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2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要
求的.
1.设集合M=｛0,1,2｝，N=

x|x
2
3x2≤0

，则
MN
=( )
A. ｛1｝
【答案】D
【解析】
B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝
把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式
x2-3x+2≤0,
经检验 x=1,2满足。所以选D.

2.设复数
z
1
，
z2
在复平面内的对应点关于虚轴对称，
z
1
2i
，则
z
1
z
2

（ ）
A. - 5
【答案】B
【解析】
B. 5 C. - 4+
i
D. - 4 -
i

z
1
=2+i,z
1
与 z
2
关于虚轴对称，∴z
2
=-2+i,
∴z
1
z
2
=-1-4=-5,故选B.


3.设向量
a,b满足|
a+b
|=
10
，|
a-b
|=
6，则
a

b
= ( )
A. 1
【答案】A
【解析】
B. 2 C. 3 D. 5
|a+b|= 10,|a-b|=6,，∴a+b+2ab=10，a+b-2ab=6,
联立方程解得ab=1,故 选A.

4.钝角三角形ABC的面积是
1
，AB=1，BC=
2
，则AC=( )
2222

2
A. 5
【答案】B
【解】
B.
5

C. 2 D. 1
'.

.
1112
S
ΔABC
=acsinB=•2• 1•sinB=∴sinB=,
2222
π
3π
π

∴B= ,或.当B=时，经计算
ΔABC
为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。
4443π
∴B=，使用余弦定理，b
2
=a
2
+c
2
-2accosB,解得b=5.故选B.
4
5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气 质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是
0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天 的空气质量为优良的概率
是（ ）
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

【答案】 A
【解析】
设某天空气质量优良，则随后一个空气质量也优良的概率为p,
则据题有0.6=0.75•p ,解得p=0.8,故选A.



6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件
由一个底面半径为3cm，高为6cm的 圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的
比值为（ ）
A.
17
B.
5
C.
10
D.
1

279
27
3
【答案】 C
【解析】
加工前的零件半径为
3
，高
6
，∴体积v1
=
9π
•
6
=
54π.
加工后的零件，左 半部为小圆柱，半径2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2.
∴体积v
2
=< br>4
π
•
4
+
9π
•
2
=
3 4π.
∴削掉部分的体积与原体积之比=
54π-34π
10
=.故选C.< br>54π
27


7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】 C
【解析】
'.

.
x=2,t=2,变量变化情况如下：
M S K
1 3 1

2 5 2
2 7 3
故选C.

8.设曲线y=
ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则
a
=
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】 D
【解析】
f(x)=ax- ln(x+1),∴f
′
(x)=a-
1
.

x+1
∴f(0)=0,且f
′
(0)=2.联立解得a=3.故选D.

xy7≤0

9.设x,y满足约束条件

x3y1≤0
，则
z2xy
的最大值为（ ）

3xy5≥0

A. 10 B. 8 C. 3 D. 2
【答案】 B
【解析】
画出区域，可知区域为 三角形，经比较斜率，可知目标函数
z=2x-y在两条直线x-3y+1=0与x+y-7=0的交点 (5,2)处,
取得最大值z=8.故选B.

10.设F为抛物线C:
y< br>2
3x
的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A.

33
93
C.
63
D.
9
B.
324
8
4
【答案】 D
【解析】
'.

.
设点A、B分别在第一和第四象限 ，AF=2m,BF=2n，则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，
3333
2m=2•+ 3m,2n=2•-3n，解得m=(2+3),n=(2-3),∴m+n=6.
4422
1 39
∴S
ΔOAB
=••(m+n)=.故选D.
244


11.直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，∠BC A=90°，M，N分别是A
1
B
1
，A
1
C
1< br>的中点，BC=CA=CC
1
，
则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）
30
A.
1
B.
2
C. D.
105
10
2

2
【答案】 C
【解析】
如图，分别以C
1
B
1
，C
1
A
1
，C
1
C为X,Y,Z轴，建立坐标系。令AC=B C=C
1
C=2,则
A(0,2,2),B(2,0,2),M(1,1,0),N( 0,1,0).∴BM=(-1,1，-2），AN=(0,-1，-2）。
cosθ
=


BM•AN
|BM|•|AN|
=
0-1+430
= .故选C.
10
65
f

x
0


m
2
，则m的取值范12.设函数
f

x

 3sin

x
.若存在
f

x

的极值点
x
0
满足
x
0
2



m
2
围是（ ）
A.

,6



6,

B.

,4



4,

C.

,2



2,


D.

,1



4,


【答案】 C
【解析】
'.

.
 f(x)=3sin
π
x|m|
的极值为±3，即[f(x
0
)]< br>2
=3,|x
0
|≤,
m2

22
mm2
∴x
0
+[f(x
0
)]
2
≥+3，∴+3 2
,解得|m|>2.故选C.
44
第Ⅱ卷
本卷包 括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22
题~第24题 为选考题，考生根据要求做答.
二.填空题
13.

xa
< br>的展开式中，
x
7
的系数为15，则
a
=________. (用数字填写答案)
10
1
【答案】
2

【解析】
11
37333
C
10
xa=15x
7
∴C
10
a=15,a=.故a=.

