勤奋的名言-劳动合同书范本

成考数学试卷题型分类
一、集合与简易逻辑
2001年
(1) 设全集
M={1,2,3,4,5}
，
N={2,4,6}
，
T={ 4,5,6}
，则
(M
(2) 命题甲：A=B，命题乙：
sinA=sinB
. 则（ ）
(A) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； (B) 甲是乙的充分必要条件；
(C) 甲是乙的必要条件但不是充分条件； (D) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。
2002年
（1） 设集合
A{1,2}
，集合
B{2,3, 5}
，则
AB
等于（ ）
（A）
{2}
（B）
{1,2,3,5}
（C）
{1,3}
（D）
{2,5}

（2） 设甲：
x3
，乙：
x5
，则（ ）
（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是充分条件；
（C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.
2003年
（1）设集合
M( x,y)xy1
，集合
N(x,y)xy2
，则集合M与N的关系是
（A）
M
T)N
是（ ）
(A)
{2,4,5,6}
(B)
{4,5,6}
(C)
{1,2,3,4,5,6}
(D)
{2,4,6}


22

22

N=M
（B）
MN=
（C）
NØM
（D）
MØN

（9）设甲：
k1
，且
b1
；乙：直线
ykxb
与
yx
平行。则
（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件；
（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
2004年
（1）设集合
M

a,b,c,d

，
N

a,b,c

，则集合
MN=

（A）

a,b,c

（B）

d

（C）

a,b,c,d

（D）


（2）设甲：四边形ABCD是平行四边形 ；乙：四边形ABCD是平行正方，则
（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件；
（C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.
2005年
（1）设集合
P=< br>
1，2，3，4,5

，
Q=

2,4,6,8, 10

，则集合
PQ=

（A）

2，4

（B）

1，2,3,4,5,6,8,10

（C）

2

（D）

4

（7）设命题甲：
k1
，命题乙：直线
ykx
与直线
yx 1
平行，则
（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件；
（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
2006年
（1）设集合
M=

101，，，2

，
N=

1，2，3

，则集 合
M
（5）设甲：
x1
；乙：
xx0
.
（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件；
（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
2007年
22
（8）若
x、y
为实数，设甲：
xy 0
；乙：
x0
，
y0
。则
2
N=

（A）

01，，，2

（C）

101，，，，，2，3



（B）

01

（D）

101
（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；

1

（C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
2008年
（1）设集合
A=

2，4，6

，
B=

1，2，3

，则
AB=

（A）

4

（B）

1,2,3,4,5,6

（C）

2,4,6

（D）

1,2,3


（4）设甲：
x

6
,
乙
:sinx
1
，则
2
（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；
（C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
二、不等式和不等式组
2001年
(4) 不等式
x35
的解集是（ ）
(A)
{x|x2}
(B)
{x|x8
或

x2}
(C)
{x|x0}
(D)
{x|x2}


x355>x358>x2x8
或
x2


2002年
（14） 二次不等式
x3x20
的解集为（ ）
（A）
{x|x0}
（B）
{x|1x2}
（C）
{x|1x2}
（D）
{x|x0}

2003年
（5）、不等式
|x1|2
的解集为（ ）
（A）
{x|x3或x1}
（ B）
{x|3x1}
（C）
{x|x3}
（D）
{x|x1}

2004年
（5）不等式
x123
的解集为
（A）
x12x15
（B）
x12x12
（C）
x9x15
（D）
xx15

2005年
（2）不等式
2


3x27
的解集为
45x21
(5,+)
（B）
(,3)[5,+)
（C）
(3,5)
（D）
[3,5)
（A）
(,3)

3x273x9 0

x
1
3
(3x9)(5x25)0

x5



45x215x250

2

2006年
（2）不等式
x31
的解集是
（A）
x4x2
（B）
xx2
（C）
x2x4
（D）
xx4

（9）设
a,bR
，且
ab
，则下列不等式中，一定成立的是
（A）
ab
（B）
acbc(c0)
（C）
2007年
（9）不等式
3x11
的解集是
22


11

（D）
ab0

ab
2

（A）
R
（B）

xx0
或
x

（C）


xx
3


2008年

2
2

（D）


x0x
3


2



3


（10）不等式
x23
的解集是
（A）
xx5
或
x1
（B）
x5x1
（C）
xx1
或
x5
（D）
x1x5

(由
x233x231x5
)

三、指数与对数
2001年
(6) 设
al og
0.5
6.7
，
blog
2
4.3
，
clog
2
5.6
，
则
a,b,c
的大小关系为（ ）
(A)
bca
(B)
acb

(C)
abc
(D)
cab

b< br>blog
2
x
b
c
x
a
blog
0.5
x
(
alog
0.5
x
是减函数,
x> 1
时,
a
为负；
blog
2
x
是增函数，
x>1
时
a
为正.故
log
0.5
6.72
4.32
5.6
)
2002年
（6） 设
log
3
2a
，则
log
2
9
等于（ ）
（A）
12
（B）
aa
3
2
2
2
log
3
92log
3
3
2
< br>aa
（C） （D）
log9

2

log2aa
23
3


（10） 已知
f(2x)log
2
4x10
，则
f(1)
等于（ ）
3
141
（A）
log
2
（B） （C）1 （D）2
32
4x210
log
2x10< br>，f(1)log
2110
log42

f(x)log
2222
333

（16） 函数
y
2003年
2
x

1

x1

1
的定义域是

xx1

。

20xlog
2
2x1


2
2

（2）函数
y51
的反函数为
（-x）
（A）
ylog
5
(1x), (x1)
（B）
y5
x1
x
, (x)

（C）
ylog
5
(x1), (x1)
（D）
y5
1x
1, (x)


y 5
x
15
x
y1xlog
5
5log5
(y1)xlog
5
(y1)


按习惯自变量和因变量分别用x和y表示
ylog(x1)；
定义域：
x10,x1
5

（6）设
0x 1
，则下列不等式成立的是
2
（A）
log
0.5
x log
0.5
x
（B）
2x2
（C）
sinxsinx
（D）
xx

2x22









y
y2
x
y2x
2
ysinx
2
ysinx
x
ylog
0.5
X
3



y2x
2
为增函数

0x1

值域
(0,2)
x22>2x，
排除（B）；


y2
x
为 增函数


值域
(1,2)


22

0x1xx,sinx排除（C）；

2

0x1xx，
排除（D）；


22
0x1 xx,logX
为减函数，
logxlogx，
故选（A）
0.50. 50.5

5
，则
x
等于
4
（A）10 （B）0.5 （C）2 （D）4

（8）设
log
x
2
4
2
5
lg2
555
4
[
log
x
22=log（log
x
2
4
， lgxlg2， lgxlg2，x2
]
x
22）
lgx444
4
4
1
4
5
4
2004年
1
=
12 （16）
64log
2
16
2005年
2
3
2

2

1
3
3
42
3
64l og4log24412

22


16
 
（12）设
m0
且
m1
，如果
log
m812
，那么
log
m
3

（A）
2006年
（7）下列函数中为偶函数的是
（A）
y2
x
（B）
y2x
（C）
ylog
2
x
（D）
y2cosx

（13）对于函数
y3
x
，当
x0
时，
y的取值范围是
（A）
y1
（B）
0y1
（C）
y3
（D）
0y3

（14）函数
f(x )log
3
(3xx
2
)
的定义域是
（A）
(,0)
1
2
1
11
1111

4
（B） （C） （D）
log3log3log812

mm

m

4442
3
23

(3, +)
（B）
(,3)(0,+)
（C）
(0,3)
（D）
(3,0)


3xx
2
>0x
2
3x<00x3


l2
o
3
g24

3log243

4
2

1
1

2
16
（19）
log
2
816=
1

log
2
8

1
2
2007年
（x-1）
（1）函数
ylg
的定义域为
（A）R （B）
xx0
（C）
xx2
（D）
xx1



1

（2）lg
4
8lg
4
2

=

< br>4

0
31

1

31

（A）3 （B）2 （C）1

lg
4
8lg
4
2

=lg
4
4
2
lg
44
2
1=1=1

（D）0
22
4



0
（5）
y2
的图像过点
（A）
(3,)
（B）
(3,)
（C）
(3,8)
（D）
(3,)


4
x
1
8
1
6

（15）设
ab1
，则
（A）
log
a
2log
b
2
（B）
log
2
alog
2
b
（C）
log
0.5
alog
0.5
b
（D）
log
b
0.5log
a
0.5










