孟子全文-英语演讲稿范文

【模板·细则概述】
“答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一 般思路，规划解题的程序
和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化．
评分细则是 阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做
到会做的题得全分；对于 最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢．
模板1 三角函数的图象与性质
典例1 (12分)已知m＝(cos ωx，3cos(ωx＋π))，n＝(sin ωx，cos ωx)，其中ω>0，f(x)＝m·n，
π
且f(x)相邻两条对称轴之间的距离为.
2
α
3
π
(1)若f()＝－，α∈(0，)，求cos α的值；
242
π
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标 不变，然后向左平移个
6
单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调 递增区间．
审题路线图 (1)fx＝m·n
辅助角公式
――→得fx――→求出ω
周期性
(2)y＝fx――→y＝gx――→gx的递增区间

规 范 解 答·评 分 标 准
解 f(x)＝m·n＝cos ωxsin ωx＋3cos(ωx＋π)cos ωx
＝cos ωxsin ωx－3cos ωxcos ωx
3cos 2ωx＋1
sin 2ωx
π
3
＝－＝sin(2ωx－)－.3分
2232
图象变换整体思想
数量积运算对称性
cos α
构 建 答 题 模 板
第一步 化简：利用辅助角
将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)
的形式．
第二步 求值：根据三角函

π
∵f(x)相邻两条对称轴之间的距离为，
2
π
3
∴T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x－)－.4分 32
απ
33
π
3
(1)f()＝sin(α－)－＝－，∴s in(α－)＝，
232434
ππ
3
ππππ
∵α∈(0，)， sin(α－)＝，∴α－∈(－，)，∴cos(α－)
2343363
＝
13.6分
4
数的和差公式求三角函数
值．
第三步 整体代换：将“ωx
＋φ”看作一个整体，确定
f(x)的性质．
第四步 反思：查看角的范
围的影响，评价任意结果的
合理性，检查步骤的规范性.
ππππππ
∴cos α＝cos(α－＋)＝cos(α－)cos －sin(α－)sin
333333
＝
13－3
13133
×－×＝.8分
42 428
π
3
(2)f(x)经过变换可得g(x)＝sin(x－)－，10分 62
ππππ2π
令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得：－＋2kπ≤x≤＋< br>26233
2kπ，k∈Z，
π2π
－＋2kπ，＋2kπ

，k∈Z.12分 ∴g(x)的单调递增区间是

3

3


评分细则 1.化简f(x)的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结
果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；
πππ
2．计算cos α时，算对cos(α－)给1分；由cos(α－)计算sin(α－)时没有考虑范围扣1分；
3 33
3．第(2)问直接写出x的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k∈Z不扣分；没有2kπ的不给分．
1
π
跟踪演练1 已知函数f(x)＝3sin ωxcos ωx＋cos
2
ωx－
(ω>0)，其最小正周期为.
22
(1)求f(x)的表达式；
π
(2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵
8
π
坐标不变)，得到函 数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有
2
一个实 数解，求实数k的取值范围．
1
解 (1)f(x)＝3sin ωxcos ωx＋cos
2
ωx－

2
＝
cos 2ωx＋1
13
π
sin 2ωx＋－＝sin(2ωx＋)，
2226

π2πππ
由题意知f(x)的最小正周期T＝，T＝＝＝，
22ω
ω
2
π
所以ω＝2，所以f(x)＝sin(4x＋)． < br>6
ππ
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin(4x－)的图 象；再将所得图象上所有
83
π
点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x－)的图象，所以g(x)＝sin(2x
3
π
－)，
3
πππ2π
因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，
2333
所以g(x)∈[－
3
，1]．
2
ππ
又g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k在区间[0，]22
上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－
解得－
33
22
33
，]∪{－1}.
22
模板2 解三角形
典例2 (12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝
π
B＝A＋.
2
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A、sin B→利用正弦定理求b
1
(2)方法一余弦定理求边c→S＝acsin B
2
1
方法二用和角正弦公式求sin C→S＝absin C
2

