感恩节在几月几日-会议通知格式

数学建模习题及答案


【篇一：数学建模习题答案】

t>中国地质大学 能源学院 华文静

1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？
解：

模型假设

（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连
线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现
间断（没有像台阶那样的情况），

即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子
能放稳的必要条件

（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，
要求对于椅脚的间

距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距
和椅腿长度的尺寸大小相当 的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使
是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。

模型建立

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪
动。生活经验告诉我们，要把椅子 通过挪动放稳，通常有拖动或转
动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平
移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能
解决问题的。于是可尝试将椅子就地 旋转，并试图在旋转过程中找
到一种椅子能放稳的情形。

注意到椅脚连线呈长方形 ，长方形是中心对称图形，绕它的对称中
心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋 转，
这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度?这一变量就表示了椅
子的位置。为此，在平 面上建立直角坐标系来解决问题。

设椅脚连线为长方形abcd,以对角线ac所在的直线 为x轴，对称中
心o为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕o点沿逆时针方向旋转
角度?后，长 方形abcd转至a1b1c1d1的位置，这样就可以用旋转
角?（0????）表示出椅子绕点o旋 转?后的位置。

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直
距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。

由于椅子在不同的位 置是?的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也
是?的函数。

由于椅子有四只脚， 因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是?
的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三 只脚同时着
地，即这四个函数对于任意的?，其函数值至少有三个同时为0。因
此，只需引入两 个距离函数即可。考虑到长方形abcd是对称中心图
形，绕其对称中心o沿逆时针方向旋转180度后 ，长方形位置不变，
但a,c和b,d对换了。因此，记a，b两脚与地面竖直距离之和为
f( ?)，c,d两脚之和为g(?)，其中??0，?，使得f(?0)?模型求解 如
果f(0)?

??

g(?0)成立。

g(0)?0，那么结论成立。

与g(0)不同时为零，不妨设f(0)?0,g(0)?0 .这时，将长方形abcd绕
点如果f(0)

o逆时针旋转角度?后，点a,b分别于与c，d互换，但长方形abcd
在地面上所处的位

g(?0)；

根据连续函数介值定理，必存在?0?使得h(?0)?0,即f (?0)?
（0，?），又因为f(?0)?g(?0)?0,所以f(?0)?

于是，椅子的四只脚同时着地，g(?0)?0。

放稳了。 模型讨论

2. 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，
而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃 米。问人、狗、鸡、米怎样过河？

模型假设

人带着猫、鸡、米过河， 从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只
能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。试 设
计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。

符号说明

x1：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0; x2：代
表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0； x3：代表鸡
的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0； x4：代表米的状
态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0:；

sk?(x1,x2,x3,x4):状态向量，代表时刻k左岸的状态；
dk?(x1,x2,x3,x4):决策向量，代表时刻k船上的状态；

模型建立

限制条件：x1?0??

?x2?x3?2

x?x?24?3

初始状态：s0?(1，1，1，1),d0?(0，0，0，0) 模型求解

根据乘法原理，四维向量共有2（x1,x2,x3,x4）

4

?16种情况根据限制条件可以排除

（0,1,1,1）（0，1,0，1）（0,0,1, 1）三种情况，其余13种情况可
以归入两个集合进行分配，易知

可行决策集仅有 五个元素d?(1，1，1，0),(1，0，1，0),(1，0，0，
1),(1，0，0，0), (0，0，,0，0),状态集有8个元素，将其进行分配，
共有两种运送方案：

方案一：人先带鸡过河，然和人再回左岸，把米带过右岸，人再把
鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后 人回来把鸡带去右岸（状态
见表1）；

方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸， 把猫带过右岸，人再把
鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸(状态见
表2 )；

??

（1,1,1,1）?（0,0,0,0）目标：确定有效 状态集合，使得在有限步
内左岸状态由

3. 学校共1000名学生，235人住 在a宿舍，333人住在b宿舍，
432人住在c宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办
法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分
较大者. （2）2.1节中的q值方法.

（3）d’hondt方法： 将各宿舍的人数用正整数n?1,2,3,?相除，其
商数如下表：

将所得商数从 大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，
表中a，b，c行有横线的数分别为2，3， 5，这就是3个宿舍分配
席位.你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人 增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种
方法两次分配的结果列表比较.