2008年
0
（3）
log
2
4()=

y
yl og
1.3
x
ylog
2
x
ylog
0.5< br>x
x
①同底异真对数值大小比较：
增函数真
(数)
大对< br>(数)
大，减函数真大对小如.log
3
0.5
log
3< br>0.4,
log
0.3
4
log
0.3
5;
②异底同真对数值大小比较：
同性时：左边
[点(1,0)的左边]
底大 对也大，右边
[点(1,0)的右边]
底大对却小.
异性时：左边减
(函数)
大而增
(函数)
小，右边减小而增大.
如log
0.4
0.5>
log
0.3
0.5,
log
0.4
5<
log
0.3
5;
log
0.4
0.5>
log
3
0.5,
lo g
4
5<
log
3
5
③异底异真对数值大小比较：
同性时：分清增减左右边，去同剩异作比较.
异性时：不易不求值而作比较，略.
如： log
3
6
log
4
8(
log
3
6 1
ylog
0.77
x
lg2lg2lg2lg2
,
l og
4
81,
log
3
6
log
48)
lg3lg4lg3lg4
1
3
（A）9 （B）3 （C）2 （D）1

log
2
4()
0
=log
2
2
2
1=21=1


（6）下列函数中为奇函数的是
（A）
ylog
3
x
（B）
y3
x
（C）
y3x
2
（D）
y3sinx

（7）下列函数中，函数值恒大于零的是
（A）
yx
2
（B）
y2
x
（C）
ylog
2
x
（D）
ycosx

（9）函数
ylgx3-x
的定义域是
（A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（∞，3]
[由
lgx
得
x>0
，由
3-x得
x3
，
xx0
（11）若
a1
，则
（A）
log
1
a0
（B）
log
2
a0
（C）
a
2
y


1

a1


a，y0，
故选
（A）

分析①：
设ylog
1
a
2

2



分析②：yloga是减函数，由yloga的图像知在点（1,0）右边, y 0，故选（A）

11

22



1
3



xx3

=

x0
故选（C）]
1
0
（D）
a
2
10

四、函数
2001年
(3) 已知抛物线
yxax2
的对称轴方程为
x1
,则这 条抛物线的顶点坐标为（ ）
(A)
(1,3)
(B)
(1,1)
(C)
(1,0)
(D)
(1,3)

2


x
0
1,


a
x=1a2
0


2

a
2
4(2)(2)
2
4(2)3

y
0

44

5

(7) 如果指数函数
ya
x
的图像过点
(3, )
，则
a
的值为（ ）
(A) 2 (B)
2
(C)

1
8
1
1
(D)
2
2
(10) 使函数
ylog
2
(2xx
2
)
为增函数的区间是（ ）
(A)
[1,)
(B)
[1,2)
(C)
(0,1]
(D)
(,1]







2xx
2
0x
2
2x00x2


2
∵ y2xx
开口向下，对称轴为：


x
b

2

1

2a2(1)

1]为
ylog
2
(2xx
2
)的
增区间
.< br>
∴(0，
y
x
y=2xx
2
ylog
2
(2xx
2
)
5
x
5
x
6x
(13)函数
f(x)
是（ ）
2
(A) 是奇函数 (B) 是偶函数
(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数
(16) 函数
y







(21) (本小题11分) 假设两个二次函数的图像关于直线
x1
对称，其中一个函数的表达式为
减函数，真数须在(0,1]之间，对数才为正

lo g
1
(4x3)0



3

3

0<4x313<4x4x1

4
log
1
(4x3)
的定义域为__________ __。
3
y
x
yx
2
2x1
,求另一个函 数的表达式。
2
解法一 函数
yx2x1
的对称轴为
x1
，
2
2
41(1)
2
顶点坐标:
x0
=1
，
y
0

4a41
2
2
设函数
yxb

xc

与函数
yx2x1
关于
x1
对称，则
2
函数
y

xb

xc

的对称轴
x

 3


=3
，
y
0

2
顶点坐标:
x
0
b


2136
，


得：
b

2ax
0
由
x
0
2a
4ay
0
b

2
4 (2)6
2
b

2
4ac


 y
0
得：
c7
由
y
0
4a4a4
2
所以，所求函数的表达式为
y

x6x7

22
解法二 函数
yx2x1
的对称轴为
x1
，所求函数与函数
yx2x1
关于
x1
对称，则
2
所求函数由函数
yx2x1
向
x
轴正向平移
4
个长度 单位而得。
设
M(x
0
,y
0
)
是函数
yx2x1
上的一点，点
N(x,y)
是点
M(x< br>0
,y
0
)
的对称点，则
2

6

2

y
0
x
0
 2x
0
1
，


x
0
x4

xx4
2
，将

0
代入
y
0
x
0
2x
0
1

yyyy

0

0
得:
yx
2
6x7
.即为所求。
(22) (本小题11分) 某种图书定价为每本
a
元时，售出总量为
b
本。如果售价上涨
x
%，预计售出总量
将减少
0.5x
%， 问
x
为何值时这种书的销售总金额最大。
解 涨价后单价为
a(1x0.5x
)
元本，售量为
b(1)
本。设此时销售总金额为
y
，则：
100100
x0.5x0.5x0.5x
2
0.5x< br>y=a(1)b(1)=ab(1)
，令
y

=ab()= 0
，得
x50

10
10010000
所以，
x50
时，销售总金额最大。
2002年
（9） 若函数
yf(x)
在
[a,b]
上 单调，则使得
yf(x3)
必为单调函数的区间是（ ）
A．
[a,b3]
B．
[a3,b3]
C．
[a3,b3]
D．
[a3,b]


因yf(x)与yf(x3)对应关系相同，故它们的图像相同；因yf(x)与yf(x3)的< br>

自变量不同，故它们的图像位置不同，f(x3)的图像比yf(x)左移3个 长度单位.


因f(a)f(x3)时，必有x3a，即xa-3;



 f(b)f(x3)时，必有x3b，即xb-3.


所以，yf(x3)的单调区间是
[a3,b3]

4x10
（10） 已知
f(2x)log
2
，则
f(1)
等于（ ）
3
141
（A）
log
2
（B） （C）1 （D）2
32
4x210
log
2x10
, f(1)log
2110
log42



f(x)log
2
，
222


333


（13） 下列函数中为偶函数的是（ ）
x22
（A）
ycos(x1)
（B）
y3
（C）
y(x1)
（D）
ysinx

（21）（本小题12分） 已知二次函数
y
为2，求
b
的值。
x
2
bx 3
的图像与
x
轴有两个交点，且这两个交点间的距离
bx3=0
的两个根， 解 设两个交点的横坐标分别为
x
1
和
x
2，则
x
1
和
x
2
是方程
x
2
得：
x
1
x
2
b
，
x
1
x
2
3

又得：
x
1
x
2
< br>
x
1
x
2

2


x
1
x
2

2
4x
1
x
2b
2
122
，
b=4

（22）（本小题12分） 计划建造一个深为
4m
，容积为
1600m3
的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造
价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池 壁与池底造价之和最低为多少元？
解 设池底边长为
x
、
y
，池 壁与池底造价的造价之和为
u
，则
xy
1600400

400
，
y
4x
400400
u40xy204(2x 2y)40400204(2x2)16000160(x)

xx


20
2

)40


x


16000160

(x
故当
x

20
0
，即当
x20
时，池壁与池底的造价之和最低且等于：
x
7

u16000160(x
400400
)16000160(20)22400(
元
)

x20
答：池壁与池底的最低造价之和为22400元
2003年
（3）下列函数中，偶函数是
（A）
y3
x
3
x
（B）
y3x
2
x
3
（C）
y1sinx
（D）
ytanx

