哲学名言-最近地震的地方

2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)曲线
ylnx
上与直线
xy1
垂直的切线方程为__________ .
(2)已知
f

(e
x
)xe
x
,且
f(1)0
,则
f(x)
=__________ .
(3)设
L
为正向圆周
x
2
y
2
2
在第一象限 中的部分,则曲线积分

L
xdy2ydx
的值
为_______ ___.
d
2
ydy
4x2y0(x0)
的通解为___ _______ . (4)欧拉方程
x
2
dx
dx
2
< br>210


,矩阵满足
ABA
*
2BA
*
E
,其中
A
*
为的伴随矩阵,
120
(5)设矩 阵
A

BAE



001


是单位矩阵,则
B
=__________ .
(6)设随机变量X
服从参数为

的指数分布,则
P{XDX}
= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题 给出的四个选项中,
只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)把
x0
时的无穷小量



0
costdt,


0
tantdt,



0< br>sint
3
dt
,使排在后面的

x
2
x< br>2
x
是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是
(A)

,

,

(B)

,

,


(C)

,

,

(D)

,

,


(8)设函数
f(x )
连续,且
f

(0)0,
则存在

0
,使得
(A)
f(x)
在(0,

)
内单调增加 (B)
f(x)
在
(

,0)
内单调减少
(C )对任意的
x(0,

)
有
f(x)f(0)
(D)对任意的
x(

,0)
有
f(x)f(0)

1

(9)设

a
n
为正项级数,下列结论中正确的是
n1

(A)若
limna
n
=0,则级数
< br>a
n
收敛
n
n1

(B)若存在非零常数< br>
,使得
limna
n


,则级数
a
n
发散
n
n1

n
2
a
n
0
(C)若级数

a
n
收敛,则
lim
n
n1

(D)若级数

a
n
发散, 则存在非零常数

,使得
limna
n


n
n1

(10)设
f(x)
为连续函数,
F( t)

1
dy

y
f(x)dx
,则
F

(2)
等于
(A)
2f(2)
(B)
f(2)

(C)
f(2)
(D) 0
(11)设
A
是3阶方阵,将
A
的第1列与第2列交换 得
B
,再把
B
的第2列加到第3
列得
C
,则满足< br>AQC
的可逆矩阵
Q
为

010



100
(A)




101



010



100
(C)





011


tt


010



101
(B)
< br>


001



011
< br>

100
(D)




00 1



(12)设
A,B
为满足
ABO
的任意两个非零矩阵,则必有
(A)
A
的列向量组线性相关
,B
的行向量组线性相关
(B)
A
的列向量组线性相关
,B
的列向量组线性相关
(C)
A
的行向量组线性相关
,B
的行向量组线性相关
(D)
A
的行向量组线性相关
,B
的列向量组线性相关
( 13)设随机变量
X
服从正态分布
N(0,1),
对给定的

(0

1)
,数
u

满足
P{Xu

}

,若
P{Xx}

,则
x
等于
2

(A)
u

(B)
u
2
2
1

2

(C)
u
1

(D)
u
1


1
n
(14)设随机变量
X
1
,X
2
,,X
n
(n1)
独立同分布,且其 方差为

0.
令
Y

X
i
,
n
i1
2
则
(A)
Cov(X
1
,Y)
(C)
D(X
1Y)

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤)
(15)(本题满分12分)
设
eabe
2
,证明
ln
2
bln
2
a

(16)(本题满分11分) < br>某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速
伞,以增大阻力, 使飞机迅速减速并停下.
现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700kmh 经测 试,减速伞打
开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为
k6.0106
).
问从着陆点
算起,飞机滑行的最长距离是多少?
(注:kg表示千克,kmh表示千米小时)

(17)(本题满分12分) 计算曲面积分
I

2x
3
dydz2y
3
dzdx3(z
2
1)dxdy,
其中

是曲面
z 1x
2
y
2
(z0)


2
n (B)
Cov(X
1
,Y)

2

(D)
D(X
1
Y)
n1
2


n
n2
2


n
4
(ba)
.
e
2
的上侧.
3

(18)(本题满分11分)
设有方程
x
nnx10
,其中
n
为正整数.证明此方程存在惟一正实根
x
n
,并证明

当

1
时,级数

x< br>n
收敛.
n1


(19)(本题满分12分)
设
zz(x,y)
是由
x
2
6xy10y
2
2yzz
2
180
确定的函数,求
zz(x,y)
的极 值点和
极值.