（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额. 解：先考
虑n=10的分配方案，

p1?235,p2?333,p3?432,?pi?1000

i?1

3

方法一（按比例分配）

q1?p1n?2.35,q2?p2n?3.33,q3?p3n?4

分配结果为：n1?3,n2?3,n3?4 方法二（q值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：

n1?3,n2?3,n3?4

第10个席位：计算q值为

235233324322

q1??920417，q2??924075q3??93312

2?33?44?5

q3最大，第10个席位应给c.分配结果为n1?2,n2?3,n3?5 方法三
（d’hondt方法）

原理：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿
舍）,

pi

是每席位ni

2,3…，从而得到的代表的人数，取ni=1,

接近。

pip

中选较大者，可使对所有的i，i尽量nini

所以此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5

再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果。现将3中方
法两次分配额结果

俱乐

部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的
重量 的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下
数据（胸围指鱼身的最大周长）：

先用机理分析，再用数据确定参数。 模型分析

本题为了知道鱼的重量，用估计法 来通过估计鱼的长度而确定鱼的
重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上
没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不
一。所以在此，我们应该先不妨假设 同一种鱼它的整体形状是相似
的，密度也大体上是相同的。 模型假设

（1） 设鱼的重量为?； （2） 鱼的身长记为l； 模型的构成与求解

因为我 们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼
的重量?与身长l的立方成正比，为这两者之 间的比例系数。即??

k1?3,k1为比例系数。不过常钓得较

肥 的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，
如果只假定鱼的截面是相似的，则横截 面积与鱼身最大周长的平方
成正比，于是??系数。

利用题中给的数据，估计模型 中的系数可得：
k1?0.0146,k2?0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：

k2d2l,k2为比例

通过机理分析，基本上满意 5.生物学家认为，对 于休息状态的热血
动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量
成正比，而 体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率
之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。
【篇二：数学模型习题解答】


：姓名： 学号：

1.建立起始值=3,增量值=5.5,终止值=44的一维数组x 答案：
x=(3:5.5:44)

2.写出计算 sin(30o)的程序语句.答案： sin(pi*30180) 或
sin(pi6)

?343.矩阵a?????7

228

3??1

??6,矩阵b?2??

?1???3

123

1?

?

2;分别求出a?b及a与b中对应元素之间的乘积.?3??

答案：a = [3,2,3; 4,2,6; 7,8,1] b = [1,1,1; 2,2,2; 3,3,3]

a*b；a.*b

3

228

3

6。答案：det(a) 1

4计算行列式的值a?4

7

?3?

5对矩阵 a?4

???7

228

3?

?

6进行下述操作。 ?1??

(1)求秩。答案：rank(a)

(2)求转置。答案：a

(3) 对矩阵求逆，求伪逆。答案：inv(a) ，pinv(a) (4) 左右反转,上
下反转。答案：fliplr(a)，flipud(a) (5) 求矩阵的特征值. 答案：
[u,v]=eig(a) (6) 取出上三角和下三角. 答案：triu(a) tril(a) (7)以a为
分块作一个3行2列的分块矩阵。答案：repmat(a)

?5?

计算矩阵?3

??7

379

5?

?4?8???2

?与?6

??8

473

2?

?9?6??

6 之和。

a=[5 3 5;3 7 4;7 9 8]; b=[2 4 2;6 7 9;8 3 6]; a+b 7 计算a

?6

???2

97

3??5?

?2???4

46

1??8?

与b的数组乘积。

a=[6 9 3;2 7 5]; b=[2 4 1;4 6 8];

ans =

12 36 38 42 40 8

?1

已知：a??4

253?

?6，分别计算a的数组平方和矩阵平方，并观察其结果。

????7

8

9??

a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; a.^2

ans =

1 4 9 16 25 36 49 64 81 a^2 ans =

30 36 42 66 81 96 102126150

上机练习题二班级：姓名：

?492?

?37?

1 对于ax?b，如果

a???7

64??，b???26??，求解x。

??3

5

7??

??28??

a=[4 9 2;7 6 4;3 5 7];

b=[37 26 28]’; x=ab x = -0.5118 4.0427 1.3318

2 角度x??30

45

60?，求

x的正弦、余弦、正切和余切。

x=[30 45 60]; x1=x180*pi; sin(x1) ans =

0.5000 0.7071 0.8660 cos(x1) ans =

0.8660 0.7071 0.5000 tan(x1)

学号：

0.5774 1.0000 1.7321 cot(x1)

ans =

1.7321 1.0000 0.5774

?4

3 将矩阵a??

?5

2??7

b?、??7??8

1?

