大蒜的营养价值-董事长秘书职责

2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1～8小 题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的 字母填在答题纸指定位置上.
．．．
xarctanx
c
，其中
c,k
为常数，且
c0
，则（ ）
x0
x
k
1
（A）
k2,c

2
1
（B）
k2,c

2
1
（C）
k3,c

3
1
（D）
k3,c

3
（1）已知极限lim
（2）曲面
xcos(xy)yzx0
在点
(0,1, 1)
处的切平面方程为（ ）
（A）
xyz2

（B）
xyz2

（C）
x2yz3

（D）
xyz0


1
1
9
（3） 设
f(x)x
，
b
n
2

f(x)sinn

xdx(n1,2,...)
，令
S(x)

bn
sinn

x
，则
S()
（ ）
0
2
4
n1
2
3

4
1
（B）
4
1
（C）


4
3
（D）


4
（A）
2222222 2
（4）设
l
1
:xy1,l
2
:xy2,l3
:x2y2,l
4
:2xy2,
为四条逆时针的平面曲线，记
y
3
x
3
I
i

Ñ
(y)dx (2x)dy(i1,2,3,4)
，则
MAX(I
i
)
( )

63
l
i

（A）
I
1

（B）
I
2

（C）
I
3

（D）
I
3

（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若
ABC,则B可逆，则

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价

1a1

< br>200

（6）矩阵


aba



与


0b0


相似的充分必要条件为 < br>
1a1




000

（A）
a0,b2

（B）
a0,b为任意常数

（C）
a2,b0

（D）
a2,b为任意常数
< br>（7）设
XX
22
1
，
2
，X
3
是 随机变量，且
X
1
~N(0,1)，X
2
~N(0,2），X
3
~N(5,3)
,
P
j
P{2X
j
2}(j1,2,3),
则（ ）
（A）
P
1
P
2
P
3

（B）
P
2
P
1
P
3

（C）
P
3
P
1
P
2

（D）
P
1
P
3
P
2

（8 ）设随机变量
X~t(n),Y~F(1,n),
给定
a(0a0.5),
常数c满足
P{Xc}a
,则
P{Yc
2
}
（< br>（A）


（B）
1


（C）
2


（D）
12


）

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．
(9)设函数
f(x)
由方程
yxe
x(1y )
确定，则
limn(f()1)
． n
1
n
3x2xx2x2x
(10)已知
y
1exe
，
y
2
exe
，
y
3
xe
是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该
方程的通解为
y
．

xsint
d
2
y
(11)设

（
t
为参数），则
2
dx

ytsintcost(12)
t

4

．


1
lnx
dx
．
(1x)
2
（13）设
A(a
ij
)
是三 阶非零矩阵，
|A|
为A的行列式，
A
ij
为
a
i j
的代数余子式，若
a
ij
A
ij
0(i,j1,2 ,3),则A____

（14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布,
a
为常数且大于零，则
P{Ya1|Ya}
________。
三、解答题 ：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
．． ．
演算步骤.
（15）（本题满分10分）
计算

1
0
x
ln(t1)
f(x)
dx,
其中
f(x)

dt

1
t
x
（16）（本题满分10分）
设 数列
{a
n
}
满足条件：
a
0
3,a
1
1,a
n2
n(n1)a
n
0(n2),
S( x)
是幂级数
（I）
（II）
证明：
S

(x)S(x)0
,
求
S(x)
的表达式.

ax
n
n0

n
的和函数，
（17）（本题满分10分）
x
3
xy
求函数
f(x,y)(y)e
的极值.
3
（18）（本题满分10分）
设奇函数
f(x)在[-1,1]
上具有2阶导数，且
f(1)1,
证明：
（I）
（II）
存在

(0,1),使得f'(

)1

存在



1,1

，使得
f''(
)f'(

)1

（19）（本题满分10分） < br>设直线L过
A(1,0,0),B(0,1,1)
两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面< br>,与平面
z0,z2
所围成的立体
为

，
（I） 求曲面

的方程
（II） 求

的形心坐标.