（10）函 数
y2x
3
x
2
1
在
x1
处的导 数为
（A）5 （B）2 （C）3 （D）4

y

（11）
y
x1
(6x
2
2x)
x1
624



lg(x
2
x1)
的定义域是
（A）
xx1
（B）
xx2
（C）
xx1
或
x2
（D）


2 22

lg(xx1)0xx11xx20x1
或x2

xx1
或
x2





y


（17）设函数
f(t-1)t
2
2t2
，则函数
f(x)x
2
1

（20）（本小题11分） 设
f(x)ax
，
g(x)
解 依题意得：
x
b1 11
，
f(2)g()=8
，
f()g(3)=
，求
a、b
的值.
x233

f(2)g(
1
)2a2b8


a
•
b
2
①

a
1
2

a
2
1

2
， ，
解得

，



即



1ab1
b1 b2

1

2

ab1 ②

f()g(3)
333

3
（21）（本小题12分） 设
f(x)x
2
2axa
2
满足
f(2)f(a)
，求此函数的最大值.
解 依题意得：
44aa
2
a
2
2a2
a
2
，即
a
2
a40
，得：
a
1
a
2
2

f(x)x
2
 4x4(x
2
4x4)(x2)
2
8
，
可见，该函数的最大值是8（当
x2
时）

2004年
（10）函数
f(x)sinxx
3

（A）是偶函数 （B）是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数也又是偶函数
3
（15）
f(x)x3
，则
f

(3)=

（A）27 （B）18 （C）16 （D）12
（17）
y5sinx12cosx
13
5

y13(
5
sinx
12
cosx)13(sinxcos< br>
cosxsin

)=sin（x

），cos

=

，

131313


（20）（本小题满分11分） 设函数yf(x)
为一次函数，
f(1)=8
，
f(2)=1
， 求
f(11)

解 依题意设
yf(x)kxb
，得

f(1)kb8k3
，得，
f(x)3x5
，
f( 11)=38

f(2)2kb1b5
8


（22）（本小题满分12分） 在某块地上种葡萄，若种50株，每株产葡萄
70kg
；若多种一株，每株减产
1kg
。
试问这块地种多少株葡萄才能使产 量达到最大值，并求出这个最大值.
解 设种
x
（
x50
）株葡萄时产量为S，依题意得
< br>Sx)

70-(x-5

0
2
，
x< br>0

1x20x
b120
60
，
S
0
=1206060
2
=3600(kg)

2a2（1）
所以，种60株葡萄时产量达到最大值，这个最大值为3600
kg
.
2005年
（3）设函数
f(x)x
2
1
，则
f(x2)
（A）
x4x5
（B）
x4x3
（C）
x2x5
（D）
x2x3

（6）函数
y
2222
x1
的定义域是
（A）
xx1
（B）
xx1
（C）
xx1
（D）
xx1
或
x1


x10x11x1，
即：
x1
或
x1


（9）下列选项中正确的是
（A）
yxsinx
是偶函数 （B）
yxsinx
是奇函数
（C）
yxsinx
是偶函数 （D）
yxsinx
是奇函数
（18）设函数
f (x)axb
，且
f(1)
5
，
f(2)4
，则< br>f(4)
的值为 7
2
53

33

f(1)ab

a
注：

2
< br>
2
f(x)x1f(4)417
22

f(2)2ab4b1

（23）（本小 题满分12分）
x
已知函数
y
1
x
2
2x 5
的图像交y轴于A点，它的对称轴为
l
；函数
y
2
a< br>的图像交y轴
（a1）
于B点，且交
l
于C.
（Ⅰ）求
ABC
的面积
（Ⅱ）设
a3
，求AC的长
解（Ⅰ）
y
1
x
2
2x5
的对称轴方程为：
x
A
y
l
y
2
3
x
y1
x
2
2x5
b2
1

2a2
B
C
依题意可知
A、B、C
各点的坐标为
A(0,5)、
B(0,1)
、
C(1,a)

得：
AB=(00)(51)=4

在
ABC
中， AB边上的高为1（
x1
），因此，
S
ABC
=
22< br>x
1
41=2

2
22
（Ⅱ）当
a3
时，点C的坐标为C（1，3），故
AC=(0)(5)=5

2006年
（4）函数
yx2x3
的一个单调区间是
（A）

0,

（B）

1,

（C）

,2

（D）

,3


（7）下列函数中为偶函数的是
（A）
y2
（B）
y2x
（C）
ylog
2
x
（D）
y2cosx


9
x
2

（8）设一次函数的图像过点（1，1） 和（2，0），则该函数的解析式为
（A）
y
1212
x
（B）
yx
（C）
y2x1
（D）
yx2

3333
y110112

y y
1
y
1
y
2

3(y1)x 1yx

xxxxx11(2)333

112

（10）已知二次函数的图像交
x
轴于（1，0）和（5，0）两点，则该图像的 对称轴方程为
（A）
x1
（B）
x2
（C）
x3
（D）
x4

（17）已知P为曲线yx
3
上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是
（A）
3xy20
（B）
3xy40
（C）
3xy20
（D）
3xy20


ky


2
3x

x1x1
3, P
点的坐标：
(1,1), y13(x1)3xy20



（20）直线
y3x2
的倾斜角的度数为
60


180<

0,tan

y
< br>

2007年



3x23,

arctan360




（x-1）
（1）函数
ylg
的定义域为
（A）R （B）
xx0
（C）
xx2
（D）
xx1

（5）
y2
x
的图像过点
 
11
86
（6）二次函数
yx
2
4x5< br>图像的对称轴方程为
（A）
x2
（B）
x1
（C）
x0
（D）
x1

（A）
(3,)
（B）
(3,)
（C）
(3,8)
（D）
(3,)

（7）下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是
（A）
f(x)
1x2
2
f(x)cosf(x)
（B） （C） （D）
f(x)xx
1x
2
3x

f(x)(x
2
x)

22
< br>(B) f(x)(x)(x)xx

f(x)




0)
，则该二次函数的最小值为 （10）已知二次函数
y x
2
pxq
的图像过原点和点
(4，
（A）－8 （B）－4 （C）0 （D）12


q0
22
函数图像过
(0,0)
和
(4,0)yx4x (x2)4y4



min
164p0p 4


2
（18）函数
yxx
在点
(1, 2)
处的切线方程为
y3x1



ky

（21）设
f()
2008年 < br>x1
(2x1)
x1
3,y2k(x1)y3x1 


x
2
1
2
xx
，则
f( x)
x
2
2x
4
1

22

f(x)(2x)2xx2x

4

（5）二次函数
yx2x2
图像的对称轴方程为
（A）
x1
（B）
x0
（C）
x1
（D）
x2

（6）下列函数中为奇函数的是

10
2

（A）
ylog
3
x
（B）
y3
x
（C）
y3x
2
（D）
y3sinx

（7）下列函数中，函数值恒大于零的是
（A）
yx
2
（B）
y2
x
（C）
ylog
2
x
（D）
ycosx
< br>（8）曲线
yx
2
1
与直线
ykx
只有一个公 共点，则k=
（A）2或2 （B）0或4 （C）1或1 （D）3或7






y2x
2
y
x
y2x

yx
2
1
的切线
y

2x
就与
yx2
1
只有一个公共点，


2

yx 1
y


2

y2xy2xx1,k y2


2
x
y2x



（9）函数
ylgx3-x
的定义域是
（A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（∞，3]
[由
lgx
得
x>0
，由
3-x
得
x3
，
x x0
（13）过函数
y

xx3

=

x0
故选（C）]
6
上的一点P作
x
轴的垂线PQ，Q为垂足，O为坐标原点，则
OPQ
的面积为
x
（A）6 （B）3 （C）12 （D）1
[设Q点的坐标为
x
， 则
S
OPQ

116
yxx3
]
22x
五、数列
2001年
(11) 在等差数列

a
n

中，
a
5
8
，前5项之和为10，前10项 之和等于（ ）
(A) 95 (B) 125 (C) 175 (D) 70
5(a
1
a
5
)5(a
5
4d a
5
)
5(84d8)
===10
，
d=3

222
5(a
10
a
6
)5(a5da
5< br>+d)5(2a
5
6d)
5(2863)
< br>S
10
=S
5
=S
5

5
=S< br>5
=10=95

2222

a
n1
2a
n
3b
n
n1,2,3,......
。 (23) (本小题11分) 设数列

a
n

，

b
n

满足
a
1
1
，
b
1
0
且


b
n1
a
n
2b
n
注：
S
5
=
(ii)求

a
n

，

b
n

的通项公式。
(i)求证
a
n
3b
n
和
a
n
3b< br>n
都是等比数列并求其公比；

1，，， 2 7 29， ， 2a
n1
3b
n1


a
n
：
证(i)