(20)(本题满分9分)

(1a)x1
x
2

L
x
n
0,

2x(2a)x
L
2x0,
12n
设有齐次线性方程组


LLLLLL



nx
1
nx< br>2

L
(na)x
n
0,
(n2),

试问
a
取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

(21)(本题满分9分)

123


的特征方程有 一个二重根,求
a
的值,并讨论是否可相似
143
设矩阵
A< br>
A



1a5


对角化.

(22)(本题满分9分)
设
A,B
为随机事件,且
P (A),P(B|A),P(A|B)
,令

1,
A发生,

1,
B发生,
X

Y


0,
A不发生;

0 ,
B不发生.
4
1
4
1
3
1
2

求:(1)二维随机变量
(X,Y)
的概率分布. (2)
X
和
Y
的相关系数

XY
.


(23)(本题满分9分)
设总体
X
的分布函数为
1


1

,
x1,
F(x,

)

x

x1,


0,
其中未知 参数

1,X
1
,X
2
,,X
n
为来 自总体
X
的简单随机样本,
求:(1)

的矩估计量. (2)

的最大似然估计量


2004年数学一试题分析、详解和评注
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）曲线y=lnx上与直线
xy1
垂直的切线方程为
yx1
.
【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。
【详解】 由
y

(lnx)


1
 1
，得x=1, 可见切点为
(1,0)
，于是所求的切线方程为
x

y01(x1)
， 即
yx1
.
【评注】 本题也可先设切点为
(x
0
,l nx
0
)
，曲线y=lnx过此切点的导数为
y

由此可知 所求切线方程为
y01(x1)
， 即
yx1
.
本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.
（2）已知
f

(e)xe
xx
xx
0

1
1
，得x
0
1
，
x
0
，且f(1)=0, 则f(x)=
1
(lnx)
2
.
2
【分析】 先求出
f

(x)
的表达式，再积分即可。
【详解】 令
et
，则
xlnt
，于是有
x
lntlnx
.
， 即
f

(x)
tx
lnx11
2
积分得
f(x)

故所求函数为f(x)=
(lnx)
.
dx(lnx)
2
C
. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，
2
x2

f

(t)
【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。
5

完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题.
< br>（3）设
L
为正向圆周
xy2
在第一象限中的部分，则曲线积分< br>22

L
xdy2ydx
的值为
3

.
2
【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。
【详解】 正向圆周
xy2
在第一象限中的部分，可表示为
22

x2cos

,



y2sin

,


:0

2
.

于是

xdy2ydx

L2
0
[2cos

2cos

22sin

2sin

]d



=



2
0
2sin
2

d< br>

3

.

2
【评注】 本题也可添加 直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法
化为定积分计算即可.
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11，《考研数学大串讲》P122例5 、例7 .

c
1
c
2
d
2
ydy< br>4x2y0(x0)
y
2
. （4）欧拉方程
x
的通解为
2
dx
x
x
dx
2
【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换
xe
化为常系数线性齐次微分方程即可。
【详解】 令
xe
，则
t
t
dydydtdy1dy
，
e
t

dxdtdxdtxdt
d
2
y1dy1d
2
ydt1d< br>2
ydy

2
[]
， dx
2
x
dtx
dt
2
dx
x
2dt
2
dt
代入原方程，整理得
d
2
ydy
32y0
，
2
dt
dt
解此方程，得通解为
yc
1
e
t
c
2
e
2t

c
1
c
2

2
.

x
x
t
【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令
xe
，则欧拉方程
d
2
ydy
bxcyf(x)
， ax
dx
dx
2
2
d
2
ydydy
] bcyf(e
t
).
可化为
a[
2

dtdt
dt
完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.，《考研数
学大串讲》P75例12.

6


210


（5）设矩阵
A120
，矩阵B满足
ABA
*
2BA
*
E
，其中
A
*
为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，


< br>001


则
B

1
.
9
【分析】 可先用公式
A
*
AAE
进行化简
【详解】 已知等式两边同时右乘A，得
ABA
*
A2BA
*
AA
， 而
A3
，于是有
3AB6BA
， 即
(3A6E)BA
，
再两边取行列式，有
3A6EBA3
，
1
.

