中央档案馆-四人小品剧本

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2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第I卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目
要求的。

（1）已知集合
A{1,2,3,4,5}
，
B{(x,y)|xA,yA,xyA}
，则
B
中所含 元素的个数为
（A） 3 （B） 6 （C） 8 （D） 10
（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两 地参加社会实践活动，每个小组有1
名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
（A） 12种 （B） 10种 （C） 9种 （D）8种
（3）下面是关于复数
z
2
的四个命题
1i
p
1
：
|z|2

p
2
:
z
2
2i

p
3
:
z
的共轭复数为
1i

p
4
：
z
的虚部为
1

其中真命题为
(A )
p
2
,
p
3
（B）
p
1
,
p
2
（C）
p
2
，
p
4
（D）
p
3
,
p
4

x
2
y
2
（4）设
F1
,F
2
是椭圆
E:
2

2
1(a b0)
的左、右焦点，
P
为
ab
直线
x
3 a
上的一点，
F
2
PF
1
是底角为
30
的等腰三角形，则
2
E
的离心率为
(A)

（5） 已知
{a
n
}
为等比数列，
a
4
a
7< br>2
，
a
5
a
6
8
，则
a1
a
10


(A)
7

(B)
5

(C)
5

(D)
7

（6）如果执行右边的程序图，输入正整数
N(N2)

和实数
a
1
,a
2
,...,a
N
输入
A,B
,则
(A)
AB
为
a
1
,a
2
,...,a
N
的和
（B）
1234
(B) (C) (D)
2345
AB
为
a
1< br>,a
2
,...,a
N
的算式平均数
2
（C）A
和
B
分别是
a
1
,a
2
,..., a
N
中最大的数和最小的数
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A
和
B
分别是
a
1
,a
2,...,a
N
中最小的数和最大的数
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某
几何体的三视图，则此几何体的体积为

（A）6 (B)9 （C）12 （D）18
（8）等轴双曲线
C
的中心在原点，焦 点在
x
轴上，
C
与抛物线
y
2
16x
的 准线交于
A,B
两点，

|AB|43
，则
C
的
实轴长为
（A）
2
（B）
22
（C）
4
（D）
8
（9）
已知
0
，函数
f(x)sin(

x




)
在

,


单调递减，则

的取值范围
4

2

15131
(A)
[,]
(B)
[,]
(C)
(0,]
(D)
(0,2]

24242
（10）已知函数
f(x)
1
，则
yf(x)
的图像大致为
ln(x1)x















（11）已知 三棱锥
SABC
的所有顶点都在球
O
的球面上，
ABC
是边长为
1
的正三角形，
SC
为
O
的直径，且
SC 2
，则此棱锥的体积为
(A)
2322

(B)

(C)

(D)

6632
1
x
e
上，点
Q
在曲线
yln(2x)
上，则
|PQ|
的最小值为
2
（12）设点
P
在曲线
y

(A)
1ln2
(B)
2(1ln2)
(C)
1ln2
(D)
2(1ln2)

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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考试依据要求作答。
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知向量
a,b夹角为45°，且
|a|1,|2ab|10
，则
b
_____ _______.

xy1,

xy3,

（ 14）设
x,y
满足约束条件

则
zx2y
的取值范围 为__________.
x0,



y0,
（1 5）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件
正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布
2N(1000,50)
，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小 时的
概率为_________________.

(16)数列
a
n

满足
a
n1
(1)
n
a
n
2n1
，则

a
n

的前60项和 为________.
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知
a,b,c
分别为
ABC< br>的三个内角
A,B,C
的对边，
acosC3asinCbc0
.
（Ⅰ）求
A
；
（Ⅱ）若
a2
，
ABC
的面积为
3
，求
b,c
.

