(ab1)x1b
axb

0
，
a1
，
b2
。解：由
lim



 lim
x

x
x1x1

x2
16 、已知
(2x)2~a(x1)b(x1)(x1)
，求
a,b
的 值。
atbt
2
1
，而 解：令
tx1
，由已知 条件得
lim
t1t1
t0
2(1t)2
atbt2
1at1at
lim
t1
lim
t
limln[2
t
(1t)
t1
]
t1t1
t0< br>2
t0
(1t)2
2
2(1t)1
2
t 0
e1

1a

2ln21
所以
a2( ln21)
，
b
为任意实数。

sinax

x
,x0

17、设
a0,b0
，且
f(x)
2,x0
在
(,)
内处处连续，求
a,b
的值。

1

(1bx)
x
,x0

解：由连续的定义，
a2
，
bln2
。
1
sin

x1
,x1

x0

0,< br>18、求
f(x)

的间断点，并指出它们的类型。
sinx
,0x1

x

1,x1

7

1

sin

x1
,x1


sinx
,-1x0

x

f( x)x0
解：， 根据左右极限来判断，
x0
为可去间断点，
x1

0,

sinx

,0x1
x
< br>
1,x1


为振荡间断点；
x1
为跳跃间断点。
e
tx
1
19、设
f( x)lim
tx
，求
f(x)
的表达式，并求出它的间断点。
t 
e1

-1x0
e1

f(x)lim< br>
0x0
，可能的间断点为
x0
，
limf(x)1
，解：
t
e
tx
1
x0

< br>1x0

tx
x0

limf(x)1
，lim

f(x)lim

f(x)
，
x0
为跳跃间断点。
x0x0
20、设
f(x)
在
[a,b]< br>上连续，且没有零点，证明
f(x)
在
[a,b]
上保号。
证明：反证法
21、证明方程
lnxxe
在
(1,e)
内必有实根。
证明：令
f(x)lnxxe
，用零点存在定理证明
2、若
f(x)
在
(a,b)
上连续，
ax
1
x
2< br>x
n
b(n3)
，则在
[x
1
,x
n
]
内至
少有一个点

，使
f(

)
2
f(x
1
)f(x
2
)f(x
n
)
。
n
证明：在
[x
1
,x
n
]上用介值定理。









8

第三章 导数与微分
1、判别
yxx
在
x0
点是否可导？
解：由
f

(0)lim
x0
f(x)f(0)
的计算，
y xx
在
x0
点可导。
x0

e
x
1,x0

f(x)

xa,0x1
2、设求
a,b
，使得
f(x)
在
x0
和
x1
可导。

bsin(x1)1,x1

解：可导必连续可知
f(x)
在
x0
连续推出
a0
。
f(x)
在
x1
可导
f


(1)f


(1)
推
出
b1
。
3、若
f(x)
在
x0
点连续，且
lim
x0
点是否可导？
解：（1）
f(0)1
；（2）可导。
f(x)1
1,< br>（1）求
f(0)
；（2）
f(x)
在
x0
xf(lnx)1
2
x
f(x)1
lim
lim;

f(0)1,f(0)1
4、设，求极限：（1）
x0
（2）。 < br>x1
x
1x
2
x
f(x)12
x
(f (x)1)2
x
1
limln21；
解：（1）
l im

x0x0
xx
f(lnx)1f(lnx)f(0)lnx< br>lim1
。 （2）
lim
x1x1
1xlnx01 x
5、设
g(x)
在
x0
点连续，求
f(x)g(x )sin2x
在
x0
点处的导数。
解：由导数定义计算，
f

(0)2g(0)
。
6、求下列函数的导数：
x
2
x
cos2x
y
;

3) y2
x
arcsinx3
3
x
2
;
1）；
2)y
sinxcosx
xx
4)yarctan
x1< br>;

5)yln(2
x
3
x
4
x
);

6)y(sin12x)
2
;

x1
9

7)yln(xxa)(a0);

8)y
22
x
2
2x
3
x
3
2
;

9)y(1
1
x
).