（20）（本题满分11分）
设
A


1a

01

,B

，当
a,b
为何 值时，存在矩阵
C
使得
ACCAB
，并求所有矩阵
C
。

10

1b

（21）（本题满分11分）

a
1

b
1

22

设二次型
f

x
1
,x
2
,x
3

2

a
1
x
1
a
2
x2
a
3
x
3



b
1< br>x
1
b
2
x
2
b
3
x
3

，记



a
2

,



b
2

。

a
< br>b


3

3

（I）证明二次型
f
对应的矩阵为
2



；
22
（II）若

,

正交且均为单位向量，证明二次型
f
在正 交变化下的标准形为二次型
2y
1
y
2
。
TT
（22）（本题满分11分）

1
2

x< br>设随机变量的概率密度为
f(x)

4


0（I）求Y的分布函数
（II）求概率
P{XY}

（23）（本题满分11分）

2x1
0x3

， 令随机变量
Y

x1x2
,

1x2
其 他



2



3
e
x
,x0,
LX
N
为来自总体设总体
X
的概率密度为f

x



x
其中

为未 知参数且大于零，
X
1
,X
2
，

0,其它.
X
的简单随机样本.
（1）求

的矩估计量；
（2）求

的最大似然估计量.

2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选 项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
xarctanx
c
，其中
c,k
为常数，且
c0
，则（ ）
x0
x
k
1
（A）
k2,c

2
1
（B）
k2,c

2
1
（C）
k3,c

3
1
（D）
k3,c

3
（1）已知极限
lim
【答案】D
11
3
x (xx
3
o(x
3
))x
xarctanx
33c,k3,c
1
【解析】
limlimlim
x0x 0x0
x
k
x
k
x
k
3
（2）曲面xcos(xy)yzx0
在点
(0,1,1)
处的切平面方程为（ ）
（A）
xyz2

（B）
xyz2

（C）
x2yz3

（D）
xyz0

【答案】A
【解析】设
F(x,y,z)xcos(xy)yzx
，
则
F
x
(x,y,z)2xysin(xy)1F
x
(0,1,1 )1
；
2
2
F
y
(x,y,z)xsin(xy) zF
y
(0,1,1)1
；
F
z
(x,y,z)yF
z
(0,1,1)1
，
所以该曲面在点
(0,1,1)
处的切平面方程为
x(y1)(z 1)0
，
化简得
xyz2
，选A

< br>1
1
（3）设
f(x)x,

x[0,1]

，
b
n
2

f(x)sinn

xdx (n1,2,...)
，令
S(x)

b
n
sinn< br>
x
，则
0
2
n1
9
S()
（ ）
4
3
（A）
4
1
（B）
4
1
（C）


4
3
（D）


4
【答案】C
1x,0x1

2

【解析】根据题意，将函数在
[1, 1]
上奇延拓
f(x)

，它的傅里叶级数为
S(x)
它

x
1
,1x0

2

是以 2为周期的，则当
x(1,1)
且
f(x)
在
x
处连续 时，
S(x)f(x)
，因此
991111
S()S(2)S( )S()f()

444444
22222222
（4）设< br>l
1
:xy1,l
2
:xy2,l
3
:x 2y2,l
4
:2xy2,
为四条逆时针的平面曲线，记
y
3
x
3
I
i

Ñ
(y)dx(2x)dy(i 1,2,3,4)
，则
MAX(I
i
)
( )

63
l
i
（A）
I
1

（B）
I
2

（C）
I
3

y

（D）
I
4

【答案】D
y
3
x
3
【解析】
I
i

Ñ
(y)dx (2x)dy(i1,2,3,4)


63
l
i
y
2



(1x)dxdy

2
D
i
2
O

1

2

x

利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域
D
1
,D
4
上函数为正值，则区域大，积分
大，所以
I
4
I
1
，在
D
4
之外函数值为负，因此I
4
I
2
,I
4
I
3
，故选D。
（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若
ABC
，且
C
可逆，则 （ ）
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
【答案】（B）
【解析】由CAB
可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有
ACB
，从而
A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B） 。
1

1a1


200


（6）矩阵

aba

与

0b0

相似的充分必要条件为

1a1


000




（A）
a0,b2

（B）
a0,b为任意常数

（C）
a2,b0

（D）
a2,b为任意常数

【答案】(B)

1a1

1a1


200


< br>【解析】由于

aba

为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而

aba

与

0b0

相似的

1a1

1a1


000




1a1


充分必要条件为

aba

的特征值为
2,b,0
。

1a1


1
又

EAa
a1a

[(

b)(

2)2a
2< br>]
，从而
a0,b为任意常数
。

1

b
a1
22
（7）设
X
1
，X
2
，X
3
是随机变量，且
X
1
~N(0,1)，X
2
~N(0,2），X
3
~N(5,3)
,
P
j
P{2X
j
2}(j1,2,3),
则（ ）
（A）
P
1
P
2
P
3