9
而
3A6E27
，故所求行列式为
B
【评注】 先化简再计算是此类 问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵
A
*
，一般均应先利用公式
A
*
AAA
*
AE
进行化简。
完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2，P118例9
（6）设随机变量X服从参数为

的指数分布，则
P{XDX}
=
1
.
e
【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。
【详解】 由题设，知
DX

P{X
1

2
，于是

1
DX}< br>=
P{X}

1

e


x< br>dx



=
e


x

1

1
.

e
【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。
完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题.

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把
所选项前的字母填在题后的括号内）
（ 7）把
x0
时的无穷小量


的高阶无穷小，则正确的排列次序是
(A)

,

,

. (B)

,

,

. (C)

,

,

. (D)

,

,

. [ B ]
【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.


x
0
costdt,



tantdt,


sint
3
dt
，使排在后面的是前一个
00
2
x2
x
7


【详解】
limlimx0

x0



0

x2
x
tantdt
cost
2
dt
x
2
lim

x0
tanx2x
0
，可排除(C),(D)选 项，
2
cosx
sinx
3
2
0

又
limlim
x0

x0



0
x
sintdt
3
1
0
tantdt
lim
x0
2x

2xtanx
=
1x
lim

2

，可见

是比
低阶的无穷小量，故应选(B).
4
x0
x
n
【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将
,

,

分别与
x
进行比较，再确定相互的 高低次序.
完全类似例题见《数学一临考演习》P28第9题.

（8）设函数f (x)连续，且
f

(0)0,
则存在

0
， 使得
(A) f(x)在（0，

)
内单调增加. （B）f(x)在
(

,0)
内单调减少.
(C) 对任意的
x(0,

)
有f(x)>f(0) . (D) 对任意的
x(

,0)
有f(x)>f(0) .
[ C ]
【分析】 函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导
数 的定义及极限的保号性进行分析即可。
【详解】 由导数的定义，知

f

(0)lim
x0
f(x)f(0)
0
，
x
根据保号性，知存在

0
，当
x(
,0)(0,

)
时，有

f(x)f(0)
0

x
即当
x(

,0)
时，f(x)x(0,

)
时，有f(x)>f(0). 故应选(C).
【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。
完全类似例题见《数学一临考演习》P28第10题.

（9）设

a
n1

n
为正项级数，下列结论中正确的是

(A) 若
limna
n
=0，则级数
n

a
n1
n
收敛.

（B） 若存在非零常数

，使得< br>limna
n


，则级数
n

a
n1
n
发散.
(C) 若级数

a
n 1
n
收敛，则
limna
n
0
.
n
2
8

(D) 若级数

a
n1

n
发散, 则存在非零常数

，使得
limna
n


. [ B ]
n
【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.

1
1
【详解】 取
a
n

，则limna
n
=0，但

a
n


发 散，排除(A)，(D)；
n
nlnn
n1n1
nlnn
又取
a
n

1
nn
，则级数

a
n1

n
收敛，但
limna
n

，排除(C ), 故应选(B).
n
2
【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式， < br>
a
n
1


0
，而级数
< br>发散，因此级数

a
n
也发散，故应选(B).
lim na
n
lim
nn
1
n1
n
n1< br>n
完全类似的例题见《数学复习指南》P213例8.13.

（10）设f (x)为连续函数，
F(t)

dy

1
tt
y
f(x)dx
，则
F

(2)
等于
(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ]
【分析】 先求导，再代入t=2求
F

(2)
即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变
量t.
【详解】 交换积分次序，得

F(t)

dy

1
tt
y
f(x)dx
=

[

f(x)dy]dx

f(x)(x1)dx

111
txt
于是，
F

(t)f(t)(t1)
，从而有
F

(2)f(2)
，故应选(B).
【评注】 在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x:

[
< br>b(x)
a(x)
f(t)dt]

f[b(x)]b
< br>(x)f[a(x)]a

(x)

否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。
完全类似例题见《数学最后冲刺》P184例12，先交换积分次序再求导.

（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C
的可逆矩阵Q为

010


(A)
100
. (B)



101



010


101

. (C) 


001



010

100

. (D)



0 11



011


100

.



001


[ D ]
【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两 个相应的初等矩阵，
而Q即为此两个初等矩阵的乘积。
【详解】由题设，有

010

100



A100B
，
B011C
，



001


001


9


010

100


于是，
A100011



001




001



011


C.