0，，， 1 4 43， an-1
2b
n-1



b
n
< br>：

a
n
3b
n
:
1， 23， 743， 29153， ， a
n
3b
n




a

3b

:
1， 23， 743， 29153， ， a3b

可见

a3b< br>
与

a3b

的各项都不为0.
a3b=2 a3b3a23b=

2+3

a

323
b=

2+3

a3b


a3b
q==

2+3

， 所以，

a3b

是等比数列且其公比为
q=2+3
< br>
a3b

a3b=2a3b3a23b=

2 3

a

323

b=

23
a3b


nn
nn
nnnn
n1n 1nnnnnnnn
n1
n
n1
nn
n
n1n1 nnnnnnnn

11

a
n1
3b
n1
a
n
3b
n
=23
所以，
a
n
3b
n
是等比数列且其公比为
q=23


(ii) 由
a
n
a
1
q
n1
得
1


n1n1

a=(23)(23)
n




a
n
3b
n
=(23)
2
， 得：


n1
3


b=

(23)
n1
(23)
n1


a
n
3b
n
=(23)


n
6

n1
2002年
（12） 设等比数列
{a
n
}
的公比
q2
，且
a
2
a
4
8
，则
a
1
a
7
等 于（ ）
（A）8 B．16 （C）32 （D）64
（a
1
•
a
7

a
2
a
4
q
3
a
2
a
4
q
2
8

2
2

32
）

q
（2 4）（本小题12分）数列
{a
n
}
和数列
{x
n
}
的通项公式分别是
a
n
21
2n1
，
2< br>n2n2
x
n
(n1)
2
1a
1
a
2
a
n
。
（Ⅰ）求证
{x
n
}
是等比数列；
（Ⅱ）记
S
n
x
1
x
2
x
n
，求
S
n
的表达式。
证（Ⅰ）因
a
n
>0
，
(n1)
2
1>
，故
{x
n
}
为正数列 。当
n>2
时

(n1)
2
1a< br>1
a
2
a
n
(n1)
2
1(n 1)
2
1
x
n
2n1
==a
n
= 21
2
x
n1
n2n2
n
2
1a1
a
2
a
n1
n
2
1n
2
1
=2
(n1)1
n
2
1
2
n1
=2
n
2
2n2
2
可见
{x
n
}
的公比是常数
2
，故
{x
n
}
是等比数列。
x
3
（Ⅱ）由
x
1
5 212
，
q
n
2
得：
5
x
n1
a
1
(1q
n
)
2(12
n
)
S
n
x
1
x
2
x
n
 2(2
n
1)(21)(2
n
1) (2
3
2)
1q

12
2
n3
2
n2
2
3
2(2)
n3
(2)
n 2
222
2003年
（23）已知数列
（Ⅰ）求

a
n

的通项公式，
na
（Ⅱ）设
b
，求数列

b
n
的前n项和.
2
n
n
n

a
n
< br>的前
n
项和
S
n
2a
n
3
.
解（Ⅰ）当
n1
时，
a
1
S
1
2a
1
3
，故
a
1
3
，
当
n 2
时，
a
n
S
n
S
n-1
2an
3(2a
n1
3)2a
n
2a
n1< br>，
故
a
n
2a
n1
，
q
a
n
2a

n1
2
，所以，
a
n
a
1
q
n1
32
n1

a
n 1
a
n1
na
n
n32
n1
3n

（Ⅱ）
b
n

n

，
2
2 2
n
3n
b
n
2
∵
q
n
 ，∴

b
n

不是等比数列

b
n1
3(n1)n1
2

12

∵
db
n
b
n1

3n
3 (n1)
3

， ∴

b
n

是等差数列
222
33
( n)n
3n
(b
1
b
n
)n
22
 (n1)


b
n

的前n项和：
S
n

224
2004年
（7）设

a
n

为等差数列，
a
5
9
，
a
15
39< br>，则
a
10


（A） （B） （C） （D）
1


aa9d,a a2a18d2a,a
是
a和a
的等差中项，
a(aa)2 4
1510515

2

（23）（本小题满分12分） 设< br>
a
n

为等差数列且公差d为正数，
a
2
a
3
a
4
15
，
a
2
，
a
3
1
，
a
4
成
等比数列，求
a
1
和
d
.
解 由
a
2
a
3
a
4
3a
3
15
，得
a
3
5，
a
2
a
4
10
①
< br>由
a
2
，
a
3
1
，
a
4
成等比数列，得
a
2
a
4
(a
3
1)
2
(51)
2
16 ②

由

2005年
（13）在等差数列

a
n
中，
a
3
1
，
a
8
11
，则
a
13


（A） （B） （C） （D）22


a
2
a
4< br>10①

a
2
1
2
da
3
a
2
523
，得

，


aad231
2


a2
a
4
16 ②

a
2
2
 8(
大于
a
3
,
舍去
)

1

a
8
a
3
(83)d15d11, d2, a
13
a
3
(133)d110d110221



或者这样解：
a
是
a和a
的等差中项
，2a=a+a，a=2aa=2111=21
831381331383

（22）（本小题满分12分） 已知等比数列

a
n

的各项 都是正数，
a
1
2
，前3项和为14。求：
（Ⅰ）数列

a
n

的通项公式；
（Ⅱ）设b
n
log
2
a
n
，求数列

b< br>n

的前20项之和。
a
1
(1q
3
)
2(1q
3
)2(1q)(1qq
2
)
解（Ⅰ）< br>S
3
14
，
1q1q1q
得
qq 6
，

2

q
1
2
，所以，
a
n
a
1
q
n1
22
n1
2
n


q
2
3(
不合题意,舍去
)< br>(120)20
210

2
（Ⅱ）
b
n
log
2
a
n
log
2
2
n
n< br>，
数列

b
n

的前20项的和为
S< br>20
123
2006年
（6）在等差数列

an

中，
a
3
1
，
a
5
 7
，则
a
7


20
（A）11 （B）13 （C）15 （D）17

a
5
a
3
(73)d12d7, d4, a
7
a
5
2d72(4)=15


1
（22）（本小题12分） 已知等比数列

a
n
中，
a
3
16
，公比
q
。求：
2
（Ⅰ）数列

a
n

的通项公式；
（Ⅱ）数列

a
n

的前7项的和。

13


1

1

解（Ⅰ）a
3
a
1
q
2
，
a
1
< br>
=16
，
a
1
=64
，
a
n< br>a
1
q
n1
64


2

2

2n1
2
7n
2
6
2
1n
2
7n



1

7

64

1


7
n
2

a
1
(1q)
11




1281
（Ⅱ）
S
7





=128

1

127
< br>1
1q

128




2


1
2
2007年
（13）设等比数列

a
n

的各项都为正数，
a
1
1
，
a
3
9
，则公比
q

（A）3 （B）2 （C）－2 （D）－3
（23）（本小题满分12分） 已知数列

a
n

的前n 项和为
S
n
n(2n1)
,
（Ⅰ）求该数列的通项公式；
（Ⅱ）判断
a
n
39
是该数列的第几项.
解（Ⅰ） 当
n2
时，
a
n
S
n
S
n-1
n(2n1)(n1)

2(n1)1

4n1

当
n1
时，
a
1
S
1
1(21 1)3
，满足
a
n
4n1
，
所以，
a
n
4n1

（Ⅱ）
a
n
4n139
，得
n10
.
2008年
（15）在等比数列

a
n

中,
a
2
=6
，
a
4
=24
，
a6
=

2

a
4
24
2
2
（A）8 （B）24 （C）96

a
2
a
6
a< br>4
a
6
96

（D）384
a
2
6

（22）已知等差数列

a
n

中，
a
1
9
，
a
3
a
8< br>0

（Ⅰ）求等差数列的通项公式
（Ⅱ）当
n
为何值时， 数列

a
n

的前
n
项和
S
n< br>取得最大值，并求该最大值
解（Ⅰ）设该等差数列的公差为
d
，则
a
3
a
1
2d
，
a
8
a
1
7d
，
a
3
a
8
a
1
2 da
1
7d2a
1
9d0

将
a
1
9
代入
2a
1
9d0
得：
d2，
该等差数列的通项公式为
a
n
a
1
(n-1) d9(n-1)(2)112n

（Ⅱ）数列

a
n

的前
n
项之和 S
n

n(a
1
a
n
)
n(91 12n)
10nn
2

22
n5

1 02n0
，
n5
，
S
nmax
(10nn
2
)
令
S
n
25

六、导数
2001年
(22) (本小题11分) 某种图书定价为每本
a
元时， 售出总量为
b
本。如果售价上涨
x
%，预计售出总量
将减少
0.5x
%，问
x
为何值时这种书的销售总金额最大。
解 涨价后单价为
a(1
x0.5x
)
元本，售量为
b(1)
本。设此时 销售总金额为
y
，则：
100100
x0.5x0.5x0.5x
2
0.5x
y=a(1)b(1)=ab(1)
, 令
y