22


14.函数
f

x

sin

x2< br>

2sin

cos

x


的最大值为_________.
【答案】 1
【解析】
f (x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)
=sin(x+φ)•cosφ+cos( x+φ)•sinφ-2sinφcos(x+φ)
=
sin(
x+
φ)•
cosφ-cos(
x+
φ)
•
sinφ
=sinx ≤1.∴最大值为1.

15.已知偶函数
f

x

在

0,

单调递减，
f

2
< br>0
.若
f

x1

0
，则
x
的取值范围是
__________.

，-1）∪（3，+∞）
【答案】
(-∞

【解析】
偶函数y=f(x)在[0,+∞)上 单增，且f(2)=0
∴f(x)>0的解集为|x|>2.
故解集为|x-1|>2，解得x ∈(-∞，-1）∪（3，+∞）.

∴f(x-1)>0的解集为|x-1|>2，解得x∈(-∞，-1）∪（3，+∞）.

'.

.
16.设点M（
x
0
,1），若 在圆O:
x
2
y
2
1
上存在点N，使得∠OMN=45 °，则
x
0
的取值范围是________.
【答案】
[-1,1]

【解析】
在坐标系中画出圆O和直线y=1,其中M(x< br>0
,1)在直线上.
由圆的切线相等及三角形外角知识，可得x
0
∈[ -1,1].故x
0
∈[-1,1].

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分） < br>已知数列

a
n

满足
a
1
=1，
a
n1
3a
n
1
.
（Ⅰ）证明
a
n

1
是等比数列，并求

a
n

的通项公式；


2

（Ⅱ）证明：
1
1
…+
1

3
.
a
1
a
2
a
n
2

【答案】 (1) 无
【解析】
（1）
（2） 无
a
1
=1,a
n+1
=3a
n
+1.n∈N*.
111

∴a
n+1
+=3a
n
+1+=3(a
n
+).
222
113
∴{a
n
+}是首项为a
1
+=,公比为3的 等比数列。
222
(2)
13
n
3
n
-112< br>由(1)知，a
n
+=,∴a
n
=，=
n
.
222a
n
3-1
1121
=1,当n>1时，=
n
<n-1
.
a
1
a
n
3-13
1
n
1111111313
∴++++<1+
1
+
2
+ +
n-1
=
3
=（1-
n
）<.
1
2a
1
a
2
a
3
a
n
33332
1-
3
11113
所以，++++<，n∈N*（证毕）.
a
1
a
2
a
3
a
n
2
1-

18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
'.

.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE- C为60°，AP=1，AD=
3
，求三棱锥E-ACD的体积.











【答案】 (1) 无 （2） 无
【解析】
（1）
设AC的中点为G, 连接EG。在三角形PBD中，中位线EGPB,且EG在平面AEC上，所以PB
平面AEC.

（2）设CD=m, 分别以AD,AB,AP为X,Y,Z轴建立坐标系，则
3 1
,0,),C(3,m,0).
22
31
∴AD=(3,0,0),AE= (,0,),AC=(3,m,0).
22
A(0,0,0),D(3,0,0),E(
设平面ADE法向量为n
1
=(x
1
,y
1
,z
1
),则n
1
AD=0,n
1
AE=0,
解得一个n
1
=(0,1,0).
同理设平面ACE法向量为n
2
=(x
2< br>,y
2
,z
2
),则n
2
AC=0,n
2< br>AE=0,
解得一个n
2
=(m,-3,-3m).
π
|n• n|313
cos=|cos2
,n
2
>|=
22< br>==,解得m=.
22
322
|n
2
|•|n
2|
m+3+3m
EF1
设F为AD的中点，则PAEF,且PA==,EF⊥面A CD,
22
111313
即为三棱锥E-ACD的高.∴V
E
-ACD
=•S
Δ
ACD
•EF=•••3•=.
332228< br>3
所以，三棱锥E-ACD的体积为。
8


'.

.
19. （本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份
年份代号
t

人均纯收入
y

2007
1
2.9
2008
2
3.3
2009
3
3.6
2010
4
4.4
2011
5
4.8
2012
6
5.2
2013
7
5.9

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（ Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情
况，并预测该 地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
b



tt

yy

ii
i1
n


tt

i
i1n
ˆ

ˆ
ybt
，
a
2

【答案】 (1)
y=0.5t+2.3.

【解析】
（1）
（2） 约6800元
t=
1+2++72.9+3.3+ 3.6+4.4+4.8+5.2+5.9
=4,y==4.3
77
设回归方程为y= bt+a,代入公式，经计算得
3*14+2+0.7+0+0.5+1.8+4.8141

b===,
(9+4+1)*214*22
1
a=y-bt=4.3-*4= 2.3
2
所以，y关于t的回归方程为y=0.5t+2.3.