规 范 解 答·评 分 标 准
3
解 (1)在△ABC中，由题意知，sin A＝1－cosA＝，1
3
2
33
≤－k<或－k＝1，
22
所以实数k的取值范围是(－
6
，
3
构 建 答 题 模 板
第一步 找条件：寻找三角
形中已知的边和角，确定转
化方向．
分

π
π
6
A＋

＝cos A＝.3分 又因为B＝A＋，所以sin B＝sin


2

23
6
3×
3
asin B
由正弦定理，得b＝＝＝32.5分
sin A
3
3
(2)由余弦定理得：
b
2
＋c
2
－a
2
6
cos A＝＝⇒c
2
－43c＋9＝0⇒c
1
＝3，c
2
＝
2bc3
33，8分
π
又因为B＝A＋为钝角，所以b>c，即c＝3，10分
2
132
所以S
△
ABC
＝acsin B＝.12分
22

第二步 定工具：根据已知
条件和转化方向，选择使用
的定理和公式，实施边角之
间的转化．
第三步 求结果：根据前两
步分析，代入求值得出结果．
第四步 再反思：转化过程
中要注意转化的方向，审视
结果的合理性.
评分细则 1.第(1)问：没求sin A而直接求出sin B的值，不扣分；写出正弦定理，但b计算
错误，得1分．
2．第(2)问：写出余弦定理， 但c计算错误，得1分；求出c的两个值，但没舍去，扣2分；
1
面积公式正确，但计算错误， 只给1分；若求出sin C，利用S＝absin C计算，同样得分．
2
跟踪演练2 已知a，b，c分别为△ABC三个内角的对边，且3cos C＋sin C＝
(1)求B的大小；
→→
(2)若a＋c＝57，b＝7，求AB·BC的值．
解 (1)∵3cos C＋sin C＝
3a
，
b
3sin A
，
sin B
3a
，
b
由正弦定理可得：3cos C＋sin C＝
∴3cos Csin B＋sin Bsin C＝3sin A，
3cos Csin B＋sin Bsin C＝3sin(B＋C)
3cos Csin B＋sin Bsin C＝3sin Bcos C＋3cos Bsin C，
sin Bsin C＝3sin Ccos B，
∵sin C≠0，∴sin B＝3cos B，
∴tan B＝3，
π
又03
(2)由余弦定理可得：
2accos B＝a
2
＋c
2
－b
2
＝(a＋c)
2
－2ac－b
2
，

整理得：3ac＝(a＋c)
2
－b
2
，
即：3ac＝175－49.∴ac＝42，
→→→→
∴AB·BC＝－BA·BC
→→
＝－|BA||BC|·cos B
＝－ac·cos B
＝－21.
模板3 数列的通项与求和问题
典例3 (12分)下表是一个由n< br>2
个正数组成的数表，用a
ij
表示第i行第j个数(i，j∈N
*< br>)，已
知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，
且公比都相等．已知a
11
＝1，a
31
＋a
61
＝9，a
35
＝48.
a
11
a
12
a
13
… a
1n

a
21
a
22
a
23
… a
2n

a
31
a
32
a
33
… a
3n

… … … … …
a
n1
a
n2
a
n3
… a
nn

(1)求a
n1
和a
4n
；
a
4n
(2 )设b
n
＝＋(－1)
n
·a
n1
(n∈N
*)，求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
a
4n
－2a
4n
－1
审题路线图 数表中项的规 律―→确定a
n1
和a
4n
――→分析b
n
的特征
化简b
n
选定求和方法
――→
分组法及裂项法、公式法求和