=ab()=0
，得
x50

10
10010000
所以，
x50
时，销售总金额最大。
2002年

14

（7） 函数
y
1
2
xx3
的最小值是
2
57
（A）

（B）

（C）
3
（D）
4

22
11
2
17



y2x1, x,y2（）（）3
min

2222

（22）（本小题12分） 计划建造一个深为
4m
，容积为
1600m
3< br>的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造
价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底 造价之和最低为多少元？
解 设池底边长为
x
、
y
，池壁与池底 造价的造价之和为
u
，则
xy
1600400

400
，
y
4x
400400
u40xy204(2x2y) 40400160(xy)16000160(x)， u

=160(1
2
)
x
x

400< br>令u

=0，得
1
2
0，x20(x20
舍去
)
x

400

x20
)


u
min


16000160(x
x

16000160(20
400
)22400(
元
)

20
答：池壁与池底的最低造价之和为22400元
2003年
（10）函数
y2x
3
x
2
1
在
x1< br>处的导数为

（A）5 （B）2 （C）3 （D）4


y
2004年
（15）
f(x)x
3
3
，则
f

(3)=

（A）27
2005年
（17）函数
yx(x1)
在
x2
处的导数值为 5


y

x2
x1
(6x
2
2x)
x1
4




f
(3)3x
2
x3
27

（B）18 （C）16 （D）12
(2x1)
x2
5


（21）求函数
yx
3
3x
在区间
[0,2]
的最大值和最小值（本小题满分1 2分）
解 令
y

3x
2
33(x
2< br>1)3(x1)(x1)0
，得
x
1
1
，
x
2
1
（不在区间
[0,2]
内，舍去）
0, y
x1
1
3
312, y
x2
2
3
322

可知函数
yx< br>3
3x
在区间
[0,2]
的最大值为2，最小值为2.
y
x0
2006年
（17）已知P为曲线
yx
3上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是
（A）
3xy20
（B）
3xy40
（C）
3xy20
（D）
3xy20


ky


2007年
2
x1
< br>
3x
2

x1
3, P
点的坐标：
(1,1), y13(x1)3xy20



（12）已知抛物线
y4x
上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过 点P和原点的直线的斜率为
（A）
或

4
5
55
4
（B）
或

（C）
1
或
1
（D）
3
或
3

44
5
1y

2

2
由
y2px
和
y4x
得
p=2 , xp5x4 y4k1


2x
 
2
（18）函数
yxx
在点（1，2）处的切线方程为
y3x1


15

［
ky

)
x1
3
，
y2k(x1)
，即
y 3x1
］
x1
(2x1
2008年
（8）曲线
yx
2
1
与直线
ykx
只有一个公共点，则
k
（A）2或2 （B）0或4 （C）1或1 （D）3或7






y2x
2
y
x
y2x

yx
2
1
的切线
y

2x
就与
yx2
1
只有一个公共点，


2

y

yx1

2

y2xy2xx1, ky2


2
x


y2x


2）
（25）已知函数
（
24

fx） x
4
mx
2
5
，且
f（
（Ⅰ）求
m< br>的值
fx）
（Ⅱ）求
（
在区间

2，2

上的最大值和最小值

x）

2）
解（Ⅰ）
f （4x
3
2mx
，
f（42
3
2m224< br>，
m2


x）
（Ⅱ）令
f（4x
3
2mx=4x
3
4x0
，得：
x
1
0，
x
2
1
，
x
3
1

（f0）=5
，
（f1）=125=4
，
（f1）=125=4< br>，
（f-2）=1685=13
，
（f2）=1685=13

fx）
所以，
（
在区间

2，2

上的 最大值为13，最小值为4.
七、平面向量
2001年
(18)过点
( 2,1)
且垂直于向量
a(1,2)
的直线方程为
x2y0
。


a(1,2)
所在直线的斜率
k2，与
a
垂直的直线的斜率
k


2002年
（ 17）已知向量
a(3,4)
，向量
b
与
a
方向相反，并 且
|b|10
，则
b
等于
b(6,8)
。
解 设
b(x,y)
，因向量
b
与
a
方向 相反（一种平行），故


1

，
所求直线
y1 k

(x2)


2

34

，即
4x3y ①
，
xy
a•b3x4y|a||b|cos1803
2
4
2
1050②

将①与②组成方程组：

也可这样简单分析求解：
因
|a|5
，
|b|10
，
|b|
是
|a|
的二倍，
b
与< br>a
方向相反，故
b2a=2(3,4)=(6,8)

2003年
(13)已知向量
a
、
b
满足
|a| =4
，
|b|=3
，
a,b=30
，则
ab=

（A）
3
（B）
63


ab=abcosa,b=43cos30=63

（C）6 （D）12

4x3y ①

x6
，解得：

，故
b(6,8)

y8
3x4y=50②



200 4年
（14）如果向量
a(3,2)
，
b(1,2)
，则
(2a+b)(a-b)
等于
（A）28 （B）20 （C）24 （D）10

2a=2(3,2)=(6,4), 2a+b =(6,4)+(1,2)=(5,2)，ab=(3,2)(1,2)=(4,4)


(2a+b)(ab)=(5,2)(4,4)=28




16

2005年
（14）已知向量
a,b
满足
a3
，
b4
，且
a
和
b
的夹角为
120
，则
ab

（A）
63
（B）
63
（C） （D）6
2006年
（3）若平面向量
a(3,x)
，
b (4,3)
，
ab
，则
x
的值等于
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

34(3x)0, x4


2007年
（3）已知平面向量
AB=(2,4)< br>，
AC=(1,2)
，则
BC=

（A）
(3,6)
（B）
(1,2)
（C）(3,6)

(1,2)(2,4)=(3,6)

（D）
(2,8)

2008年
（x ，） 2
，
b（2 ， 3）
（18）若向量
a
，
ab，则
x

4

x24
, x



3

223

八、三角的概念
2001年
（5，）12
，则
cot

sin

等于（ ） (5) 设角的终边通过点
P
(A)
7979
77
(B)

(C) (D)


156156
1313

5121251279



cot

=, sin

==, cot

sin

==


22

(5)12

1
7
（5） 已知< br>sin

cos


，
sin

cos


，则
tan

等于（ ）
5
5
43
（A）

（B）

（C）1 （D）－1
34

sin

cos


1
①

①+②
得
：

8
8
2sin

=



55
, tan

=
2sin

=
5
=
4


,


76
2cos


63

sin

cos

 ②①-②
得
：2cos
=


5
55




2003年
（4）已知

2
<

<

，则
sin
2

sin
4

=

（A）
sin

co

（B）
sin

co

（C）
sin2

（D）
sin2



(sin

cos

>0时)


si n

cos

，
242222
sin

 sin

=sin

（1sin

）=sin

cos

=sin

cos

=


sin

cos

,(sin

cos< br>
<0)时






24
∵<

<

, ∴sin

>0,cos

<0, sin

cos

<0, ∴sin

sin

=sin

cos


2
2007年
（11）设
sin

=
1
，

为第二象限 角，则
cos

=

2


=150
1
3

23
（A）

（C） （D）


（B）


2
2

cos150=
22


17

九、三角函数变换
2002年
（3） 若
x[

,2

]
，
cosx
3
，则
x
等于（ ）
2
5

11

7

4

（A） （B） （C） （D）
36
63


x2n

150(x
在 第二象限时
)
3

7


x[

,2

]

xarccos(


)=
x210210

21806

x2n< br>
210(x
在第三象限时
)







2003年
（19）函数
ycos3xsin3x
的最大值是
2


y
2
cos
2
3xsin
2
3x2cos 3xsin3x1sin6x, y=1sin6x, y
max
y

2004年
（9）
sin
sin6x1
2




12
cos

12
=

（A）
11
（B）
24
1

1

33
（C） （D）
原式sin

24
264

（17）函数
y5sinx12cosx
的最小值为13
5

y13(
5
sinx
12
cosx)13(sinxcos

cosxsin

)=sin（x

），cos
< br>=


131313

2005年
（10）设

(0,)
，
cos

=
，则
sin2

=


2
3
5
（A）
8912
24
（B） （C） （D）
25
252525
2


3

324


2

∵

(0,), ∴sin

>0, sin2

=2sin

cos

=21cos

cos

=21

=


25

525



2006年
（ ）在
ABC
中，
C=30
，则
cosAcosBsinA sinB
的值等于
（A）
11
33
（B） （C）

（D）


2
2
22


原式=cosAcos(150A)sinAsin(150A)


