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2016年秋八年级数学解答题

2016年秋八年级数学解答题

1．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上
的点，AD=BC．
（1）如图1，过点 A作AF⊥AB，并截取AF=BD，
连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，
直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一 个
固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，
请说明理由．
















2．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90° ，
点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于
点G（如图1），求证：AE=CG； （2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交
CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE
相等的线段，并证明．

3．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①< br>方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠
D=30°，点E落在AB上，DE所在 直线交AC
所在直线于点F．
（1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图①中 的△DBE绕点B按顺时针方向
旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，
请在图②中画 出变换后的图形，并直接写出你在
（1）中猜想的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的△ DBE绕点B按顺时针方向
旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，
如图③．你认 为（1）中猜想的结论还成立吗？若
成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF
与DE 之间的关系，并说明理由．











4．如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点
P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点
C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的
长；
（2）如图②，过点P作直线 BC的垂线垂足为E，
当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD
中是否存在长度保持 不变的线段？请说明理由．

5．等边△ABC，点D是直线BC上一点，以 AD
为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：
CE+CD=AB；
（2）如图2，若 点D在CB的延长线上，线段CE，
CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．



















6．如图，D 是等边△ABC的边AB上一点，E是
BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，
过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：
（1）AG=AD；
（2）DF=EF； < br>（3）S
△
DGF
=S
△
ADG
+S
△ECF
．

7．如图，点C是线段AB上除点A 、B外的任意
一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作
等边△ACD和等边△BCE， 连接AE交DC于M，
连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE=BD；
（2）求证：MN∥AB．

















8．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任
意一点，过D分别向AB，A C引垂线，垂足分别
为E，F，CG是AB边上的高．
（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量
关系？并加以证明；

（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成
立吗？若不成立 ，又存在怎样的关系？请说明理
由．









2016年秋八年级数学解答题

参考答案与试题解析


一．解答题（共11小题）
1．（2015•菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是
直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，
连接DC、DF、CF，判断△CD F的形状并证明；

（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，
直线AE、 CD相交于点P，∠APD的度数是一个
固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，
请说明 理由．
【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全
等，再利用全等三角形的性质得 出FD=DC，即可
判断三角形的形状；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF ，
CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利
用全等三角形的性质得出FD=DC， ∠
FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．
【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理
由如下：
∵AF⊥AD，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD=DC，

∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，
CF，如图，
∵AF⊥AD，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠FDA=90°，

∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠FCD=45°，
∵AF∥CE，且AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠APD=∠FCD=45°．
2．（2011•泰安）已知：在△ABC中，AC=B C，
∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边
上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于
点G（如图1），求证：AE=CG； （2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交
CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE
相等的线段，并证明．

【分析】（1）首先根据点D是 AB中点，∠
ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断
出△AEC≌△CG B，即可得出AE=CG，
（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠
MCH=90°，∠BE C+∠MCH=90°，再根据
AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌
△ CAM，进而证明出BE=CM．
【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，
∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，

∴△AEC≌△CGB（ASA），

∴AE=CG，
（2）解：BE=CM．
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠
MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．
3．（2009•沈阳）将两个全等的直角三角形ABC
和DBE按图①方式摆放，其中∠AC B=∠
DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，
DE所在直线交AC所在直线 于点F．
（1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方 向
旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，
请在图②中画出变换后的图形，并直接写出 你在
（1）中猜想的结论是否仍然成立；

（3）若将图 ①中的△DBE绕点B按顺时针方向
旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，
如图 ③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若
成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF
与DE之间的关系，并说明理由．

【分析】（1）我们已知了三角形BED和CAB全< br>等，那么DE=AF+CF，因此只要求出EF=CF就
能得出本题所求的结论，可通过全等三角 形来实
现，连接BF，那么证明三角形BEF和BCF全等
就是解题的关键，这两三角形中已知 的条件有
BE=BC，一条公共边，根据斜边直角边定理，这
两个直角三角形就全等了，也就得 出EF=CF，也
就能证得本题的结论了；
（2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样；
（3）同（1）得CF=EF，由△AB C≌△DBE，可
得AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF．