?3?

和c

?5???69??2?

组合成两个新矩阵：

（1）组合成一个4?3的矩阵，第一列为按列顺序排列的a矩阵元
素，第二列为按列顺序排 列的b矩阵元素，第三列为按列顺序排列
的c矩阵元素，即 ?475?? ?

5

86???219? ??7

3

2??

（2）按照a、b、c的列顺序组合成一个行矢量，
即?452778135692?

答案：a=[4 2;5 7]; b=[7 1;8 3]; c=[5 9;6 2]; % (1)

d=[a(:) b(:) c(:)] d =

4 7 5 5 8 6 2 1 9 7 3 2 % (2)

e=[a(:);b(:);c(:)]e =

4527781356 或利用（1）中产生的d e=reshape(d,1,12) ans =

4527781356 4求解在x=8时多项式(x-1)(x-2) (x-3)(x-4)的值。
p=poly([1 2 3 4]);

polyvalm(p,8)% polyval(p,8) ans = 840

5求方程3x4

?7x3

?9x2

?23?0的全部根。 p=[3,7,9,0,-23]; %建立多项式系数向量
x=roots(p)%求根

92 92

上机练习题三

班级：姓名： 学号：

1、 设x是数组，求均值和方差 解：函数文件如下：

function [xx,s]=func1(x) n=length(x); xx=sum(x)n;

s=sqrt((sum(x.^2)-n*xx^2)(n-1)); 命令窗口：

x=[1 2 3 4 5];[xx,s]=func1(x)

m

2、求满足?ln(1?n)?100的最小m值

n?0

s=0; n=0;

while(s=100) s=s+log(1+n); n=n+1; end n,s

3、用循环语句形成fibonacci数列
ff k1?f2?1,fk?fk?1?fk?2,k?3,4,....。并验证极限f?1?5

k?1

2示：计算至两边误差小于精度1e-8为止） 解：求fibonacci数列
的函数文件：

function fibo(k) clc;

f(1)=1; f(2)=1; for n=3:k

f(n)=f(n-1)+f(n-2) end f(k)

验证极限的函数文件：

function [k,a]=funtest(e) a=abs(1-(1+sqrt(5))2); k=2;

while(ae)

（提

k=k+1;

a=abs(fun(k)fun(k-1)-(1+sqrt(5))2); end

命令行：

[k,a]=funtest(10^-8)

k = 21 a =

9.7719e-009

或者m文件如下：

clear; f(1)=1;f(2)=1;k=2;x=0;e=1e-8; a=(1+sqrt(5))2; while
abs(x-a)e

k=k+1; f(k)=f(k-1)+f(k-2); x=f(k)f(k-1);end a,x,k

10

6

4、分别用for和while循环结构编写程序，求出k?种算法的运行
时间。

解：for循环结构：m文件loop.m

k=0; for i=1:10^6

k=k+sqrt(3)*2^-i; end k

while循环结构：m文件loop1.m

k=0;i=1; while i=10^6

k=k+sqrt(3)*2^(-i); i=i+1; end k

非循环结构：m文件nonloop.m

i=1:10^6; x=sqrt(3)*(2.^-i); k=sum(x)

?

i?1

32

i

，并考虑一种避免循环语句的程序设计，比较各

速度比较：tic;loop;toc％循环结构的执行时间

k = 1.7321

elapsed time is 1.813000 seconds.

tic;nonloop;toc ％非循环结构的执行时间 k =

【篇三：《数学模型》习题解答】


t>1． 学校共100 0名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，
432人住在c宿舍.学生们要

组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分
较大者; （2）. 1中的q值方法；

（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n= 1,2,3,??
相除，其商数如下表：

将所得商数从大到小取前10个（10为 席位数），在数字下标以横
线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍
分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？

如果委员会从10个人增至15人，用以上3 种方法再分配名额，将
3种方法两次分配的结果列表比较.

解：先考虑n=10的分配方案，

p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配）

第二章(1)（2008年9月16日）

?p

i?1

3

i

?1000.

q1?

p1n

?p

i?1

3

?2.35,q2?

p2n

i

?p

i?1

3

?3.33, q3?

p3n

i

?p

i?1

3

?4.32

i

分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：

n1?2,n2?3, n3?4

第10个席位：计算q值为

235233324322

q1??9204.17, q2??9240.75, q3??9331.2

2?33?44?5

q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5

方法三（d’hondt方法）

此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5

此方法的道理是：记pi和ni为各 宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表
a、b、c宿舍）.

pi

是ni

每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的

pip

中选较大者，可使对所有的i,i尽量接近. nini

再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法
两次分配的结果列表如 下：

2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学
模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型
的假设见课本.