（B）
P
2
P
1
P
3

（C）
P
3
P
1
P
2

（D）
P
1
P
3
P
2

【答案】（A）
【解析】由
X
1
:N

0,1< br>
,X
2
:N0,2
2
,X
3
:N5,3< br>2
知，

p
1
P

2X1
2

P

X
1
2

2

2

1
，
p
2
P

2X
2
2

P

X
2
2

2

1

1
，故
p
1
p
2
.
由根据
X
3
:N5,3
2< br>及概率密度的对称性知，
p
1
p
2
p
3
，故选（A）
（8）设随机变量
X~t(n),Y~F(1,n),
给定
a (0a0.5),
常数c满足
P{Xc}a
,则
P{Yc}（ ）
（A）


（B）
1


（C）
2


（D）
12


【答案】（C）
【解析】由
X~t(n),Y~F(1,n)
得，
YX
，故
PYc
2
2


2
P

X
2
c
2

P

Xc或Xc

2a

二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上)．
．．．
(9)设函数
f(x)
由方程
yxe
【答案】1
【解析】
limn(f()1)lim
nx0
x(1y)
确定，则
limn(f()1)
．
n 
1
n
1
n
f(x)1
f

(0)< br>
x
由
yxe
x(1y)
，当
x0
时，
y1

方程两边取对数
ln(yx)x(1y)

两边同时对
x
求导，得
1

y

1
< br>(1y)xy


yx
将
x0
，
y1
代入上式，得
f

(0)1

3x2xx2x2x
(10)已知
y
1
exe
，
y
2
e xe
，
y
3
xe
是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解 ，该
方程的通解为
y
．
【答案】< br>yC
1
e
3x
C
2
e
x
xe
2x

3x2xx2x3xx
【解析】因
y
1
exe
，
y
2
exe
是非齐次线性线性微分方程 的解，则
y
1
y
2
ee
是它所
对应的齐次线 性微分方程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为
y
p
C
1
e
3x
C
2
e
x
，因此该方程的
通解可写为yC
3x
1
eC
2
e
x
xe
2 x

(11)设


xsint
d
2
y
sintcost
（
t
为参数），则

yt
d x
2
t


．
4
【答案】
2

【解析】
dy
dt
si nttcostsinttcost,
dx
dt
cost
，
dytcost
dx

cost
t
，
d(
dy
dx
)

2
2
d t
1
，所以
dy
dx
2

1
，所以dy
cost
dx
2
t

2

4
(12)


lnx
1
(1x)
2
d x
．
【答案】
ln2

【 解析】


lnx
dx


1
 
1
(1x)
2
1
lnxd(
1x
)lnx
1x
1



1
1
x(1 x)
dx



1
x(1x)
dx



11


x

11


x

1x


dx[lnxln(1 x)]
1
ln
1x
1
ln2


（13）设
A(a
ij
)
是三阶非零矩阵，
|A|
为A的 行列式，
A
ij
为
a
ij
的代数余子式，
a
ij
A
ij
0(i,j1,2,3),则A____

【答案】
1

【解析】
由a
ij
A
ij
0可知，
A
T
A
*

Aa
i 1
A
i1
a
i2
A
i2
a
i3
A
i3
a
1j
A
1j
a
2j
A2j
a
3j
A
3j
3


a2
3
2
ij


a
ij
0
j1i1

从而有AA
T
A
*
A
2
,故A=-1.
（14）设随机变量X服从标准正态分布
X~N(0,1)

,则
E(Xe
2X
)
= ________。
若

【答案】
2e

【解析】由
X:N

0,1

及随机变量函数的期望公式知
2
E

Xe
2X




xe
2x
1
e
2


x
2
2
1
dx
2




x e
1



x2

2
4
< br>

2

dx2e
2
.
三、解答题： 15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
．．．
演算步骤.
（15）（本题满分10分）
计算

