2013全国高考1卷理科数学试题及答案解析

温柔似野鬼°
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2020年08月13日 02:58
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中央档案馆-四人小品剧本


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2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第I卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目
要求的。

(1)已知集合
A{1,2,3,4,5}

B{(x,y)|xA,yA,xyA}
,则
B
中所含 元素的个数为
(A) 3 (B) 6 (C) 8 (D) 10
(2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两 地参加社会实践活动,每个小组有1
名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有
(A) 12种 (B) 10种 (C) 9种 (D)8种
(3)下面是关于复数
z
2
的四个命题
1i
p
1

|z|2

p
2
:
z
2
2i

p
3
:
z
的共轭复数为
1i

p
4

z
的虚部为
1

其中真命题为
(A )
p
2
,
p
3
(B)
p
1
,
p
2
(C)
p
2

p
4
(D)
p
3
,
p
4

x
2
y
2
(4)设
F1
,F
2
是椭圆
E:
2

2
1(a b0)
的左、右焦点,
P

ab
直线
x
3 a
上的一点,
F
2
PF
1
是底角为
30
的等腰三角形,则
2
E
的离心率为
(A)

(5) 已知
{a
n
}
为等比数列,
a
4
a
7< br>2

a
5
a
6
8
,则
a1
a
10


(A)
7

(B)
5

(C)
5

(D)
7

(6)如果执行右边的程序图,输入正整数
N(N2)

和实数
a
1
,a
2
,...,a
N
输入
A,B
,则
(A)
AB

a
1
,a
2
,...,a
N
的和
(B)
1234
(B) (C) (D)
2345
AB

a
1< br>,a
2
,...,a
N
的算式平均数
2
(C)A

B
分别是
a
1
,a
2
,..., a
N
中最大的数和最小的数
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A

B
分别是
a
1
,a
2,...,a
N
中最小的数和最大的数
(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某
几何体的三视图,则此几何体的体积为

(A)6 (B)9 (C)12 (D)18
(8)等轴双曲线
C
的中心在原点,焦 点在
x
轴上,
C
与抛物线
y
2
16x
的 准线交于
A,B
两点,

|AB|43
,则
C

实轴长为
(A)
2
(B)
22
(C)
4
(D)
8
(9)
已知
0
,函数
f(x)sin(

x




)


,


单调递减,则

的取值范围
4

2

15131
(A)
[,]
(B)
[,]
(C)
(0,]
(D)
(0,2]

24242
(10)已知函数
f(x)
1
,则
yf(x)
的图像大致为
ln(x1)x















(11)已知 三棱锥
SABC
的所有顶点都在球
O
的球面上,
ABC
是边长为
1
的正三角形,
SC

O
的直径,且
SC 2
,则此棱锥的体积为
(A)
2322

(B)

(C)

(D)

6632
1
x
e
上,点
Q
在曲线
yln(2x)
上,则
|PQ|
的最小值为
2
(12)设点
P
在曲线
y

(A)
1ln2
(B)
2(1ln2)
(C)
1ln2
(D)
2(1ln2)

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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题,考试依据要求作答。
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分。
(13)已知向量
a,b夹角为45°,且
|a|1,|2ab|10
,则
b
_____ _______.

xy1,

xy3,

( 14)设
x,y
满足约束条件


zx2y
的取值范围 为__________.
x0,



y0,
(1 5)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件
正常工作,则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布
2N(1000,50)
,且各个元件能否正常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过1000小 时的
概率为_________________.

(16)数列
a
n

满足
a
n1
(1)
n
a
n
2n1
,则

a
n

的前60项和 为________.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知
a,b,c
分别为
ABC< br>的三个内角
A,B,C
的对边,
acosC3asinCbc0
.
(Ⅰ)求
A

(Ⅱ)若
a2

ABC
的面积为
3
,求
b,c
.