（18）（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后 以每枝10元的价格出售.如果当天卖不
完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
nN
）（ Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润
y
（单位：元）关于当天需求量
n< br>（单位：枝，
的函数解析式;
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量
n
14 15 16 17 18 19 20
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频数 10 20 16 16 15 13 10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫 瑰花，
X
表示当天的利润（单位：元），求
X
的分布列、数学期望及
方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱
ABCA
1< br>B
1
C
1
中，
ACBC
中点，
DC1
BD
。
（1） 证明：
DC
1
BC
；
（2） 求二面角
A
1
BDC
1

的大小.

（20）（本小题满分12分）
2
1
AA
1
，
D
是棱
AA
1
的
2
A
1
C
1
B
1
D
C
A
B
设抛物线
C：x2py(p0 )
的焦点为
F
，准线为
l
，
A
为
C
上一点，已知以
F
为圆心，
FA
为半
径的圆
F
交
l
于
B,D
两点.
（1） 若
BFD90
，
ABD
的面积为
42
，求
p
的值及圆
F
的方程；
（2） 若
A,B,F
三点在同一直线
m
上，直线
n
与
m
平行，且
n
与
C
之有一个公共点，求坐标 原点到
m,n
距离的比值.

（21）（本小题满分12分）
已 知函数
f(x)
满足
f(x)f(1)e
x1
f(0)x
1
2
x
.
2
（1） 求
f(x)
的解析式及单调区间；
（2） 若
f(x)
1
2
xaxb
，求
(a1)b
的最大值.
2
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的
第一题计分。作答时请写清 题号。
（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲
如图，
D,E< br>分别为
ABC
边
AB,AC
的中点，直线
DE
交< br>ABC
的
外接圆于
F,G
两点，若
CFAB
，证明 ：
（Ⅰ）
CDBC
；
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A
D
E
GF
B
C

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（Ⅱ）
BCD∽GBD


（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线
C
1
的参数方程式


x2cos

（

为参数），以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立
y3sin

坐标系，曲线
C
2
的极坐标方程式

2
. 正方形
ABCD
的顶点都在
C
2
上，且
A,B,C,D依逆时针次序
排列，点Ａ的极坐标为

2,




.
2

（Ⅰ）求点
A,B,C,D
的直角坐标；
（Ⅱ）设< br>P
为
C
1
上任意一点，求
|PA||PB||PC|| PD|
的取值范围.

（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
已知函数
f(x)|xa||x2|

（Ⅰ）当
a3
时，求不等式
f(x)3
的解集；
（ 2）若
f(x)|x4|
的解集包含
[1,2]
求
a
的 取值范围.

2222
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2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学

一．选择题：本大 题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
（1）【解析】选
D


x5,y1,2,3, 4
，
x4,y1,2,3
，
x3,y1,2
，
x 2,y1
共10个
（2）【解析】选
A

12
甲地由
1
名教师和
2
名学生：
C
2
C
4< br>12
种
（3）【解析】选
C


z
22(1i)
1i

1i(1i)(1i)

p
1
:z
（4）【解析】选
C

2
，< br>p
2
:z
2
2i
，
p
3
:z的共轭复数为
1i
，
p
4
:z
的虚部为
 1

3
2
c3


a4


F
2
PF
1
是底角为
30
的等腰三角形
PF
2
F
2
F
1
2(ac)2ce
（5）【解析】选
D

a
4
a
7
2
，
a
5
a
6
a
4
a
7
8 a
4
4,a
7
2
或
a
4
2,a
7
4

a
4
4,a
7
2a1
8,a
10
1a
1
a
10
7

a
4
2,a
7
4a
10
8 ,a
1
1a
1
a
10
7

（6）【解析】选
C

（7）【解析】选
B

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
3

此几何体的体积为
V
（8）【解析】选
C

设
C:xy a(a0)
交
y16x
的准线
l:x4
于
A( 4,23)B(4,23)

得：
a
2
(4)
2< br>(23)
2
4a22a4

（9）【解析】选
A

222
11
6339

32
2

5

9


2(

x)[,]
不合题意 排除
(D)