规 范 解 答·评 分 标 准
解 (1)设第1列依次组成的等差数列的公差为d，设< br>每一行依次组成的等比数列的公比为q.依题意a
31
＋
a
61
＝(1＋2d)＋(1＋5d)＝9，∴d＝1，
∴a
n1
＝a
11
＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n，3分
又∵a
31
＝a
11
＋2d＝3，∴a
35
＝a< br>31
·q
4
＝3q
4
＝48，
又∵q>0，∴q＝ 2，又∵a
41
＝4，∴a
4n
＝a
41
q
n1
＝4×2
n
－
1
－
构 建 答 题 模 板
第一步 找关系：根据已知条件确定数列
的项之间的关系．
第二步 求通项：根据等差或等比数列的
通项公式或利用累加、累乘法求数列的通
项公式．
第三步 定方法：根据数列表达式的结构
特征确定求和方法(常用的有公式法、裂
项相 消法、错位相减法、分组法等)．
第四步 写步骤．
第五步 再反思：检查求和过程中各项的
符号有无错误，用特殊项估算结果.
＝2
n
1
.6分
＋
a
4n
(2)∵b< br>n
＝＋(－1)
n
a
n1
＝
a
4n
－2a
4n
－1
2
n
1
＋(－1)
n·n.7分
n
＋
1
n
＋
1
2－22－ 1
＋

2
n
11
n
＝
n
＋ (－1)·n＝－＋(－
＋＋
2－12
n
1
－12
n
－12
n
1
－1
1)
n
·n.
111 111
∴S
n
＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(
n
－
3 37715
2－1
1
)＋[－1＋2－3＋4－5＋…＋(－1)
n
n]，10分
2－1
n
＋
1
1n
当n为偶数时，S
n
＝1－
n
＋
1
＋，11分
2－1
2
n－1
11
当n为奇数时，S
n
＝S
n
－
1
＋b
n
＝1－
n
＋＋(
n
2
2－12－1
－
1
)－n
2－1
n
＋
1
n＋11－n
11
＝1－
n
＋
1
－＝－
n
＋
1
.12分
22
2－12－1

评分细则 (1)求出d给1分，求a
n1
时写出公式结果错误给1分；求q时没写q>0扣1分；
(2)b
n
写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分；
(3)缺少对b
n
的变形直接计算S
n
，只要结论正确不扣分；
(4)当n为奇数时，求S
n
中间过程缺一步不扣分．
1
a
1
跟踪演练3 在等差数列{a
n
}中，首项a
1
＝－1，数列{b
n
}满足b
n
＝()
n
，且 b
1
b
2
b
3
＝.
264
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)设c
n
＝(－1)
n
6n－5
，求数列{c
n
}的前n项的和T< br>n
.
a
n
a
n
＋
1
解 (1)设等差数列{a
n
}的公差为d.
3×2
∵a
1
＝ －1，∴a
1
＋a
2
＋a
3
＝－3＋d＝3d－3. 2
1
a
1
∵数列{b
n
}满足b
n
＝ ()
n
，且b
1
b
2
b
3
＝，
264
1
a＋a＋a
1
－
1
∴()
123
＝()
3
d
3
＝()
6
，
222
∴3d －3＝6，解得d＝3.∴a
n
＝－1＋3(n－1)＝3n－4.
(2)∵cn
＝(－1)
n
6n－5
11
＝(－1)
n
( ＋)，
a
n
a
n
＋
1
3n－43n－1
∴当n为偶数时，数列{c
n
}的前n项的和
111111113n
Tn
＝－(－1＋)＋(＋)－…－(＋)＋(＋)＝1＋＝.
225
3n－73 n－43n－43n－13n－13n－1
当n为奇数时，数列{c
n
}的前n项的和

11
T
n
＝T
n
－
1
－( ＋)
3n－43n－1
3n－13n－2
11
＝－(＋)＝.
3n－1－13n－43n－13n－1


∴T＝

3n－ 2


3n－1
，n为奇数.
n
3n
，n为偶数，
3n－1


模板4 空间中的平行与垂直关系
典例4 (12分 )如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，
E，F，H分 别为AB，PC，BC的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：平面PAH⊥平面DEF.
审题路线图 (1)条件中各线段的中点
中 位线定理
――→取PD中点M
平行四边形AEFM―→AM∥EF
的判定定理
――→EF∥平面PAD
(2)平面PAD⊥平面ABCD PA⊥AD――→PA⊥平面ABC D―→PA⊥DE
的性质
DE⊥AH
的判定定理
――→DE⊥平面PAH判定定理
――→平面PAH⊥平面DEF
规 范 解 答·评 分 标 准
证明 (1)取PD中点M，连接FM，AM.
∵在△PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，∴FM∥CD
1
且FM＝CD.
2
构 建 答 题 模 板
第一步 找线线：通过三角形或
四边形的中位线 、平行四边形、
等腰三角形的中线或线面、面面
关系的性质寻找线线平行或线
线面垂直 面面垂直的
面面垂直正方形ABCD中
E、H为AB、BC中点
线面平行
设法 利用考虑平行关系
长度关系
――→
―――――→

