冯骥才的文章-物品交接单

2012上海高考数学试题（理科）答案与解析
一．填空题
1．计算：
3-i
1+i
=
（
i
为虚数单位）.
【答案】
1-2i

【解析】
3-i
1+i
=
(3-i)(1-i)
(1+i)(1-i)
=< br>2-4i
2
=1-2i
.
【点评】本题着重考查复数的除法运算，首 先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.
2．若集合
A{x|2x 10}
，
B{x||x1|2}
，则
AB
.
【答案】




1

,3


2

1
2
【解析】根据集合A
2x10
，解 得
x

1

AB

,3
.

2

，由
x12,得到,1x3
，所以 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类< br>问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.
3．函数
f(x )


5
2
2　　　cosx
sinx　　1
的值域是 .
【答案】

,
3


2


1
2
sin2x2
，因为
1sin2x1
，所以

5
2
f(x)
3
2
【解析】根据题目f(x)sinxcosx2
.
【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三 角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中
明确要求掌握二阶行列式的运算性质.
4．若
n(2,1)
是直线
l
的一个法向量，则
l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.
【答案】
arctan2

【解析】设直线的倾斜角为

，则
tan

2,

arctan2
.
【点 评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的
取 值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.
5．在
(x
2
x
)
的二项展开式中，常数项等于 .
6

【答案】
160

3
【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是
T
4
C
3< br>x(
6
2
x
)160
.
3
【点评 】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.
6． 有一列正方体，棱长组成以1为首项、
lim(V
1
V
2
V
n
)
.
n
1
2
为公比 的等比数列，体积分别记为
V
1
，V
2
，，V
n
，
，则
【答案】
8
7

1
2
【解析】 由正方体的棱长组成以
1
为首项，
1
8
为公比的等比数列，可知它们 的体积则组成了一个以1为首
1
1
1
8
8
7
项， 为公比的等比数列，因此，
lim(V
1
V
2
V
n
)
n

.
【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限 、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.
7．已知函数
f(x)e|xa|
（
a
为常数）.若
f(x)
在区间
[1, )
上是增函数，则
a
的取值范围是 .
【答案】

,1


xa

e,xa
看出当
xa
时函数增函数，而已知函数
f(x)
在 区间

1,



xa
,xa


e
【解析】根据函数
f(x)e
xa
上为增函数， 所以
a
的取值范围为：

,1

.
【点评 】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.
本题容 易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为
2

的半圆面，则该圆锥的体积为 .
3

3
【答案】
1
2
2
【解析】根 据该圆锥的底面圆的半径为
r
，母线长为
l
，根据条件得到
1
3
1
3

l
2
2

，解得母线长l2
，
2

r

l2

,r 1
所以该圆锥的体积为：
V
圆锥
Sh21

2
3
3

.
【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧 面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分
清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体 的体积公式要记准记牢，属于中低档题.
9．已知
yf(x)x
是奇函数，且< br>f(1)1
，若
g(x)f(x)2
，则
g(1)
.
2

【答案】
1

【解析】因为函 数
yf(x)x
2
为奇函数，所以
g(1)f(1)2,又f(1) 1,所以，g(1)3,

f(1)3,g(1)f(1)2321
.
f(1)f(1).

【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解 题时要注意：函数
yf(x)
为奇函数，所以有
f(x)f(x)
这 个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.
10．如图，在极坐标系中， 过点
M(2,0)
的直线
l
与极轴的夹角


< br>6
，
若将
l
的极坐标方程写成

f(

)
的形式，则
f(

)
.
1
sin(
【答案】

6



)
1
2
【解析】根据该直线过点
M(2,0)
，可以直接写出代数形 式的方程为：
y
1
sin(
(x2)
，将此化成极坐标系
下的参数方程即可 ，化简得
f(

)

6
.


)
【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及， 题目类型以小题为主，复习
时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要 求.本题属于中档题，难度适
中.
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人 都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项
目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.
【答案】
2
3

【解析】一共有27种 取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得
到此种情况下的概率 为
2
3
.
【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本 事件数和基本事件总数.本题属于中档题.
12．在平行四边形
ABCD
中，
A
|BM|
|BC|
|CN|
|CD|

3
，边
AB
、
AD
的长分别为2、1，若
M
、
N分别是边
BC
、
CD
上的点，且满足

，则
A MAN
的取值范围是 .
【答案】

2,5


【解析】 以向量
AB
所在直线为
x
轴，以向量
AD
所在直线为
y
轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为
AB2,AD1
N(x,1)(1
2
x

，
5
2
),则BM

所
1
2
以
5
2

A(0,0),B(2,0),C(
5
4
-
1
2
x , M(2
5
2
5
8
,1)D(

1
4
1
2
,1).
5
4

1
2

x)sin
设

3
). CN , CN-x , BMx, (
根
据题意，有
AN(x,1),AM(
21
8
x5323x
,)
.
48

5323x
15

所以
AMANx()

x

，所以
2AMAN5.