A

100



001

可见，应选(D).
【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P196例2.2

（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有
(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.
(B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.
(C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.
(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. [ A ]
【分析】A,B的行列向量组是否线性相关，可从A,B是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非 零解
进行分析讨论.
【详解1】 设A为
mn
矩阵，B 为
ns
矩阵，则由AB=O知，

r(A)r(B)n
.
又A,B为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)关，故应选(A).
【详解2】 由AB=O 知，B的每一列均为Ax=0的解，而B为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A的
列向量组线性相 关。
同理，由AB=O知，
BAO
，于是有
B
T
的列向 量组，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).
【评注】 AB=O是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：
1） AB=O

r(A)r(B)n
;
2） AB=O

B的每列均为Ax=0的解。
完全类似例题见《数学最后冲刺》P110 例10-11，《数学一临考演习》P79第4题,〈考研数学大串讲〉P173
例8, P184例27。

（13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的

(0

1)
，数
u

满足
P{Xu

}

，若
TT
P{Xx}

，则
x
等于
(A)
u

. (B)
u
2
1

2
. (C)
u
1

. (D)
u
1

. [ C ]
2
【分析】 此类问题的求解，可通过
u

的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论。
【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，
P{Xu

}< br>
，于是
1

1P{Xx}P{Xx}P{Xx} P{Xx}2P{Xx}

即有
P{Xx}
1

，可见根据定义有
xu
1

，故应选(C).
2
2
【评注】 本题
u

相当于分位数，直观地有
10





(1

)2

o
u


u
1


2
此类问题在文登学校的辅导班上作为正态分布的一般结论总结过.

1
n
（ 14）设随机变量
X
1
,X
2
,,X
n
(n1 )
独立同分布，且其方差为

0.
令
Y

X
i
，则
n
i1
2
(A) Cov(
X
1
,Y)
(C)
D(X
1
Y)

2
n
.
(B)
Cov(X
1
,Y)

2
.
n2
2
n1
2

. [ A ]

. (D)
D(X
1
Y)
n
n
【分析】 本题用方差和协方差的运 算性质直接计算即可，注意利用独立性有：
Cov(X
1
,X
i
) 0,i2,3,n.

1
n
11
n
【详解】 Cov(
X
1
,Y)Cov(X
1
,

X
i)Cov(X
1
,X
1
)

Cov(X
1
,X
i
)

n
i1
nn
i2
=
11
DX
1


2
.

nn
【评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如
1n 11(1n)
2
2
n1
2
D(X
1
Y)D (X
1
X
2
X
n
)


2


nnn
n
2
n
n
2
3 n
2
n3
2



， =
2
n
n
n111(n1)
2
2
n1
2
D(X
1
Y)D(X
1
X
2
Xn
)


2


2
nnn
nn
n
2
2n
2
n2
2



.
=
2
n
n
完全类似的例题见《数 学一临考演习》P78第23题（本题是第23题的特殊情况）.

（15）（本题满分12分）
设
eabe
, 证明
lnblna
222
4
(ba)
.
2
e
【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.
【证法1】 对函数
lnx
在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得

lnb lna
22
2
2ln


(ba),a

b.

11

设

(t)
l nt1lnt
，则


(t)
，
2
t
t
2
当t>e时，


(t)0,
所以

(t)
单调减少，从而

(

)

(e)
，即
lne
2
2

2

2
，

ee
ln

故
lnblna
22
4
(ba)
.
2
e
2
【证法2】 设

(x)lnx
4
x
，则
2
e
lnx4

2
，
x
e
1lnx



(x)2
,
2
x



(x)2
所以当x>e时，


(x)0,
故


(x)
单调减少，从而当
exe
时，

2


(x)


(e
2
)
2
44
0
，
e
2
e
2
即当
exe
时，

(x)
单调增加.
因此当
exe
时，

(b)

(a)
，
2
44
2
blnaa
，
e
2
e
2
4
22
故
lnblna
2
(ba)
.
e
即
lnb
2
【评注】 本题也可设辅助函数为

(x)lnxl na
22
4
2
或
(xa),eaxe
2
e

(x)ln
2
bln
2
x
4
2
，再用单调性进行证明即可。
(bx),exbe
2
e
完全类似的例题见《数学复习指南》P347例13.31及P344的[解题提示], 《考研数学大串讲》P65例13.