=cosA(cos150cosAsin150sinA) sinA(sin150cosAcos150sinA)



3
22

=cosAcos150sinA cos150=cos150=


2
2007年
（19 ）
sin(45

)cos

cos(45

)sin

的值为


sin(45
)cos

cos(45

)sin

=sin(45



)=sin45




18

十、三角函数的图像和性质
2001年
(14)函数
ycos3x3sin3x
的最小正周期和最大值分别是（ ）
2

2

2
(D)
2

，1

，1
(B)
，2
(C)
2

，
33

13
ycos3x3 sin3x=2(cos3xsin3x)=2(sin

cos3xcos

sin3x)=2cos(3x

)

22


T
2


2

， sin


1
， cos


3
，
当
cos(3x

)=1
时
，
函数取得最大值
2



322

(A)
2005年
（4）函数
ysin
x
的最小正周期是
2

2


4


（C）
2

（D）

（A）
8

（B）
4



T
12

（20）（本小题满分11分）
（Ⅰ）把下表中
x
的角度值化为弧度值，计算
ytanx- sinx
的值填入表中：
x
的角度值
x
的弧度值
ytanx-sinx

(精确到0.0001)
0



9



18

27



36



45





10

（Ⅱ）参照上表中的数据，在下面的直角坐标系中画出函数
ytanx- sinx
在区间

0，

上的图像
y




4






解（Ⅰ）
0.3
0.2
0.1
0

20

10
3

20

5
4
xrad
x
的角度值
x
的弧度值
ytanx- sinx

(精确到0.0001)
（Ⅱ）







0

0
0
y
9



20
0.0019
18



10
0.0159
27

3


20
0.0553
36



5
0.1388
45



4
0.2929
0.3
0.2
0.1
0

20

10
3

20

5
19

4
xrad

2006年
（18）函数
ysin2x
的最小正周期是
2007年
(4)函数
ysin


1
x
的最小正周期为
3
（A）

（B）
2

（C）
6

（D）
8


3
2008年
（2）函数
ycos
x
的最小正周期是
3
（A）
6

（B）
3

（C）
2

（D）


3
十一、解三角形
2001年
(20) (本小题11分) 在
ABC
中，已知
A45
，
B30
，
AB=23.26
，求
AC
（用小数表示，结
果保留到小 数点后一位）。
解

23.26sin30
23.26AC
ABAC
12.0

=
， ，
AC=
=
s inCsinB
sin75
sin(1804530)sin30
。
 2AB
，求
sinC
（精确到
0.001
）
C
20 02年
（20)（本小题11分） 在
ABC
中，已知
A60，且
BC
ABBC
=
解
sinC
sin60< br>ABAB33
sinC=sin60==0.612

BC2
2AB22
2003年
（22）（本小题12分）
2AB
60
A
B
如图，某观测点B在A地南偏西
10
方向，由A地 出发有一条走向为南偏东
12
的公路，由观测点B
发现公路上距观测点
10k m
的C点有一汽车沿公路向A驶去，到达D点时，测得
DBC90
，
BD 10km
，问汽车还要行驶多少km才可到达A地（计算结果保留两
位小数）
解
BAD1012
A
北
东
2

2
∵
DBC90
，
BCBD
，
∴
BCD
是等边直角三角形，
BDC45

10
12
D
ABDBDCBAD452223

BD10
sinABDsin2310.43(km)
AD
sinBAD
sin22
答：为这辆汽车还要行驶
10.43k m
才可到达A地
2004年
结果保留小数点后两位）
10km
B
10km
C
（21）（本小题满分12分） 已知锐角< br>ABC
的边长AB=10，BC=8，面积S=32.求AC的长（用小数表示，

20

解
S=ABBCsinB=108sinB=32 ，
1
2
1
2
44

3

得：
sinB=，cosB=1sin
2
B=1


=
5

5

5
3
AC
2=AB
2
BC
2
2ABBCcosB=10
2
 8
2
2108=68
5
AC=688.25
2006年
2
C

A
B
（23）（本小题12分） 已知在
ABC
中，
B AC=60
，边长
AB=5
，
AC=6
.
（Ⅰ）求BC的长
（Ⅱ）求
ABAC
值

C
解 （Ⅰ）
BC=AB
2
AC
2
2ABACcosBAC

6
A
=56256cos60=31
（Ⅱ）
ABAC=ABACcosBAC=56cos60=15

2007年
（Ⅰ）
B
的正弦值；
（Ⅱ）
ABC
的面积.
解（Ⅰ）
B=45
，
sinB=sin45=
22
60
5
B
（22）（本小题满分12 分） 已知
ABC
的三个顶点的坐标分别为A（2，1）、B（1，0）、C（3，0），求
2

2
1
y
B
A
1
（Ⅱ）
ABC
的面积
S
ABC
=21=1

2
2008年
（20）在
ABC
中，若
sinA=C
2
0
1
3
x
1
，
C=150，
BC=4
，则AB=
3
B

A< br>
BC

ABBCsinC4sin150
, AB6



C
1
sinAsinCsinA

3

（23）如图，塔
PO
与地平线
AO
垂直，在
A
点测得塔顶
P
的仰角
PAO45
，沿
AO
方向前进至
B
点，
测得仰角
PBO60
，A、B 相距
44m
，求塔高
PO
。（精确到
0.1m
）
解 由已知条件得：
BPO30
，
AOPO
，
BO POtanBPOPOtan30
3
PO

3
P
A BAOBOPOBOPO
44
3
1
3
3
PO 44

3
PO104.1(m)

A
B
O
十二、直线
2001年

21

（2，1）
(18)过点且垂直于向量
a(1,2)
的直线方程 。
(2x,1y)(1,2)=0，x2y0

设在所求直线上取点(
x,y)，
得向量
b(2x,1y)，
则
ab，即：
2002年
（4）点
P(3,2)
关于
y
轴的对称点的坐标为（ ）
（A）
(3,2)
（B）
(3,2)
（C）
(0,2)
（D）
(3,2)

（18）在
x
轴上截距为3且垂直于直线
x2y0
的直线方程为 。
11



2，
所求直线的方程：y2(x 2)

x2y0
的斜率
k,
所求直线的斜率为k
 
2k

2003年
2)
到直线
y2x1
的距离为 （16）点
P (1，

Ax
0
By
0
C21(1)21< br>5



d


2222
5
AB2(1)

2004年
（4 ）到两定点
A(1,1)
和
B(3,5)
距离相等的点的轨迹方程为 .
（A）
xy40
（B）
xy50
（C）
xy50
（D）
xy20

2222< br>

(x1)(y1)(x3)(y5)，xy40
< br>

（12）通过点
(3,1)
且与直线
xy1
垂直的直线方程是 .
（A）
xy20
（B）
3xy80
（C）
x3y20
（D）
xy20

（20）（本小题满分11分） 设函数
yf(x)
为一次函数，
f(1) =8
，
f(2)=1
，求
f(11)

解 依题意设
yf(x)kxb
，得
2005年

f(1)k b8k3
，得，
f(x)3x5
，
f(11)=38
< br>f(2)2kb1b5

（2，1）
（16）过点且与直线yx1
垂直的直线方程为
yx3

2006年
（8 ）设一次函数的图像过点
(1,1)
）和
(2,1)
，则该函数的解析式为
（A）
y
1212
x
（B）
yx
（C）
y2x1
（D）
yx2