线垂直．
第二步 找线面：通过线线垂直
或平行，利用判定定理，找线面
垂直或平行；也可由面 面关系的
性质找线面垂直或平行．
第三步 找面面：通过面面关系
的判定定理，寻找面面垂直或平
行．
第四步 写步骤：严格按照定理
中的条件规范书写解题步骤.

1
∵在正方形ABCD中，AE∥CD且AE＝CD，
2
∴AE∥FM且AE＝FM，
则四边形AEFM为平行四边形，∴AM∥EF，4分
∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD.6分
(2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底
面ABCD＝AD，
∴PA⊥底面ABCD，∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA.
∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，
∴Rt△ABH≌Rt△DAE，
则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，则
DE⊥AH，8分
∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH＝A，∴DE⊥
平面PAH，
∵DE⊂平面EFD，∴平面PAH⊥平面DEF.12分

评分细则 1.第(1 )问证出AE綊FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1
分；利用面面平行证明EF ∥平面PAD同样给分；
2．第(2)问证明PA⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH 时只要指明E，H分别
为正方形边AB，BC中点得DE⊥AH不扣分；证明DE⊥平面PAH只要写出 DE⊥AH，DE⊥PA，
缺少条件不扣分．
跟踪演练4 (2015·北京)如图，在三棱 锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三
角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O， M分别为AB，VA的中点．

(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥VABC的体积．
(1)证明 因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB，
又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
(2)证明 因为AC＝BC，O为AB的中点，
所以OC⊥AB.
又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，
所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC，
所以平面MOC⊥平面VAB.
(3)解 在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，
所以AB＝2，OC＝1，
所以等边三角形VAB的面积S
△
VAB
＝3.
又因为OC⊥平面VAB.
13
所以三棱锥CVAB的体积等于·OC·S
△
VAB
＝，
33
又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，
所以三棱锥VABC的体积为
3
.
3
模板5 概率与统计的综合问题
典例5 (12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行 抽样检测，从各
地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商 品中

共抽取6件样品进行检测.
地区
数量

(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取 2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地
区的概率．
审题路线图 利用分层抽样的特征确定各层的抽样比→求出样品中各层的数量
A
50
B
150
C
100
→列举基本事件空间→利用古典概型公式求解
规 范 解 答·评 分 标 准
6
解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝
50＋150＋100
1
，2分
50
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
111
50×＝1,150×＝3,100×＝2.
505050
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.5分
第一步 定模型：根据统
计知识确定元素(总体、
个体)以及要解决的概率
模型．
构 建 答 题 模 板
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B
1
， B
2
，B
3
；
第二步 列事件：将所有
C
1
，C
2
.
则从6件样品中抽取的这2 件商品构成的所有基本事件为{A，
基本事件列举出来(可用
树状图)．
B
1
}，{A，B
2
}，{A，B
3
}，{A，C
1
}，{A，C
2
}，{B
1
，B
2
}，{B
1，
第三步 算概率：计算基
B
3
}，{B
1
，C
1
}，{B
1
，C
2
}，{B
2
，B
3
}，{B
2
，C
1
}，{B
2
，C
2}，{B
3
，
本事件总数n，事件A包
C
1
}，{B< br>3
，C
2
}，{C
1
，C
2
}，共15个. 8分
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能
的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含
的基本事件有
{B< br>1
，B
2
}，{B
1
，B
3
}，{B
2
，B
3
}，{C
1
，C
2
}，共4个.10分
44
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.12分
1515

评分细则 (1)各层抽样数量每个算对给1分；
(2)没有列举基本事件只求对基本事件个数给1分；
(3)求对样本事件个数而没有列出的给1分；
含的基本事件数m，代入
m
公式P(A)＝.
n
第四步 规范答：回到所
求问题，规范作答.