2x
解：（1），
y

1
1
2x
；
（2），
y

sinxcosx
；
x
（3 ）
y

2ln2arcsinx
2
x
1x
2

3
2
x
；
（4）
y


1
2
；
1x
2
x
ln23
x
ln34
x
ln4
（5 ）
y


；
2
x
3
x
4
x
（6）
y


（7）
y

sin(212x)
12x
1
xa
22
；
；
（8）
y



x
2
2x
3
x1x
2
(
2

3
)
。 < br>3
x2
x2xx2
1
x
11
)[ln(1) ]
。 （9）
y

(1
2x2x2x1
7、若f(x)
可导，求下列函数的导数：
(1)
yarctan[f(x)];

(2)yf(x1)
。 < br>f

(x1)
f

(x)
解：（1）
y< br>

；（2）
y


。
2
1f (x)
2x
8、若
yy(x)
是由函数方程
1sin(xy) e
求
y

及
yy(x)
在
(0,0)
点的法线方程。
解：
y

xy
在
(0,0)
点 附近所确定的隐函数，
x0
y0
1
，在
(0,0)
点的法线方程为
yx
。
10


1, x0

2
f(x)1x,0x1
，求
f

(x)
。

9、设函数

x1,x1


0,x0


f(x)

2x,0x1
。 解：

1,x1

5
10、求
31
近似值。
解：
5
311.9875
。
22
11、设
y y(x)
是函数方程
ln(xy)xy1
在
(0,1)
点附 近所确定的隐函
数，求
dy
及
dy
(0,1)
。
2xx
2
y
2
dx
，
dy
(0,1)
dx
。 解：
dy
2
xy
2
2y

xe
t
(1cost)
dy
dx
,t(,)
，求12、给定参数方程

及。
t
dy
dx
ye(1 sint)

dydydt1sintcost

解：，
dxdxdt1costsint
dxdxdt1costsint

。
dydydt1sintcost
13、用变量替换
u
dudx
dy
y

y





变成 将微分方程。
dxx

(u)ux
x

dudxdydu
y

ux
解：
u
，
yux< br>，，

。

(u)ux
dxdx
x
14 、求满足下列微分关系中的未知函数
f(x)
：
2x
x
（1）< br>edxdf(x)
；（2）
xedxdf(x)
；（3）
2
xdx
df(x)
2

1x
解：（1）
f(x)e
2x
2C
；
11

（2）
f(x)xe
x
2
2C
；
2
（3）
f(x)[ln(1x)]2C
。

x f(t)tf

(t)
15、设
f(t)
二阶可导，且
f

(t)0
，求参数方程

所确定的函数
2

ytf(t)

yy(x)
的导数
dy
。
d x
dy2f

(t)tf

(t)

解：
dxf

(t)
16、求
y3
的n阶导数。
解：

y
(n)
x
(ln3)
n
3
x
。
x
17、设
ye
，求
dy
和
dy
：（1 ）x是自变量；（2）
xx

t

，t为自变量，
x
t

2
二阶可导。
解：（1）
dyedx
；
（2）
dye
2x(t)
2x2
[(x

(t))
2
x
 
(t)]dt
2
。
第四章 中值定理与导数的应用
x
2
x
3
0
只有一个实根。 1、证明方程
1 x
26
x
2
x
3

证明：设
f(x) 1x
，
f(0)1
，
f(3)2
，由零点存在定理 证明
26
根的存在性，用严格单调性证唯一性。
2、设
f(x)
在

a,b

内二阶可导，且
f

(x)0,x (a,b)
，证明：
f(x)
在

a,b

内至
多有一个驻点。
证明：反证法，假设
f(x)
在

a,b

内至少有2个驻点。
3、设
f(x)
在
[0,1]< br>内连续，在

0,1

内可导，证明：存在

(0 ,1)
，使得
f(

)f

(

)e



f(1)ef(0)

。
x
证明：令
F(x)ef(x)
。
12