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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一

2014年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案
一、选择题：1～8小题 ，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字 母填在答题纸指定位置上.
（1）B
（2）D
（3）D
（4）B
（5）B
（6）A
（7）（B）
（8）（D）
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）
2xyz10

（10）
f(1)1

（11）
ln
y
2x1

x
（12）


（13）[-2,2]
（14）
2

5n
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解 答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
（15）【答案】

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一
x

lim
x
1
[t(e1)t]dt
x
2
ln(11
x
x
2
1
x
1
)
x
2x
1
lim
(e1)

tdt

tdt
1
x
limx
2
(e1)x
x
x 
1
,
x
则limx
2
(e1)x
令ux

e
u
1u
lim

u0< br>u
2
e
u
11
lim


u 0
2u2
（16）【答案】
3y
2
y

y2
x2yy

2xyx
2
y

0< br>y
2
2xy0
y(y2x)0
y0(舍)或y2x。
y2x
时，

y
3
xy
2
x
2
y60
8x
3
x(4x
2
) x
2
(2x)60
8x
3
4x
3
2 x
3
60
6x60
x
3
1x1,y2
3

6(y

)
2
y3y
2
y

2yy

2y

yx2(y

)
2
x2yy

2y2xy

2xy

x
2
y

0
12y

(1) 4y

(1)4y

(1)0
9y

(1)4

y

(1)
9
0
4
所以
y(1)2
为极小值。
（17）【答案】
E
f
(e
x
cosy)e
x
cosy

x

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
2< br>E
x2x2xx

f(ecosy)ecosyf(ecosy)ec osy
2
x
E
f

(e
x
cosy )e
x
(siny)
y

2
E
f
 
(e
x
cosy)e
2x
sin
2
yf

(e
x
cosy)e
x
(cosy)
2
y

2
E
2
E

2
f
(e
x
cosy)e
2x
(4Ee
x
cosy)e
2x
2
xy
f

(e
x
cosy) 4f(e
x
cosy)e
x
cosy
令
ecosyu
，
则
f

(u)4f(u)u
，
故f(u)C
1
e
2u
C
2
e
2u

由
f(0)0,f

(0)0,
得
x


u
,(C
1
,C
2
为任意常数)

4
e
2u
e
2u
u
f(u)

16164
（18）【答案】
补

:

(x,y ,z)z1

的下侧，使之与

围成闭合的区域

， < br>1

1

1



2

11


[3(x1)
2
3( y1)
2
1]dxdydz


d

d


[3(

cos

1)
2< br>3(

sin

1)
2
1]

dz
00

2
12

1



d


d


[3

2
6

2
cos

6

2
sin
7

]dz
00

2
1
2< br>

(3

3
7

)(1
< br>2
)d

4

0
（19）【答案】
（1）证
{a
n
}
单调
由
0a
n

2
，根据单调有界必有极限定理，得
lima
n
存 在，
n
设
lima
n
a
，由
n

b
n1

n
收敛，得
limb
n
 0
，
n

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一
故由
cosa
n
a
n
cosb
n
，两边取极 限（令
n
），得
cosaacos01
。
解得
a0
，故
lima
n
0
。
n 

k
1
2k
2
6k
3
1< br>

2k12k32k1
T
123

k,k,kR

（20）【答案】①

1,2,3,1

②
B
< br>
3k
1
13k
2
43k
3
1

123

kkk
123

（21）【答案】利用相 似对角化的充要条件证明。

0,y0,

3

y,0 y1,

4
（22）【答案】（1）
F
Y

y




11



1y< br>
,1y2,

2

2



1,y2.
（2）
3

4
1

,EX
2



2（23）【答案】（1）
EX
1
n
2
ˆ
（2）



X
i

n
i1
（3）存在

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P