1
0< br>x
ln(t1)
f(x)
dx,
其中
f(x)

dt

1
t
x
【解析】

1
0< br>1

0
f(x)
dx

0
x
x< br>ln(t1)
dt
1
1
1
ln(t1)
t
dx

dx

dt

0x
t
xx< br>1
ln(t1)
1
ln(t1)ln(t1)1


dt

dx2

tdt2

dt
0000
tt
xt
1t

1
t
< br>1
4

ln(t1)dt4

tln(t1)< br>0


dt

00
t1

1< br>1
tu
4ln24

dt4ln24

2
2udu
0
t1
0
u1
2
1
u 11
1

1

4ln28

du4l n281

du
2

0

0
u
2
1

u1

1

4ln28

uarctanu

1
)4ln282

0
4ln28(1
4
（16）（本题满分10分）
设数列
{ a
n
}
满足条件：
a
0
3,a
1
1, a
n2
n(n1)a
n
0(n2),
S(x)
是 幂级数
（III）
（IV）
证明：
S

(x)S(x)0
,
求
S(x)
的表达式.


ax
n
n0

n
的和函数， 【解析】（I）设
S(x)

ax
n
n0

n
，
S

(x)

anx
n
n1< br>
n

n1
，
S

(x)
< br>
an(n1)x
n
n2
n2


n 2
，
因为
a
n2
n(n1)a
n
0< br>，因此
S

(x)

an(n1)x
n2< br>n2


a
n2
x
n2


a
n
x
n
S(x)
；
n0

< br>（II）方程
S

(x)S(x)0
的特征方程为
< br>10
，
解得

1
1,

1
1
，所以
S(x)c
1
e
x
2
c
2
e
x
，
又
a
0
S(0)3c
1
c
2
3
，
a
1
S

(0 )1c
1
c
2
1
，
xx
解得
c
1
2,c
2
1
，所以
S(x)2ee
。
17（本题满分10分）
x
3
xy
求函数
f(x,y)(y)e
的极值. < br>3

x
3
xy
x
3
xy2xy2f'xe(y)e(x+y+)e0


x
33
【解 析】


33

f'e
xy
(y
x
)e
xy
(1+y+
x
)e
xy
0y

33

解得
(1,),(1,)
，
4
3
2
3
x
3
xy
x
3
A f
xx
''(2xx)e(xy)e(+2x
2
2x+y)e
xy
33
x
3
xy
x
3
2xy2< br>
Bf
xy
''e+(xy)e=(+x+y+1)e
xy
33
x
3
xy
x
3
xy
Cf
yy
''e(1y)e(+y2)e
xy
33
2xy2< br>
4
2
对于
(1,)
点，
A3e
3
,Be
3
,Ce
3
,ACB0,A0,
< br>3

4
(1,)
为极小值点，极小值为
e
3< br>
3
1
111

2
2
对于
( 1,)
，
Ae
3
,Be
3
,Ce
3,=ACB0
,不是极值.
3
555
（18）（本题满分10分）
设奇函数
f(x)在[-1 ,1]
上具有2阶导数，且
f(1)1,
证明：
（III）
（IV）
存在

(0,1),使得f'(

)1

存在



1,1

，使得
f''(
)f'(

)1

【解析】（1）令
F(x)f(x) x,F(0)f(0)0,F(1)f(1)10,

则




0,1

使得
F'(

) 0,即f'(

)1

（2）令
G(x)e(f'(x)1 ),
则
G(

)0,

又由于
f(x)
为奇函数，故
f'(x)
为偶函数，可知
G(

)0
,
则






,




1,1

使
G'(

)0,
即
e[f'(

)1]ef''(

)0，即
f''(

)f'(

)1

（19）（本题满分10分）
设直线L过
A(1,0,0),B(0,1,1)两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面
,与平面
z0,z2
所围成的立体< br>为

，
（III）
（IV）

x
求曲面

的方程
求

的形心坐标.
【解析】（1）
l
过
A,B< br>两点，所以其直线方程为：
所以其绕着
z
轴旋转一周的曲面方程为：
x1y0z0

x1z



y z
111

x
2
y
2
13
xy( 1z)z(z)
2


224
2222
（2）由 形心坐标计算公式可得
z

zdxdydz


dxdydz


22




z(1 z)z


dz
0
22




(1z)z


dz
0
2
2
7
7
，所以形心坐标为
(0,0,)

5
5
（20）（本题满分11分）
设
A

< br>1a

01

,B

，当
a,b< br>为何值时，存在矩阵
C
使得
ACCAB
，并求所有矩阵
C
。

10

1b

x
2
< br>
，则由
ACCAB
可得线性方程组：
x
4


x
1
【解析】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设
C


x
3

x
2
ax
3
0

axxax1

124


（1）

x
1
x
3
x< br>4
1


x
2
ax
3
b


01a0


a10a

10 11


01a0
0

1011
< br>1

a10a

1

01a0

b

01a0
1

1011

01a01a




00001a

 
0000b1a

1

10111


1

01a01a


0
01a00


b

01a0b


由于方程组（1）有解，故有
1a0,b1a0
，即
a1,b 0,
从而有

01a0


a10a
< br>1011


01a0
0

1

1

0


01

b

0
0111


x
1
k
1
k
2
1


xk
1100

< br>21
，故有

,其中k
1
、k
2
任意.