(4)最后没下结论的扣1分．
跟踪演练5 近日，某市楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双
下调 ，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9
套进行促销活动，其 中A户型每套面积为100平方米，均价1.1万元平方米，B户型每套
面积80平方米，均价1.2万 元平方米．下表是这18套住宅每平方米的销售价格：(单位：
万元平方米)：
房号
户型
A户型
B户型

(1)求a，b的值；
(2) 张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方
米的概率．
解 (1)a＝1.16，b＝1.17.
(2)A户型小于100万的有2套，设为A
1
，A
2
；
B户型小于100万的有4套，设为B
1
，B
2
，B
3
，B
4
，
买两套售价小于100万的房子所含基本事件为：
{A
1< br>，A
2
}，{A
1
，B
1
}，{A
1
，B
2
}，{A
1
，B
3
}，{A
1
， B
4
}，{A
2
，B
1
}，{A
2
，B< br>2
}，{A
2
，B
3
}，{A
2
，
B
4
}，{B
1
，B
2
}，{B
1
，B< br>3
}，{B
1
，B
4
}，{B
2
，B
3
}，{B
2
，B
4
}，{B
3
，B
4
}，共有15个．
令事件A为“至少有一套面积为100平方米住房”，
则A中所 含基本事件有{A
1
，A
2
}，{A
1
，B
1}，{A
1
，B
2
}，{A
1
，B
3
}，{A
1
，B
4
}，{A
2
，B
1
}，
{A
2
，B
2
}，{A
2
，B
3
}，{A
2
，B
4
}，共9个．
933
∴P(A)＝＝，即所买两套房中至少有一套面积为100平方米的概率为.
1555
模板6 直线与圆锥曲线的位置关系
x
2
y
2
典例6 (12分)(2015·山东)平面直角坐标系x Oy中，已知椭圆C：
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)的离心
ab
率为
1
3
3，

在椭圆C上． ，且点

2

2
1
0.98
1.08
2
0.99
1.11
3
1.06
1.12
4
1.17
b
5
1.10
1.26
6
1.21
1.27
7
a
1.26
8
1.09
1.25
9
1.14
1.28
(1)求椭圆C的方程；
x
2
y
2
(2)设椭圆E：2
＋
2
＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，
4a4b
B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
|OQ|
(ⅰ)求的值；
|OP|

(ⅱ)求△ABQ面积的最大值．
审题路线图 (1)椭圆C上点满足条件―→求出a
基本量法求得椭圆C方程
|OQ|
P、Q
(2)①P在C上，Q在E上――→设坐标代入方程―→求出.
共线
|QP|

②直线y＝kx＋m和椭圆E方程联立――→研究判别式Δ并判断根与系数的关系
―→用m， k表示S
△
OAB
―→求S
△
OAB
最值
S
――――――→得S
△
ABQ
最大值
和S关系
△
ABQ
△
OAB
通法
利用①得

规 范 解 答·评 分 标 准
a
2
－b
2
313
解 (1)由题意知
2
＋
2
＝1.又＝，
a4ba2
x
2
222
解得a＝4，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y＝1.2分
4
x
2
y
2
(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1. < br>164
|OQ|
(ⅰ)设P(x
0
，y
0
)，＝λ， 由题意知Q(－λx
0
，－λy
0
)．
|OP|
第一步 求圆锥曲线方程：
根据基本量法确定圆锥曲线
的方程．
第二步 联立消元：将直线
方程和圆锥曲线方程联立得
构 建 答 题 模 板
到方程：Ax
2
＋Bx＋C＝0，然
－λx
0