444

3

5


1(

x)[,]
合题意 排除
(B)(C)

444
专业技术参考资料

WORD格式整理 
3

)



2
，< br>(

x)[

,

][,]

2424422

3

15
得：

,





2424224
（10）【解析】选
B

另：

(



x

1x
g

(x)01x0,g

(x)0x0 g(x)g(0)0
g(x)ln(1x)xg

(x)
得：
x0
或
1x0
均有
f(x)0
排除
A,C,D

（11）【解析】选
A

ABC
的外接圆的半径
r
36
，点
O
到面
ABC
的距离
dR
2
r
2


33

SC
为球
O
的直径

点< br>S
到面
ABC
的距离为
2d
26

3
此棱锥的体积为
V
113262

S
ABC
2d
33436
另：
V
13
排除
B,C,D

S
ABC
2R
36
1
x
e
与函数
yln(2x)
互 为反函数，图象关于
yx
对称
2
（12）【解析】选
A

函数
y
1
x
ex
11
2
函数
ye
x
上的点
P(x,e
x
)
到直线
y x
的距离为
d

22
2
设函数
g(x)
1
x
11ln2

exg

(x)e
x
1g(x)
min
1ln2d
m in

22
2
由图象关于
yx
对称得：< br>PQ
最小值为
2d
min


二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）【解析】
b_____
32

2(1ln2)

2ab10(2ab)104b4bcos45

10b32

(14) 【解析】
zx2y
的取值范围为
[3,3]

2
2
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约束条件对应四边形
OABC
边际及内的区域：
O(0,0 ),A(0,1),B(1,2),C(3,0)

则
zx2y[3,3]

（15）【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
3

8
2
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布
N(1000,50)

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为
p
1

2
3

4
2
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的 概率
P
1
1(1p)
那么该部件的使用寿命超过1000小时 的概率为
p
2
p
1
p
（16）【解析】
{a
n
}
的前
60
项和为
1830

3

8
可证明：
b
n1
a
4n1
a
4n2
a
4n3
a
4n4
a
4n3
a
4n2
a
4n2
a
4n
16b
n
16


b
1
 a
1
a
2
a
3
a
4
10S15
1015
1514
161830

2
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）【解析】（1）由正弦定理得：
acosC3asinCbc0sinAcosC 3sinAsinCsinBsinC

sinAcosC3sinAsinCs in(aC)sinC
1


3sinAcosA1sin(A30)

2
A30

30

A60

（2）
S
1
bcsinA3bc4

2

a
2
b
2
c
2
2bccosAbc4

解得：
bc2
（l fx lby）

18.【解析】（1）当
n16
时，
y16(105)80

当
n15
时，
y5n5(16n)10n80

得：
y


10n80(n15)
(nN)

(n16)

80
（2）（i）
X
可取
60
，
70
，
80

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P(X60)0.1,P(X70)0.2,P(X80)0.7


X
的分布列为
X

60

0.1

70

0.2

80

0.7

P


EX600.1700.2800.776

< br>DX16
2
0.16
2
0.24
2
0. 744

（ii）购进17枝时，当天的利润为
y(145 35)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.54 76.4


76.476
得：应购进17枝

（19）【解析】（1）在
RtDAC
中，
ADAC

得：
ADC45


同理：
A
1
DC
1
45

CDC
1
90


得：
DC
1
DC,DC
1
BDDC
1

面
BCDDC
1
BC

（2）
DC
1
BC,CC
1
BCBC
面
ACC
1
A
1
BCAC< br>
取
A
1
B
1
的中点
O
，过点
O
作
OHBD
于点
H
，连接
C
1
O,C
1
H