（16）（本题满分11分）
某种飞机在 机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机
迅速减速并 停下.
现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700kmh. 经测试，减速伞打开 后，飞机所受的总阻力
与飞机的速度成正比（比例系数为
k6.010).
问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？
注kg表示千克，kmh表示千米小时.
【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。
【详解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度
v
0
700kmh
. 从飞机接触跑道开始记
时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).
根据牛顿第二定律，得

m
6
dv
kv
.
dt
12

又
dvdvdxdv
v
，
dtdxdtdx
m
dv
，
k
由以上两式得

dx
积分得
x(t)
mm
vC.
由于v(0)v
0
,x(0)0
，故得
Cv
0
，从而
kk
m

x(t)(v
0
v(t)).

k
当
v(t)0
时，
x(t)
mv
0
9000700
1.05(km).

6
k
6.010
所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.
【详解2】 根据牛顿第二定律，得
m
所以
dv
kv
,
dt
dvk
dt.

vm
k
t
m
两端积分得通解
vCe
k
t< br>m
，代入初始条件
v
t0
v
0
解得
C v
0
，
故
v(t)v
0
e.

k
飞机滑行的最长距离为

x


0
mv
t
v(t)dt
0
e
m
k
k

0

mv
0
1.05(km).

k
kk
tt
t
kv
0

m
t
dx
mm
v
0
e(e1)
，故最长距离为当
t时，或由，知
x(t)

v
0
edt
0
dtm
x(t)
kv
0
1.05(km).

m
d
2
xdx
【详解3】 根据牛顿第二定律，得
m
2
k
,
dt
dt
d
2
xkdx
0
，
2
mdt
dt
其特征方程为

2

kk

0
，解之得

1
0,

2

，
mm
.
故
xC
1
C
2
e
k
t
m
dx
0,v
由
x
t0t0
dt
kC
t

2
e
m
t0
m
k
t0
v
0
，
t
mv
0
mv
0
(1e
m
).

,
于是
x(t)
得
C
1
C
2

k
k
k
13

当
t
时，
x(t)
mv
0
1.05(km).

k
所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.
【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为
t
或
v(t)0< br>的极限值，这种条件应引起注意.
完全类似的例题见《数学最后冲刺》P98-99例10-11.
（17）（本题满分12分）
计算曲面积分

I
332
2xdydz2ydzdx3(z1)dxdy,



22
其中

是曲面
z1xy(z0)的上侧.
【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的 曲面上应用直接
投影法求解即可.
【详解】 取

1
为xoy平面 上被圆
xy1
所围部分的下侧，记

为由

与

1
围成的空间闭区域，则
22
I



1
332
2xdydz2ydzdx3(z1)dxdy

 
332

2xdydz2ydzdx3(z

1
 1)dxdy.

由高斯公式知


1
3322 2
2xdydz2ydzdx3(z1)dxdy6(xyz)dxdydz



2

11r
2
=
6

0
d


dr

00
(zr
2
)rdz

32
=
12

[r(1r)r(1r)]dr2

.

0

1
1
2
22
而
332
2xdydz2ydzdx3(z1)dxdy


1
x
2
y
2
1

3dxdy3

，
故
I2

3



.

【评注】 本题选择

1
时应注意其侧与

围成封闭曲面后 同为外侧（或内侧），再就是在

1
上直接投影积
分时，应注意符号(

1
取下侧，与z轴正向相反，所以取负号).
完全类似的例题见《数学复习指南 》P325例12.21，《数学题型集粹与练习题集》P148例10.17（2）, 《数
学一临考演习》P38第19题.

（18）（本题满分11分）
设有方程
xnx10
，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根
x
n
，并证明当

1
时，级数
n

x< br>
收敛.
n
n1

【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。
【证】 记

f
n
(x)x
n
nx1.
由
f
n
(0)10
，
f
n
(1)n0
， 及连续函数的介值定理知，方程
14

x
n
nx10< br>存在正实数根
x
n
(0,1).

n1
n
当x>0时，
f
n

(x)nxn0
，可见
fn
(x)
在
[0,)
上单调增加, 故方程
xnx10
存在惟一正
实数根
x
n
.

n
由
xnx10
与
x
n
0
知 < br>n
1x
n
1
1


，故当
1
时，
0x
n

0x
n

()

.
nn
n

1

而正项级数


收敛，所以当

 1
时，级数

x
n
收敛.
n1
n
n1

【评注】 本题综合考查了介值定理和 无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本
概念清楚，应该可以轻松求证。
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P91例6.15(有关根的存在性与惟一性证明), 收敛性证明用比
较法很简单.