2
－λy< br>0

2
x
2
λ
2

x
2< br>0
0

2
2
因为＋y
0
＝1，又＋＝1，即

4
＋y
0

＝1，
41644
后研究判别式，利用根与系
|OQ|
所以λ＝2，即＝2.5分
数的关系．
|OP|
第三步 找关系：从题设中
(ⅱ)设A(x，y)，B(x，y)．
1122
将y＝kx＋m 代入椭圆E的方程，可得(1＋4k
2
)x
2
＋8kmx＋4m
2< br>－16＝0，
由Δ＞0，可得m
2
＜4＋16k
2
，① < br>4m
2
－16
8km
则有x
1
＋x
2
＝－，xx＝.
1＋4k
2
12
1＋4k
2
416k< br>2
＋4－m
2
所以|x
1
－x
2
|＝.
1＋4k
2
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
216 k
2
＋4－m
2
|m|
1
所以△OAB的面积S＝|m|| x
1
－x
2
|＝
2
1＋4k
2
216 k
2
＋4－m
2
m
2
＝＝2
1＋4k
2
寻求变量的等量或不等关
系．
第四步 建函数：对范围最
值类问题，要建立关于目标
变量的函数关系．
第五步 得范围：通 过求解
函数值域或解不等式得目标
变量的范围或最值，要注意
变量条件的制约，检查最 值
取得的条件.

4－
m

m
2
.8分

1＋4k
2

1＋4k
2
2

m
2
设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，
1＋4k
2
可得(1＋4k
2
)x
2
＋8kmx＋4m
2
－4＝0，由 Δ≥0，可得m
2
≤1＋
4k
2
.②
由①②可知0＜t≤1，因此S＝24－tt＝2－t
2
＋4t，
故S ≤23，当且仅当t＝1，即m
2
＝1＋4k
2
时取得最大值23.
由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为
63.12分

评分细则 1.第(1)问中，求a
2
－c
2
＝b
2
关系式直接得b＝1，扣1分；
|OQ|
2．第(2)问中，求时，给出P，Q坐标关系给 1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1
|OP|
分；联立方程消元得出关于x的一元二 次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求
最值时，不指明最值取得的条件扣1分．
跟踪演练6 已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
32
的椭圆过点(2，)．
22

(1)求椭圆的方程；
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P ，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成
等比数列，求△OPQ面积的取值范围．
x
2
y
2
解 (1)由题意可设椭圆方程为
2
＋
2
＝1(a>b>0)，
ab< br>c321
则＝(其中c
2
＝a
2
－b
2
，c >0)，且
2
＋
2
＝1，
a2a2b
故a＝2，b＝1.

x
2
2
所以椭圆的方程为＋y＝1.
4
(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.
故可设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，
设P(x
1
，y
1)，Q(x
2
，y
2
)，


y＝kx＋m，
由

2


x＋4y
2
＝4，


消去y，得(1＋4k< br>2
)x
2
＋8kmx＋4(m
2
－1)＝0，
则Δ ＝64k
2
m
2
－16(1＋4k
2
)(m
2－1)＝16(4k
2
－m
2
＋1)>0，
4m
2
－1
8km
且x
1
＋x
2
＝－，xx＝， 1＋4k
2
12
1＋4k
2
故y
1
y
2
＝(kx
1
＋m)(kx
2
＋m)＝k
2
x1
x
2
＋km(x
1
＋x
2
)＋m
2
，
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
y
1
y< br>2
k
2
x
1
x
2
＋kmx
1＋x
2
＋m
2
2
所以·＝＝k，
x
1x
2
x
1
x
2
m
2
－4k
2
即＝k
2
.
4m
2
－1
11
又m≠ 0，所以k
2
＝，即k＝±.
42
由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ>0，
得02
<2，且m
2
≠1，
|2m|
设d为点O到直线l的距离，则d＝，
5
|PQ|＝1＋k2
[x
1
＋x
2

2
－4x
1< br>x
2
]
＝52－m
2
，
1
所以S＝|PQ|d＝m
2
2－m
2

2
m
2
＋2－m
2
<＝1(m
2
≠1)，
2
故△OPQ面积的取值范围为(0,1)．

模板7 解析几何中的探索性问题
典例7 (12分)已知定点C(－1,0)及椭圆x
2
＋ 3y
2
＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B
两点．
1
(1)若线段AB中点的横坐标是－，求直线AB的方程；
2
→→
(2)在x轴上是否存在点M，使MA·MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说