(18)(本小题满分12分)
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后 以每枝10元的价格出售.如果当天卖不
完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
nN
)( Ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润
y
(单位:元)关于当天需求量
n< br>(单位:枝,
的函数解析式;
(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量
n
14 15 16 17 18 19 20
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频数 10 20 16 16 15 13 10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(ⅰ)若花店一天购进16枝玫 瑰花,
X
表示当天的利润(单位:元),求
X
的分布列、数学期望及
方差;
(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.

(19)(本小题满分12分)
如图,直三棱柱
ABCA
1< br>B
1
C
1
中,
ACBC
中点,
DC1
BD

(1) 证明:
DC
1
BC

(2) 求二面角
A
1
BDC
1

的大小.

(20)(本小题满分12分)
2
1
AA
1

D
是棱
AA
1

2
A
1
C
1
B
1
D
C
A
B
设抛物线
C:x2py(p0 )
的焦点为
F
,准线为
l

A

C
上一点,已知以
F
为圆心,
FA
为半
径的圆
F

l

B,D
两点.
(1) 若
BFD90

ABD
的面积为
42
,求
p
的值及圆
F
的方程;
(2) 若
A,B,F
三点在同一直线
m
上,直线
n

m
平行,且
n

C
之有一个公共点,求坐标 原点到
m,n
距离的比值.

(21)(本小题满分12分)
已 知函数
f(x)
满足
f(x)f(1)e
x1
f(0)x
1
2
x
.
2
(1) 求
f(x)
的解析式及单调区间;
(2) 若
f(x)
1
2
xaxb
,求
(a1)b
的最大值.
2
请考生在第22、23、24题中任选一道作答,如果多做,则按所做的
第一题计分。作答时请写清 题号。
(22)(本小题满分10分)选修4—1;几何证明选讲
如图,
D,E< br>分别为
ABC

AB,AC
的中点,直线
DE
交< br>ABC

外接圆于
F,G
两点,若
CFAB
,证明 :
(Ⅰ)
CDBC

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A
D
E
GF
B
C


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(Ⅱ)
BCD∽GBD


(23)(本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程
已知曲线
C
1
的参数方程式


x2cos



为参数),以坐标原点为极点,
x
轴的正半轴为极轴建立
y3sin

坐标系,曲线
C
2
的极坐标方程式

2
. 正方形
ABCD
的顶点都在
C
2
上,且
A,B,C,D依逆时针次序
排列,点A的极坐标为

2,




.
2

(Ⅰ)求点
A,B,C,D
的直角坐标;
(Ⅱ)设< br>P

C
1
上任意一点,求
|PA||PB||PC|| PD|
的取值范围.

(24)(本小题满分10分)选修4—5;不等式选讲
已知函数
f(x)|xa||x2|

(Ⅰ)当
a3
时,求不等式
f(x)3
的解集;
( 2)若
f(x)|x4|
的解集包含
[1,2]

a
的 取值范围.

2222
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2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学

一.选择题:本大 题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的。
(1)【解析】选
D


x5,y1,2,3, 4

x4,y1,2,3

x3,y1,2

x 2,y1
共10个
(2)【解析】选
A

12
甲地由
1
名教师和
2
名学生:
C
2
C
4< br>12

(3)【解析】选
C


z
22(1i)
1i

1i(1i)(1i)

p
1
:z
(4)【解析】选
C

2
,< br>p
2
:z
2
2i

p
3
:z的共轭复数为
1i

p
4
:z
的虚部为
 1

3
2
c3


a4


F
2
PF
1
是底角为
30
的等腰三角形
PF
2
F
2
F
1
2(ac)2ce
(5)【解析】选
D

a
4
a
7
2

a
5
a
6
a
4
a
7
8 a
4
4,a
7
2

a
4
2,a
7
4

a
4
4,a
7
2a1
8,a
10
1a
1
a
10
7

a
4
2,a
7
4a
10
8 ,a
1
1a
1
a
10
7

(6)【解析】选
C

(7)【解析】选
B

该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为
3

此几何体的体积为
V
(8)【解析】选
C


C:xy a(a0)

y16x
的准线
l:x4

A( 4,23)B(4,23)