0000
x
3
k
1



0000


x
4
k
2

k
1
k
2
1k
1

从而有
C

kk

12

（21）（本题满分11分） < br>
a
1

b
1

22
< br>设二次型
f

x
1
,x
2
,x
3< br>
2

a
1
x
1
a
2
x
2
a
3
x
3



b
1
x
1
b
2
x
2
b
3
x< br>3

，记



a
2

,



b
2

。

a

b


3

3

（I）证明二次型
f
对应的矩阵为
2



；
22< br>（II）若

,

正交且均为单位向量，证明二次型
f
在正交变化下的标准形为二次型
2y
1
y
2
。
TT
【解析】(1)

22222
f(2a
1
2
b
1
2
)x
1
2
(2a
2
b
2
)x
2
(2a
3
b
32
)x
3
(4a
1
a
2
2b
1< br>b
2
)x
1
x
2
(4a
1
a3
b
1
b
3
)x
1
x
3
 (4a
2
a
3
2b
2
b
3
)x
2
x
3
2a
1
a
2
b
1
b2
22
2a
2
b
2
2a
2
a
3
b
2
b
3


2a
1
2< br>b
1
2

则f的矩阵为

2a
1
a
2
b
1
b
2

2a
1
a3
b
1
b
3

2

T


T
TT

a
1
2
2a
1< br>a
3
b
1
b
3


2a
2
a
3
b
2
b
3

2
< br>a
1
a
2
2

a
1
a
3< br>2a
3
b
3
2


TT
a1
a
2
2
a
2
a
2
a
3a
1
a
3

b
1
2

a
2
a
3



b
1
b
2
2

a
3

b
1
b
3
T
b
1
b
2
b
2
2
b
2
b
3
b
1
b
3


b
2
b
3

b
3
2


（2）
令A =2



,则A

2

< br>
2

,A

2





，则1,2均为A的特
征值，又由于
r(A)r(2< br>


)r(

)r(

) 2
，故0为A的特征值，则三阶矩阵A的特
22
征值为2,1,0，故f在正交变换下 的标准形为
2y
1
y
2

T
TTTT

（22）（本题满分11分）

12

x
设随机变量的概率密度为
f(x)

4


0
（I）求Y的分布函数
（II）求概率
P{XY}

【解析】（1）
F
Y

y

P

Yy



2 x1
0x3

，令随机变量
Y

x1x2,

1x2
其他

由
Y
的概率分布知，当
y1
时，
F
Y

y

0
；
当
y2
时，
F
Y

y

1< br>；
当
1y2
时，
F
Y

y

P

Yy

P{Y1}P{1Yy}P{Y1} P{1Xy}

=
P{X2}P{1Xy}


y
11
22
xdxx

2
9

1
9
dx

3
1
3
(y18)

27
8

27
(2)
P{XY}P{XY,X1 }P{XY,1X2}P{XY,X2}
（23）（本题满分11分）
< br>
2



3
e
x
,x0,LX
N
为来自总体设总体
X
的概率密度为
f

x



x
其中

为未知参数且大于零，
X
1
,X
2
，

0,其它.

X
的简单随机样本.
（1）求

的矩估计量；
（2）求

的最大似然估计量.
【解析】(1)
EX



xf(x)dx


0
x

2
e
x
dx


e
x
d() 

，令
EXX
，故

矩估计量为
X
.
3
0
xx

2n
n
1


x
i
0



3
e
x
i

i1
x
i

其他

0
x
i
0
其他





< br>(2)
L(

)

i1
n

n

2


x


3
e
i
f(x
i
;

)

i1
x
i


0

当
x
i
0
时， < br>lnL(

)2nln

3

lnx
i



i1i1
nn
1

x
i

dlnL(

)2n
n
1


0
， 令
d

i1
x
i

2n2n
得


n
，所以得

极大似然估计量
=
n
.
11

i1
x
i
i1
x
i