848
2

2

21x
6
4
2
D
105
N
B
C
M
510
A
2
4
6

【点评】本题主 要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件
的运用.本题 属于中档题，难度适中.
13．已知函数
yf(x)
的图象是折线段
AB C
，其中
A(0,0)
、
B(,5)
、
C(1,0)
，
2
1
函数
yxf(x)
（
0x1
）的 图象与
x
轴围成的图形的面积为 .
【答案】
5
4

11

2
10x,0 x10x,0x


22
【解析】根据题意得到，
f(x )

从而得到
yxf(x)

所
11
10x10,

x1

10x
2
10x, x1

22
1
以围成的面积为
S

2< br>0
10xdx

1
(10x10x)dx
2
1
2
5
4
，所以围成的图形的面积为
5
4
. < br>【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.< br>突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强< br>这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.

14．如图，AD
与
BC
是四面体
ABCD
中互相垂直的棱，
BC 2
，若
AD2c
，
且
ABBDACCD2a
， 其中
a
、
c
为常数，则四面体
ABCD
的体积的最
大值是 .
【答案】
2
3
cac1

22
【解析】据题
ABBDACCD2a
，也就是说，线段
ABBD与线段ACCD
的长度是定值，
因为棱
AD
与棱
BC< br>互相垂直，当
BC平面ABD
时，此时有最大值，此时最大值为：
ca
2
c
2
1
.
3
2
【点评】本题主要考查空 间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积
表达式，这是解决问题 的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.
二、选择题（20分）
15．若< br>1
2
2i
是关于
x
的实系数方程
xbxc0
的一个复数根，则（ ）
A．
b2,c3
B．
b2,c3
C．
b2,c1
D．
b2,c1

【答案】 B
【解析】根据实系数方程的根的特 点
1
12i1
2i
也是该方程的另一个根，所以
2i)(12i)3c
，故答案选择B.
2i2b
，即
b2
，
(1
【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代 数形式的四则运算，属于中档题，注重
对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.
1 6．在
ABC
中，若
sin
2
Asin
2
B sin
2
C
，则
ABC
的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C
【解析】由正弦定理，得
a
2R
s inA,
22
b
2R
2
sinB,
c
2R
sinC,
代
abc
，
222
由余弦定理的推理得
cosC
abc
2ab
0
，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三 角形.故选择A.
【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结 构来选择定理，如果出
现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题 属于中档题.

45
17．设
10x
1
x
2
x
3
x
4
10
，
x
5
1 0
，随机变量

1
取值
x
1
、x
2
、x
3
、x
4
、x
5
的概率均为
0.2
，
随机变量

2
取值
x
1
x
2
2
x
2
x
3
x
3
x
4
x4
x
5
x
5
x
1
、、、、
的概率 也均为
0.2
，若记
D

1
、D

2分别
2222

为

1
、

2
的方差，则（ ）
A．
D

1
D

2
B．
D

1
D

2

C．
D

1
D

2
D．
D

1
与
D

2
的大小关系与
x
1
、x
2
、x
3
、x
4
的取值有关
【答案】 A
【解析】 由随机变量

1
,

2
的取值情况，它们的平均数分别为：
x
1

x
2

x
2
x
3
x
3
x
4
x
4
x
5
x
5
x
1

1
< br>x
1
x
2


x
1
,

5

22222

1
5
(x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
),
，
且随机变量

1
,

2
的概率都为
0.2
，所以有
D

1
＞
D

2
. 故选择A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此 类问题的前提和基础，本题属
于中档题.
18．设
a
n

1
n
sin
n

25
，
S
n
a
1
a
2
a
n
，在
S
1
, S
2
,,S
100
中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】C
【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以
看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19．如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是矩形，
PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，
AD=2
2
，PA=2.求：
（1）三角形PCD的面积；（6分）
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）
[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，
从而CD⊥PD. ……3分
因为PD=
2(22)23
，CD=2，
z
所以三角形PCD的面积为
1
. ……6分
22323
2
P
（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，
则B(2, 0, 0)，C(2, 2
2
,0)，E(1,
2
, 1)，
E

AE(1,2,1)
，
BC(0,22,0)
. ……8分
D
A
设
AE
与BC的夹角为

，则
B
AEBC

4

2
2
，

=


cos


|AE
.
C
4
222
||BC|
x
由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是

……12分
4
[解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则
EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线
F
A
B
C
P
E
22
y
D