得:
a
2
(4)
2< br>(23)
2
4a22a4

(9)【解析】选
A

222
11
6339

32
2

5

9


2(

x)[,]
不合题意 排除
(D)

444

3

5


1(

x)[,]
合题意 排除
(B)(C)

444
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WORD格式整理 
3

)



2
,< br>(

x)[

,

][,]

2424422

3

15
得:

,





2424224
(10)【解析】选
B

另:

(



x

1x
g

(x)01x0,g

(x)0x0 g(x)g(0)0
g(x)ln(1x)xg

(x)
得:
x0

1x0
均有
f(x)0
排除
A,C,D

(11)【解析】选
A

ABC
的外接圆的半径
r
36
,点
O
到面
ABC
的距离
dR
2
r
2


33

SC
为球
O
的直径

点< br>S
到面
ABC
的距离为
2d
26

3
此棱锥的体积为
V
113262

S
ABC
2d
33436
另:
V
13
排除
B,C,D

S
ABC
2R
36
1
x
e
与函数
yln(2x)
互 为反函数,图象关于
yx
对称
2
(12)【解析】选
A

函数
y
1
x
ex
11
2
函数
ye
x
上的点
P(x,e
x
)
到直线
y x
的距离为
d

22
2
设函数
g(x)
1
x
11ln2

exg

(x)e
x
1g(x)
min
1ln2d
m in

22
2
由图象关于
yx
对称得:< br>PQ
最小值为
2d
min


二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。
(13)【解析】
b_____
32

2(1ln2)

2ab10(2ab)104b4bcos45

10b32

(14) 【解析】
zx2y
的取值范围为
[3,3]

2
2
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约束条件对应四边形
OABC
边际及内的区域:
O(0,0 ),A(0,1),B(1,2),C(3,0)


zx2y[3,3]

(15)【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
3

8
2
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布
N(1000,50)

得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为
p
1

2
3

4
2
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的 概率
P
1
1(1p)
那么该部件的使用寿命超过1000小时 的概率为
p
2
p
1
p
(16)【解析】
{a
n
}
的前
60
项和为
1830

3

8
可证明:
b
n1
a
4n1
a
4n2
a
4n3
a
4n4
a
4n3
a
4n2
a
4n2
a
4n
16b
n
16


b
1
 a
1
a
2
a
3
a
4
10S15
1015
1514
161830

2
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)【解析】(1)由正弦定理得:
acosC3asinCbc0sinAcosC 3sinAsinCsinBsinC

sinAcosC3sinAsinCs in(aC)sinC
1


3sinAcosA1sin(A30)

2
A30

30

A60

(2)
S
1
bcsinA3bc4

2

a
2
b
2
c
2
2bccosAbc4

解得:
bc2
(l fx lby)

18.【解析】(1)当
n16
时,
y16(105)80


n15
时,
y5n5(16n)10n80

得:
y


10n80(n15)
(nN)

(n16)

80
(2)(i)
X
可取
60

70

80

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P(X60)0.1,P(X70)0.2,P(X80)0.7


X
的分布列为
X

60

0.1

70

0.2

80

0.7

P


EX600.1700.2800.776

< br>DX16
2
0.16
2
0.24
2
0. 744

(ii)购进17枝时,当天的利润为
y(145 35)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.54 76.4