AC
11
 B
1
C
1
C
1
OA
1
B
1< br>，面
A
1
B
1
C
1

面
A
1
BDC
1
O
面
A
1
BD


OHBDC
1
HBD
得：点
H
与点
D
重合
且
C
1DO
是二面角
A
1
BDC
1
的平面角
设
ACa
，则
C
1
O
2a

，
C
1
D2a2C
1
OC
1
DO30

2
既二面角
A
1
BDC
1
的大小为
30


（20）【解析】（1）由对称性知：
BFD
是 等腰直角

，斜边
BD2p

点
A
到准线
l
的距离
dFAFB2p


S
ABD
42
1
BDd42p2

2

圆
F
的方程为
x
2
(y1)
2
8

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2
x
0
p

（2）由对称性设
A(x
0
,)(x
0
0)
，则
F(0,)

2p2
22
x
0
x
0
p
2
)p x
0
3p
2
点
A,B
关于点
F< br>对称得：
B(x
0
,p
2p2p2
3pp
3p
22
x
p
x3y
3p
0
得：
A(3p,)
，直线
m:y
22
2
3p
x< br>2
x33
3pp

x2pyyy

xp
切点
P(,)

36
2pp33
2
直线
n:y
p33p3
(x)x3yp0

6336
3p3p
:3
。
26
1
2
x f

(x)f

(1)e
x1
f(0)x

2
坐标原点到
m,n
距离的比值为
（21）【解析】（1）f(x)f

(1)e
x1
f(0)x
令
x1
得：
f(0)1


f(x)f

(1)e
x1
x
得：
f(x)e
x
x

1
2
xf(0) f

(1)e
1
1f

(1)e

2
1
2
xg(x)f

(x)e
x
1 x

2

g

(x)e10yg( x)
在
xR
上单调递增

f

( x)0f

(0)x0,f

(x)0f

( 0)x0

得：
f(x)
的解析式为
f(x) e
x
x
x
1
2
x

2
且单调递增区间为
(0,)
，单调递减区间为
(,0)

（2）
f(x)
1
2
xaxbh(x)e
x
( a1)xb0
得
h

(x)e
x
(a1)
2
①当
a10
时，
h

( x)0yh(x)
在
xR
上单调递增

x
时，
h(x)
与
h(x)0
矛盾
②当
a10
时，
h

(x)0xl n(a1),h

(x)0xln(a1)

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得：当
xln(a1)
时，
h(x)
min< br>(a1)(a1)ln(a1)b0


(a1)b(a1)(a1)ln(a1)(a10)

令
F(x)xxlnx(x0)
；则
F

(x)x(12 lnx)


F

(x)00x
当
x
当
a
22
22
e,F

(x)0xe

e
时，
F(x)
max

e

2
e

2
e1,be
时，
(a1)b
的最大值为
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，
做答时请写清题号。
（22）【解析】（1）
CFAB
，
DFBC CFBDADCDBF


CFABAFBCBCCD

（2）
BCGFBGFCBD


BCGFGDEBGDDBCBDCBCD

（23）【解析】 （1）点
A,B,C,D
的极坐标为
(2,
GBD

< br>3
),(2,
5

4

11

), (2,),(2,)

636
点
A,B,C,D< br>的直角坐标为
(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)


x
0
2cos

(

为参数)
（2）设
P(x
0
,y
0
)
；则

y3 sin


0

tPAPBPCPD4x
2
4y
2
40


5620sin

[56,76]
（lfxlby）
（24 ）【解析】（1）当
a3
时，
f(x)3x3x23

2
2222
x2x3

2x3




或


或




3x2x3

3xx23

x3x23< br>
x1
或
x4

（2）原命题
f(x)x4
在
[1,2]
上恒成立
xa2x4x
在
[1,2]
上恒成立
2xa2x
在
[1,2]
上恒成立
3a0< br>每项建议案实施完毕，实施部门应根据结果写出总结报告，实事求是的说明产生的经济效益或者其他积极效 果，呈报总经办。
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总经办应将实施完毕的建议案提交给评委会进行效果评估， 确定奖励登记，对符合条件的项目，应整理材料，上报总经理审批后给建议人颁发奖励。
总经办应做好合理化建议的统计记录及资料归档管理。


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