BC与AE所成的角 ……8分
在
AEF
中，由EF=
2
、AF=
2
、AE=2
知
AEF
是等腰直角三角形，
所以∠AEF=

.
4
因此异面直线BC与AE所成的角的大小是

……12分
4
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力 和推理论证能力．综合考
查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用 .本题源于《必修2》立体
几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面， 考查空间想象能力，属于中
档题．
20．已知函数
f(x)lg(x1)
.
（1）若
0f(12x)f(x)1
，求
x
的取值范围；（6分）
（2）若
g(x)
是以2为周期的偶函数，且当
0x1
时，有
g(x)f(x)
，求函数
yg(x)(x[1,2])
的反函数.（8分）

22x0[解]（1）由

，得
1x1
.
x10

由
0lg(22x)lg(x1) lg
22x
x1
1
得
1
22x
x1
10
. ……3分
2
3
因为< br>x10
，所以
x122x10x10
，
x
1
3
.

1x1
x
1
由

2
得

2
. ……6分
33
1


3
x
3
（2）当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此
yg(x)g(x2)g(2x)f(2x)lg(3x)
. ……10分
由单调性可得
y[0,lg2]
.
因为
x31 0
y
，所以所求反函数是
y310
x
，
x[0,lg 2]
. ……14分
【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数 形结合思想，熟练掌握指数函数、
对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．
21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴
正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海
里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 y
2
P
y
12
x
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救
49
援船出发
t
小时后，失事船所在位置的横坐标为.
（1）当
t0.5
时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时
O
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
2
12
A
yx
[解]（1）
t0.5
时，P的横坐标x
P
=
7 t
7
，代入抛物线方程
49
2
中，得P的纵坐标y
P
=3. ……2分
由|AP|=
949
2
x
，得救援船速度的大小为
949
海里时. ……4分
7
2
由tan∠OAP=
312

7
30
7
，得∠OAP=arctan
30
，故救援船速度的方向
7
为北偏东arctan
30
弧度. ……6分
（2）设救援船的时速为
v
海里，经过
t
小时追 上失事船，此时位置为
(7t,12t)
.
2

由
vt
因为
t
2

222
2 2
(7t)(12t12)
，整理得
v144(t
1
t2
)337
.……10分
1
t
2
2
，当且仅当
t
=1时等号成立，
所以
v
2
144233725
2
，即
v25
.
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分
22．在平面直 角坐标系
xOy
中，已知双曲线
C
1
:2x
2
y
2
1
.
（1）过
C
1
的左顶点引C
1
的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成
的三角形的面积；（4分）
（2）设斜率为1的直线l交
C
1于P、Q两点，若l与圆
x
2
y
2
1
相切，求证：
OP⊥OQ；（6分）
（3）设椭圆
C
2
:4x
2
y
2
1
. 若M、N分别是
C
1
、
C
2
上的动点，且OM⊥ON，
求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）
[解]（1）双曲线
C
1:
x
2
1
2
y1
，左顶点
A(
2
2
2
,0)
，渐近线方程：
y2x
.
2(x
2
2
过点A与渐近线
y2x
平行的直线方程为
y
2
4
)
，即
y2x1
.


y2x

x
解方程组
，得

1


y2x1

y
2
. ……2分
2
8
所以所求三角形的面积1为
S
故
|b|
2
2
1
2
|OA||y|
. ……4分
（2）设直线PQ的方程是
yxb
.因直线与已知圆相切，
1
，即
b2
. ……6分
22
由


yxb
< br>2xy1
，得
x
2
2bxb
2
10.

x
1
x
2
2b
设P(x
1
, y
1
)、Q(x
2
, y
2
)，则

.
2

x
1
x
2
b1
又2，所以

OPOQx
1
x
2
 y
1
y
2
2x
1
x
2
b(x
1
x
2
)b
2

2(b1)b2bbb20
，
222
故OP⊥OQ. ……10分
（3）当直线ON垂直于x轴时，
|ON|=1， |OM|=
2
2
，则O到直线MN的距离为
2
2
3
3
.
当直线ON不垂直于x轴时，
设直线 ON的方程为
ykx
（显然
|k|


ykx

x
由

2
，得

22
y
4xy1



2
1
4 k
k
2
2
2
x
. ），则直线OM的方程为
y
1
k
1k
4k
2
2
，所以
|ON|< br>2

.
4k
同理
|OM|
2

1k
2k
2
2
1
. ……13分
22222
设O到直线MN的距离为d，因为
(|OM||ON|)d|OM||ON|
，
所以
d
1

2
1
|OM|
2

1
|ON|
2

3k3
k1
2
2
3< br>，即d=
3
3
.
综上，O到直线MN的距离是定值. ……16分
【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和
圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率