76.476
得:应购进17枝

(19)【解析】(1)在
RtDAC
中,
ADAC

得:
ADC45


同理:
A
1
DC
1
45

CDC
1
90


得:
DC
1
DC,DC
1
BDDC
1


BCDDC
1
BC

(2)
DC
1
BC,CC
1
BCBC

ACC
1
A
1
BCAC< br>

A
1
B
1
的中点
O
,过点
O

OHBD
于点
H
,连接
C
1
O,C
1
H


AC
11
 B
1
C
1
C
1
OA
1
B
1< br>,面
A
1
B
1
C
1


A
1
BDC
1
O

A
1
BD


OHBDC
1
HBD
得:点
H
与点
D
重合

C
1DO
是二面角
A
1
BDC
1
的平面角

ACa
,则
C
1
O
2a


C
1
D2a2C
1
OC
1
DO30

2
既二面角
A
1
BDC
1
的大小为
30


(20)【解析】(1)由对称性知:
BFD
是 等腰直角

,斜边
BD2p


A
到准线
l
的距离
dFAFB2p


S
ABD
42
1
BDd42p2

2


F
的方程为
x
2
(y1)
2
8

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2
x
0
p

(2)由对称性设
A(x
0
,)(x
0
0)
,则
F(0,)

2p2
22
x
0
x
0
p
2
)p x
0
3p
2

A,B
关于点
F< br>对称得:
B(x
0
,p
2p2p2
3pp
3p
22
x
p
x3y
3p
0
得:
A(3p,)
,直线
m:y
22
2
3p
x< br>2
x33
3pp

x2pyyy

xp
切点
P(,)

36
2pp33
2
直线
n:y
p33p3
(x)x3yp0

6336
3p3p
:3

26
1
2
x f

(x)f

(1)e
x1
f(0)x

2
坐标原点到
m,n
距离的比值为
(21)【解析】(1)f(x)f

(1)e
x1
f(0)x

x1
得:
f(0)1


f(x)f

(1)e
x1
x
得:
f(x)e
x
x

1
2
xf(0) f

(1)e
1
1f

(1)e

2
1
2
xg(x)f

(x)e
x
1 x

2

g

(x)e10yg( x)

xR
上单调递增

f

( x)0f

(0)x0,f

(x)0f

( 0)x0

得:
f(x)
的解析式为
f(x) e
x
x
x
1
2
x

2
且单调递增区间为
(0,)
,单调递减区间为
(,0)

(2)
f(x)
1
2
xaxbh(x)e
x
( a1)xb0

h

(x)e
x
(a1)
2
①当
a10
时,
h

( x)0yh(x)

xR
上单调递增

x
时,
h(x)

h(x)0
矛盾
②当
a10
时,
h

(x)0xl n(a1),h

(x)0xln(a1)

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得:当
xln(a1)
时,
h(x)
min< br>(a1)(a1)ln(a1)b0


(a1)b(a1)(a1)ln(a1)(a10)


F(x)xxlnx(x0)
;则
F

(x)x(12 lnx)


F

(x)00x

x

a
22
22
e,F

(x)0xe

e
时,
F(x)
max

e

2
e

2
e1,be
时,
(a1)b
的最大值为
请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,
做答时请写清题号。
(22)【解析】(1)
CFAB

DFBC CFBDADCDBF


CFABAFBCBCCD

(2)
BCGFBGFCBD


BCGFGDEBGDDBCBDCBCD

(23)【解析】 (1)点
A,B,C,D
的极坐标为
(2,
GBD

< br>3
),(2,
5

4

11

), (2,),(2,)

636

A,B,C,D< br>的直角坐标为
(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)


x
0
2cos

(

为参数)
(2)设
P(x
0
,y
0
)
;则

y3 sin


0

tPAPBPCPD4x
2
4y
2
40


5620sin

[56,76]
(lfxlby)
(24 )【解析】(1)当
a3
时,
f(x)3x3x23

2
2222
x2x3

2x3












3x2x3

3xx23

x3x23< br>
x1

x4

(2)原命题
f(x)x4

[1,2]
上恒成立
xa2x4x

[1,2]
上恒成立
2xa2x

[1,2]
上恒成立
3a0< br>每项建议案实施完毕,实施部门应根据结果写出总结报告,实事求是的说明产生的经济效益或者其他积极效 果,呈报总经办。
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总经办应将实施完毕的建议案提交给评委会进行效果评估, 确定奖励登记,对符合条件的项目,应整理材料,上报总经理审批后给建议人颁发奖励。
总经办应做好合理化建议的统计记录及资料归档管理。


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