3333
（20）直线
y3x2
的 倾斜角的度数为
60
2008年


arctan360


（14）过点
( 1,1)
且与直线
x2y10
垂直的直线方程为
（A）
2xy10
（B）
2xy30
（C）
x2y30
（D）
x2y10

［直 线
x2y10
的斜率为
k
1
，所求直线的斜率为
k

2
，由点斜式方程可知应选（A）］
2
（19）若

是直线
yx2
的倾斜角，则

=
3
4
3


tan

1,



0,

arctan(1)145=


4

十三、圆
2006年

22

（24）（本小题12分）
已知
o
的圆心位于坐标原点,
o
的方程；
o
与
x
轴的正半轴交于A，与
y轴的正半轴交于B，
AB=22

（Ⅰ）求
（Ⅱ）设P为
o
上的一点，且
OPAB
，求点
P
的坐标。
2
2
解（Ⅰ）依题设得
2r=AB
，
r=
AB

22

22

2
2
y
2
，
B
P
2
故
o
的方程：
x
2
y
2
4

A
（Ⅱ）因为
A(2,0)
，
B(0,2)
，所以AB的斜率为
1
。
过
o
且平行于AB的直线方程为
yx
.
x
P
1


yx

x
1
2

x
2
2
由

2
得：，

2


xy4

y
1
2


y
2
2
所以，点
P
的坐标为
(2,2)< br>或
(2,2)

2008年
x
2
y
2
1
的右焦点，并且此圆过原点. （24）已知一个圆的圆心为双曲线
412
（Ⅰ）求该圆的方程；
（Ⅱ）求直线
y3x
被该圆截得的弦长.
解（Ⅰ）
ca
2
b
2
4124
， y
A
y3x
x
2
y
2
（4，0）
 1
的右焦点坐为 双曲线，
412

4，0）
圆心坐标
O（
，圆半径为
r4
。
2
圆的方程为
（x4）y
2
16

O

B
x
2
（x4）y
2
16
（Ⅱ）因直线
y3x
的倾角为
60
，
故
OA=OBcosAOB=24cos60=4

所以，直线
y3x
被该圆截得的弦长为
4

x
2
y
2
1
412
十四、圆锥曲线
2001年
(3) 已知抛物线
yx
2
ax2
的对 称轴方程为
x1
,则这条抛物线的顶点坐标为（ ）
(A)
(1,3)
(B)
(1,1)
(C)
(1,0)
(D)
(1,3)

a

2

x1, a2, yxax21 (2)123
0000

2

(8) 点
P
为椭圆
25x9y225
上一点，
F
1
和
F
2
是焦点，则
PF
1
PF
2
的值为（ ）
(A) 6 (B)
5
(C) 10 (D)
3

22

25x
2
9y
2< br>225a5,PF
1
PF
2
2a2510


x
2
y
2
1
的左焦点
F
1
的直线与这双曲线交于A,B两点，且
AB3
，
F
2
是右焦点，则(9) 过双曲线
369
AF
2
BF
2
的值为（ ）
(A) 21 (B) 30 (C) 15 (D) 27

23

，










A
F
1
y
F
2
x
B

ABAF
1
BF
1
=3






AF
1
AF
2
=2a=12

AF
2
BF
2
3=24AF
2
BF
2
=27




BF
1
BF
2
=2a=12




x
2
y
2
(24) (本小题11分) 已知椭圆
2

2
1
和点
P(a,0 )
，设该椭圆有一关于
x
轴对称的内接正三角形，
ab
使得
P
为其一个顶点。求该正三角形的边长。
解 设椭圆的关于
x
轴对称的内接正三角形为
PAB
，
A

x,y

，则：
ax

ax


x
2
(ax)
2
ax

2
1
， ，
2

3
，
3
，
y< br>2
2
3
y
a3b
y

3b
2

2
3b
2
x
2
2
(a2axx)
2
3b,

1
2

x2axa
2
3b
2
0

aa

22
2
2

3b
2

2
a
4

a
2
3b
2

a
2
3b
2
2
22
2a4a4

1
2


a3b

2a2

a3b
2
a

a

x
1

2

a
2
 

x

a3b


3b
2< br>
a
2
3b
2


xa
2< br>
1
2

2


2

2
aa

a
2
3b
2
a
由于axa
，所以，
x
2
a3b
2
a-x
a-x
因，
AB=2y
，于是
PAB
的边长为
3< br>，
y
y
3
2
a-x2a

x
< br>2a

a
2
3b
2

2aa
2< br>3b
2
a
2
3b
2
43ab
2
AB=2y2==
2


1
2

1a


2

22
a3ba3b
2
33

3

a3b

3








2002年
a
b
y
A(x,y)
b
y
b
A(x,y)
a
P
x
a
a
P
x
B
B
b
（8） 平面上 到两定点
F
1
(7,0)
，
F
2
(7,0)距离之差的绝对值等于10的点的轨迹方程为（ ）
y
2
y
2
x
2
x
2
x
2
y
2
x
2
y
2
1
（B）
1
（C）
1
（D）
1
（A）
142524
2

(B)


点的轨迹为双曲线，排除(C)
;2a10，a5，a25，
排除( A)、



24

x
2
y
2
1(

0)
的焦点在
x
轴上，O为坐标原点，P 、Q为椭圆上两 （23）（本小题12分） 设椭圆
6

2
点，使得OP 所在直线的斜率为1，
OPOQ
，若
POQ
的面积恰为
32
，求该椭圆的焦距。
4
解 设
P(x
1
,y1
)
、
Q(x
2
,y
2
)
，因
OPOQ
，故
POQ=90
.又因
OP
所在直线的斜率为1， 故
S
POQ

2
1
11
2
32
2222
OPOQx
1
y
1
2
x
2
y
2
x
1
2
y
1
2
x
2
y
2


。
224
2
1
3 2
x
2
y
2
将
xy

代入

2
1(

0)
，得：
4
6

32

32
1(

0)
，即

2
42

6=0
，
244

y
Q2.5
P
0.5
0.5
0.5
0.5
x


=2
解得：

1

222


2
=32(

2
=b=18>a=6,
舍 去
)
由
a
2003年
2
2.5
=6，b=
=
22

2

=2
得该椭圆的焦距：
2c2
2
a
2
b
2
2624

0)
、
(5，0)
且过点
(3，0)
的双曲线的标准方程为 （14）焦点
(5，
22
y
2
x
2
y
2
x
2
x
2
y
x
2
y
1
（B）
1
（C）
1
（D）
1

（A）

222

焦点在x轴，排除(A)、(D)；c5, a3, b
5316,
排除(B),选(C)



2
x
2
y
1
与圆
(x4)
2
y
2
2
的公共点的个数是 （15）椭圆
49
（A）4 （B）2 （C）1 （D）0
y






椭圆与x轴的交点是2，圆
(x4)
2
y
2
2
的圆


心是
(4,0),
与x轴的交 点是4-
2.
因4-
2>2，


故椭圆与圆相离，没有 交点.


2
x
（24）已知抛物线
y8x
的 焦点为F，点A、C在抛物线上（AC与
x
轴不垂直）.
（Ⅰ）若点B在抛物线的准 线上，且A、B、C三点的纵坐标成等差数列，求证
BFAC
；
（Ⅱ）若直线AC过点F，求证以AC为直径的圆与定圆
(x-3)y9
相内切.
证明：（Ⅰ）由
y8x
得抛物线准线方程
x
22
p< br>84
2
，
F(2,0)

22
2
y
1
2
y
2
yy
2
设
A(,y
1
)
、
C(,y
2
)
，则
B(2,
1)
，
882
2
AC
的斜率
k
AC

y
2
y
1
8
，
BF
的斜率
k
BF

2
y
2
y
1
2
y1
y
2

88
25
y
1
y2
2

y
1
y
2


2(2)8
0

∵
k
A C
k
BF


yy

8



12

1
， ∴
BFAC

y
1
y
2

8

（Ⅱ）设
AC
的斜率为
k
，则A、C、F所在的直线的方程为
yk(x2)

设
A(x
1
,y
1
)
、
C(x
2
,y
2
)
，因A、C在抛物线上（AC与
x
轴不垂直），故
k
满足下列方程组：

yk (x2) ①
将①代入②消去
y
得：

2

y8x ②
k
2
(x2)
2
8x
，
k
2x
2
(4k
2
8)xk
2
0
，
242
因
b4ac12k64k640

(4k 8)
4k
2
8c
故
x
1
x
2



22
a
kk
y
8
将
x2
代入②消去
x
得：
y
2
y160
，
k
k
因
b
2
2
l
y
C
B
D
F
E
x
A
y
2
8x
（< br>以
k2
作图
）
8

1
4ac



k

41(16)64(
2
6 4)0

k


2
8
2k
2
44
8
k
故
y
1
y
2

因 此，以AC为直径的圆的圆心为
D(,)