明理由．
审题路线图 (1)设AB的方程y＝kx＋1→待定系数法求k→写出方程
→→→→
(2)设M存在即为m，0→求MA·MB→在MA·MB为常数的条件下求m→ 下结论

规 范 解 答·评 分 标 准
解 (1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，
将y＝k(x＋1)代 入x
2
＋3y
2
＝5，消去y整理得(3k
2
＋1)x2
＋6k
2
x＋3k
2
－5＝0.2分
Δ＝36k< br>4
－43k
2
＋13k
2
－5>0，①
< br>
设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y2
)，则


6k
2
x＋x＝－. ②
12
2

3k＋1

x
1
＋x
2
13 k
2
1
由线段AB中点的横坐标是－，得＝－
2
＝－，
222
3k＋1
3
解得k＝±，适合①.
3
所以直线AB的方程为x－3y＋1＝0或x＋3y＋1＝0.4分
→→
(2)假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA·MB为常数．
(ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时，
3k
2
－5
6k
2< br>由(1)知x
1
＋x
2
＝－
2
，x
1
x
2
＝
2
. ③
3k＋13k＋1
→→
所以M A·MB＝(x
1
－m)(x
2
－m)＋y
1
y
2
＝(x
1
－m)(x
2
－m)＋k
2
(x
1
＋1)(x
2
＋1)
＝(k
2
＋1)x
1x
2
＋(k
2
－m)(x
1
＋x
2
) ＋k
2
＋m
2
.7分
→→
将③代入，整理得MA·MB
第一步 先假定：
假设结论成立．
第二步 再推理：
以假设结论成立
为条件，进行推理
求解．
第三步 下结论：
若推出合理结果，
经验证成立则肯
定假设；若推出矛
盾则否定假设．
第四步 再回顾：
查看关键点，易错
点(特殊情况、隐
含条件等)，审视
解题规范性.
构 建 答 题 模
板


2m－
1

3k
2
＋1－2m－
14
3

3
6m－ 1k
2
－5
2
＝＝＋m＋m
2

3k
2
＋13k
2
＋1
1
6m＋14
＝m
2
＋2 m－－.9分
3
33k
2
＋1
→→
注意到MA·MB 是与k无关的常数，
7
→→
4
从而有6m＋14＝0，m＝－，此时MA·MB＝.10分 39
(ⅱ)当直线AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标分别为

－1，

2

2
、
－1，－

，
3

3

7
→→
4
当m＝－时，也有MA·MB＝.11分
39

7
→→
－，0

，使MA·综上，在x 轴上存在定点M

MB为常数.12分

3


评分细则 (1)不考虑直线AB斜率不存在的情况扣1分；
(2)不验证Δ>0，扣1分；
(3)直线AB方程写成斜截式形式同样给分；
(4)没有假设存在点M不扣分；
→→
(5)MA·MB没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分．
x
2
y
2
1
跟踪演练7 已知椭圆C：
2
＋
2
＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长
ab2
为半径的圆与直线7x－5y＋12＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A(－4 ,0)，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ
16
分别交直线x＝于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为k
1
，k
2
，试问：k
1
k
2
是否为
3
定值？若是，求出该定值，若不 是，请说明理由．

解 (1)由题意得

12
＝b，
7 ＋5

a＝b＋c，
222
c1
＝，
a2


a＝4，

∴

b＝23，


c＝2，


x
2
y
2
故椭圆C的方程为＋＝1.
1612
(2)设直线PQ的方程为x＝my＋3，
P(x
1
，y
1
)，Q(x
2
，y
2
)，
xy

16
＋
12
＝1，
由



x＝my＋3，

∴(3m
2
＋4)y
2
＋18my－2 1＝0.
－18m－21
∴y
1
＋y
2
＝
2，y
1
y
2
＝
2
，
3m＋43m＋4
y
M
y
1
由A，P，M三点共线可知＝，
16
x
1
＋4
＋4
3
28y
1
∴ y
M
＝.
3x
1
＋4
28y
2
同理 可得y
N
＝，
3x
2
＋4
22