1
b=>0,∴2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长，预计到2015年，
2
< br>该区人均纯收入y=0.5•9+2.3=6.8(千元）
所以，预计到2015年，该区人均纯 收入约6千8百元左右。



20. （本小题满分12分）
2
y
2
x
设
F
1
,
F
2
分 别是椭圆
2

2
1

ab0

的左 右焦点，M是C上一点且
MF
2
与
x
轴垂直，直线
ab'.

.
MF
1
与C的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN的斜率为
3
，求C的离心率；
4
（Ⅱ）若直线M N在y轴上的截距为2，且
MN5F
1
N
，求
a,b
.

1
【答案】 (1)
2

【解析】
（1）
（2）
a=7,b=27

MF
1
3b< br>2
13
由题知，=∴•=,且a
2
=b
2
+c2
.联立整理得：2e
2
+3e-2=0，
F
1
F2
4a2c4
11
解得e=.∴C的离心率为.
22
（2）

b
2
由三角形中位线知识可知，MF
2
=2•2，即=4 .
a
设F
1
N=m,由题可知MF
1
=4m.由两直角三角 形相似，可得
3
M,N两点横坐标分别为c,-c.由焦半径公式可得:
2
3 c
MF
1
=a+ec,NF
1
=a+e(-c)，且MF
1
:NF
1
=4:1,e=,
2a
a
2
=b
2
+c
2
.联立解得a=7,b=27.
所以，a=7,b=27




21. （本小题满分12分）
已知函数
f

x

=
e
x
e
x
2x

（Ⅰ）讨论
f

x

的单调性；
（Ⅱ）设
g

x

f

2x

4bf

x

，当
x0
时，
g

x

0
,求
b
的最大值；
（Ⅲ）已知
1.4142

21.4143
，估计ln2的近似值（精确到0.001）
'.

.
【答案】 (1)
f(x)在R上单增

【解析】
（1）
（2） 2
f(x)=e
x
-e< br>-x
-2x，x∈R∴f
′
(x)=e
x
+e
-x< br>-2=e
x
+
所以，f(x)在R上单增.
（2）
11
x
-2≥2e•-2=0.

e
x
e
x
g(x)=f(2x)-4bf(x)=e
2x
-e
-2x
-4x -4b(e
x
-e
-x
-2x)>0,x>0.
令h(x)=e2x
-e
-2x
-4x-4b(e
x
-e
-x
-2x),x>0,则h(0)=0.
h
′
(x)=2e
2x
+2e
-2x
-4-4b(e
x
+e
-x
-2)，∴∃x∈(0, m),m>0,使h
′
(x)≥0.
即2e
2x
+2e
-2 x
-4-4b(e
x
+e
-x
-2)≥0
即e
2x
+e
-2x
-2-2b(e
x
+e
-x
-2)≥0 .
同理，令m(x)=e
2x
+e
-2x
-2-2b(e
x
+e
-x
-2)，x∈(0,m),m>0,则m(0)=0.
m
′
(x)=2e
2x
-2e
-2x
-2b(e
x
-e
-x
)，∴∃x∈(0,t),t>0,使m(x)≥0.
即2e
2x
-2e
-2x
-2b(e
x
-e
-x
)≥0，即(ex
+e
-x
)(e
x
e
-x
)-b(e
x
-e
-x
)≥0且e
x
-e
-x
>0，
即e
x
+e
-x
≥b，即e
x
+e
-x
>2e
x
•e
-x
=2≥b，所以b的最大值为2

（3）

设x=ln2>0,则f(ln2)>0,即f(ln2)=2-
解得ln2<12
-2ln2=-ln2>0.
2
2
2
.由(2)知，f(2 x)>8f(x),令x=ln2>0,则f(2ln2)>8f(ln2)，
2

11
即f(ln2)>8f(ln2)，即2--2ln2>（82--2ln2),解得2
2
321212
6ln2>42-，即ln2>2-.所以2-234342

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的 第一题计分，做答时请写清题
号.

22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
如图，P是
e
O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与
e
O
相交
于点B，C，P C=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交
e
O
于点E.证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD

DE=2
PB
2


'.

.
【答案】 (1) 无
【解析】
（1）
（2）无
PC
=
2PA,PD
=
DC,
∴PA
=
PD，
Δ
PAD为等腰三角形。
连接AB,则∠PAB= ∠DEB=
β
,∠BCE=∠BAE=
α
.

∠PAB+ ∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠PDA=∠DEB+∠DBE
∴β+α=β+∠DBE, 即α=∠DBE，即∠BCE=∠DBE，所以BE=EC.
（2）

AD•DE=BD•DC,PA
2
=PB•PC,PD=DC=PA,

∴BD•DC=(PA-PB)PA=PB•PC-PB•PA=PB（•PC- PA）
PB•PA=PB•2PB=PB
2



23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴 为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为

2cos

，


.



0,

2

（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y3x2
垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，
确定D的坐标.

所以D点坐标为
(1



3131
,)
或
(1,)
。
2222
'.

.
24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数< br>f

x

=
x
1
xa(a0)
a
（Ⅰ）证明：
f

x

≥
2；
（Ⅱ）若
f

3

5
，求
a
的 取值范围.



'.