（19）（本题满分12分）
设z=z( x,y)是由
x6xy10y2yzz180
确定的函数，求
zz(x ,y)
的极值点和极值.
【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导 ，再令其为零确定极值点即可，然后
用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.
【详解】 因为
x6xy10y2yzz180
，所以

2x6y2y
222
222
zz
2z0
，
xx
zz
2z0
.
yy

6x20y2z2y

z
0,


x令

得
z
0



y
x3y0,




3x10yz0,

x3y,
故


zy.

将上式代入
x6xy10y2yz z180
，可得
222


x9,


y3,
或

z3


x9,


y3,


z3.


2
zz
2

2
z
由于
22y
2
2()2z
2
0
，
x
xx
15

z
2
zzz 
2
z
2y22z0,

62
xxyyxxy
zz
2
zz
2

2
z

20222y
2
2()2z
2
0
，
yyy
yy

2
z
所以
A
x
2
故
ACB
2

2
z
1

，
B
(9,3,3)
xy
6
1

2
z

，
C
2
(9,3,3)
2
 y
(9,3,3)

5
，
3
11
0
， 又
A0
，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. < br>366

2
z
1

，
B
(9 ,3,3)
xy
6
1

2
z

，
C
2
(9,3,3)
2
y
类似地，由

2
z

A
x
2
可知
AC B
2
5

，
(9,3,3)
3
11
0
，又
A0
，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为
366
z(-9, -3)= -3.
【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。
完全类似的例题见《数学复习指南》P277例10.31.

（20）（本题满分9分）
设有齐次线性方程组

(1a)x
1
x
2
x
n
0,

2x(2a)x 2x0,

12n





nx
1
nx
2
(na)x
n
0,(n2)

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.
【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变
换化为阶梯 形，再讨论其秩是否小于n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行
列式的 值必为零，由此对参数a的可能取值进行讨论即可。
【详解1】 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有
11

1a

22a2

A




nn

n

x
1
x
2
x
n
0,

由此得基础解系为




1

1 a1

2aa2









na

na0
1
0
< br>0




1

0

< br>B.




a

当a=0时， r(A)=1
1
(1,1,0,,0)
T
,


2
(1,0,1,,0)
T
,,

n1
( 1,0,0,,1)
T
,

于是方程组的通解为
xk
1

1
k
n1

n1
,
其中
k
1
,,k
n1
为任意常数.
当
a0
时，对矩阵B作初等行变换，有
16


1a1

21

B





n0
可知
a
1
0

0




n(n1)

1

a0

2

0


2 1








1

n0

0
0

0


< br>

0

0

.


< br>
1


n(n1)
时，
r(A)n1n< br>，故方程组也有非零解，其同解方程组为
2

2x
1
x
2
0,

3xx0,

13







nx
1
x
n
0,
由此得基础解系为


(1,2,,n)
，
于是方程组的通解为

xk

，其中k为任意常数.
【详解2】 方程组的系数行列式为
T
1a

A
1
2a

n
1
2

n




1
2

na
(a
n(n1)
n1
)a
.
2
2

n
当
A0
，即a=0或
a
n (n1)
时，方程组有非零解.
2
1

1

02








n< br>
0
1
0

0
1
0

0



0
1

0


，



0

当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有

1

2

A




n
1
2

n
1
2
n




故方程组的同解方程组为

x
1
x
2
x
n
0,

由此得基础解系为

1
(1,1,0,,0)
T
,


2
(1,0,1,,0)
T
,,

n1
( 1,0,0,,1)
T
,

于是方程组的通解为
xk
1

1
k
n1

n1
,
其中
k
1
,,k
n1
为任意常数.
当
a
n(n1)
时，对系数矩阵A作初等行变换，有
2
17

11

1a

22a2

A




nn

n

1 a1

21







n0
故方程组的同解方程组为







1

1a1

2aa 2








na

na0
1

00

210< br>







1

n0
0
0

0
1
0

0








1

0






a

1
0

0
0

0


，



1


2x
1
x
2< br>0,

3xx0,

13







nx
1
x
n
0,
由此得基础解系为


(1,2,,n)
，
于是方程组的通解为

xk

，其中k为任意常数.
【评注】 矩阵A的行列式
A
也可这样计算：
T
111

1a

1111

1111


2222
2222


2

2a22
=
aE
+

，矩阵

的特征
A








 



nnna


nnn n

nnnn


n
n(n1)n(n1)n(n 1)
n1
值为
0,,0,
，从而A的特征值为a,a,
,a 
, 故行列式
A(a)a.