，
y
1
y
2
16
，
k
1k
k
2
因
csc
2

1
1
11
，，故，得：
180
csc

11
tan
2

t an
2

k
2
ACcsc

y
2y
1
1

2
11
yy1
21
22
kk

y
2
y
1

2
k1
2
(yy)4y
1
y
212
2
k
k
2
18
2
k
2
1k
2< br>1k
2
1
()4（-16）88
2
222
k
kkkk
AC
k
2
1
AC为直径的 圆的半径
R4
2
， 又定圆心为
E(3,0)
，半径
r3
，可得
2
k
2k
2
44
2
k
2
4k
2
1k< br>2
4
2
DE(3)()，
又
Rr 4
2
3DE

222
k
kkkk
因此，这两个圆相内切
2004年
x
2
y
2
1
的任一点（长轴两端除外）和两个焦点为顶点的三角形 的周长等于 （6）以椭圆的标准方程为
169
（A）12 （B）
827

a2c

（C）13 （D）18
（13）如果抛物线上的一点到其焦点的距离为8，则这点到该抛物线准线的距离为
（A）4 （B）8 （C）16 （D）32

26

1

x
2
y
2
 1
上，点
M

（24）（本小题满分12分） 设A、B两点在椭圆

1,

是A、B的中点.
4

2

（Ⅰ）求直线AB的方程
（Ⅱ）若椭圆上的点C的横坐标为
3
，求
ABC
的面积
解（Ⅰ）所求直线过点
M(1,
11
)
，由直线的点斜式方程得所求直线的 方程为
yk(x-1)
，
22
1
x
2
y< br>2
1
，即A、B两点的坐标满足方程组 A、B两点既在直线
yk(x-1 )
，又在椭圆
2
4

x
2
2
y1 ①

4
111
222
，将②代入①得：< br>(k)x2k(k)x(k)10③


422

yk(x-1)
1
②
2
此方程的判别式：
111
b
2
4ac
2k(k)

4(k
2
)

(k)
2
1


24

2

111
4k
2
(k)
2
4k
2
(k)< br>2
(14k
2
)(k)
2
222

13
222
(14k)(k)3kk
24
22
2
11


331

5

3
kk


3

k

0
364366

6


因此它有两个不等的实 数根
x
1
、
x
2
.
2
1
y x1
2
y
A
C
1
0.5
B
0.5
0.5
x
x
2
y
2
1
4
C
2
0.5
1
2
2k(k)
4k2k

2< br>，解得
k
1

b
2

由
x< br>1
x
2

得：
x
1
x
2
1
a2
14k
2
k
2
4
11 1
将
k=
代入
yk(x-1)
得直线AB的方程：
y x1

222
（Ⅱ）将
k

x0
< br>y1
1
代入方程③，解得

1
，又得

1
，
2

x
2
2

x
2
0
即A、B两点的坐标为A（0，1），B（2，0），于是
AB=(02)
2
+(10)
2
=5

由于椭 圆上的点C的横坐标为
3
，故点C的坐标为C（
3
，

点C到直线AB的距离为：
1
）
2
11
3223 22
Ax
0
+By
0
CAx
0
+By
0
C
1333
22
d=====
或
d=

22222222
55
A+B1+2A+B1+2
所 以，
ABC
的面积为：
S
ABC
=

11131311
或
S
ABC
=ABABd=5 =d=
22222
5
27
5
3
5
33
=
2

3

2005年
（5）中心在原点，一个焦点在
(0,4)< br>且过点
(3,0)
的椭圆方程是
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2

焦点在y轴上

1

（A）
< br>2

（B）
9

16
1
（C）
25

41
1
（D）
9

4
1

c4，b3，a25
9 25

x
2
y
2
1
的焦距是 （8）双曲线
288
（A）
45
（B）
25
（C）12
2c228812
（D）6
（24）（本小题满分12分）
y

x
2
y
2
1
长轴的两个端点，如图，设
A
1
、
A
2是椭圆
C
1
：
43
l
是
C
1
的右准线，双曲线
C
2
：
（Ⅰ）求
l
的方程；
（Ⅱ）设P为
l
与
C
2
的一个交点，直线PA
1
与
C
1
的另一个交
点为Q，直线PA
2
与
C1
的另一个交点为R.求
QR

l
C
2
xy
1

43
22
Q
P
A
1
R
A
2
x
P

a
2
4
4
解（Ⅰ）椭圆的半焦距
cab431
，右准线
l
的方程
x
c1
22
（Ⅱ）由P为
l
与
C
2
的一个交点的设定，得
P(4,3)
或
P< br>
(4,3)
。由于
C
2
是对称曲线，故可在此两点
中的任意一点取作图求
QR
，现以P
(4,3)
进行计算。
由题 设和直线的两点式方程得PA
1
的方程为
y（x2）
，PA
2< br>的方程为
y（x2）

1
2
3
2
13< br>
y（x2）y（x2）

333
3

1，）
解

2
2
2
得
Q（1，）
，解

2
2
2
得
R（
，
QR=()=3

222
2

x

y
1

x

y
1

33

4

4
2006年
x
2
y
2
1
，则该椭圆的离心率为 （15）设椭圆的标准方程为
1612
（A）
2007年
（12）已知抛物 线
y4x
上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为
（A）
2
1
2


e


c16121

33
7


（B） （C） （D）

a2
32
2
16

455
4
或

（B）
或

（C）
1
或
1
（D）
3
或
3

544
5
1y

2

2
由
y2px
和
y4x
得
p= 2, xp5x4 y4k1



2x

（14）已知椭圆的长轴长为8，则它的一个焦点到短轴的一个端点的距离为

28

（A）8 （B）6 （C）4

da824

（D）2
（3，8）（24）（本小题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点在
x
轴上，离心率等于3，并且 过点，求：
（Ⅰ）双曲线的标准方程
（Ⅱ）双曲线焦点坐标和准线方程 x
2
y
2
c
解（Ⅰ）由已知得双曲线的标准方程为
2< br>
2
1
，
3，c3a，

a
abx
2
y
2
222222
左准线
故
bca （3a）a8a
，
2

2
1

a8a
x
2
y
2
（3，8）
将点代入
2

2
1
，
a8a
得：
a
2
1，b
2
8，c3

y
右准线
x
y
2
1
故双曲线的标准方程为x
8
2
a
2
1
（3，0）（3，0）

（Ⅱ）双曲线焦点坐标：，双曲线准线方程：
x
c3
十五、排列与组合
2001年
(12) 有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中2部手机来自同一 厂家，则此2部手机恰好相邻
的排法总数为（ ）
(A) 24 (B) 48 (C) 120 (D) 60
解法一 分步法
①将同一厂家的2部手机看成“一”部手机，从“四”部手机任选“四”部的排列数为
P
44
；
②被看成“一”部手机的二部手机可交换位置排列，排列数为
P
2
2
。
42
根据分步计数原理，总排列数为
P
4
P
2
=48(
种
)

解法二 分类法
将同一厂家的2部手机看成手机“
1

”.
3
2，3，4
、
1

，2，4，31

，3，2，4
、
1

，3，4，2
、
1

，4，2，3
、
1

，4，3，2
）①手机“
1

”排在1位，有
P
3
种排法（
1

，
；
3
②手机“
1< br>
”排在2位，有
P
3
种排法；
3
③手机“
1

”排在3位，有
P
3
种排法；
3
④手机“
1

”排在4位，有
P
3
种排法；
上述排法共2 4种，每种排法中手机“
1

”各有二种排法，故总排列数为：
242=4 8(
种
)

2002年
（11） 用0，1，2，3可组成没有重复数字的四位数共有（ ）
（A）6个 （B）12个 （C）18个 （D）24个
解法一 ①从0，1，2，3这四个数字中取出四个数字的总排列数为
P
4
；
②将0排在首位的排列数为
P
3
，而0不能排在首位；
总排列数
P
4
减去0排在首位的排列数
P
4
即为所求。因此 ，用0，1，2，3可组成没有重
4
复数字的四位数的个数为
P
4

P
3
3
=4321321=18（
个
）4
3
43
解法二 第一步：从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有
P
3
种取法；
第二步：从剩下的三个数字中任取一个排在第二位，有
P
3
种取法；
第三步：从剩下的二个数字中任取一个排在第三位，有
P
2
种取法；
第四步：从剩下的一个数字中任取一个排在第四位，有
P
1
种取法.

29
1
1
1
1