【解答】（1）证明：连接BF（如图①），
∵△ABC≌△DBE（已知），
∴BC=BE，AC=DE．
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴∠BCF=∠BEF=90°．
∵BF=BF，
∴Rt△BFC≌Rt△BFE．
∴CF=EF．
又∵AF+CF=AC，
∴AF+EF=DE．
（2）解：画出正确图形如图②
∴（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；
（3）不成立．
证明：连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴△BCF和△BEF是直角三角形，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，

，
∴△BCF≌△BEF（HL），
∴CF=EF；
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，
∴AF=AC+FC=DE+EF． < br>4．（2013•青羊区一模）如图，△ABC中AB=AC，
BC=6，，点P从点B出发沿射 线BA移动，
同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，
已知点P、Q移动的速度相同， PQ与直线BC相
交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的
长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，
当点P、Q在移动的过程中，线段BE、D E、CD
中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
【分析】（1）过点P做PF平行与 AQ，由平行我
们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由
AB=AC，根据等边对等角得角 B和角ACB的相

等，根据等量代换的角B和角PFB的相等，根据
等角对等边得B P=PF，又因点P和点Q同时出
发，且速度相同即BP=CQ，等量代换得PF=CQ，
在加 上对等角的相等，证得三角形PFD和三角形
QCD的全等，根据全等三角形的对应边边相等得
出DF=CD=CF，而又因P是AB的中点，PF∥
AQ得出F是BC的中点，进而根据已知的BC的
长，求出CF，即可得出CD的长．
（2）分两种情况讨论，第一种情况点P在线段
AB上，根据等腰三角形的三线合一得BE=EF，
再又第一问的全等可知DF=CD，所以
E D=，得出线段DE的长为定值；第
二种情况，P在BA的延长线上，作PM平行于
AC交BC 的延长线于M，根据两直线平行，同位
角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于
角A BC，根据等量代换得到角ABC等于角
PMB，根据等角对等边得到PM等于PB，根据三
线 合一，得到BE等于EM，同理可得△PMD全
等于△QCD，得到CD等于DM，根据DE等于

EM减DM，把EM换为BC加CM的一半，化
简后得到值为定值．
【解答】解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC
于F，
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，
∴BP=CQ，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PFB，
∴BP=PF，
∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，
∴证得△PFD≌△QCD，
∴DF=CD=CF，
又因P是AB的中点，PF∥AQ，
∴F是BC的中点，即FC=BC=3，
∴CD=CF=；

（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的
线段
如图，如果点P在线段AB上，
过点P作PF∥AC交BC于F，
∵△PBF为等腰三角形，
∴PB=PF，
BE=EF，
∴PF=CQ，
∴FD=DC，
∴ED=，
∴ED为定值，
同理，如图，若P在BA的延长线上，
作PM∥AC的延长线于M，
∴∠PMC=∠ACB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PMC，
∴PM=PB，根据三线合一得BE=EM，
同理可得△PMD≌△QCD，

所以CD=DM，
，
综上所述，线段ED的长度保持不变．

7．（2011•黑龙江模拟）等边△A BC，点D是直
线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△
ADE，连接CE．
（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：
CE+CD=AB；
（2）如图2，若 点D在CB的延长线上，线段CE，
CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．
< br>【分析】（1）如图1，根据△ADE与△ABC都是
等边三角形，容易得到全等条件证明△CA E≌△

BAD，再根据全等三角形的性质可以证明题目的
结论；
（2）如 图2，根据（1）可知D的位置对△CAE
≌△BAD没有影响，所以结论仍然成立，证明方
法 完全相同．
【解答】证明：（1）如图1，∵△ADE与△ABC
都是等边三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE﹣∠CAD=∠BAC﹣∠CAD．
即∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；
∴CE+CD=DB+CD=BC=AB，即CE+CD=AB；
（2）CE+CD=AB；
理由如下：如图2，∵△ADE与△ABC都是等边
三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．

∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE．
即∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；
∴CE+AB=DB+BC=CD，即CE+AB=CD．



8．（2011•安徽模拟）如图，D是等边△ABC的边
AB上一点，E是BC延长线上一点，CE =DA，连
接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．
证明下列结论：
（1）AG=AD；
（2）DF=EF；

（3）S
△
DGF
=S
△
ADG
+S
△
ECF
．

【分析】（1）由等边△ABC，DG⊥AC，可求得
∠AGD=90°，∠ADG=30°， 然后根据直角三角
形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即
可证得AG=AD； （2）首先过点D作DH∥BC交AC于点H，易
证得△ADH是等边三角形，又由CE=DA，可 利
用AAS证得△DHF≌△ECF，继而可得DF=EF；
（3）由△ABC是等边三角形 ，DG⊥AC，可得
AG=GH，即可得S
△
ADG
=S
△
HDG
，又由△DHF≌△
ECF，即可证得S
△
DGF
=S
△
ADG
+S
△
ECF
．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，
∴AG=AD；
（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，
∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH=AD，
∵AD=CE，
∴DH=CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DF=EF；
（3）∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，
∴AG=GH，
∴S
△
ADG
=S
△
HDG
，
∵△DHF≌△ECF，
∴S
△
DHF
=S
△
ECF
，
∴S△
DGF
=S
△
DGH
+S
△
DHF
=S
△
ADG
+S
△
ECF
．

9．（2010•雅安）如图，点C是线段AB上除点A、
B外的任意一点，分别以AC、BC为边 在线段AB
的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交
DC于M，连接BD交CE于N ，连接MN．
（1）求证：AE=BD；
（2）求证：MN∥AB．
【分析】（ 1））先由△ACD和△BCE是等边三角
形，可知AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠< br>ECB=60°，故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠
DCE，∠ACE=∠DCB，根 据SAS定理可知△ACE
≌△DCB，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1） 中△ACE≌△DCB，可知∠CAM=
∠CDN，再根据∠ACD=∠ECB=60°，A、C、B< br>三点共线可得出∠DCN=60°，由全等三角形的判
定定理可知，△ACM≌△DCN，故MC =NC，再
根据∠MCN=60°可知△MCN为等边三角形，故
∠NMC=∠DCN=60° 故可得出结论．
【解答】证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三
角形，

∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，
∵∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠
DCB，
在△ACE与△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD；

（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN=60°，
在△ACM与△DCN中，
∵，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC=NC，
∵∠MCN=60°，

∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC=∠DCN=60°，
∴∠NMC=∠DCA，
∴MN∥AB．
10．（2006•郴州）如图，在△A BC中，AB=AC，
D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂
线，垂足分别为E，F ，CG是AB边上的高．
（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量
关系？并加以证明；
（2）若D 在底边的延长线上，（1）中的结论还成
立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理
由．

【分析】（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=
三角形ABD的面积+三角形 ACD的面积，进行分
析证明；

（2）类似（1）的思路，仍然用 计算面积的方法
来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=
三角形ABD的面积﹣三角形 ACD的面积．
【解答】解：（1）DE+DF=CG．
证明：连接AD，
则S
ABC
=S
ABD
+S
ACD
，即
AB•CG=A B•DE+AC•DF，
△△△



∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．

（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不
成立，但有DE﹣DF=CG．
理由：连接AD，则S
ABD
=S
ABC
+S
即AB•DE=AB• CG+AC•DF
△△△
ACD
，
∵AB=AC，
∴DE=CG+DF，
即DE﹣DF=CG．
同理当D点在CB的延长线上时，则有DF﹣
DE=CG，说明方法同上．