222
类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P228例4.4和P234例4.12.

（21）（本题满分9分）

123


设矩阵
A143
的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化.



1a5


【分析】 先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A是否可相似对
角化即可.
【详解】 A的特征多项式为

1


EA 
23
31
1

4
a

2(

2)
1

4
1a
0
3


5

5
18

1
=
(

2)1
10
3(

2)(

2
8

183a).


4
 a1

5
2
当

2
是特征方程的二重根，则 有
216183a0,
解得a= -2.

123


当a= -2时，A的特征值为2,2,6, 矩 阵2E-A=
123
的秩为1，故

2
对应的线性无关的特征< br>


123


向量有两个，从而A可相似 对角化。
若

2
不是特征方程的二重根，则

8
183a
为完全平方，从而18+3a=16，解得
a.

2
2
3

323

2
当
a 
时，A的特征值为2，4，4，矩阵4E-A=

103

秩为 2，故

4
对应的线性无关的特
3

2
1 1

3

征向量只有一个，从而A不可相似对角化。
【评注】 n阶矩阵A可对角化的充要条件是：对于A的任意
k
i
重特征根

i
，恒有
nr(

i
EA)k
i
.
而
单根一定只有一个线性无关的特征向量。
原题见《考研数学大串讲》P224例20.，完 全类似的例题还可参见《数学复习指南》P462例5.12及[解题
提示].

(22)（本题满分9分）
设A,B为随机事件，且
P(A)
111,P(BA),P(AB)
，令
432

1,
A发生,

1,
B发生,

X


Y


0,
0,A不发生;
B不发生.


求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分 布；
（II）X和Y的相关系数

XY
.

【分析】 先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运 算性质
得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可 计算出相关系数。
【详解】 （I） 由于
P(AB)P(A)P(BA)
1
，
12

P(B)
P(AB)1
,

P(AB)6
所以，
P{X1,Y1}P(AB)
1
，
12
1
，
6

P{X1,Y0}P(AB)P(A)P(AB)
19

P{X0,Y1}P(AB)P(B)P(AB)

P{X0,Y0}P(AB)1P(AB)

1
,

12
2

3
1112
（或
P{X0,Y0}1
，
< br>）
126123
=
1P(A)P(B)P(AB)
故(X,Y )的概率分布为
Y
X 0 1
2

3
1
1
6
0
1

12
1

12
(II) X, Y的概率分布分别为
X 0 1 Y 0 1
3151
P
4466
11351
则
EX,EY
，
DX
， DY=, E(XY)=,
46163612
1
故
Cov(X,Y)E(XY)EXEY
，从而
24
P


XY

Cov(X,Y)
DXDY< br>
15
.

15
【评注】 本题尽管难度不大，但考察的知识 点很多，综合性较强。通过随机事件定义随机变量或通过随
机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论 的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。
原题见《考研数学大串讲》P274例3.

（23）（本题满分9分）
设总体X的分布函数为
1


1

,
x1,

F(x,

)


x
x1,


0,
其中未知参数

1,X
1
,X
2
,,X
n
为来自总体X的简单随机样本，求：
（I）

的矩估计量；
（II）

的最大似然估计量.
【分析】 先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可。
【详解】 X的概率密度为


x1,

,

f(x,

)

x

1

x1.


0,
20

（I） 由于

EX



xf(x;
)dx

x
1


x
dx

1


1
，
令


1
X
，解得


X
，所以参数

的矩估计量为
X1
ˆ



X
.

X1
（II）似然函数为


n
,x1(i1,2,,n),

L(

)

f(x
i
;

)
(xxx)

1
i

12n
i1
0,其他

n
当
x
i
1(i1,2, ,n)
时，
L(

)0
，取对数得
lnL(

)nln

(

1)

lnx
i< br>，
i1
n
两边对

求导，得
n
dln L(

)n


lnx
i
，
d

i1
令
dlnL(

)
0
，可得 < br>

d

n

lnx
i1
n，
i
故

的最大似然估计量为
ˆ



n

lnX
i1
n
.

i
【评注】 本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性。
完全类似的例题见《数学复习指南》P596例6.9, 《数学题型集粹与练习题集》P364第十三题，《数学一
临考演习》P26第23题.


21