为
2
，它的渐近线为
yx
，并且相互垂直 ，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．
23．对于数集
X{1, x
1
,x
2
,,x
n
}
，其中
0x< br>1
x
2
x
n
，
n2
，定义向量集
Y{a|a(s,t),sX,tX}
. 若对于任意
a
1
Y
，存在
a
2
Y
，使得
a
1
a2
0
，则称X
具有性质P. 例如
X{1,1,2}
具有性质P.
（1）若x＞2，且
{1,1,2,x}
，求x的值；（4分）
（2）若 X具有性质P，求证：1X，且当x
n
＞1时，x
1
=1；（6分）
（3）若X具有性质P，且x
1
=1，x
2
=q（q为常数 ），求有穷数列
x
1
,x
2
,

,x
n< br>的通
项公式.（8分）
[解]（1）选取
a
1
(x,2 )
，Y中与
a
1
垂直的元素必有形式
(1,b)
. ……2分
所以x=2b，从而x=4. ……4分
（2）证明：取
a
1
(x
1
,x1
)Y
.设
a
2
(s,t)Y
满足
a< br>1
a
2
0
.
由
(st) x
1
0
得
st0
，所以
s
、
t异号.
因为-1是X中唯一的负数，所以
s
、
t
中之一为-1，另一为1，
故1X. ……7分
假设
x
k
1
，其中
1kn
，则< br>0x
1
1x
n
.
选取
a
1
(x
1
,x
n
)Y
，并设
a
2
(s ,t)Y
满足
a
1
a
2
0
，即
sx
1
tx
n
0
，
则
s
、
t< br>异号，从而
s
、
t
之中恰有一个为-1.
若
s
=-1，则2，矛盾；
若
t
=-1，则
x< br>n
sx
1
sx
n
，矛盾.
所以x
1
=1. ……10分
i1
（3）[解法一]猜测
x
i
q
，i=1, 2, …, n. ……12分
记
A
k
{1,1,x
2
,,x
k
}
，k=2, 3, …, n.
先证明：若
A
k1
具有性质P，则
A
k
也具有性质P.
任取
a
1
(s,t)
，
s
、
t

A
k
.当
s
、
t
中出现-1 时，显然有
a
2
满足
a
1
a
2
0；
当
s1
且
t1
时，
s
、
t
≥1.
因为
A
k1
具有性质P，所以有
a
2
(s
1
,t
1
)
，
s
1
、t
1

A
k1
，使得
a
1
a2
0
，
从而
s
1
和
t
1
中有一个是-1，不妨设
s
1
=-1.
假设
t
1

A
k1
且
t
1

A
k
，则< br>t
1
x
k1
.由
(s,t)(1,x
k1
)0
，得
stx
k1
x
k1
，与 s

A
k
矛盾.所以
t
1

A
k
.从而
A
k
也具有性质P. ……15分
i1
现用数学归纳法证明：
x
i
q
，i=1, 2, …, n.
当n=2时，结论显然成立；
i1
假设n=k时 ，
A
k
{1,1,x
2
,,x
k
}
有性质P，则
x
i
q
，i=1, 2, …, k；
当n=k+1时，若
A
k1
{1,1,x
2
,,x
k
,x
k1
}
有性质P，则
A
k
{1,1, x
2
,,x
k
}

k1
也 有性质P，所以
A
k1
{1,1,q,,q,x
k1
}< br>.
取
a
1
(x
k1
,q)
，并设
a
2
(s,t)
满足
a
1
a< br>2
0
，即
x
k1
sqt0
.由此可得s与t 中有且只有
一个为-1.
若
t1
，则1，不可能；
k1kk1k
q
，又
x
k1
q
所以
s1
，
x
k1
qtqq
，所以
x
k1
q
.
i1i1
综上所述，
x
i
qx
i
q
，i=1, 2, …, n. ……18分

[解法二]设
a
1
(s
1
,t
1
)
，< br>a
2
(s
2
,t
2
)
，则
a1
a
2
0
等价于
s
1
t
1

t
2
s
2
.
记
B{
s
|sX,tX,|s||t|}
，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于
t
原点对称. ……14分
注意到-1是X中的唯一负数，
B(,0){x
2
, x
3
,,x
n
}
共有n-1个数，
所以
B(0,)
也只有n-1个数.
由于
x
nx
n1

x
n
x
n2



x
n
x
2

x
n
x
n
x
1
，已有n-1个数，对以下三角数阵

x
n1
x
n1
x
n2


x
n
x
n2
x
n1
x
n3




x
n
x
2
x
n1
x
1


x
n
x
1


……

注意到
x
n
x
1
x
2
x
1
，所以
x
n
x
n1

x
x
n1< br>x
1



x
2
x
1
< br>x
n1
x
n2



x
2x
1
，从而数列的通项公式为
2

x
k
x
1
(
x
)
1
k1
q
k1
，k=1, 2, …, n. ……18分
【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通
过定义“
X
具有性质
P
”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的 能力．综合考查集合的基本运算，集合
问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．