考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得
vdt?(r?wkn)2?kdn,两边 积分，得

?

t

vdt?2?k?(r?wkn)dn

n

2?rk?wk22n2

2vv

《数学模型》作业解答

第二章(2)（2008年10月9日）

15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用
量纲分析方法确定风车获

得的功率p与v、s、?的关系.

解: 设p、v、s、?的关系为f(p,v,s,?)?0， 其量纲表达式为:
[p]=mlt

2

?3

, [v]=lt

?1

,[s]=l,[?]=ml,这里l,m,t是基本量纲.

2?3

量纲矩阵为：

1?2?10a=?

???3?1(p)(v)

齐次线性方程组为：

2?3?(l)01??(m) 00??(t)(s)(??

?2y1?y2?2y3?3y4?0

?

?y1?y4?0

??3y?y?0

12?

它的基本解为y?(?1,3,1,1) 由量纲pi定理得

??p?1v3s1?1，?p??v3s1?1 ， 其中?是无量纲常数.

16．雨滴 的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，
其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受 的摩擦力与速度梯度
和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，

用量纲分析方法给出速度v的表达式.

解：设v,?,?,g 的关系为f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为[v]=lmt，
[?]=lmt，

0-1

-3

[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[g]=lmt,其中l，m，t是基本量纲.

-2

-1-1

-1-2

-2-2

-1

-1

0-2

量纲矩阵为

?1?3?11?(l)?0?(m)110?a=? ???10?1?2(t)??(v)(?)(?)(g)

齐次线性方程组ay=0 ，即

? y1-3y2-y3?y4?0?

?0 ?y2?y3

?-y-y-2y?0

34?1

的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲pi定理 得

*

??v?3??1?g. ?v??3

?g

，其中?是无量纲常数. ?

16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸? 和重力加
速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦
力与速度梯度和接触 面积的乘积成正比，比例系

数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.

解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为

[v]=lmt，[?]=lmt，[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[?]=lm0t0 ，
[g]=lmt

0-1

-3

-2

-1-1

-1-2

-2-2

-1

-1

0-2

其中l，m，t是基本量纲. 量纲矩阵为

?1?0a=????1(v)

齐次线性方程组ay=0 即

?(l)?(m)?

00?1?2?(t)?(?)(?)(?)(g)

1?3?10111

?y1?y2?3y3?y4?y5?0?

y3?y4?0 ?

??y1?y4?2y5?0?

的基本解为

11?

y?(1,?,0,0,?)?1

22

?31?y2?(0,?,?1,1,?)

22?

得到两个相互独立的无量纲量

??1?v??12g?12

??32?1?12

??g??2??

即 v?

?1

) g?1,?32?g12??1??2?1. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1??(?2

?

??g?(?32?g12??1) , 其中?是未定函数.

20.考察阻尼摆的周期， 即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的
速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模 型，即
怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l,
质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为

f(t,l,m,g,k)?0

其量纲表达式为：


[t]? l0m0t,[l]?lm0t0,[m]?l0mt0,[g]?lm0t?2,[k]?[f][v]?1? mlt?2(lt?1
)?1

?l0mt?1， 其中l，m，t是基本量纲.

量纲矩阵为

?0?0a=???1(t)?(l)?(m)?

00?2?1??(t)(l)(m)(g)(k)

10011001

齐次线性方程组

y2?y4?0??

y3?y5?0 ?

?y?2y?y?0

45?1

的基本解为

11?

y?(1,?,0,,0)?1

22 ?11

?y2?(0,,?1,?,1)

22?

得到两个相互独立的无量纲量

?tl?12g12??1

?12?1?12

?lmgk??2

∴t?

kl12l

?1, ?1??(?2), ?2?

gmg12

∴t?

lkl12

(12) ，其中?是未定函数 . gmg



考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、
摆长、质量分别为t,t；

l?kl?12l,l;m,m. 又t???() 12

gm?g





当无量纲量

m?l?t?l?gl?

时， 就有 ?. ???

mltgll

《数学模型》作业解答

第三章1（2008年10月14日）

1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定
最优订货周期和订货批

量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模
型中最优订货周期和订货批 量都比原来结果减少．

解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本．

10 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：